CC BY
60/ PHYSICS AND MATHEMATICS_68_
Балацкий Денис Викторович
Студент
Дальневосточный федеральный университет ИЗУЧЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Balatskiy Denis Viktorovich
Student
Far Eastern Federal University
THE STUDY OF PARAMETERS OF PLANETARY SATELLITES OF THE SOLAR SYSTEM
Аннотация
Проведено исследование параметров спутников планет солнечной системы и их орбит. На основании первого, второго, третьего закона Кеплера, а также правила Тициуса-Боде рассчитаны массы планет Солнечной системы, которые оказались соизмеримыми с табличными. Установлена независимость третьего закона Кеплера от массы планеты, закон выполняется и для малых небесных тел, таких как Плутон.
Abstract
The parameters of the satellites of the planets of the solar system and their orbits are studied. On the basis of the first, second, third Kepler's law, as well as the ticius-Bode rule, the masses of the planets of the Solar system were calculated, which were commensurate with the tabular ones. The independence of the third Kepler's law from the mass of the planet is established, the law is also fulfilled for small celestial bodies such as Pluto.
Ключевые слова: законы Кеплера, правило Тициуса-Боде, массы планет Солнечной системы. Keywords: Kepler's laws, ticius-Bode rule, the mass of the planets in the Solar system.
1.
Планеты Солнечной системы можно подразделить на две группы. 1 - планеты земного типа: Меркурий, Венера, система Земля - Луна и Марс, для которых характерны небольшие размеры и высокая плотность. 2 - планеты-гиганты: Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун. Особый случай - Плутон: физические параметры этого космического тела не позволяют отнести ее ни к одной из этих двух групп.
Планеты Солнечной системы, кроме Меркурия и Винеры, имеют спутники. Планеты-гиганты окружены множеством спутников, некоторые из которых превосходят по размерам Меркурий и этим напоминают уменьшенные модели Солнечной системы.
Солнечной системе осталось 8 планет. Решение было принято 24 августа 2006 года в Праге, на 26-й Ассамблее Международного астрономического союза. Теперь классической планетой считается небесное тело, которое обращается вокруг Солнца, имеет достаточную массу, форму, и т.д. Под это определение, по решению Ассамблеи, попадают Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.
Цель настоящей работы - попытаться доказать или опровергнуть принадлежность Плутона к классу планет при помощи третьего закона Кеплера (в обработке Исаака Ньютона) и правила Тициуса.
2. Теоретическое исследование законов Кеплера и правила Тициуса
Исторически сложилось так, что законы Кеплера (подобно началам термодинамики) пронумерованы не по хронологии их открытия, а в порядке их осмысления в научных кругах. Реально же первый закон был открыт в 1605 году (опубликован в 1609 году), второй - в 1602 году (опубликован в
Введение
1609 году), третий - в 1618 году (опубликован в 1619 году).
Первый закон Кеплера
Определение: Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце, рисунок 1:
Фокус
Рисунок 1.
Первый закон движения планет Кеплера
Т.о., первый закон Кеплера описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Эта траектория - эллипс. Эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек - фокусов -равна константе.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением:
где: С - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния);
Я- - большая полуось.
«c@yl@qyiym-j©yrmal»#2i26),2@19 / physics and mathematics
69
Величина С называется эксцентриситетом (степенью вытянутости) эллипса. При Ё = 0 эллипс превращается в окружность.
Эксцентриситеты эллипсов планет малы (кроме Плутона). Например, эксцентриситет орбиты Земли е=0,017.
Эксцентриситеты орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно - Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса.
Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов, астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Определение: Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади, т.е. площади SAH и ACD равны, если дуги АН и CD описаны планетой за одинаковые промежутки времени, рисунок 3. Но длины этих дуг, ограничивающих равные площади, различны: АН > CD. Следовательно, линейная скорость движения планеты неодинакова в разных точках ее орбиты. Скорость планеты при движении ее по орбите тем больше, чем ближе она к Солнцу.
Рисунок 2.
Второй закон движения планет Кеплера
Третий закон Кеплера
Определение: Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.
В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. Он говорит, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете.
Если большую полуось орбиты и звездный период обращения одной планеты обозначить через а\, Т\, а другой планеты через а2, Тг, то формула третьего закона будет такова:
Z?
7?
fll
(к
(2)
где:
Т и Т2- периоды обращения двух планет вокруг Солнца;
и - длины больших полуосей их орбит.
В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы его спросили, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы не ответил, но и сегодня, спустя века после его смерти, эти законы играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.
Правило Тициуса
Правило Тициуса - Боде звучит так: «Расстояния от планет Солнечной системы до Солнца возрастают согласно простому арифметическому правилу».
Таблица 2
Расстояния планет от Солнца (в астрономических единицах),
№ Название планеты Расстояние планеты от Солнца, согласно правилу Тициуса-Боде, а.е*. Реальное (среднее) расстояние планеты от Солнца, в а.е.
1 Меркурий 0,40 0,39
2 Венера 0,70 0,72
3 Земля 1,00 1,00 (по определению)
4 Марс 1,60 1,52
5 «недостающая планета» 2,80 -
6 Юпитер 5,20 5,20
7 Сатурн 10,0 9,50
8 Уран (открыт в 1781 году) 19,60 19,20
9 Нептун 38,8 30,1
10 Плутон 77,2 39,4
«c©yl©qyaym-j©yrmal»#2î2â),2@i9 / physics and mathematics
70
В 1766 году немецкий астроном и математик Иоганн Тициус выявил простую закономерность в нарастании радиусов околосолнечных орбит планет. Он начал с последовательности 0, 3, 6, 12, ..., в которой каждый следующий член образуется путем
удвоения предыдущего (начиная с 3; то есть 3 х 2П, где п = 0, 1, 2, 3, ...), затем добавил к каждому члену последовательности 4 и поделил полученные суммы на 10:
Таблица 3
Расчет расстояний планет от Солнца, согласно правилу Тициуса
Последовательность: 0 3 6 12 24 48 96 192 384 768
+4 4 7 10 16 28 52 100 196 388 772
/10 0,4 0,7 1 1,6 2,8 5,2 10 19,6 38,8 77,2
Совпадение прогноза с результатом действительно впечатляет, особенно если учесть, что открытый лишь в 1781 году Уран также вписался в предложенную Тициусом схему: по Тициусу - 19,6, фактически - 19,2 а.е.
Открытие Урана подогрело интерес к правилу Тициуса, прежде всего к таинственному провалу на удалении 2,8 а.е. от Солнца. Там, между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета - считали все.
3. Определение масс небесных тел
Законы Кеплера точно соблюдаются только тогда, когда рассматривают движение двух изолированных тел под влиянием их взаимного притяжения. В Солнечной системе планет много, все они не только притягиваются Солнцем, но и притягивают друг друга, поэтому их движения не в точности подчиняются законам Кеплера [1].
Отклонения от движения, которое происходило бы строго по законам Кеплера, называются
возмущениями [2]. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение каждой планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения других планет. Исключением является Юпитер, но, в рамках настоящей работы мы этот момент не рассматриваем.
Исаак Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура [3].
Ньютон доказал, что более точная формула третьего закона Кеплера такова:
7\2 М1+т1 _ af Г22 М2+т2 af
(3)
где: М\ и Л/2 - массы планет;
Ti-1 и 2 _ массы спутников этих планет.
Рассчитаем массу Плутона Дано:
24
М Земли (2) = 6-10 кг = 1
а Луны (2) = 384 402 км а Харона (1) = 19 700 км
Т Харона вокруг Плутона (1) 6 сут 9
ч 18 мин
Т Луны вокруг Земли (2) = 27 суток
19 часов
3,84 *105 км 1,97 *104 км
6,39 Д
27,79 Д
Решение:
Массами спутников можно пренебречь, т.к. они много меньше масс планет, и из (3), рабочая формула имеет вид:
TV Mi = -2Т\-1 T12a2
•M-,
4з
27,792 • (1,97 • 104)
->5N3
1
m1 = s ,
1 6,392 • (3,84 -105)3
М i = 0,00245 масс Земли
Ответ: М ПлутоНа = 0,00245 масс Земли
Таблица 1
Таблица масс планет Солнечной системы
Название планеты Масса в массах Земли
Меркурий 0,06
Венера 0,82
Земля 1,00
Марс 0,11
Юпитер 318
Сатурн 95,1
Уран 14,5
Нептун 17,3
Плутон 0,002
/ physics and mathematics
4. Заключение
Исключение, 24 августа 2006 года в Праге на 26-й Ассамблее Международного астрономического союза, Плутона из класса планет было обоснованным потому, что очень много подобных малых тел, и не могут они все называться планетами, в том числе и Плутон.
Решая задачи по нахождению масс всех планет Солнечной системы, имеющих спутники, в том числе и Плутона с помощью третьего закона Кеплера, мы получили значения, близкие к табличным, из чего можем сделать вывод, что с помощью третьего закона Кеплера нельзя ни доказать, ни опровергнуть принадлежность Плутона к классу небесных тел «планеты». Этот закон выполняется и для малых планет, таких как Плутон.
И
Литература
1. Гипотеза газопылевого облака [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://elementy.ru/trefil/21175/Gipoteza_gazopylevog o_oblaka
2. Законы Кеплера. Универсальная научно-популярная онлайн - энциклопедия «Кругосвет» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://krugosvet.ru/node/35134
3. Изображение планетарного ряда Солнечной системы [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://universetoday.com
