Изучение свойств системы с защитой повышенной надежности применительно к процессу восстановления Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/29-107 Ссылка для цитирования этой статьи:

Ивахненко Н.Н., Бадекин М.Ю. Изучение свойств системы с защитой повышенной надежности применительно к процессу восстановления Пуассона // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. №1. DOI: 10.24411/2541-9269-2020-10103

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ С ЗАЩИТОЙ ПОВЫШЕННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОЦЕССУ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПУАССОНА

Ивахненко Н.Н.1, Бадекин М.Ю.2 1ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли им.

Михаила Туган-Барановского», ДНР, Донецк, yulduz19.77@mail.ru 2ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли им. Михаила Туган-Барановского», ДНР, Донецк, korund2002@list.ru

STUDYING PROPERTIES OF THE SYSTEM WITH PROTECTION OF INCREASED RELIABILITY APPLIED TO THE PROCESS OF RESTORING

POISSON

Ivakhnenko N.N.1, Badekin M.Yu 2 1SO HPE "Donetsk National University of Economics and Trade named. Mikhail

Tugan-Baranovsky ", DNR, Donetsk, yulduz19.77@mail.ru 2SO HPE "Donetsk National University of Economics and Trade named. Mikhail Tugan-Baranovsky ", DNR, korund2002@list.ru

Аннотация. Изучаются оценки свойств надежности системы с защитой повышенной надежности применительно к процессу восстановления Пуассона.

Ключевые слова: процесс восстановления, альтернативный процесс, система с защитой, теорема Ренье, полумарковский процесс.

Abstract. Estimates of the reliability properties of a system with enhanced reliability protection as applied to the Poisson recovery process are studied.

Keywords recovery process, alternative process, system with protection, Rainier theorem, semi-Markov process.

1. Введение

УДК 532.517.2:539.3

DOI: 10.24411/2541-9269-2020-10103

В [1] приводятся равномерные оценки отклонения от функции показательного распределения решений интегрального уравнения:

Ф = ОЬ + (1 -О)Ф* К (1)

где Ь, К заданные функции распределения положительных случайных величин,

г

О е (0,1), * - свертка функций распределения Ф * К (г) = \ф(г - х)ак(х).

0

Эти оценки можно использовать при исследовании характеристик надежности системы с защитой [2]. В работах [3, 4, 5] это делалось в общем виде. Целью данной работы является уточнение оценок этих характеристик и рассмотрение других в случае дополнительного предположения, что процесс восстановления является Пуассоновским. В частности, оценивается гарантированное время безотказной работы с заданной надежностью, приводятся оценки функции распределения промежутков между отказами и количества отказов.

2. Основные условия и результаты

Система с защитой [2] состоит из альтернативного процесса и независимого от него процесса восстановления. Отказ системы наступает в момент восстановления последнего, если в этот момент альтернативный процесс находится в фазе ремонта.

Считаем, что процесс восстановления будет Пуассоновский с параметром V. Будем обозначать т(¥), т2 ) математическое ожидание и второй начальный момент случайной величины с функцией распределения F(г), соответственно.

Обозначим функции распределения фаз безотказной работы и ремонта

+<ю

альтернативного процесса О и В соответственно, где ¡3 (s )=\ е~ *хаБ( х),

0

показательная функцию распределения Еа (г) = 1 - е~а', г > 0.

Назовем г0 гарантированным временем безотказной работы системы с защитой и надежностью у, если вероятность того, что система не откажет к моменту времени г0, будет не меньше у.

Теорема 2.1. Гарантированное время безотказной работы системы с

- п 1 -О Т 3 (V) т (О)

защитой и надежностью у не меньше Т 1п-, где Т =———т1-^-,

У у + 2ОЖ ' 1 -¡(V) ,

о=1 -3 (V),

1 г

А(г) = -^Д- \ х), К (г) = О * А(г),

Р (V)J0

л

m(A) = — f xe~vxdB(x) < m(B), ß 0) 0

_ m2 (K) _ m2 (G) + 2m(G)m(A) + m2 (A) Z~ 2m2 (K) ~ 2(m(G) + m(A) )

причем m (A) < m (B)

Функцию распределения времени безотказной работы системы с защитой обозначим Oj (x), если в начальный момент времени началась фаза ремонта альтернативного процесса, и ^ (x), если в начальный момент времени началась фаза безотказной работы.

Теорема 2.2. Для функции распределения времени безотказной работы системы с защитой при различных начальных условиях выполняются неравенства:

x

Eq (x) - qm(L) - 2Zf(1 - B(y))ve^dy < Ф1(x);

0

x

Oi(x) < (1 - в) Eq (x) + (1 + 2Ж)f (1 - B(y))ve~vydy

0

^i(x) < (1 - в)Eq(x) + в(1 + 2Z)G(x);

ix \

x) > Eq (x) - q

m( L) + f(1 - G( y) ) dy

2%eG( x),

0 Т Т 1 1 +г 1

где г =-, а =-<-= —, т(Ь) = — Г х(1 - В(х)\ЛЕ (х) < —

1 -0 т(О) + т(А) т(О) Т У -{ V ^ V

Теорема 2.3. Если в начальный момент времени началась фаза безотказной работы альтернативного процесса, то для распределения количества отказов системы с защитой % выполняется неравенство:

Р(%> п) < 0 + (1 - 0)рп ) + 2^0шт{п,1 + дг},

где

С п-к \

к / / 1 к / 1~ 1 д

V к=1 У к=1 V 1=1 У

Рп+1 (г)= 1 -/к Ед(г) + /Гк 1 -/ Е-(г) + /к/ 1 -/г

п -1 п-к

п-к-1

к1 - / "у

к=1 1=1 V У

Е?(г) +..

.. + (тГ1 (1 - Т1) + (п - 1)тп-2т2)Е*п(г) + тПЕ*(п+1)(г), п > 0;

Оп = I Г^ХП!е^х) = | (Е*(п-1)(х) - Е*п(х))ОВ(х), п > 1; 0 (п 1)- 0

О

к+1

О

к > 1:

в частности:

Р(£ > 1) = (г) < О + (1 - О)Ед (г) + 2ЖО;

Р(£ > 2) < О + (1 - ) + ОО2Ед(г) 1 + 2хО{1 + Ед(г)).

Замечание 2.1. Распределение ри (г) = ри (г) - ри+1 (г), п > 1, р0 (г) = 1 - р1 (г) является распределением количества событий стационарного потока без последействия на промежутке времени (0, г) и имеет образующую функцию

/Рп(г)хп = едг{а(х)-1) , где Л) = /О+1 хп [7, с. 42]

О

п=0

=1 О

Замечание 2.2. Если в начальный момент времени началась фаза ремонта альтернативного процесса, то среднее время безотказной работы системы с

защитой равно Т + —, а если фаза закончилась, то Т + — +—1—

V V т(О)

Доказательство теоремы 2.1. Если в начальный момент времени началась фаза ремонта альтернативного процесса, то функция распределения времени безотказной работы системы с защитой ф (г) является решением уравнения (1) с К (г) = О * А(г), где:

1 г 1 г

А(г) = -щ I е-^В(х) , Ь(г) =11(1 - В( х)) dEv (х).

п

п

да

да

Обозначим ) решение уравнения (1) с L(t) = K(t), для которого, согласно [1], выполняются равномерные оценки:

|Ф( t )- Eq (t )| < 2гЖ (2)

Функция ф(t) подается через Ф^) формулой:

Ф1(t) = L * (в + (1-в)Ф(О) (3)

Из (2), (3) получаем:

% (t) < Ф1 (t) < (1 - в) Eq (t) + 0(1 + 2^) (4)

Если приравнять правую часть этой неравенства к 1 -у, то можно выразить гарантированное время безотказной работы.

Неравенства m(A) < m(B), m2 (A) < m2 (B) вытекают из того, что при всех t > 0, A(t) > B(t), что, в свою очередь, получается из леммы .

Лемма 3.1. Пусть V (t ) - положительная монотонная функция, F (t ) -функция распределения положительной случайной величины,

х Y t

в = J V(x)dF(x), L(t) = - J V(x)F(x). Тогда, если V(t) неубывающая, то при всех

о в о

t > 0 выполняется неравенство L(t ) < F (t ), а если V (t ) - невозрастающая, то неравенство F (t ) < L(t ).

Доказательство леммы 3.1. Если V(t) - неубывающая, то функция F - L возрастает от 0, пока V(x) < в, а потом убывает до 0 на бесконечности. Поэтому она - положительная. Аналогично рассматривается случай невозрастающей

V (t ).

Лемму 3.1 доказано □

Теорему 2.1. доказано □

Доказательство теоремы 2.2. Верхние оценки получены в (4), а для получения нижних используется такое утверждение:

t

Лемма 3.2. E * L(t) > E (t) - q J(1 - L(x))dx

Доказательство

Е * (1 - Ь(г)) = д\(1 - Ь(г - х))е~дхск < д\(1 - Ь(г - х))ах = д\(1 - Ь(х))ах

Лемму 3.2 доказано

□

Теорему 2.2. доказано

□

Доказательство теоремы 2.3. Функции Р(^> п) = *и (г) являются минимальными решениями уравнения типа восстановления:

*п(г) = /ОкАк * О *^и+1-к(г) + [о - /Ок 1Ьп * О(г) + (1 - О) А * О * *(г).

к=2 V к=2 У

Так как

( VХ )п-1

возрастающая функция, то, по лемме 3.1, при всех г > 0

(п -1)!

выполняется неравенство А (г) < А(г), поэтому:

/

1 -О

1 +

V О

* п (г )</ 0 * * п+1-к (г) + [О-/ Ок

к=2 О V к=2 У

= ///тк ф * * п-к (г)+[1 -///Тк 1(О + (1 -О)Ф( г))

к=1 V к=1 У

Ф(г)

(5)

где Ф( г) - решение уравнения (1) из Ь(г) = К (г)

Заметим, что рп (г) удовлетворяет рекуррентное соотношение:

Рп (г) = (1 - /к]Ед(г) + /тРп-к * Ед(г)

V к=1 У к=1

(6)

Методом математической индукции при п > 1 докажем неравенство:

г

г

г

0

0

0

С п—1

^ п (О <0 + (1 -0) Рп (0 + 2х- 1+ ЪЕЧ (0 + Хг Х^О +

V к=1 к=1 1=1

п—3 п—2—к п—1—к—г

+хь х х )+-

к=1 г=1 7=1

... + (С2 +( п - 2 К—Ч) Е* -2\1) + тГе;<"—1\!))

(7)

Доказательство неравенства (7). При п = 1 неравенство (7) следует из (4). Заменим в (7) п на п - к и свернем с Ф(!). Учитывая, что согласно (2),

(1 - 0)Рп-к * Ф(!) < (1 - 0)Р-к * Ед) + 210рп-к ),

а в других слагаемых Ф(!) < 1, получим:

п—к—1

*п—к * Ф(!) < 0 + (1 - 0)Рп—к * Ед) + 2%0(1 + Рп—к) + X тгЕч($) +

г=1

п—к—2 п—к—1—г

+ Хг X ьК1 )+...

г=1 7=1

п—к—3 \ у-*( п—к—2

... + (ьп—к—2 + (п - к - 2)ьп—к—3ь)Е*п—к—2)(г) + г;-к—1[Е*(п—1к—1)(!)) = 0 + (1 - 0)Рп—к * Ед) + 2x0(1 + Ед) + Хг.Е;2^) +

(8)

г=1

п—к—2 п—к—1—г

+ X Г X г Ж) +...

г=1 7=1

. + (г;—к—2 + (п - к - 2)т;—к—3т2)Е*п—к—1)) + т;—к—1Е1

п—к—1^*(п—к) д

Подставим (8) в правую часть (5) вместе с неравенством, которое получается из (2):

0 + (1 - 0)Ф(!) < 0(1 + 2х) + (1 - 0) Ед ) Использовав (6), получим (7).

Неравенство (7) доказано □

Поскольку все суммы в (7) не превышают 1, то:

*(г) < О+(1 - О)рп(г) + 2*0(1 + Ед(г) + Е*2(г) +... + Е*п-1)(г)),

откуда получаем результат теоремы 2.3, потому что все слагаемые в скобках не превышают 1, а 1 + Е (г) + Е*2 (г) +... = 1 + дг. □

Утверждение замечания 2.2 можно получить интегрированием (3) и (1).

Литература

1. Калашников В.В. Оценка скорости сходимости в теореме Реньи // Проблемы устойчивости стохастических моделей. М., 1983. С. 48-51

2. Адомиан Дж. Стохастические системы; - , 1987. -241 с.

3. Мейер, П.А. Вероятность и потенциалы / Перевод с англ. В. И. Аркина и М. П. Ершова ; Под ред. А. Н. Ширяева. - Москва : Мир, 1973. - 334 с.

4. Drinea E., Enachescu M., Mitzenmacher M. Variations on random graph models for the web // Technical report, Harvard University, Department of Computer Science. — 2001.

5. А.Д. Соловьев, Аналитические методы расчета и оценки надежности. Вопросы математической теории надежности, «Радио и связь», Москва 1983, стр. 9-112

6. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 2(First Edition). Wiley, New York 1966, 704 p.

7. A. Ya. Khinchin, Warks on Mathemalical Queueing Theory, Fizmatgiz, Moscow, 1963