Изоморфизмы стабильных линейных групп над ассоциативными кольцами, содержащими 1/2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643

ИЗОМОРФИЗМЫ СТАБИЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП НАД АССОЦИАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ±

А. С. Аткарская1

Рассматриваются стабильные линейные группы над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими Описывается действие изоморфизма между стабильными группами на элементарной подгруппе.

Ключевые слова: стабильная линейная группа, ассоциативное кольцо, изоморфизм.

Stable linear groups over arbitrary assosiative rings with \ are considered. The action of an isomorphism between these groups on the elementary stable subgroup is described.

Key words: stable linear group, assosiative ring, isomorphism.

1. Введение. Изучение автоморфизмов линейных групп началось с работы О. Шрайера и Б.Л. Ван-дер-Вардена fl], в которой были описаны автоморфизмы группы PSLn, n ^ 3, над произвольным полем. Затем Ж. А. Э. Дьёдонне [2] и Ч. Э. Риккартом [3] были описаны автоморфизмы группы GL n, n ^ 3, над телом при помощи введенного ими метода инволюций, используемого в дальнейшем многими авторами для исследования изоморфизмов классических групп. С помощью метода инволюций Янь Щицзянем [4] были описаны автоморфизмы группы E n(R), n ^ 3, где R — область целостности характеристики = 2.

В 1983 г. А. В. Михалевым и И.З. Голубчиком [5] было дано описание изоморфизмов полных линейных групп GL n(R) в случае, когда ассоциативное кольцо R содержит обратимый элемент 2 (также с использованием метода инволюций). Другим способом этот результат был доказан Е. И. Зельмановым в работе [6]. Затем И.З. Голубчиком [7] данное описание было продолжено на случай линейных групп над ассоциативными кольцами без

Представляет интерес изучение изоморфизмов не только классических линейных групп, но и групп автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. В работе [8] Е. И. Буниной дано описание изоморфизмов групп автоморфизмов свободных модулей над ассоциативными кольцами с В настоящей работе описаны изоморфизмы стабильных линейных групп над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими

R

определения взяты из книги [9].

Обозначим через Mat (R) матрицы со счетным числом строк и столбцов, такие, что в каждом столбце содержится лишь конечное число ненулевых элементов (кольцо эндоморфизмов свободного модуля V = R

Назовем Mat o(R) подкольцо в кольце Mat(R), состоящее из матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер n, что для любого i ^ n элементы матрицы тц = а, а Е R.

Пусть A Е GLn(R). Мы отождествим A с элементом из Mat oo(R) п0 следующему правилу: матрицу A запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (n, n) на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0. Сохраним обозначение GL n(R) для получившихся подмножеств Mat o(R).

Подгруппу GL n(R), порожденную матрицами 1+reij, i = j,r Е R, будем обозначать E n(R) и называть подгруппой элементарных матриц. Аналогично группам GL n(R) в Mat o(R) можно вложить подгруппы элементарных матриц E n(R).

Определение. Введем группу GL (R) = |J GLn(R) (GLn(R) С Mat o(R)). Назовем ее стабильной

n^l

линейной группой. Также введем группу E(R) = (J En(R) (En(R) С Mat o(R)). Назовем ее стабильной

n^l

элементарной группой.

Назовем FMat (R) подкольцо кольца Mat o(R), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов.

Подмножество {eij}, i,j Е N кольцa Mat (R) называется системой матричных единиц, если eijest = $jseit (¿js — символ Кронекера). Матрицы 1 — eii — ejj + eij + eji будем называть матрицами перестановок и обозначать sij.

Пусть I — идем кольца R; E(R, I) — подгруппа группы GL (R), порожденная матрицами 1 + \ej, где Л Е I, i = j Е N GL (R, I) — ядро канонического гомоморфизма pI : GL (R) ^ GL(R/I). Пусть, кроме того, [A,B] = A-1B-1AB.

Аткарская Агата Сергеевна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: atkarskaya.agathaQgmail.com.

Если D С Mat (R), то через (D) будем обозначать кольцо, полученное путем сложения, умножения и взятия обратных элементов (в случае их существования).

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. Пусть R и S — ассоциативные кольца с (р : GL (R) —>■ GL (S) — изоморфизм групп. Тогда, существуют центральные идемпотенты h и e колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм 91 : h(GL(R)) ^ e(GL (S)) и кольцевой антиизоморфизм в2 : (1 — h)(GL(R)) ^ (1 — e)(GL(S)); т,акие, что

<p(A)= di(hA) + 02((1 — h)A-1)

для всех A E E (R).

3. Вспомогательные утверждения. Лемма 1. Пусть R — ассоциативное кольцо с М и N — нормальные подгруппы, в GL(R) такие, что M П N = {1} и MN = GL(R). Тогда, найдутся идеалы, I,J < R, такие, что R = I ф J и M = GL (R, I),N = GL (R, J).

Утверждение леммы легко может быть получено из следующей теоремы.

Теорема 2 [9, с. 43]. Пусть H — подгруппа GL (R) нормализуемая E(R). Тогда, существует однозначно определенный идеал I < R, такой, что E(R,I) С H С GL (R, I). Более того, всякая подгруппа,

GL (R)

Предложение 1. Пусть R, S — ассоциативные кольца с (р : GL (R) —>■ GL (S) — изоморфизм групп, {eij | i,j ^ 1} — стандартная система матричных единиц. Тогда, существует такая полная, система матричных единиц {fij | i,j ^ 1} кольцa, Mat (S) что p(1 — 2eii) = 1 — 2fii.

Доказательство. Положим p(1 — 2eii) = 1 — 2^, а 1 — 2e = p-1(1 — 2fuf22). Так как 1 — 2fii коммутирует с 1 — 2fnf22, то 1 — 2e коммутирует с 1 — 2eii, следовательно, 1 — 2e является диагональной матрицей. Также легко видеть, что [1 — 2e, Sj] = 1,i,j ^ 3, и 1 — 2e коммутирует со всеми диагональными матрицами из GL (R).

Если a обладает свойством a(1 — 2e11 )a-1 = 1 — 2e22,a(1 — 2e22)a-1 = 1 — 2e11 ^o a(1 — 2e)a-1 = ^-1(^(a)(1 — 2fnf22Ma)-1) = p-1 (1 — 2f 11 f22) = 1 — 2e. Следовательно, [1 — 2e,S12] = 1.

Воспользовавшись полученными соотношениями и определением группы GL (R), мы приходим к соотношению

1 — 2e = diag [е, е, 1,1,...],е2 = 1. (1)

Положим е = 1 — 2e^. Тогдa e2 = e1 и элемент e1 коммутирует со всеми обратимыми элементами кольца R e1

Положим M = p(GL(R,e1 R)),N = p(GL (R, (1 — e1)R)^ Так как GL (R) = GL(R,e1 R)GL(R, (1 — e1)R^, то ^o лемме 1 найдутся такие I, J < S, что S = Iф J, M = GL (S, I),N = GL (S, J). Тогда мы можем положить Mat (I) = (1 — g)Mat (S), Mat (J) = gMat (S), где q — центральный идемпотент кольца Mat (S).

Положим 1 — 2f11f22 = a + b, вде a E Mat(I),b E Mat (J). Тогда с помощью (1) получаем, что a(1 — 2fn)(1 — 2f22) — центральный элемент Mat (I), & b — центральный элемент Mat (J). Также (1 — 2fnf22)2 = 1) следовательно, a2 = b2 = 1. To есть a(1 — 2fn)(1 — 2f22^ b являются инволюциями колец Mat (I) Mat (J)

b = q — 2q1, a(1 — 2fn)(1 — 2f22) = 1 — q — 2q2,

q1 q2

Покажем, что q1 = 0, a q2 = 1 — q. Имеем

1 — 2fnf22 = a + b = (1 — q — 2q2)(1 — 2fn)(1 — 2f22) + (q — 2q1). (2)

Умножив равенство (2) на q1 и проведя несложные преобразования, получаем q1 = q1fn- Аналогично выводим q1 = q1f22. Отсюда следует, что q1(1 — 2f11)(1 — 2f22) = q1; значит,

q1p(1 — 2en — 2e22 ) = q1. (3)

Нормальная подгруппа группы GL (R), ^^^^^^^^тая матрицей 1 — 2ец — 2e2^, подгрvnnv E(R).

Учитывая равенство (3), получаем, что p(E (R)) С GL (S, (1 — q1)S)). По лемме 1 имеем p-1(GL (S, q1S)) = GL (R, I1), I1 <R, а с учетом предыдущего включения p-1(GL (S, q1 S))nE (R) = {1} Следовательно, I1 = 0 и q1S = 0 значит, q1 = 0.

Умножив равенство (2) на q3 = 1 — q1 — q^, ^^^^^^^тао получаем q^p-1(1 — 2ец — 2e22) = q3. А это в свою очередь влечет (так же, как раньше) q-3 = 0, т.е. q2 = 1 — q.

Итак, мы имеем, учитывая (2), что 1 — 2fnf22 = a + b = —(1 — q)(1 — 2f22)(1 — 2f22) + q- Матрицы 1 — 2fnf22 и (1 — 2f22)(1 — 2f22) элементами стабильной группы GL (S), значит, 2q — 1 = 1, откуда

q = 1. То есть видим, что /11/22 = 0. Сопрягая последнее равенство образами соответствующих матриц Sij, получаем /ii/jj = 0 для i = ./.Следователь но, {/и | i ^ 1} — система сопряженных между собой ортогональных идемпотентов. Тогда ее можно дополнить до системы матричных единиц {/j | i,j ^ 1} кольца Mat (S). Предложение доказано.

Отметим два свойства построенной системы матричных единиц.

Свойство 1. Для любого элемента A Е GL (S) найдется п (зависящее от A), такое, что A комму-k k тирует с ^ /ii и v-1 (A) коммутирует с Y1 eii пРи всех к ^ п.

i=1 i=1 Доказательство следует из равенства

/ k \ k / k \ v(diag [-1, -1,..., -1,1,... ]) = v П(1 - 2eii) = П(1 " 2/ii) = 1 - 2 ПТ /й\

\i=1 J i=1 Vi=1 J

(-1 повторяется на диагонали матрицы ровно к раз).

Свойство 2. Для любого элемента, A е GL (S) найдет,ся, п (зависящее от, A), такое, что A коммутирует со всем,и /ц и v-1(A)eii = eiiv-1(A) = eii при i ^ п. Легко доказывается следующая

Лемма 2. Пусть {/j | i,j ^ 1} — система матричных единиц из предложения 1. Тогда, если A е GL (S) коммутирует со всем,и /ij, то A = 1.

Лемма 3. Пусть {/ij | i,j ^ 1} — система матричных единиц из предложения 1. Пусть S1 = /11 Mat oo(S)/11 = /11Mat (S)/n. Если a — центральный элемент кольца, S, то можно определить отображение а : (E (S), a ■ 1) ^ Mat (S1) со следующими свойствами:

1) а — инпективный кольцевой гомом,орфизм,;

2) а((Е (S))) = (E (S1)), a(GL (S)) = GL (S1), a(FMat (S)) = FMat (S1);

3) если e' — центральный идем,пот,ен,т кольца, S1; то найдется e — центральный идемпотент кольца, S, такой, ч,т,о a(e(E(S))) = e'(E(S1)) (элемент e выступает в качестве центрального элемента a при определении отображения а).

Доказательство. Так как a Е Z (S), то a ■ 1 коммутирует со в семи /ii,i ^ 1. Следовательно, по свойству 2 системы {/ij} для любого A Е (E(S),a ■ 1) существует П1, такое, что A коммутирует со всеми /ц при i ^ пь В ^^^у ^^^^ства 1 системы {/ij} для любого A Е (E(S),a ■ 1) существует П2,

k

такое, что A коммутирует со всеми ^ /ц при к ^ п^. ^усть A = (aj) — произвольный элемент из

i=1

(E (S), a ■ 1). Определим отображение а по правилу a(A) = (/иA/j 1). В силу доказанного выше получаем, что (/1iA/j1) Е Mat (S1), и построенное отображение а является гомоморфизмом колец.

а

отмеченных выше свойств системы матричных единиц {/ij | i,j ^ 1}.

Далее под матричной записью элементов из (E(S)) мы будем подразумевать запись их образов при а

элемента aj из /11Mat (S)/n, ^^^^^^го на месте (i,jравен /i1aij/1j. Для сокращения записи мы будем обозначать такой элемент через aj /ij.

4. Доказательство основной теоремы. Пункт 1. Пусть {/ij} — система матричных единиц из предложения 1. Пусть {e'ü} — такая система матричных единиц {ej} кольца Mat (Я), что en = e'ü для i ^ 3. Покажем, что

V(1 - 2eii) = 1 + x, x Е (/11 + /22)Mat (S)(/n + /22), i = 1,2.

Несложно проверить, что для системы матричных единиц {eij} выполнено предложение 1. По предложению 1 имеем v(1 -2e'ü) = 1 -2/i, причем /i = /ц при i ^ 3. Элементы v(1 -2e'ü), i = 1, 2, коммутируют с /jj, j ^ 3, тогда а(р(1 - 2e'ii)), i = 1,2, коммутируют с а(/jj),j ^ 3. ^^^^да етедует, что а(р(1 - 2e'ii)), i = 1, 2, коммутируют с а(/11 + /22), то тогда v(1 - 2e'ii), i = 1, 2, также коммутируют с / = /11 + /22. Значит, v(1 - 2e'ii) = 1 + ei + di ,ei Е / Mat (S)/, di Е (1 - / )Mat (S )(1 - /). В силу этого получаем, что di, i = 1,2, коммутирует со всеми /jj при j ^ 3. Следовательно, di — diag [0, 0, а1, а2,... ].

С другой стороны, (v(1 - 2e'ii) - 1)(v(1 - 2ejj) - 1) = 2/'i2/jj = 0. Значит, di/jj = /jjdi = 0 для всех j ^ 3 i = 1, 2. Но тогда, воспользовавшись полученным диагональным видом элемента di, получаем, что di = 0. Пункт 1 доказан.

/ij

v(sij) = 1 /ii ,fjj + ,fij + /ji.

Рассмотрим систему матричных единиц е'п = ^(ец + е22 — £12 ~ ^21)^22 = l(en + е22 + ei2 + e2i),e^ = en,i ^ 3. Тогда в силу п. 1 имеем

p(1 — 2e'n) = p(s12) = 1 = fn — f22 + anfn + a22 f22 + av2fv2 + a21 f21. (4)

Так как S12(1 — 2ец) = (1 — 2e22)s12, то p(s^)(1 — 2fn) = (1 — 2f22)p(s12), следовательно, an = a22 = 0. А поскольку s22 = 1, то a21 = a-21. Сопрягая равенство (4) образами матриц s1i и s2j, мы можем получить аналогичное представление для всех матриц p(sj). В частности, при j = i + 1 имеем p(si,i+1) = 1 — fa —

fi+1,i+1 + aifi,i+1 + a- 1fi+1,i.

Положим C = diag [c1, c2,...], где c1 = 1,ci+1 = a-1 ...a-1, fj = a-1(Ca(fij )C-1). Тогда легко видеть, что Дт = aifi,i+1,fli = fii. Следовательно, p(si,i+1) = 1 — f'ii — fi+1,i+1 + fi,i+1 + fi+l,i, откУДа p(sij) = 1 — fn — fjj + fij + fjij так как любую транспозицию можно представить в виде произведения транспозиций вида (i,i + 1). Пункт 2 доказан.

Далее всюду в качестве матричных единиц {fij} мы будем рассматривать матричные единицы, полученные в п. 2.

Пункт 3. Докажем, что

p(1 + reij ) = 1 + br f 12 + Cr f21. (5)

Положим e'ij = (1 + ^rei2)ey(l — \re 12), тогда {e^} — система матричных единиц, такая, что ец = е'и при i ^ 3. Значит, в силу п. 1 мы получаем, что p(1 — 2e'n) = p(1 — 2ец + re12) = 1 + x,x E (fn + f22)Mat (S)(f11 + f22). Следовательно,

p(1 + re12) = p((1 — 2e'n )(1 — 2en)) = (1 + x)(1 — 2fn) = 1 — fn — f22 + ar fn + br Ь + Cr f21 + dr f22.

Так как s23(1 + re12)s23 = 1 + re13, то p(1 + ге1з) = 1 = fn — f33 + ar fn + br Дз + Cr f31 + dr f33- Аналогично поскольку s12(1 + re13)s12 = 1 + re23,TO p(1 + re23) = 1 — f'22 — f'33 + ar/22 + br/23 + Crf'32 + dr/33. Далее

(ar br 0\ /as 0 bs\ ias 0 bs\ /ar br 0^ cr dr 0 1 I 0 10 I = I 0 10 I I cr dr 0

0 0V \Cs 0 dj \cs 0 dj \0 0 1,

Приравнивая элементы на соответствующих местах, мы видим, что

br = asbr, cr = cras, crbs = 0 для всех r,s E R. (6)

Аналогично из (1 + re13)(1 + se23) = (1 + se23)(1 + re13) получаем

br = brds, cr = dscr, bscr = 0 для всех r,s E R. (7)

Имеем (1 + re12 )-1 = 1 — re12 = (1 — 2ец )(1 + re12)(1 — 2ец ^^чи т, p(1 — re^) = 1 — fn — f'22 + ar fn — brf12 — crf21 + drf22. Из соотношений (1 + re12)(1 — re12) = 1, (6) и (7) следует, что a^ = d^ = 1.

Имеем равенство 1 + re13 = [1 + re12,1 + e23], откуда, применив отображение p, выводим ar = 1 — bra1cr,dr = 1 — c1drbn Учитывая соотношения (6), (7), получаем 1 — a2 — ar br a 1 Cr ar = ar — br a1Cr. Следовательно, ar = 1 + bra1 Cr и ar = 1. Аналогично получаем равенство dr = 1. Пункт 3 доказан. Пункт 4- Покажем, что b1 = ^ и br = b1br = brb1.

Выполнено равенство 1 + e13 = [1 + e12, 1 + e23]. Применим к нему отобр ажение p и получим, что

b1 = b1,C2 = —C1.

Подставив в соотношение p(1 + re13) = [p(1 + re12),p(1 + e23)] элементы ar = a1 = 1,dr = d1 = 1, получим br = brb^ Анадогично из равенства 1 + re13 = [1 + e12,1 + re23] выводим br = b1 br. Пункт 4 доказан.

Рассмотрим элемент e' = diag [b1 ,b1,... ] и элементы ek = diag [b1 ,...,b1,0,... ], где b1 повторяется на диагонали к раз. Тогда элемент 1—2ek содержится в GL (S1), S1 = f11Mat (S)f11. В силу перестановочности с элементом 1 — 2eii и с соответствую щими stj элемен т p-1 о а-1(1 — 2ek) имеет вид diag [ak,. ..,ak, 1,... ], где ak повторяется на диагонали к раз. Из полученного описания элементов p(1 + re12) следует, что p-1 о a-1(1 — 2ek) коммутирует с матрицей 1 + re12 для всех r E R при к ^ 2. Значит, ak E Z(R), а из этого в свою очередь получаем, что e' — центральный идемпотент кольца Mat (S1).

Имеем Mat (S1) = e'Mat (S1) ф (1 — e')Mat (S1) Определим отображения в3 : R ^ b1f11Mat (S)f11 b1 и в4 : R ^ (1 — b1)f11 Mat(S)f11 (1 — b1) то правилу e3(r) = br,e4(r) = —Cr. Легко видеть, что в3 — гомоморфизм колец, а в4 — антигомоморфизм колец, причем в силу равенства (5)

p(1 + reij) = 1 + e3(r)fij — в 4(f) fji. (8)

Определим 01 : (GL (R)) — e'(GL (S^) и 02 : (GL (R)) — (1 — e1)(GL (Si)) по правилу

(0i(A))j = 03(atj), 0(A))ij = в4(а]г).

Тогда 0i — гомоморфизм колец, 02 — антигомоморфизм колец. Также, согласно (8), имеем a(p(A)) = в1(Л) + 02 (A"1) для ВС ex A е e(r).

В силу леммы 2 найдется e — центральный идемпотент кольца Mat (S), такой, что a(e(GL (S))) = e'(GL(S1 )). Отсюда следует, что а((1 — e)(GL(S))) = (1 — e1 )(GL (S^). Тогда отображения а-1 о в1 : (GL (R)) — e(GL (S)),а-1 о 02 : (GL(R)) — (1 — e)(GL(S)) также будут являться кольцевыми гомоморфизмом и антигомоморфизмом соответственно. Эти отображения мы также будем называть 01 и 02 соответственно. Тогда будет выполнено равенство p(A) = 01(A) + 02(A-1) для всех A е E (R).

Пусть I, J — идеалы в S, такие, что Mat (I) = eMat (S), Mat (J) = (1 — e)Mat (S). Тогдa I ® J = S. Положим M1 = p-1 (GL (S, I)),N1 = p-1 (GL (S, J). По лемме 1 получаем M1 = GL(R,^R),N1 = GL (R, (1 — h)R), гдe h — центральный идемпотент кольца R.

Согласно (8), h(GL (R)) С ker 02, (1—h)(GL (R)) С ker 01, a в силу того, что p — изоморфизм, получаем ker 01 П ker 02 = {0}. Следовательно, ker 01 = (1 — h)(GL (R)), ker 02 = h(GLR)), т.е. 01 : h(GL (R)) — e(GL (S)), 02 : (1 — h)(GL(R)) — (1 — e)(GL(S)) — инъективные отображения. Проводя аналогичные рассуждения для отображения p-1, получаем, что 01,02 сюръективны, т.е. являются изоморфизмом и антиизоморфизмом колец соответственно. Теорема доказана.

Полученные при описании изоморфизма стабильных групп кольцевые изоморфизм и антиизоморфизм могут быть сами описаны при помощи основного результата работы [10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Schreier О., van der Waerden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. 6. 303-322.

2. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups // Mem. Amer. Math. Soc. 1951. 2. 1-195.

3. Rickart C.E. Isomorphic group of linear transformations, I // Amer. J. Math. 1950. 72. 451-464.

4. Shi-jian Yan. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. 7, N 2. 163-179.

5. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1983. № 3. 61-72.

6. Зельманов Е.И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом // Сиб. матем. журн. 1985. 26, № 4. 49-67.

7. Голубчик И.З. Линейные группы над ассоциативными кольцами: Докт. дис. Уфа, 1997.

8. Бунина Е.И. Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур: Докт. дис. М., 2010.

9. Hahn A. J., O'Meara О. Т. The Classical Groups and K-theory. Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1989.

10. Abrams G. Infinite matrix types which determine Morita equivalence // Arch. Math. 1986. 46, N I. 33-37.

Поступила в редакцию 25.03.2013

УДК 517.98

АДДИТИВНОСТЬ ГОМОЛОГИЧЕСКИХ РАЗМЕРНОСТЕЙ ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

С. Б. Табалдыев1

Доказано, что если А = С(П), где ^ — бесконечный метризуемый компакт, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто, то для любой унитальной банаховой алгебры В глобальные размерности и биразмерности банаховых алгебр А (8> В и В связаны равенствами dg А ( В = 2 + dg В и db А ( В = 2 + db В. Тем самым получено частичное расширение одного результата Ю.В. Селиванова.

1 Табалдыев Сейте к Болотбекович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики ФН-1 МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: seytekQgmail.com.