Законы движения планет Солнечной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.8

В.Н.Тарасов, Г.Н.Бояркин ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

Рассматриваются законы движения планет солнечной системы на основе математических знаний и законов

теоретической механики.

Законы движения планет Солнечной системы были открыты И. Кеплером до открытия Закона всемирного тяготения и фундаментальных законов механики. Поэтому методически целесообразно излагать законы движения планет Солнечной сис-

темы в курсах теоретической механики не в исторической последовательности их появления, а на основе современных законов механики.

В табл.1 приведен перечень планет, образующих Солнечную систему.

Характеристика планет Солнечной системы

Таблица 1

Планета Масса планеты, кг Экваториальный радиус, км Ускорение силы тяжести вблизи поверхности планеты, м/с2 Полное ускорение планеты в точках В,В1 траектории, м/с2

Солнце 1,99 Ю30 695500 273,98 -

1. Меркурий 3,30 10 23 2420 3,68 0,039533

2. Венера 4,87 10 24 6050 8,40 0,011329

3. Земля 5,98 1024 6378 9,81 0,005922

4. Марс 6,42 10 23 3390 3,72 0,0025494

5. Юпитер 1,90 ю" 71820 25,90 0,00021875

6. Сатурн 5,68 10 26 54600 9,54 0,00006508

7. Уран 8,71 1025 25350 9,04 0,0000160806

8. Нептун 1,03 10м 24800 11,00 0,000006553

9. Плутон 1,08 1024 6500 11,71 0,000003747

Все планеты обращаются вокруг Солнца по замкнутым эллиптическим траекториям в системе координат, связанной с Солнечной системой.

Начало инерциальной системы координат каждой планеты Солнечной системы помещают в центре О Солнца. Ось ОХ направляют через точку Р -перигелий, наиболее приближенную к Солнцу, находящуюся на конце большой полуоси эллипса (рис.1). Ось ОУ располагают в плоскости траектории планеты, а ось 02 перпендикулярна им и образует правую систему координат для наблюдателя, находящегося в Северном полушарии Земли.

Каждой планете Солнечной системы соответствует своя система координат, которая имеет соответствующую ориентацию относительно плоскости эклиптики и обозначается ОХ^У*-'^^ • гДе'" индекс системы координат, соответствующий номеру планеты в табл.1. На рис.1 показаны : точка А - афелий, наиболее удаленная от Солнца и точки В, В, на траектории планеты, находящиеся на концах малых полуосей эллипса.

Таким образом, для планет Солнечной систе-

мы имеется совокупность инерциальных систем отсчета неподвижных относительно друг друга. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковые и, следовательно, одинаковые все законы механики. Для всех планет Солнечной системы имеет место полная механическая эквивалентность явлений движения планет относительно Солнца. Каждая планета при взаимодействии с Солнцем рассматривается как изолированная система, т.е. взаимодействие планет между собой не учитывается [3].

Согласно первому закону Кеплера все планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Второй закон Кеплера в настоящее время является следствием теоремы об изменении кинетического момента точки. Третий закон Кеплера формулируется следующим образом. Квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит

ТЕННИЧЕСКИЕ НАУКИ

47

Закон всемирного тяготения сформулировал И.Ньютон [1, 2]

тхт2

^ = (2)

где Р - сила притяжения двух тел ; -гравитационная постоянная (/¿=6,673 10-и м3/кгс2); т1, тг - массы тел; [) - расстояние между телами. По закону (2) взаимодействуют два тела. В действительности Солнце одновременно взаимодействует со всеми телами Солнечной системы. Рассмотренная особенность закона (2) правомерна для планет Солнечной системы в связи с громадной массой Солнца по сравнению с массой других планет.

Из (2) следует, что гравитационные притяжения тел с малыми массами незначительны. Используя уравнение (2), определим ускорения падения тел вблизи поверхности планет Солнечной системы и Солнца.

Мысленно приблизим к поверхности планеты материальную точку массой 1 кг, тогда сила притяжения ее к планете будет ^ = \й1, а расстояние О равно радиусу Р планеты. Подставляя эти данные в (2), получим

где а, - ускорение силы тяжести вблизи поверхности планеты ; т - масса планеты.

В табл 1. по (3) вычислены значения ускорений

а; сил тяжести для Солнца и девяти планет Солнечной системы. Эти данные не учитывают собственного вращения планет. (Исходные данные о планетах взяты из Большой советской энциклопедии, 1976).

В точках А и Р на рис.2 показаны нормальные ускорения й"А, векторы которых совпадают с вектором силы тяготения в этих точках.

Из формулы (3) выразим гравитационную постоянную через параметры Солнца, подставив

ее в (2), получим векторную форму записи Закона всемирного тяготения

Я2

Р = (ае-^-)да или Р = /иаг, (4)

где ае - вектор ускорения силы тяжести вблизи поверхности Солнца ; Лс - радиус Солнца.

В формуле (4) выражение, заключенное в скобки, представляет собой вектор полного ускорения планеты как материальной точки при движении по траектории вокруг Солнца (см. рис.2)

К.

Из (4) можно определить силу тяготения 1 кг массы планеты к Солнцу

И2

Сила тяготения 1 кг массы планеты к Солнцу (Н) численно равна модулю полного ускорения планеты при обращении вокруг Солнца (м/с2).

В табл.1 по формуле (5) для точек В, В, вычислены значения силы тяготения 1 кг массы планеты к Солнцу, которые численно равны значению полного ускорения планеты в данных точках.

Таким образом, выполненные преобразования позволили привести Закон всемирного тяготения (2) к основному уравнению динамики точки (4).

Полное ускорение планеты для произвольной точки траектории можно представить в виде суммы векторов нормального и касательного ускорений

az = а" +af.

Из рис.2 следует, что в точках Р, А касательные ускорения планеты равны нулю, а в точках В, В1 касательные ускорения имеют равные численные значения, но разные знаки.

Движение планеты по траектории под действием центральной силы F можно описать теоремой об изменении момента количества движения материальной точки.

- M„(F). (6)

Момент центральной силы F относительно центра О Mo(F) = 0, поэтому момент количества движения планеты относительно центра Солнца является постоянной величиной

Lc = rxmV = const. (7)

где г - радиус вектор, направленный от центра Солнца к центру планеты; - вектор количества движения планеты.

Уравнение (7) отражает закон сохранения момента количества движения планет Солнечной

системы. Вектор L0, перпендикулярный векторам

г и т\, совпадает с осью Z (рис.3).

Учитывая, что масса m планеты в уравнении (7) постоянная величина, можно записать

г х V = const (8)

Выражение (8) является векторным интегралом дифференциального уравнения (6). Модуль векторного уравнения (8) можно записать в следующем виде

Мo(V) = Vh = const, (9)

где h - плечо вектора скорости планеты относительно центра Солнца (см. рис. 3).

Согласно закону (9) момент вектора скорости планеты относительно центра Солнца является постоянной величиной. Если в равенство (9) ввести элементарное время dt ■то получим

Vhdt = const ■ Учитывая, что Vdt ~dS * элементарная дуга траектории точки, можно получить

hds - Ida =const, (10)

где do - площадь элементарного треугольника, описанного радиус- вектором г за время dt движения точки М (см. рис.3).

Из равенства (10) можно получить

dcr 11Л,

—- = -Vh= const. dt 2

(11)

Планеты Солнечной системы перемещаются с постоянной секториальной скоростью, которую удобно вычислять для вершин эллипса траектории планеты.

После интегрирования уравнения (11) для разных точек траектории планеты можно получить закон секториальных площадей а = const, согласно которому радиус - вектор в любые равные промежутки времени ометает равные площади.

Для точек афелий и перигелий можно записать:

йА =

а, =

У)

(12)

где а

А >

Р ' ' Р - модули нормальных ускорений пла V, dSA А

Рис.3

неты в точках афелий и перигелий; р - 4 радиус кривизны траектории планеты в точках А, Р; VА , Ур - скорости планеты соответственно в точках А, Р.

Используя формулы (12), можно получить выражение

а

VI

рт. (13)

'р р

Нормальные ускорения планеты в точках афелий и перигелий пропорциональны квадратам скоростей планеты в этих точках. Запишем основное уравнение динамики для планеты в точке афелий

тЯА = F

Учитывая (2), получим

(15)

Аналогично для планеты в точке перигелий

а" =/ ^

D2 ' р

Из (15) и (16) можно получить

D

»У

(16)

(17)

Нормальные ускорения планет Солнечной системы в точках афелий и перигелий обратно пропорциональны квадратам расстояний от Солнца до планеты в этих точках. Основные геометрические параметры траектории планет приведены в табл. 2.

В точке В траектории планета имеет касательное и нормальное ускорения, которые показаны на рис. 2. Определим расстояние от планеты в точке В до Солнца

Ов=а = у1ь2+с ,

где а ,Ь ,с - соответственно большая, малая полуоси эллипса, половина межфокусного расстояния. Согласно [3]

sin а = — = е а

cosa

(18)

Составим основное уравнение динамики для планеты в точке В

Запишем проекции этого уравнения на касательную и нормаль, учитывая (18),

титв = Fe ; ma"B = W 1-е2 ■ Используя (2), можно получить

а; =

Лтсе

D2 •

а"»= '

Di

(19)

Таблица 2

Геометрические параметры траекторий планет Солнечной системы

Планета Расстояние от планеты до Солнца в точках, км Полуоси эллипса, км Эксцент-риси тет

афелий перигелий большая малая

Солнце — — — — —

1. Меркурий 69,8 10 6 45,97 10 е 57,9 10 6 56,658 10 6 0,206

2. Венера 108,917 10 6 107,403 10 6 108,16 10 6 108,157 10 6 0,007

В. Земля 152,1 10 6 147,1 10 6 149,6 10 6 149,58 10 6 0,0167

4. Марс 249 10 6 206,8 10 6 228 10 6 227,01 10 6 0,093

5. Юпитер 811,84 .10 6 744,9 10 6 778,369 10 6 777,65 10 6 0,043

6. Сатурн 1,507 10 9 1,347 10 9 1,42703 10 9 1,4248 10 9 0,056

7. Уран 3,006 ю9 2,736 10 9 2,87082 10 9 2,8676 10 9 0,047

8. Нептун 4,536 10 9 4,458 10 9 4,497 10 9 4,478 10 9 0,0086

9. Плутон 7,452 10 9 4,442 10 9 5,947 10 9 5,7535 10 9 0,253

Выражения (19) позволяют записать

а в = е

а; VTV'

(20)

Используя уравнение (5), учитывая (18), а также принимая во внимание, что Ов-а, можно получить проекцию силы притяжения 1 кг массы планеты к Солнцу на касательную к траектории в точке В

R

F;=lae-f-e. а

(21)

Выражение (21) дает численное значение касательного ускорения планеты в точке В

R

&B=&c-fe а

(22)

В табл.3 приведены значения касательных ускорений, вычисленных по формуле (22) для планет в точках В, В,.

В соответствии с рис. 2 и полученными уравнениями планеты Солнечной системы на участке РА имеют замедленное движение, а на участке АР -ускоренное движение. Пределы изменения скоро-

сти движения планеты менаду точками А и Р указаны в табл. 3. Многие планеты Солнечной системы имеют спутники. Любую планету можно условно считать спутником Солнца, т.к. Солнечная система вместе с Солнцем совершают инерциальное движение в межзвездном пространстве. Законы движения планет Солнечной системы справедливы для исследования движения спутников планет и искусственных спутников.

Рассмотрим движение Земли со спутником Луна вокруг Солнца. Земля и Луна могут рассматриваться как автономная механическая система. Центр масс системы 3-Л, находящийся на линии, соединяющей центры масс Земли и Луны, перемещается вокруг центра масс Солнца по эллиптической траектории.

Средняя скорость у обращения центра масс системы 3-Л вокруг Солнца за период времени Т равна

У =

2 пр

(23)

где р - средний радиус кривизны траектории центра масс системы 3-Л при движении вокруг Солнца.

Тогда среднее нормальное ускорение центра масс системы 3-Л можно вычислить

а" =

4 ж2 р

(24)

можно вычислить, используя закон (2)

тс{щ +тг)

Из (25), учитывая (24), (26), получим

/и =

4л2 рг Л Т2

(26)

(27)

Таким образом, массу Солнца по формуле (27) можно определить, используя параметры любой планеты из приведенных таблиц.

Учитывая, что масса спутника составляет ничтожную долю от массы планеты, относительно которой он вращается, средний радиус кривизны системы "планета-спутник" можно считать совпадающим со средним радиусом кривизны траектории планеты. Используя формулу (27) для двух планет Солнечной системы, можно получить

Т2

р\

(28)

Запишем основное уравнение динамики системы 3-Л для Кеплеровых условий средней скорости движения планеты

(/я, +т2)а" =/?, (25)

где /И], т2- соответственно масса Земли и Луны. Модуль силы тяготения системы 3-Л к Солнцу

Квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубам средних радиусов кривизны траекторий этих планет.

Использование формул (24), (26) связано с необходимостью вычислять средний радиус кривизны траекторий планет за период обращения их вокруг Солнца. По Кеплеру значение р принимается равным численному значению а большой полуоси эллипса. Тогда уравнение (28) совпадает с третьим законом Кеплера (1).

Таким образом, сделанный вывод показывает, что путем учета массы планеты и спутника не удается уточнить третий закон Кеплера, т.к. указанные

Таблица 3

Кинематические характеристики планет Солнечной системы

Пл а н е т а Скорость движения планеты в точках, к м /с Пе р и о д обра ще - НИ! вокруг Солнца, с у т. Касательные ускорения планеты в точках В, В .. , 1 м/с

афелий перигелий В,В ,

Солнце .. — — —

1. Ме р к у р н й 38,99 59,20 48,03 87,66 8143,7 10 ~6

2. В е н е р а 34,76 35,25 35,01 224,70 73,3 10 4

3. Э с мл« 29,30 30,29 29,79 365,26 98,89 10

4. Ма р с 21,78 26,22 23,89 694,00 237^097 10

5. Юл н т е р 12,52 13,64 13,07 4331,94 9,406 10

6. С а т у р н 9,12 10,20 9,64 10760,45 3.71098 10

7. Ур а н 6,49 7,13 6,80 30685,00 0.7558 10 "®

8. Не п т у н 5,34 5,44 5,41 60190,60 0.056359 10

9. Пл у т о н 3,65 6,12 4,73 91533,30 0,948 10

ТЕХНИЧЕСКИЕ НЯУКИ

51

массы присутствуют в левой и правой частях основного уравнения динамики движения системы "планета-спутник" относительно Солнца. Третий закон Кеплера удовлетворяется в "среднем", т.е. для интегральных параметров движения за период времени Т. Законы Кеплера позволяют определять массу Солнца и всех планет Солнечной системы.

Массу планет Солнечной системы можно вычислить по формуле, вытекающей из (27)

т =

An2 рг

Л Т2

(29)

В формуле (29) т - масса планеты; р, Т - параметры спутника планеты.

Масса Земли, найденная для примера по параметрам траектории движения первого искусственного спутника, отличается от табличного значения

УДК 669:539.2

на доли процента, что подтверждает высокую точность и универсальность законов движения планет Солнечной системы.

Литература

1. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. - М.: Наука, 1972. - 4.1. - 468 с.

2. Никитин H.H. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1990,- 607 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1988.-216 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974.-832 с.

07.09.98 г.

Тарасов Владимир Никитич - доктор, проф. тех-нич. наук, зав. кафедрой СибАДИ "Теоретическая механика".

Бояркин Геннадий Николаевич - канд. физ.-мат наук, проректор ОмГТУ по учебной работе.

А.В.Карасев

О СООТНОШЕНИИ КРИТЕРИЕВ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ

Работа содержит принципиально новый метод математической симуляции.

Современное состояние техники и одна из основных тенденций ее развития характеризуются увеличением мощности и размеров единичных агрегатов. Особенно наглядно это проявляется в энергетической,горнодобывающей отраслях, на транспорге.Такая тенденция обусловлена тем, что с ростом единичной мощности различных машин растут технико-экономические показатели. Увеличение абсолютных размеров различных деталей увеличивает опасность хрупкого разрушения вследствие возрастания вероятности появления в них трещин или подобных им дефектов. С другой стороны, высокая стоимость деталей приводит к тому, что допускается работа деталей с трещинами. Это означает, что в дополнение к традиционным расчетам необходимо оценивать возможность работы деталей с трещинами.

Для суждений о прочности деталей с трещинами в настоящее время используются однопарамет-рические критерии механики разрушения. Главными, используемыми для практических оценок, являются : коэффициент интенсивности напряжений КИН, раскрытие у вершины трещины РТ, энергетический критерий - и-интеграл.

Общий порядок оценки прочности деталей в механике разрушения остается принципиально таким же, как и при обычных расчетах на прочность, и складывается из двух элементов. Первый - расчетное определение выбранного критерия с учетом формы детали, формы и размеров трещины,

способа нагружения детали и уровня нагрузок. Второй - экспериментальное определение предельного значения выбранного критерия, превышение которого ведет к неконтролируемому росту трещины. Естественно, оба элемента должны быть максимально приближены к реальным условиям роста трещины в детали.

Современная механика разрушения различает три типа развития трещины: нормальное раскрытие, продольный сдвиг и поперечный сдвиг. Главное внимание уделяется первому типу раскрытия трещины как имеющему наибольшее практическое значение. Именно для этого типа роста трещины разработаны стандарты на испытания материалов.

Испытания образцов с трещинами для определения критического коэффициента интенсивности напряжений предполагают нагружение до разрушения образца, имеющего сквозную начальную трещину с записью диаграммы: нагрузка - длина трещины. При испытаниях "тонких" образцов в зоне роста трещины имеет место плоское напряженное состояние и разрушение срезом. При испытаниях "широких" образцов в основной массе разрушающегося материала имеет место плоское деформированное состояние и разрушение отрывом. В реальных условиях эксплуатации деталей часто развитие трещины происходит таким образом, что имеют место оба механизма разрушения. Это обстоятельство, в сочетании с комбинированным нагружением, при котором действуют одновремен-