Изоклины двумерной модели загрязнения атмосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ и прогнозные пространственные расчеты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изоклины двумерной модели загрязнения атмосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ и прогнозные пространственные расчеты

о ы

а

а

«

а б

Жданок Александр Иванович

доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, главный научный сотрудник Тувинского института комплексного освоения природных ресурсов СО РАН, zhdanok@inbox.ru

Ивирсина Нина Борисовна

преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, ivirsinanb@mail.ru

Хурума Анна Кыс-ооловна

старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, huruma@list.ru

Аюнова Ольга Дмитриевна

научный сотрудник Тувинского института комплексного освоения природных ресурсов СО РАН, ajunova@inbox.ru

В работе изучаются некоторые вопросы математического моделирования процесса загрязнения атмосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ в зимний отопительный сезон. Продолжена идентификация двумерной модели распространения загрязняющих веществ для ряда новых поллютантов. Построено Эй-графическое изображение поверхностей значений модельных функций распределения концентрации загрязняющих веществ. При этом были использованы экспериментальные данные о загрязнении снежного покрова в сезон 2015-2016 года. Приведена карта с точками отбора проб снега и фото с общим видов загрязнения города. Решены трансцендентные уравнения, позволяющие найти и графически построить на плоскости изоклины, т.е. линии равного уровня концентрации загрязняющих веществ. Показана методика произведения расчетов по прогнозному нахождению ожидаемых уровней загрязнения в произвольных точках на карте г. Кызыла.

Ключевые слова: математическое моделирование, загрязнение снежного покрова, загрязнение атмосферы техногенными источниками дыма, двумерные модели, идентификация моделей, изоклины, прогнозные расчеты.

Работа Республики р_сибирь_а)

выполнена Тыва

при финансовой поддержке РФФИ и (проект № 15-41-04314 РФФИ_

Введение

В настоящей работе продолжается многоплановое исследование процесса загрязнения атмосферы г. Кызыла дымом Кызылской ТЭЦ в зимний отопительный период и его математическое моделирование. Общее описание проблемы загрязнения атмосферы г. Кызыла и история математического моделирования явления изложены, например, в работе авторов [1].

В [1] изучаются три модельных функции концентрации загрязняющих веществ (ЗВ), задаваемые на пяти выбранных направлениях распространения дыма из трубы Кызылской ТЭЦ. Концентрация ЗВ определяется по их содержанию в пробах снега на подстилающей атмосферу поверхности г. Кызыла и его окрестностей.

Первые две модели, изучаемые в [1] и в ряде предыдущих работ авторов, являются одномерными. Они нам сейчас будут нужны для сравнения с двумерными модельными функциями. Поэтому, мы здесь повторим их задание из нашей предыдущей работы [1].

Обозначим символом х,х > 0, расстояние от исследуемой точки до трубы ТЭЦ в км., символом С - концентрацию конкретного ЗВ в данной точке в миллиграммах на один литр талой воды в пробе снега. Символами а и Ь , а > 0, Ь > 0 , обозначим некоторые физические числовые параметры модели, природа которых нам сейчас не важна (как и обычно в математических моделях).

Первая модель - это функция экспоненциального вида:

С = /1 (х) = а • ехр(-Ь • х) = а • е-Ьх.

Вторая модель - это функция нормального (гауссового) вида:

С = /2(х) = а• ехр(-Ь • х2) = а• е~Ьх .

Понятно, что параметры а и Ь в каждой

функции свои. При этом параметры а и Ь будут различными для одного и того же вида функции, если она задается в различных направлениях, задаваемых некоторым углом р (см. ниже). Таким образом, условно можно считать, что семейство всех функций одного вида при различных р , а и Ь является сборной двумерной моделью.

«Настоящая» двумерная модель загрязнения экосферы Кызыла дымом ТЭЦ была разработана одним из соавторов настоящей статьи на базе моделей Г.И.Марчука [2] и опубликована в [3]. Приведем ее итоговые формулы.

На поверхности г. Кызыла, т.е. на плоскости, мы задаем две перпендикулярные координатные оси с центром в точке трубы ТЭЦ: ось ОХ направлена от ТЭЦ в направлении господствующего ветра в зимний сезон на Запад-Юго-Запад (ЗЮЗ), перпендикулярная к ней ось ОY направлена от ТЭЦ на Юго-Восток-Юг (ЮВЮ). Теперь любая точка на плоскости, в т.ч. точки взятия проб снега, имеют две координаты (х,у), а соответствующий вектор г = (х,у) имеет дли-

ну |r| = tJx2 + у2 . Эта длина и дает нам расстояние от центра (0,0) , т.е. от ТЭЦ, до двумерной точки (x, у).

Обозначим через C = f3(x,у) концентрацию конкретного ЗВ (в мг на литр талой воды) в точке (x, у) . Тогда, как показывается в работе [3], модельная двумерная функция распределения ЗВ имеет следующий вид:

ОС I I

с = л (x, у) = Лз (r) = -F=r exp(-^ • r • (1 - cos p)),

где р - это угол между осью ОХ и вектором

Г , отсчитываемый на координатной плоскости против часовой стрелки, а и / - некоторые

числовые параметры. Так же, как и |г| , совф может быть найден по формуле:

cos p=yr = r

V2 , 2 x + у

Если параметр / оказывается равным нулю или угол р = о, что происходит в некоторых случаях, то формула для функции /3( х, у) приобретает следующий вид:

(X

С = /з( х, у) = /з(г) =

В работе [1] двумерная функция распределения ЗВ /3(х, у) используется лишь по ее «срезам»

по заданным пяти направлениям, т.е. там изучались ее одномерные проекции на плоскость.

После идентификации параметров всех трех модельных функций на базе экспериментальных данных (проб снега) 2016 года в [1] представлены графики функций по заданным направлениям. В пакете программ STATISTICA эти идентифицированные функции строятся методом наименьших квадратов как одномерные (парные) уравнения регрессии.

1. Построение Зй-поверхностей значений двумерных моделей

В настоящей работе мы, по сравнению с работой [1], усложняем задачу, и строим уже трехмерную 3D-поверхность уровней значений двумерных функций распределения загрязняющих веществ С = /3(х,у). По-прежнему используем пакет программ STATISTICA для построения двумерных (множественных) уравнений регрессии соответствующих функций С = /3(х,у),

на базе данных о загрязнении снежного покрова в сезон 2015- 2016 года.

Предварительно такие расчеты и соответствующие зD-графики были выполнены нами для поллютантов Марганца и Кадмия и анонсированы в публикациях [4] и [5] соответственно.

Теперь в этой новой работе мы представляем результаты расчетов и построений 3D-графиков распространения загрязнений по четырем загрязняющим веществам, химическим элементам - Мышьяк, Железо, Медь, а также с повтором Марганца, чтобы провести для него изоклины.

Двумерные функции распределения здесь идентифицируются не по всему массиву экспериментальных данных 2016 года, а лишь по некоторым отобранным 54 точкам сбора проб снега по методике, изложенной и обоснованной в [1].

Марганец

Представляем компьютерный программных расчетов:

интерфейс

Медаль: c10=afsqrt(sqrt(x"2+/l2))*exp(-b*sqn(K,,2+y"2r(1-[x' Зав. Пер.: сЮ

Уров. значимости: 95.0% (альфа~0.050)_

Оценка Стандарт t-знэч. _ошиб. к - 52

р-знач. Ниж.Дсв Вер f Прея

0,876371 0,106825 S.203B06 0.000000 0:662011 1,090 0.043704 0,032167 1,358660 0.180119 -0.020844 0.10В

(двумерная моден ь.$1а)

Результат идентификации:

0 876371

С = f3 (r) = ' exp(-0.043704 • Irl • (1 - cos p))

Рис. 1. Эй- графическая поверхность распределения концентрации по двумерной модели для Марганца

О R

I»

£

55 т П

x

x

ы

а

s

а б

Рис. 2. Изоклины двумерной модели для Марганца.

Мышьяк

Представляем компьютерный интерфейс программных расчетов:

Модель: с7=а^|1^г1(хЛ2+уЛ2 Зав, Пер. : с7 Уров. значимости: 95.0% ( альс ))*exp(-b*sqrt(x'l2+y'l2)*(1-(x*( |эа=0.050)

Оценка Стандарт t-знач. ошиб, сс = 52 р-знач. Ниж. Дов Предел Вер. Í Пред

а 0,460729 0,063833 7,217705 0,000000 0,332638 0,588

Ь 0,345015 0,149077 2,314336 0,024633 0,045870 0,644

Результат идентификации:

С = /3(г) = °'46,°729ехр(-0.345015 • |г| • (1 - оо8^))

Рис. 3. 30- графическая поверхность распределения концентрации по двумерной модели для Мышьяка

Железо

Представляем компьютерный интерфейс программных расчетов:

Модель: c5=a/sqrt(sqrt(xA2+yA2))*exp(-b*sqrt(xA2+yA2)*(1-(x*( Зав. Пер. : с5 Уроа значимости: 95 0% ( альфа=0 050)

Оценка Стандарт ошиб. t-знач. сс = 52 р-энач. Ниж. Дов Предел Вер. f Пред.

а 1,254369 0,103935 12,06880 0.000000 1,045809 1,462

Ь 0,027411 0,017546 1,56220 0,124306 -0,007798 0,062

Результат идентификации:

1254369

С = f3 (r) = ' exp(-0.027411- \r\ ■ (1 - cos p))

Рис. 5. 30- графическая поверхность распределения концентрации по двумерной модели для Железа

Рис. 6. Изоклины двумерной модели для Железа

Медь

Представляем компьютерный программных расчетов:

интерфейс

Модель: с2=а/5дП<эчг1(хл2+ул2))'ехр(-Ь*адП{хл2+ул2)*(1-(х*( Заа. Пер. : с2 Уров. значимости: 95.0% ( альфа=0.050)

Оценка Стандарт ошиб. t-знач. сс = 52 р-знач. Ниж. Дов Предел Вер. Í Пред

а b 0,718514 0,190299 0,108164 0,104520 6,642836 1,820701 0,000000 0,074409 0,501468 -0,019435 0,935 0,400

Рис. 4. Изоклины двумерной модели для Мышьяка.

Результат идентификации:

С = /3(г) = 0 71^514ехр(-0.190299 • Г • (1 -со8р))

Рис. 7. Эй- графическая поверхность распределения концентрации по двумерной модели для Меди

Рис. 8. Изоклины двумерной модели для Меди

Ниже приведем спутниковую фотографию города Кызыла и карту с точками, в которых были взяты пробы снега. На фотографии хорошо видно черное облако смога над территорией города в зимний период. ШШ

Рис. 10. Карта города Кызыла с точками сбора проб снега в 2016г

2. Построение изоклин двумерных моделей

Следующий этап нашего исследования - это построение изоклин 3D-поверхностей значений двумерных функций распределения

С = /3( х, у), т.е. линий на координатной плоскости OXY, точки которых имеют одно и то же фиксированное значение С концентрации ЗВ.

Для нахождения изоклин необходимо решить следующее уравнение:

Со = /з(х, у) = /з(г) = -рт ехР("Ь • И • (1 - с°8 р)),

Рис. 9. Общий вид города Кызыла: А- в летний период. Б- в зимний период

где С0 - заданный фиксированный уровень значения концентрации ЗВ.

Требуется найти соответствующие величины

|г| и р , которые и дадут нам геометрическое

место точек на плоскости OXY, имеющих одинаковый уровень концентрации С0. Получаемые уравнения являются трансцендентными и не решаются в элементарных функциях, нужны специальные методы. Решаем эту задачу для каждого химического элемента и для нескольких значений С0 в пакете программ МАТЕМАТ1СА. Найденные решения представлены выше графически в виде веера замкнутых (вблизи ТЭЦ) изоклин на Рисунках 2,4,6,8.

3. Прогнозные пространственные расчеты.

Одна из главных целей построения математических моделей распространения ЗВ - это получения формул, позволяющих производить прогнозные расчеты ожидаемых уровней концентрации ЗВ в точках на подстилающей поверхности, в которых не были взяты экспериментальные данные.

После того, как мы идентифицировали наши модельные функции С = /(х, у) по уже имеющимся экспериментальным данным, мы получаем возможность производить такие прогнозные расчеты.

О 55 I» £

55 т П

Опишем подробнее эту вычислительную процедуру. Рассмотрим, например, одномерную модель экспоненциального типа

О ы

а

s

«

а б

С = / (х) = а • ехр(-Ь • х) = а • е Ьх,

идентифицированную в [1] для меди в направлении Запад-Север-Запад ([1], Таблицы 1,2, Рисунок 1):

С = / (х) = 0,4432 • ехр(-0,271 • х).

Экспериментальные данные имеются в восьми точках, т.е. при восьми различных значениях х в километрах от ТЭЦ в рассматриваемом направлении ЗСЗ.

Берем некоторую другую точку х на этом же направлении ЗСЗ, не совпадающую с указанными выше точками, например, х = 12 км.

Подставляем это значение х в формулу для

С = /1(х) = 0,4432- ехр(-0,271-12) = 0,0172.

Итак, мы получили прогнозное значение концентрации Меди С = 0,0172 на расстоянии 12 км от ТЭЦ по направлению ЗСЗ, при условии, что это ЗВ выпало из дыма Кызылской ТЭЦ.

Если около точки х = 12 км присутствуют другие источники Меди, то концентрация этого ЗВ здесь, конечно, будет другая. Это простое соображение позволяет делать и обратные выводы: если экспериментальное значение С около точки х превышает ее прогнозное значение, значит около этой точки присутствуют и другие источники ЗВ. Методика расчета долей вклада в загрязнении различных источников дыма дана в [1].

Наши формулы и идентифицированные функции в [1] позволяют производить прогнозные расчеты и по другим ЗВ в различных пяти направлениях для любого х > 0.

Рассмотрим теперь идентифицированные двумерные модели С = /3(х,у). Они не привязаны к каким-либо выделенным направлениям и позволяют делать прогнозные расчеты уже в любых точках (х, у) на подстилающей поверхности. Принцип расчетов такой же, как и выше.

Литература

1. Жданок А.И. Математическое моделирование загрязнения экосферы города Кызыла дымом ТЭЦ и его количественные характеристики на примере загрязняющего элемента медь (Си) / А.И.Жданок, Н.Б.Ивирсина, А.К.Хурума // Инновации и инвестиции. - 2018. - № 1. - С. 211-218; сайт: www.innovazia.ucoz.ru.

2. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды - М.: Наука, 1982. - 319с.

3. Жданок А. И. Двумерная модель загрязнения атмосферы Кызыла дымом ТЭЦ / А.И.Жданок // Региональная экономика: техно-

логии, экономика, экология и инфраструктура, 14 октября 2015 г.: сб. материалов междунар. науч.-практ. конф. - Кызыл: Изд-во «ТИКОПР», 2015. - С. 179-185.

4. Жданок А.И. Идентификация двумерных моделей распространения загрязняющих веществ дымом кызылской ТЭЦ на примере марганца / А.И.Жданок, О.Э.Лешаков, Н.Б.Ивирсина, А.К.Хурума // Региональная экономика: технологии, экономика, экология и инфраструктура», 18 октября 2017 года: сб. материалов 2-ой междун. науч.-практ. конф.- Кызыл: Изд-во «ТИКОПР», 2017. - С. 233-242.

5. Жданок А.И. Двумерные модели распространения загрязняющих веществ дымом Кы-зылской ТЭЦ и их идентификация на примере кадмия / А.И.Жданок, О.Э.Лешаков,

H.Б.Ивирсина, А.К.Хурума // Научные труды ТувГУ. Выпуск YI: материалы ежегодной науч.-практ. конф. преподавателей, сотрудников и аспирантов, посвященной году экологии в РФ, 21 октября 2017 года. - Кызыл: Изд-во «ТувГУ», 2017. - С. 58-62.

Isoklins of the two-dimensional model pollution of the

atmosphere of the city Kyzyl smoke CHPP and forecast spatial calculations Zhdanok A.I., Ivirsina N.B., Khuruma A.K., Ajunova O.D. Tuvan Institute of complex examination of natural resources Siberian branch of the Russian Academy of science, Tuvan State University

In this paper we study some problems of mathematical modeling of air pollution in smoke Kyzyl CHPP during the winter heating season. The identification of a two-dimensional model for the spread of pollutants for a number of new pollutants has been continued. A 3D graphic image of the surfaces of the values of the model distribution functions of the concentration of pollutants is constructed. At the same time, experimental data on snow cover contamination during the 2015-2016 season were used. A map with points of sampling of snow and photos from the general types of pollution of the city is given. Transcendental equations are solved, which allow to find and graphically construct isoclines on the plane, i.e. lines of equal concentration level of pollutants. The method of calculations for the forecast calculation of the expected pollution levels at arbitrary points on the map of Kyzyl is shown. Keywords: mathematical modeling, pollution of snow cover, atmospheric pollution by man-made smoke sources, two-dimensional models, model identification, isoclines, predictive calculations. References

I. Zhdanok A.I., Ivirsina N.B., Khuruma A.K. Mathematical modeling of pollution of the ecosphere of the city Kyzyl smoke CHPP and its quantitative characteristics on the example of pollutanium element copper (CU) // Innovations and investments, 2018, №1.- M: RuScience, 2018. - PP. 211-218, website: www.innovazia.ucoz.ru.

2. Marchuk G. I. Mathematical modeling in the environmental problem - M.: Nauka, 1982. - 319 p.

3. Zhdanok A. I. Two-dimensional model of atmospheric pollution smokes Kyzyl CHPP// Proceedings of the international scientific-practical conference "Regional economy: technology, economy, ecology and infrastructure", October 14, 2015 - Kyzyl, «TIKOPR» Publishers, 2015. -PP. 179-185.

4. Zhdanok A.I., Leshakov O.E., Ivirsina N.B., Khuruma A.K. Identification of two-dimensional distribution models of

pollutants Kyzyl's CHPP smoke for example, manganese // Proceedings of the 2nd international scientific and practical conference "Regional economy: technologies, economy, ecology and infrastructure", October 18, 2017. - Kyzyl, «TIKOPR» Publishers, 2017. - PP. 233-242.

5. Zhdanok A.I., Ivirsina N.B., Khuruma A.K. Two-

Dimensional model of propagation of pollutants Kyzyl's CHPP smoke and their identification on the example of cadmium. // Materials of the annual scientific and practical conference of teachers, employees and postgraduates devoted to the year of ecology in Russia, October 21, 2017. - Kyzyl, «TuvSU» Publishers, 2017. - PP.58-62.

О R и

£

R

n