CC BY
8
2. Clembozkii, V.A. Osnovifiziko-ximiiflotazionnixprozessov. M.:Nedra, 1980. С.471.
3. Patrakov, Yu.F., Kharlampenkova, Yu.A. Osobennosti granulometricheskogo analiza melkikh ugolnykh klassov. Vestnik Kuzgtu. 2015. 1. S. 75-77.
4. Tekhnologicheskaya otsenka mineralnogo syrya. Metody issledovaniya. Spravochnik/ Podred. P.E. Ostapenko. M.: Nedra, 1990. s. 264.
Харлампенкова Юлия Александровна - ведущий инженерлаборатории научных основ технологий обогащения угля Института угля СО РАН, г.Кемерово, Е-mail: kon. julija@gmail.com
Шиляев Алексей Валентинович-ведущий инженер лаборатории научных основ технологий обогащения угля Института угля СО РАН, г. Кемерово
Патраков Юрий Федорович- доктор химических наук, заведующий лабораторией научных основ технологий обогащения угля Института угля СО РАН (г. Кемерово), профессор кафедры химии ТувГУ, E-m^il: yupat@icc.kemsc.ru
Kharlampenkovа Julia- Senior Engineer laboratory scientific foundations of the technology of coal enrichment of coal Institute of the Siberian Branch of the RAS, Kemerovo, Email: kon. julija@gmail.com
SchilyaevAlexey - Senior Engineer laboratory scientific foundations of the technology of coal enrichment of coal Institute of the Siberian Branch of the RAS, Kemerovo
Patrakov Yury- Doctor of Chemistry, Laboratory of scientific bases of technology of coal enrichment of coal Institute of the Siberian Branch of the RAS ( Kemerovo), Professor of the Chemistry Department the Tyvan State University,Е-mаil: yupat@icc.kemsc.ru
-----------------------------------ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕНАУКИ-------------------------------------
PHYSICS AND MATHEMATIS SCIENCES
УДК 504.3.054
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ДЫМОМ КЫЗЫЛСКОЙ ТЭЦ
12Жданок А.И., 21Лешаков О.Э., 1Ивирсина Н.Б., 1Хурума А.К.
1Тувинский государственный университет, Кызыл 2Тувинский институт комплексного освоения природный ресурсов СО РАН,
Кызыл
COMPARATIVE ANALYSIS OF TWO MATHEMATICAL MODELS OF THE DISTRIBUTION OF POLLUTANTS SMOKE KIZIL CHP
12Zhdanok A.I., 21Leshakov O.E., Vvirsina N.B., Huruma A.K.
1Tuvan state university, Kyzyl
2Tuvan Institute for the Exploration of Natural Resources SB RAS, Kyzyl
В работе изучаются проблемы построения математических моделей переноса и осаждения (распределения) загрязняющих веществ в дыме промышленных источников применительно к условиям г. Кызыла и его ТЭЦ. Приводятся краткие характеристики двух моделей, уже разработанных и идентифицированных по экспериментальным данным г. Кызыла, одну из которых построил ранее один из авторов настоящей работы А.И.Жданок. Вводится в рассмотрение и анализируется еще одна известная модель, которая пригодна для использования в условиях г.
Кызыла. По этим и другим моделям выделено два основных модельных типа функций распределения концентраций загрязняющих веществ - показательная (экспоненциальная) и гауссова (нормальная) функции. Проведен подробный математический анализ по сравнению свойств этих двух распределений, идентифицированных по данным г. Кызыла в одномерном случае. Установлено, что обе модели мало метрически различаются на расстояниях до 8 км от источника дыма (для некоторых субстанций) и имеют принципиальное растущее различие на расстояниях более 12 км. В частности, на расстояния 15 км от трубы ТЭЦ прогнозы концентрации загрязняющих веществ (на примере свинца - Pb)_ отличаются в двух моделях уже в 10 раз. Сделаны рекомендации для плана будущих экспериментальных исследований с целью выбора оптимальной модели в условиях г. Кызыла.
Ключевые слова: математическое моделирование, уравнение диффузии и переноса, дымовые потоки, загрязняющие вещества.
We study the problem of constructing mathematical models of transport and deposition (distribution) of pollutants in the smoke of industrial sources in relation to the conditions of Kyzyl and CHP. Brief characteristics of the two models already developed and identified from the experimental data of Kyzyl, one of which is built above one of the authors of this paper A.I.Zhdanok. Putting into consideration and analyzed by another famous model, which is suitable for use in Kyzyl. For these and other models are two main types of model distribution functions of concentration of pollutants - exponential (exponential) and Gaussian (normal) function. A detailed mathematical analysis compared the properties of these two distributions, identified according to the Kyzyl-dimensional case. It was found that both models differ little metrically at distances up to 8 km from the source of the smoke (some substances), and are fundamental to the growing difference in distances greater than 12 km. In particular, at a distance of 15 km from the pipes CHP forecasts concentrations of contaminants (for example, Pb) _ differ in two models have 10 times. It made recommendations for the plan of the future experimental research in order to select the optimal model in terms of Kyzyl.
Key words: mathematical modeling, transport and diffusion equation, smoke flows contaminants.
§1. Общие проблемы моделирования процессов загрязнения экосферы источниками дыма.
Одной из актуальных проблем современности является охрана окружающей среды от отрицательного техногенного и антропогенного воздействия.
Самый ощутимый вклад в загрязнение окружающей среды из-за технологических специфик, неэффективных, устаревших или вообще отсутствующих очистных сооружений вносят энергетические предприятия. Из-за климатических особенностей Сибири, где продолжителен отопительный сезон, при доминировании котельных с очень низкими трубами, при использовании низкокачественного топлива, в окружающую среду поступает большое количество загрязняющих веществ (ЗВ). Наиболее распространенными выбросами в атмосферу являются оксиды серы и азота, пыль, моноксид углерода, а также зола и шлаки, поступающие в золоотвалы.
Для выявления последствий антропогенной деятельности постановка натурных экспериментов может оказаться слишком дорогостоящей. Поэтому при оценке возможных последствий такой деятельности весьма эффективным является математическое моделирование процессов распространения примесей с последующим анализом поведения этих примесей в зависимости от вариации детерминированных и случайных параметров, а так же разработкой практических подходов к решению тех или иных вопросов охраны от загрязняющих атмосферу факторов.
Математическое моделирование позволяет также решать две задачи прогнозирования. Первая - это теоретический расчет возможных концентраций ЗВ в любой точке на территории, примыкающей к источнику ЗВ, в том числе в городах, без использования экспериментального мониторинга. Вторая - это теоретический расчет полей концентрации возможных загрязнений от планируемых к строительству новых источников ЗВ, например, новой ТЭЦ, с целью оптимизации их территориального расположения. Вторую задачу в принципе не могут решить никакие натурные исследования. Мониторинг реальных загрязнений можно проводить только после ввода в эксплуатацию нового объекта, источника ЗВ, когда что-либо менять в его расположении уже будет поздно.
Рассматриваемая проблема актуальна практически во всех крупных городах мира. Разработка различных подходов к построению разнообразных математических моделей загрязнения экосферы техногенными и антропогенными источниками ЗВ, прежде всего, дымом из труб промышленных предприятий и теплоэлектростанций и центров (ТЭС и ТЭЦ), началась еще в 1950-е годы, вначале за рубежом, а затем и в нашей стране.
На сегодняшний день существует несколько десятков типов математического моделирования данных явлений, и все они приводят к сложным математическим проблемам и задачам, многие из которых ранее в математике не изучались или не решались. Ввиду большой сложности используемого в моделях математического аппарата (это прежде всего дифференциальные уравнения математической физики), а также в связи с необходимостью доведения всех теоретических конструкций до конкретных численных решений в реальных единицах измерения, моделирование рассматриваемого явления сегодня невозможно без привлечения мощных ЭВМ. Отметим также, что не существует универсальной математической модели распространения и оседания ЗВ. Для разных климатических и географических условий строятся, как правило, свои модификации соответствующих моделей и конструкций.
Все обилие и разнообразие методов математического моделирования рассматриваемого явления хорошо представлено на различных сайтах в сети Интернет, куда и отправляем интересующегося читателя. Здесь мы отметим только самое масштабное, на наш взгляд, продвижение в данном направлении, сделанное в нашей стране.
Большие промышленные стройки в СССР в 1950 - 1960 годы не всегда были продуманы с точки зрения экологических последствий, что порой приводило к тяжелым последствиям для населения: массовые заболевания, снижение продолжительности жизни и т.д. В результате, в конце 1960-х годов в Вычислительном центре Сибирского отделения Академии наук СССР (г. Новосибирск) началось системное изучение проблемы математического моделирования явлений загрязнения экосферы (включая воздух, почву и водоемы) загрязняющими веществами из техногенных и антропогенных источников. Возглавил этот крупный проект директор ВЦ, академик Г.И.Марчук, а разработчиками стали многие научные сотрудники ВЦ, в т.ч. В.В.Пененко, А.Е.Алоян, В.Ф.Рапута, А.А.Леженин и другие. В 60-е -70-е годы XX века ими была построена многоплановая математическая теория этих процессов, базирующаяся на классических уравнениях математической физики, описывающих диффузию и конвективный перенос веществ в атмосфере, и использующую современные методы их исследования и решения с помощью сеточных методов, реализуемых на самых мощных (на тот период) ЭВМ.
Разработки в данном направлении ведутся в Институте Вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (бывший ВЦ) и сегодня.
Основы построенной этим коллективом теории по моделированию описанных экологических процессов хорошо изложены в монографии Г.И.Марчука [1]. В наших исследованиях данного явления по г. Кызылу мы также опираемся на математические модели [1].
§2. Разработанные и возможные модели процессов загрязнения в Кызыле.
Проблема загрязнения атмосферы и почвы г. Кызыла дымом Кызылской ТЭЦ, небольших котельных, а также дымом печей частных домов изучается уже давно. Масштабное экспериментальное изучение этой проблемы проводилось в 1994 - 1995 годах большой группой специалистов НПО «Тайфун» (г. Обнинск) по заказу Правительства РТ. Результаты их исследований представлены в отчете [2], а также в статье [3]. В [3] активно используется разработанная авторами математическая модель, но приводится лишь итоговая формула, без обоснования ее вывода. Отмечается, что модель основана на «трехмерных дифференциальных уравнениях диффузии в частных производных», вместе с тем говорится, что модель разработана в «предположении нормального закона распределения концентрации С в горизонтальной плоскости». Итоговая формула в [3], в приближении одной пространственной переменной х (расстояние до трубыТЭЦ), и одного типа ЗВ, принимает следующий вид:
Это традиционная форма записи нормального распределения, со средним х и дисперсией а, т.е. уравнение гауссовой кривой. Это очень важное для нас обстоятельство, и мы к нему позже вернемся.
В 1997 - 1999 годах первый из авторов (А.И.Жданок) настоящей статьи так же подключился к прикладному исследованию по разработке математической модели загрязнения экосферы г. Кызыла. По результатам своих исследований им была опубликована краткая заметка [4]. В ней была анонсирована подготовленная им математическая модель, также основанная на дифференциальных уравнениях диффузии, но опирающеюся на развёрнутую математическую теорию подобных явлений, разработанную в СО АНСССР академиком Г.И. Марчуком и его институтом [1].
В работе [4], из-за ограниченного объема текста, не приводились математические подробности предлагаемой модели, давались лишь итоговые формулы, а также некоторые вычисляемые по модели прогнозируемые характеристики процесса, основанные на реальных экспериментальных данных отчёта [2].
Подробный вывод уравнений из [4] опубликован автором в статье [5]. В ней дается вывод уравнения распределения концентрации ЗВ для тяжелых субстанций в одномерном случае, по аналогии со схемой преобразований в [1] для легких субстанций. Как выяснилось, общий вид уравнения не изменился, поменялись лишь параметры. Полученное решение имеет следующий вид
Нам сейчас не важен физический смысл содержащихся в этой формуле параметров (они оговариваются в работах [1,5]). Поэтому перепишем выше приведенное уравнение в упрощенной форме лишь для х0 = 0 и х > 0:
С(х) = а ехр(- Ьх) ■
Эта функция является показательной, т.к. х входит в нее в первой степени, в отличие от гауссовой (нормальной) функции распределения [3], где х в экспоненте имеет вторую степень.
Итак, между двумя моделями в работе [3] и в наших работах [4, 5] есть принципиальное различие. Подчеркнем, что вывод уравнений в [3]сопровождался эмпирическими предположениями, а вывод уравнений у нас был строго доказан без каких либо априорных допущений. В третьей, основной части (параграфе) настоящей статьи мы как раз и займемся детальным анализом сходства и различия данных двух распределений.
Построенная в [4,5] модель распределения ЗВ от Кызылской ТЭЦ была апробирована на реальных экспериментальных данных еще в [4]. Позже, в 2011-2013 годах проводилась совместная работа А.И. Жданка со специалистами - химиками из ТувГУ и ТИКОПР СО РАН по этой же проблематике в рамках коллективного гранта РФФИ-Р. В рамках этой работы была модифицирована математическая модель и идентифицированы ее варианты по различным субстанциям ЗВ по новым экспериментальным данным, полученным в зимние сезоны 2010 - 2012 годов. Было выявлено хорошее согласование теоретических расчетов по показательной функции с экспериментальными данными. Основные полученные при этом результаты были представлены в совместной статье, опубликованной в 2014 году в журнале Геоэкология [6].
Несмотря на обилие математических методов и подходов к построению моделей загрязнения экосферы произвольных городов техногенными и антропогенными источниками дыма, до начала наших исследований никто из местных математиков не брался за построение цельной математической модели процесса загрязнения экосферы в г. Кызыле. Разумеется, это явление многократно и разносторонне изучалось специалистами других направлений, которые использовали те или иные математические формулы для расчета отдельных характеристик процесса, но эти расчеты еще не создают математическую модель, предполагающую разработку общих уравнений процесса в целом.
Здесь следует упомянуть нашего тувинского коллегу М.Ф. Андрейчика, который, занимаясь общими проблемами загрязнения экосферы Тувы, использовал и несложные математические формулы по расчету отдельных характеристик загрязнения. Его результаты представлены в монографии [7].
Считаем важным вкратце описать еще один из возможных подходов к данной проблематике (с возможной реализацией в Туве), разработанный нашими соотечественниками еще в конце 1950-х годов, и опубликованный в работах [8, 9]. В этой модели также на каком-то этапе возникает предположение о нормальности распределения концентраций ЗВ по расстоянию от источника загрязнения х. Остановимся на данной модели подробнее.
Задача распространения выбросов в атмосфере может быть определена как решение при определенных начальных и граничных условиях следующего полуэмпирического дифференциального уравнения для осредненных значений скоростей
и концентрации. Будем считать вектор скорости среднего ветра постоянным, что для топографии района г. Кызыла в зимний период представляется вполне оправданным. Тогда с учетом седиментации (гравитационного осаждения) это уравнение можно представить в виде [8, 9].
Здесь С - концентрация загрязняющей субстанции, и - скорость среднего ветра, w - скорость вертикального осаждения, Di - коэффициенты диффузии вдоль осей координат, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников. Оси х, у выбраны в плоскости поверхности земли, ось х совпадает с направлением среднего ветра, ось z направлена вертикально вверх.
При наличии точечного источника с координатами х = у = 0, г = к и при краевом условии «отражения» на уровне г = 0 решение уравнения (1) имеет вид [8,9]:
где с - константа, определяемая из граничных условии. В эту же константу включены параметры источника (см., например, [9]). Заметим, что (2) представляет собой нормальную зависимость. Решение (2) позволяет построить поперечные и продольные профили концентрации ЗВ. Для этого достаточно придавать фиксированные значения переменным х или у. Для простоты, в первом приближении, будем считать, что при больших х, у, zконцентрация равна нулю. Распределение загрязнения поперек направления ветра имеет здесь форму гауссовых (т.е. нормальных) кривых со средним
квадратичным отклонением (2 Бх/ы )12, возрастающим с увеличением расстояния х от источника. Это обстоятельство иллюстрирует Рис.1, на котором приведены профили облака загрязнения в зависимости от удаления от источника.
Выбраны следующие условные значения параметров: D=1 м2/с, и =1 м/с, h =70 м, z =50 м. Интенсивность источника условно принята равной 1000 с-1. Верхняя кривая соответствует значению х = 350 м. По мере сплющивания кривой значения х равны соответственно 500 м, 1000 м, 2000 м. Можно отметить, что при х ^ 0 концентрация примеси стремится к нулю, как это видно из Рис.2. На этом рисунке представлена зависимость скорости убывания концентрации в зависимости от удаления от источника и от высоты. Нижняя кривая соответствует значению z = 30 м, средняя z= 40 м, наконец, верхняя z = 50 м. Видно, что более высокие слои отчищаются быстрее, нижние - более медленно, что естественно при гравитационном осаждении, т.к. нижние слои постоянно «подпитываются» ЗВ из верхних. В непосредственной близости от источника на уровне z<hнаходится так называемая «мертвая зона», свободная от загрязнений.
(1)
При краевом условии «поглощения» распределение концентрации описывается формулой, отличающейся от (2) заменой знака плюс между слагаемыми в квадратных скобках знаком минус.
Таким образом, приведенные результаты позволяют также произвести предварительное описание распределения загрязнений от труб Кызылской ТЭЦ. Для этого необходимо сделать оценку мощности выбросов. Следующим этапом исследования должно стать включение в модель вклада выбросов частного сектора, например, как фоновое загрязнение.
§3. Математический расчет сравнительных характеристик двух распределений ЗВ.
3.1 Идентификация двух распределений.
В этом разделе мы средствами математического анализа рассчитываем различные характеристики двух модельных распределений ЗВ из дыма Кызылской ТЭЦ и проводим их сравнительный анализ на базе конкретных экспериментальных данных.
Мы здесь изучаем показательное (экспоненциальное) и гауссовское (нормальное) распределения, которые являются решениями соответствующих общих дифференциальных уравнений (в частных производных) диффузии и переноса ЗВ в атмосфере. Выше было показано, что показательное распределение является строгим решением указанных уравнений (см. [1, 4, 5]), а гауссовое распределение выводится из этих же уравнений при дополнительных эмпирических предположениях (см. [3, 8, 9]).
Сейчас мы применим эти распределения к реальным экспериментальным данным г. Кызыла и его ТЭЦ и приведем результаты соответствующих исследований.
Для того, чтобы обнаружить те или иные закономерности, достаточно в первом приближении ограничиться одномерными моделями, т.е. рассмотреть распространение ЗВ лишь по оси ОХ в направлении от трубы ТЭЦ на запад (направление господствующего ветра). Соответствующая одномерная показательная (экспоненциальная) модель уже была нами построена и изучена в первом приближении (см. [4-6]) на базе экспериментальных данных по г. Кызылу. Одномерная гауссова (нормальная) модель будет также идентифицирована нами на той же экспериментальной базе.
Мы провели соответствующий математический сравнительный анализ по нескольким конкретным ЗВ (свинец - РЬ, железо - Fe, кадмий - Cd, мышьяк - As). Результаты и выводы оказались однотипными. Поэтому для текста статьи мы выбираем только один «модельный» элемент - свинец (РЬ), на котором мы и проиллюстрируем используемый нами математический аппарат расчетов и сравнений.
Итак, в качестве упрощенной одномерной показательной (экспоненциальной) функции распределения ЗВ в зависимости от расстояния до трубы х (по направлению ТЭЦ - запад) мы берем следующую функцию
С = (х )= а ехр (- Ьх),
где а и Ь - числовые параметры, причем а > 0, Ь > 0. В качестве упрощенной одномерной гауссовой (нормальной) функции распределения ЗВ с тем же х выбираем функцию С = /2(х) = сехр(- йх2), где с > 0, й > 0. Физический смысл этих числовых
параметров нам ниже не потребуется. При сборе экспериментальных данных расстояние от точек взятия проб до трубы измерено в километрах (км). Зависимая переменная С означает концентрацию соответствующего ЗВ в точке х, измеренную в миллиграммах ЗВ в одном литре талой воды (мг/л).
Возьмем экспериментальные данные 2011 года [6] (выбор года непринципиален) по свинцу. На оси ОХ выбрано 9 точек, в которых зимой была замерена концентрация выпавшего из атмосферы на подстилающий снег свинца, выбрасываемого вместе с дымом трубой ТЭЦ. Полученные данные приведены в таблице 1.
_Таблица 1
№ точки 14 15 22 21 19 20 18 17 23
х 0,61 1,88 5,24 6,36 7,30 8,67 9,67 11,78 13,05
0 0,38 0,29 0,25 0,10 0,16 0,26 0,33 0,37 0,14
Замечание. В первой строке таблицы указаны номера точек, которые приближенно лежат на оси ОХ, отобранные из общего массива экспериментальных точек со своей общей нумерацией, поэтому отобранные номера неупорядочены. Во второй строке расстояния х упорядочены по возрастанию.
Построенная по таблице 1 диаграмма концентрации свинца в зависимости от расстояния х представлена на рисунке 3. Черным цветом изображены экспериментальные данные, зеленым - их аппроксимация экспоненциальным распределением, красным - нормальным. Первые пять точек на рисунке 3 расположены примерно по убыванию концентрации С, что соответствует общей физической закономерности - убыванию концентрации ЗВ с ростом расстояния от источника х. Резкое возрастание значений C в последующих точках х > 8 км объясняется появлением на этих расстояниях новых источников дыма, а значит и свинца (РЬ), - это малые котельные так называемой «Промышленной зоны» (Промзоны) и печи частных домов. Эту проблему сейчас обсуждать не будем.
о-б г с
о : а б з :: и
Хшах! Хшах2
Рис. 3
Наша задача на этом этапе - идентифицировать функции / (х) и /2 (х) по экспериментальным данным, т.е. по точкам на рис.3, для которых отсутствует влияние других факторов (Промзона), кроме изучаемого нами источника дыма - трубы ТЭЦ. Естественным для этого представляется использование только первых пяти точек из таблицы 1 и рисунка 3.
При любом математическом моделировании одного процесса отбираются только «чистые» (отфильтрованные) экспериментальные данные, свободные от помех, обусловленных другими процессами. Такой подход к «вычитанию шума» довольно часто используется в научных исследованиях, мы также использовали его ранее в работах [46].
Для идентификации параметров распределений a, Ь, с, б по первым пяти экспериментальным точкам мы воспользуемся «методом наименьших квадратов», реализованным в математическом пакете МаШетайса. Ограничимся при этом тремя знаками после запятой. Получаем следующие значения: для показательной функции / (х)
имеем а» 0.406, Ь» 0.143; для гауссовой функции /2 (х) с»0.353, й »0.019.
На рис. 3 сведены вместе графики функций / (х) и /2 (х). Отметим, что это оптимальные кривые, каждая в своем классе, наименее уклоняющиеся от «облака» экспериментальных точек, т.е. от первых пяти. Заметим, что первые пять точек находятся в промежутке х е [0,8]. В этом промежутке визуально наблюдается неплохая согласованность с экспериментальными данными обеих модельных кривых. Имеется даже две точки совпадения значений функций / (х) и /2 (х) (что математически объяснимо, достаточно только решить уравнение /1(х) = f2(х)). При расстояниях х > 8 км эти особенности исчезают, но появляются новые. На этом основании задачу сравнения функций / (х) и f2 (х) мы разобьем на две подзадачи - сравнение этих функций на промежутке [0, 8] (Задача 1), и, отдельно, на промежутке [8, «], т.е. при х^-« (Задача 2).
3.2 Метрическое сравнение распределений на отрезке [0, 8].
Отметим, что обе функции /(х) и /2(х) являются непрерывными и ограниченными на всей полупрямой [0, «) = ОХ, и, в частности, на отрезке [0, 8]. Используем стандартные в функциональном анализе обозначения: С[0 8] - метрическое
пространство всех непрерывных и ограниченных функций f : [0,8]® Я, определенных
на отрезке [0, 8]. Как уже отмечено, /1,/2 е С[08]. Расстояние между функциями в
пространстве С[0 8], т.е. метрика, может задаваться несколькими способами.
Главная в С[0 8] равномерная метрика (расстояние) р1 определяется по следующей формуле: для любых /1, /2 е С[0 8]
Р (/1, /2 ) = ^хе[0,8]|/1 (х)" /2 (х)
Ее геометрический смысл - это максимальное расстояние по вертикали между графиками функций /1 (х) и /2 (х). Выбираем наши две функции / (х) и /2(х) с уже найденными для РЬ параметрами а, Ь, с, би вычисляем соответствующее расстояние, где максимум достигается в точке хтах = 3.308км. При этом /(хтах) = 0.253, /2(хтах) = 0.286.
Найденное значение р1 пока мало информативно. Возьмем среднее значение Сер =(/ (хтах)+ /2 (хтах ))/2 = 0.270 и найдем относительную величину расстояния« = аСср = 0.0330.270»0.122.Это значение а, умножив на 100, можно трактовать как процент в различии между /1 (х) и /2 (х) в «наихудшей» точке хтах = 3.308км, т.е. максимальное расхождение между /1 (х) и /2 (х) равно а % = 12.2 %.
Если учитывать все наши допущения и погрешности эксперимента (например, не все отобранные точки точно лежат на оси ОХ), то можно считать, что различие между выбором одной из двух моделей на промежутке [0, 8] несущественно.
3.3 Сравнение распределений на бесконечном интервале (ь, ¥
3.3.1 Пороговое расстояние.
Из общих свойств показательной функции /1 (х) и гауссовой функции /2 (х) известно, что начиная с некоторого порогового числа L> 0, т.е. при любом х > Ь, выполняется строгое неравенство / (х)> /2 (х). Найдем соответствующее значение L в общем случае при произвольных положительных значениях параметров а, Ь, с, б. Для этого решаем неравенство /1 (х)> /2 (х). Логарифмируя и применяя алгебраические
преобразования, получим ему эквивалентное неравенство йх2 -Ьх+1п(а/с) > 0. Значение L находится как второй корень соответствующего квадратного уравнения
Ь+ ь=-
Ь2 - 4й 1п а
2й
Если квадратное уравнение не имеет действительных корней, то /1(х)> /2(х) при всех х > 0, т.е. Ь = 0.
Рассчитаем пороговое расстояниеL для нашего конкретного примера со свинцом. Из приведенных выше выражений несложно получить, что Ь»6.4 км. Итак, при х > 6.4 км всегда выполняется неравенство /1 (х) > /2 (х), что хорошо видно из Рис. 3.
Метрические расстояния между распределениями на интервале (Ц «) оказываются уже мало информативным и соответствующие исследования мы опускаем. 3.3.2 Соотношение между двумя распределениями при больших х. Рассмотрим случай, когда х > Ь. Как было показано выше, в этом бесконечном полуинтервале поведение распределений /1 (х) и /2 (х) уже принципиально различно. При больших х значения /2 (х) практически обращаются в ноль, а значения / (х) все
с
еще остаются значимыми. Однако, многочисленные экспериментальные данные в различных городах свидетельствуют о том, что и на больших расстояниях от труб ТЭЦ (десятки километров) обнаруживаются в ощутимых объемах ЗВ, выпавшие из сильно поредевшего и визуально не наблюдаемого, но все еще существующего облака распространяющего их дыма. Изучим этот вопрос в сравнении двух выбранных нами моделей. Введем функцию соотношения
й(х) = При х > Хтах2.
/2 (х) с ехр(Ьх)
Для экономии места мы не приводим значения к(х) для конкретных х. Отметим только, что на промежутке [0, 6] функция соотношения к(х) мало отличается от единицы, т.е. /1 (х)» /2 (х). Начиная с х = 8 км к(х) начинает быстро расти, а начиная с х = 12 она примерно увеличивается в полтора раза (а затем и вдвое) на каждом километре. При х = 15 км значения /1 (х) уже почти в 10 раз больше, чем значения /2 (х), при х = 20 км / (х) почти уже более чем в 100 раз превышает значения /2 (х), а при х = 23 км /1 (х) уже в 1000 раз больше /2 (х). Следовательно, прогнозы концентраций ЗВ на расстояниях более 15 км, сделанные в рамках наших двух моделей, просто несопоставимы.
Для того, чтобы принять решение о выборе одной из двух моделей, необходимо в будущем запланировать экспериментальные исследования загрязнений далеко за пределами городской черты в направлении ТЭЦ - запад (по свинцу, на расстоянии -более 15 км).
Обратимся теперь к двумерным распределениям показательного и гауссового типа. В них добавляются вторые координаты, функции распределения ЗВ по которым имеют тот же вид, что и изученные нами /1 (х) и /2 (х). Следовательно, можно уверенно предполагать, что и в двумерной модели будет справедлив вывод о том, что в пределах основной части города оба распределения близки, а на достаточном удалении от него между ними возникают существенные различия.
Некоторые из затрагиваемых в настоящей статье вопросов кратко анонсированы в докладе на недавно прошедшей республиканской конференции «Состояние атмосферного воздуха на территории РТ: Проблемы загрязнения и пути их решения» [10].
Работа поддержана грантом РФФИ №15-41-04314 и Минобрнауки Республики Тыва
Библиографический список
1. Марчук, Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 319с.
2. Отчет о проведении научно-технической работы: обследование выбросов Кызылской ТЭЦ и их влияние на загрязнение воздушного бассейна г. Кызыла, Обнинск, НПО «Тайфун», 1995 - 205с.
3. Беляев, С.П., Бесчастнов, С.П., Хомушку, Г.М. и др. Некоторые закономерности загрязнения природной среды продуктами сгорания каменного угля на примере г. Кызыла // Метеорология и гидрология. 1997. № 12. С. 54-61.
4. Жданок, А.И. Математическая модель загрязнения атмосферы г.Кызыла источниками дыма. // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции «55 лет в составе России», Кызыл, из-во ТувГУ, 1999. С. 8488.
5. Жданок, А.И. Дифференциальная модель загрязнения экосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ // Научные труды ТувГУ. Вып. IX. Кызыл: Изд-во ТувГУ. 2011. С. 72-75.
6. Тас-оол, Л.Х., Янчат, Н.Н., Жданок, А.И., Чупикова, С.А. Загрязнение снежного покрова территории г. Кызыла. //Геоэкология. 2014, №6. С. 507-517.
Тувинский государственный университет
7. Андрейчик, М.Ф. Загрязнение атмосферы, почв и вод в республике Тыва. - Томск: Томский госуниверситет, 2005, - 400с.
8. Монин, А.С. Атмосферная диффузия // Успехи физических наук. Т. LXVII, Вып. 1, 1959.
9. Монин, А.С., Яглом, А.М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. М.: Наука , 1965. - 720 с.
10. Жданок, А.И. Построение математических моделей загрязнения атмосферы г. Кызыла и их идентификация. // Материалы республиканской научно-практической конференции «Состояние атмосферного воздуха на территории РТ: Проблемы загрязнения и пути их решения», Кызыл, 2015. C.19-20.
Bibliograficheskiy spisok
1. Marchuk, G.I. Matematicheskoe modelirovanie v probleme okruzhayuschey sredyi. M.: Nauka, 1982. - 319s.
2. Otchet o provedenii nauchno-tehnicheskoy rabotyi: obsledovanie vyibrosov Kyizyilskoy TETs i ih vliyanie na zagryaznenie vozdushnogo basseyna g. Kyizyila, Obninsk, NPO «Tayfun», 1995.- 205 s
3. Belyaev, S.P., Beschastnov, S.P., Homushku, G.M. i dr. Nekotoryie zakonomernosti zagryazneniya prirodnoy sredyi produktami sgoraniya kamennogo uglya na primere g. Kyizyila // Meteorologiya i gidrologiya. 1997. № 12. S. 54-61.
4. Zhdanok, A.I. Matematicheskaya model zagryazneniya atmosferyi g.Kyizyila istochnikami dyima. // Tezisyi dokladov respublikanskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «55 years in Russia»,Kyizyil, iz-vo TuvGU, 1999. S. 84-88.
5. Zhdanok, A.I Differentsialnaya model zagryazneniya ekosferyi g. Kyizyila dyimom TETs // Nauchnyie trudyi TuvGU. Vyip. IX. Kyizyil: Izd-vo TuvGU. 2011. S. 72-75.
6. Tas-ool, L.H., Yanchat, N.N., Zhdanok, A.I., Chupikova, S.A. Zagryaznenie snezhnogo pokrova territorii g. Kyizyila. // Geoekologiya. 2014, №6. S. 507-517.
7. Andreychik, M.F. Zagryaznenie atmosferyi, pochv i vod v respublike Tyiva. - - Tomsk: Tomsk state University, 2005 -
400s.
8. Monin, A.S. Atmosfernaya diffuziya // Uspehi fizicheskih nauk. T. LXVII, Vyip.1, 1959.
9. Monin, A.S., Yaglom, A.M. Statisticheskaya gidromehanika. Mehanika turbulentnosti. M.: Nauka , 1965. - 720 s.
10. Zhdanok, A.I. Postroenie matematicheskih modeley zagryazneniya atmosferyi g. Kyizyila i ih identifikatsiya. // Materialyi respublikanskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Sostoyanie atmosfernogo vozduha na territorii RT: Problemyi zagryazneniya i puti ih resheniya», Kyizyil, 2015, S.19-20.
Жданок Александр Иванович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, г. Кызыл, научный руководитель НИЛ «Теории вероятностей и ее приложений» Тувинского государственного университета, г. Кызыл, главный научный сотрудник Тувинского Института комплексного обследования природный ресурсов РТ СО РАН, г. Кызыл, e-mail: zhdanok@inbox.ru
Лешаков Олег Эдуардович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Тувинского государственного университета, г. Кызыл, старший научный сотрудник Тувинского института комплексного освоения природных ресурсов РТ СО РАН, г. Кызыл, E-mail: o_leshakov@mail.ru
Ивирсина Нина Борисовна - преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, Кызыл, Email: ivirsinanb@mail.ru
Хурума Анна Кыс-ооловна - старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, Кызыл, E-mail: huruma@list.ru
Zhdanok Alexander - Doctor of physical and mathematical sciences, professor of Department of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Tuvan State University, Kyzyl, the supervisor of laboratory "Theory of Probability and its Applications" Tuvan State University, Kyzyl, Chief researcher of the Tuva Institute of complex examination of natural resources of the RT SB RAS, Kyzyl, E-mail: zhdanok@inbox.ru
Leshakov Oleg - Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Department of physics Tuvan State University, Kyzyl, Senior researcher of the Tuva Institute of complex examination of natural resources of the RT SB RAS, Kyzyl, e-mail: o_leshakov@mail.ru
Ivirsina Nina - Lecturer, Department of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Tuvan State University, Kyzyl, E-mail: ivirsinanb@mail.ru
Huruma Anna - Senior teacher of the Department of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Tuvan State University, Kyzyl, E-mail: huruma@list.ru
УДК 624.131
АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КРИТИЧЕСКИХ
УСИЛИЙ
И МАКСИМАЛЬНЫХ ГЛУБИН ИХ ПРОЯВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Кравченко Т.И., Филатов В.В.
Владимирскийгосударственныйуниверситет
APPROXIMATION OF THE ANALYTICAL DEPENDENCES CRITICAL EFFORT AND MAXIMUM DEPTHS OF THEIR THE EXISTENCE OF LINEAR FUNCTIONS
Kravchenko T.I., Filatov V.V.
Vladimir state university
В решениях плоских задач об оценке критического усилия, возникающего в слабой грунтовой среде под действием внешней нагрузки в результате анализа, было отмечено приближение графических зависимостей к общей линейной зависимости.Для расчёта приближённых зависимостей применён метод наименьших квадратов. Общее приведённое решение аналитических зависимостей, полученное экспериментально и графически с помощью аппроксимирования, позволяет упростить расчёт несущей способности слабых грунтовых сред и дать общий анализ устойчивости оснований сооружений
Ключевые слова:критическое усилие, модель грунтовой среды, аппроксимация аналитических зависимостей, физико-механические свойства грунтов.
In the solutions of plane problems on the evaluation of the critical effort resulting in weak soil medium under the action of external loads as a result of analysis, it was noted the approach of graphical dependencies to the total linear dependence. To calculate approximate dependencies applied the method of least squares. Overall the solution of the analytical dependences obtained experimentally and graphically using approximative^, allows to simplify the calculation of the bearing capacity of weak soils and to provide a General analysis of the stability of foundations of structures.
Key words:critical stress, the model of soil medium, the analytical approximation of the dependency of physical and mechanical properties of soils.
В ранних работах [1,2,3] была решена плоская задача оценки критических усилий, возникающих в упругом полупространстве под действием внешней нагрузки, эпюра которой представляет прямоугольный треугольник. В работах [4,5,6] рассмотрены аналогичные задачи об оценке критического усилия на слабое грунтовое полупространств, когда одель грунтовой среды представляет собой два плоскопараллельных слоя, лежащих на однородном полупространстве, а эпюра внешней нагрузки имеет вид различных треугольников и трапеций (рис. 1, 2,3).
