CC BY
10
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ -PHYSICS AND MATHEMATIS SCIENCES
УДК 519.217.2; 519.254
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ОДНОГО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО СЛУЧАЙНОГО
БЛУЖДАНИЯ
Жданок А.И., Ивирсина Н.Б.
Тувинский государственный университет, НИЛ «Теории вероятностей и ее приложений», Кызыл
THE COMPUTER MODELING OF ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF ONE OSCILLATING RANDOM WALK
Zhdanok A.I., Ivirsina N.B.
Tuvan State University, «Laboratory the Theory of Probability and its Applications », Kyzyl
В работе изучается асимптотическое поведение одного необычного осциллирующего случайного блуждания на числовой прямой с иррациональными несоизмеримыми шагами с переключением вида переходной функции в нуле (это целое семейство блужданий).
Такое блуждание не является решетчатым и для него неприменимы многие обычные методы исследования случайных блужданий. До сих пор нет полных строгих доказательств существования стационарного распределения вероятностей соответствующей данному блужданию цепи Маркова, нет полных строгих доказательств сходимости в том или ином смысле текущих распределений к стационарному.
Теоретически такие блуждания изучались А.А. Боровковым, ряд их свойств с точки зрения теории конечно -аддитивных мер установлен также А.И. Жданком.
В настоящей работе приводятся результаты компьютерного моделирования осциллирующих блужданий при различных постановках задач такого моделирования. Получены виды распределений, порождаемых цепью Маркова, при больших номерах итераций в различных трактовках. Представлены результаты проверки статистических гипотез о типах полученных распределений, установлено, что «квази-предельные» распределения не являются ни нормальными, ни экспоненциальными, ни логнормальными. Выявлены некоторые особенности полученных «квази-предельных» распределений.
Ключевые слова: случайные блуждания, осциллирующие блуждания, асимптотические свойства, моделирование блужданий, проверка гипотез о виде распределения.
■
In this work we study the asymptotic behavior of one unusual oscillating random walk on the number line with irrational incommensurable steps to switch the view of transition function at zero (this is a whole family walks).
This walk is not lattice and for him not apply many of the usual methods of the study of random walks. Still no strong evidence of the existence of the stationary probability distribution corresponding to the given walkes Markov chains, no strong evidence of convergence in some sense of the current distributions to stationary.
Theoretically, these walks were studied by A.A. Borovkov, a number of their properties from the point of view of the theory of finitely additive measures were also studied by A.I. Zhdanok.
This article presents the results of computer simulation of oscillating random walks with different formulations of such modeling, the results of testing statistical hypotheses about the types of the received distributions, established that "quasi-limit" distribution is not normal or exponential or lognormal. Some peculiarities of the obtained "quasi-limit" distributions were revealed and the species distributions of Markov chains with large numbers of iterations on different interpretations were received.
Key words: Random walkes, oscillation random walkes, asymptotic propertys, limit distubution, modeling the random walkes, test of hypothesis about distributions.
На числовой прямой R с борелевской и - алгеброй В рассматривается следующее однородное по времени случайное блуждание.
Заданы две независимые между собой последовательности одинаково распределенных и попарно независимых в каждой последовательности случайных величин } и { }, n е N. Эти последовательности порождают случайное блуждание на (R, В) по следующим правилам:
x^, = X +£„, если х > 0, = х +п , если х < 0, где n > 0, и x -
n+1 n ~ n ' n ' n+1 n»n' n ; ^ ? 0
произвольная начальная точка в R, или произвольная случайная величина. Данное случайное блуждание порождает однородную по времени и неоднородную в пространстве цепь Маркова.
Рассматривается случай, когда случайные величины и т]п принимают равновероятно только по два значения:
= 1) = p(Zn =-42) = 1/2;
Р(лп =-1) = P(Vn = л/3) = 12.
Таким образом, для математических ожиданий выполняется
Щп = ^ < 0, мЧп = ^ > 0,
т.е. случайное блуждание в среднем стремится к некоторой окрестности нуля справа и слева, с переключением правил перехода в точке x = 0. По этой причине подобные случайные блуждания назвали осциллирующими.
Так как 42 и V3 иррациональны и несоизмеримы, то множество всех возможных значений всех случайных величин x при одинаковом x образует счетное «траекторное множество», всюду плотное в R, т.е. не «решетку». Кроме
того, цепь Маркова не имеет инвариантной счетно-аддитивной меры, т.е. стационарного распределения на таких «траекторных множествах». При этом возможно существование стационарного распределения на всем фазовом пространстве (Я, В). Эти обстоятельства как раз и усложняют теоретическое исследование подобных блужданий.
Отметим, что выше мы привели только один из вариантов осциллирующих случайных блужданий с иррациональными шагами, подобных примеров можно построить много.
Все эти обстоятельства ставят рассматриваемые случайные блуждания в ряд необычных видов блужданий, для которых неприменимы многие стандартные методы изучения случайных блужданий.
Впервые системно приступил к изучению таких блужданий А.А. Боровков в работе [1], отметив важность подобных блужданий в теории массового обслуживания, и указав на предысторию постановки задачи. В этой и в ряде своих последующих работ А.А. Боровков (см., например, [2]) установил некоторые важные асимптотические свойства таких блужданий, однако полного описания их эргодического поведения не было получено.
По предложению А.А. Боровкова один из соавторов настоящей статьи А.И. Жданок провел некоторые исследования осциллирующих случайных блужданий с использованием аппарата конечно-аддитивных мер. Полученные результаты предварительно анонсированы им в работах [3; 4; 5; 6; 7; 8], которые основаны на общих теоретических положениях работ автора [9; 10], которые мы здесь обсуждать не будем. В перечисленных выше работах также не дается строгое доказательство существования стационарного распределения на всем (Я, В) для осциллирующих случайных блужданий, и, соответственно, доказательств сходимости к ним таких блужданий в том или ином смысле.
В этой связи представляется целесообразным провести компьютерное моделирование данного осциллирующего случайного блуждания и получить экспериментальные характеристики его «квази-предельного» поведения, и, по возможности, оценить вид предельного (стационарного) распределения.
Разумеется, дедуктивный принцип всех математических построений никак не может быть заменен какими-либо вычислительными экспериментами. Вместе с тем, хорошо известно, что предварительное численное моделирование ряда математических объектов, прежде всего развивающихся во времени, в том числе случайных процессов и цепей Маркова, позволяет сформулировать те или иные утверждения об их асимптотических свойствах и помогает найти пути их теоретического доказательства.
Первоначальное моделирование рассматриваемой цепи Маркова было произведено авторами лишь для нулевого начального значения х0 = 0,
некоторые полученные предварительные результаты были анонсированы в заметке [11]. Затем было проведено моделирование при различных начальных х0, некоторые результаты также предварительно анонсированы в [12].
В настоящей работе мы расширяем перечень режимов моделирования данной цепи Маркова и применяем ряд методов математической статистики для
изучения полученных распределений, используя возможности пакета программ «STATISTICA» (лицензионная версия программы, приобретенная ТувГУ).
Сразу укажем на одно фундаментальное препятствие к такому моделированию. Компьютер в принципе не может вычислить точное значение
иррациональных чисел
42
S в десятичном (двоичном и т.п.) представлении, поскольку оно бесконечно, а закономерностей в этом представлении никто пока не нашел. По этой причине компьютер всегда округляет значение иррациональных чисел до фиксированного количества знаков после запятой, а это неизбежно приводит к замене нашей задачи на задачу блуждания по «решетке» чисел, нигде не плотной на числовой прямой. С учетом этой автоматической подмены (но с высокой точностью приближения), мы и представляем ниже результаты нашего моделирования осциллирующего случайного блуждания с «иррациональными» шагами. В нашем случае мы взяли
округление 42 и 43 до восьми знаков после запятой.
Перейдем к описанию алгоритмов вычислительных процедур. Мы их формируем в форме пяти задач, три из которых относятся собственно к построению различных распределений и содержат по два этапа каждая, а четвертая и пятая - к проверке статистических гипотез о типе этих распределений.
Задача 1. Нахождение распределения возможных значений случайной величины хп.
1-ый этап. Фиксируем произвольную начальную точку, например, x0 = 0 . Обозначим Mп множество всех возможных значений случайной величины хи
при n = 0,1,2,____Множество Mn содержит kn = 2n чисел, Ми = {x^,x2n,...,xknn }.
Все эти значения равновероятны, и p{çn = x'n }= ^ = для всех i = 1,2,...,кп .
Однако, некоторые значения могут повторяться. Приведем пример: x0 = 0, n = 3,
m3 ={x1,x32 ,...,x38 }, x4 = о+1 -42+43, x7 = о-42+43+1, и x34 = x37.
Нетрудно увидеть, что при начальном x = 0 выполняется:
mm M„ =-42 - (n -1), max Mn = n , т.е. Mn œ[-42 - (n - 1);n]«[- n - 0,4; n].
Для нахождения множеств M нами был разработан соответствующий
циклический алгоритм. Подчеркнем, что алгоритм детерминированный, и датчик случайных чисел при этом не используется (блок-схему алгоритма опускаем).
Реализовали его мы с помощью языка программирования: Microsoft Visual Basic - язык встроенный в стандартную офисную программу Microsoft Excel. Выбрали мы именно этот язык из-за простоты представления результатов программы сразу в ячейки листа Microsoft Excel. Эти данные в дальнейшем очень просто экспортировать в файл программы STATISTICA, т.к. он имеет
схожий вид в форме ячеек. Программа STATISTICA имеет широкий спектр встроенных методов для статистической обработки данных.
Конкретные расчеты мы провели для х0 = 0 и п = 10,11,...,16. Число
элементов множеств Мп при этом было от к10 = 210 = 1.024, до
к16 = 216 = 65.536 . Для увеличения количества рассматриваемых шагов п > 16
требуется увеличение ресурсов нашего компьютера.
2-ой этап. При помощи пакета STATISTICA строим эмпирическое распределение множества Мп , т.е. строим вариационный ряд по элементам Мп ,
интервальную таблицу частот, а затем гистограмму распределения.
Из-за ограниченности объема статьи, приводим эти гистограммы только для п = 10 и для п = 16, с длиной интервалов 0,5, т.е. с количеством интервалов 40 и 64 соответственно.
Гистограмма 1: х0 = о, п = 10, кп = 1.024
Гистограмма 2: х„ = 0, п = 16, к = 65.534.
Приводим числовые характеристики полученных распределений.
Таблица 1
п Среднее Медиана Мода Частота моды Дисперсия Средне квад. откл.
10 0,36 0,51 1,08 56 8,00 2,83
11 0,39 0,39 2,08 95 8,45 2,91
12 0,44 0,54 1,39 161 8,87 2,98
13 0,47 0,69 1,66 331 9,27 3,04
14 0,51 0,66 2,66 545 9,64 3,10
15 0,54 0,59 1,25 905 9,99 3,16
16 0,57 0,56 3,93 1341 10,32 3,21
Задача 2. Моделирование семейства отдельных траекторий. 1-ый этап. Берем начальное значение = 0, запускаем итерационный процесс блуждания (1) до момента времени п, и фиксируем реализованное значение хп (это одно из чисел множества Мп). При этом используем
компьютерный датчик случайных чисел с двумя равновероятными значениями: -1 и +1. Программа в этом случае простая, и реализована нами также на языке
программирования: Microsoft Visual Basic. Функция, реализующая датчик случайных чисел: Randomize.
Поскольку вычислений в программе существенно меньше, чем в Задаче 1, то мы легко можем найти реализацию хи и при больших n. Выбираем последовательно n = 16, n = 100 и n = 1000 шагов.
Повторяем этот эксперимент T раз с одной и той же х0 = 0. Получаем Т независимых реализаций значений хи . Выбираем Т = 1000 для всех значений n = 16, n = 100 и n = 1000. Получаем множество M (n, T ) экспериментальных значений случайной величины хи .
2-ой этап. С использованием программы STATISTICA, производим статистическую обработку ряда чисел M (n, T ) : строим вариационный ряд, интервальную таблицу частот, и соответствующую гистограмму с длиной интервалов 0,5. Приводим только гистограммы для n=100 и n=1000.
Гистограмма 3: Xq = 0, n = 100, T = 1000 • Гистограмма 4: х0 = 0, n = 1000, T = 1000.
В Таблице 2, приводим числовые характеристики экспериментальных распределений х16, х100 и х100 0.
Таблица 2
n Среднее Медиана Мода Частота моды Дисперсия Средне квад. откл.
16 0,59 0,73 Множест. 25 10,641 3,26
100 1,22 1,12 Множест. 4 17,29 4,16
1000 1,51 1,19 2,95 2 18,40 4,29
Отметим, что в отличие от Задачи 2, решить расчетную Задачу 1 даже при п = 100 невозможно и на современных суперкомпьютерах. При таком п число рассчитываемых значений в массиве Мп должно быть 2100 « 1030, а как утверждают физики, число всех элементарных частиц в нашей Галактике равно «всего - лишь» 1024. Поэтому, при больших п остается возможность
исследовать наше блуждание только путем прямого моделирования отдельных траекторий, т.е. решая Задачу 2.
Задача 3. Построение распределения всех пройденных точек в отдельных траекториях.
Разбиваем эту задачу на две подзадачи.
Подзадача 3.1. Построение распределения всех пройденных точек в отдельных траекториях при х0 = 0.
1-ый этап. Фиксируем начальную точку х0 = 0. Моделируем по схеме 1-го этапа Задачи 2 одну случайную траекторию за п шагов, фиксируя множество всех пройденных значений: S = {х0, х,..., хп }. Здесь все х1 уже не случайные
величины, а их реализации в данной одной траектории £ .
2-ой этап. С точки зрения эргодической теории представляет интерес распределение множества £ т.е. реализованных значений случайной величины
хи во времени. Для его нахождения строим вариационный ряд множества
интервальную таблицу частот и соответствующую гистограмму с длиной интервалов 0,5..
Как и в Задаче 2, выбираем число шагов п = 1000. Вычисления проводим для четырех независимых траекторий при тех же условиях. Приводим гистограммы только двух траекторий.
Гистограмма 5: х0 = 0, п = 1000.
Гистограмма 6: х0 = 0, п = 1000.
Приводим числовые характеристики распределений пройденных значений для всех четырех траекторий при х0 = 0.
Таблица 3
п Среднее Медиана Мода Частота моды Дисперсия Средне квад. откл.
1000 1 -0,09 -0,02 Множест. 1 31,32 5,60
1000_2 0,53 0,50 Множест. 1 11,24 3,35
1000 3 1,44 1,45 Множест. 1 11,05 3,32
1000_4 1,16 0,78 Множест. 1 3,53 3,53
Результаты проведенной нами первой части моделирования в Подзадаче 3.1 требуют дальнейшего специального качественного и количественного анализа и интерпретации. Например, вызывает некоторое удивление, что гистограммы некоторых распределений случайной величины хи и через
п = 1000 шагов имеют большие «провалы» и «выбросы», и далеки от гладких кривых (это мешает оценить характеристики предельных распределений, если они вообще есть). Возникает желание провести моделирование и при других заданных параметрах, например, для начальных точек х0 »0 и х0 «0,
далеких от точки переключения правил перехода х0 = 0.
Приведем пример моделирования Задачи 3, при других различных начальных значениях (описание этапов 1 и 2 остается прежним).
Подзадача 3.2. Построение распределения всех пройденных точек в отдельных траекториях при различных х0 ^ 0.
Гистограммы представлены выборочно при х0 >> 0 и х0 << 0. Гистограмма 7: х0 = 90, п = 1000 Гистограмма 8 : х0 = 100, п = 1000
Обращает на себя внимание то, что почти во всех гистограммах в окрестности начальных точек наблюдается малообъяснимое возрастание частот, т.е. случайное блуждание надолго задерживается около х0, прежде чем быстро уйти к нулю и около него уже и оставаться.
Приводим числовые характеристики полученных распределений.
Таблице 4
Х0 n Среднее Медиана Мода Частота моды Дисперсия Средне квад. откл.
10 1000 3,73 1,97 Множест. 1 46,70 6,83
20 1000 1,80 1,41 Множест. 1 17,45 4,18
30 1000 2,83 0,77 Множест. 1 78,07 8,83
40 1000 3,41 1,25 Множест. 1 77,74 8,82
50 1000 6,10 1,68 Множест. 1 194,86 13,95
60 1000 7,99 3,07 Множест. 1 216,50 14,71
70 1000 21,51 10,90 Множест. 1 587,67 24,24
80 1000 17,42 3,98 Множест. 1 652,63 25,56
90 1000 24,14 4,32 Множест. 1 1130,02 33,61
100 1000 25,33 7,44 Множест. 1 1018,73 31,92
-10 1000 0,90 1,16 Множест. 1 15,99 4,00
-20 1000 1,00 1,07 Множест. 1 17,58 4,19
-30 1000 -0,29 0,50 Множест. 1 24,63 4,96
-40 1000 1,00 1,12 Множест. 1 81,09 9,00
-50 1000 -0,74 1,50 Множест. 1 190,02 13,78
-60 1000 -6,06 -1,00 Множест. 1 198,58 14,09
-70 1000 -4,41 0,25 Множест. 1 267,60 16,36
-80 1000 -16,36 -1,35 Множест. 1 772,21 27,79
-90 1000 -8,70 -0,40 Множест. 1 487,58 22,08
-100 1000 -14,31 -1,23 Множест. 1 803,86 28,35
Перейдем теперь к определению типов полученных выше распределений.
Задача 4. Проверка статистических гипотез о типе распределений.
Мы будем исследовать распределения, полученные выше в Подзадачах 3.1. и 3.2. с помощью программного пакета 8ТАТКТ1СА на примере четырех гистограмм.
Гистограмма 11: х0 = 10, п = 1000 Гистограмма 12: ^ = _ш, п = 1000
Гистограмма 13: х0 = 100,п = 1000 Гистограмма 14:
х0 =-100, п = 1000
1111111111111
_|—-1———————1.—— —I—
Н— ——г——
Формулируем стандартную первоначальную гипотезу Н0: полученные распределения являются нормальными. Применяем два классических критерия -Хи-квадрат и Колмогорова-Смирнова для проверки гипотезы Н0 с уровнем значимости 0,05.
Приводим результаты проверки.
Таблица 5
х0 п Критерий Хи-квадрат: гипотеза Критерий Колмогорова-Смирнова: гипотеза
10 1000 отвергается отвергается
-10 1000 Отвергается отвергается
100 1000 Отвергается отвергается
-100 1000 Отвергается отвергается
Двумя методами получен результат о том, что для промоделированных распределений гипотеза Н отвергается, что и следовало ожидать ввиду различной скорости движения в среднем случайной величины хи к нулю слева и
справа, т.е. из-за явной асимметричности распределения.
Так как рассматриваемые распределения не симметричные, то можно рассмотреть отдельно каждую «ветвь» распределения: правую и левую, т.е. при реализованных экспериментальных значениях случайной величины хи > 0 и
хи < 0, или при хи > Ме и хя < Ме, где Ме- медиана распределения. Реализуем случайное блуждание при конкретном значении х , затем оставляем только положительные значения реализованной траектории, отрицательные отбрасываем - получившиеся множество значений случайной величины назовем правой «ветвью». Аналогичным образом, оставив только отрицательные значения реализованной траектории, получим левую «ветвь».
Очевидно, что эти половинки, как самостоятельные распределения, не являются нормальными. Проверим согласованность этих распределений с другими: экспоненциальным, логнормальным, хи-квадрат. Имея множество реализации значений случайной величины, это можно выполнить с помощью встроенных функций пакета программы «8ТАТ1СТ1СА».
Приведем пример моделирования Подзадачи 3.2 при различных начальных значениях.
Гистограмма 15: х0 = 10,п = 1000, хп > 0 гипотеза: вид распределения «экспоненциальное»
Колмогоров-Смирнов <1 = 0,07289, р < 0,0 1
Гистограмма 16: х0 = 10, п = 1000, хп < 0 гипотеза: вид распределения (1-¥(х)) «экспоненциальное»
Колмогоров-Смирнов а = 0,2 6764, р < 0,0 1
Гистограмма 17: х0 = 100, п = 1000, хп > 0 гипотеза: вид распределения «экспоненциальное»
Колмогоров-Смирнов а = 0,17023, р < 0,0 1
......
......
1.1 1 1 ■тЛ—-X-
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Гистограмма 18: х0 = 100, п = 1000,хп < 0 гипотеза: вид распределения (1-¥(х)) «экспоненциальное»
Колмогоров-Смирнов а = 0,24357, р < 0,0 1
Гистограмма 19: х0 = 10, п = 1000, хп > 0 гипотеза: вид распределения «логнормальное»
1 \
И N
та
I]
.......кп 1.....Д-р...... ¡а^-
Гистограмма 20: х0 = 10, п = 1000, хя < 0 гипотеза: вид распределения (1-¥(х)) «логнормальное»
Тувинский государственный университет
Теперь, при помощи критерия Хи-квадрат, с уровнем значимости 0,05 проверяем гипотезу о виде распределения правой и левой ветвей по отдельности. Приводим в Таблице 6 результаты проверки всего набора гистограмм.
Таблица 6
Х0 Хп п Вид распределения по гипотезе Гипотеза (критерий Хи-квадрат)
0 хп > 0 1000 экспоненциальное отвергается
0 хп > 0 1000 Логнормальное отвергается
0 хп > Ме 1000 экспоненциальное отвергается
0 хп > Ме 1000 Логнормальное отвергается
0 хп < 0 1000 экспоненциальное отвергается
0 хп < 0 1000 Логнормальное принимается
0 хп < Ме 1000 экспоненциальное отвергается
0 хп < Ме 1000 Логнормальное отвергается
0 хп < Ме 1000 Хи-квадрат принимается
10 хп > 0 1000 экспоненциальное отвергается
10 хп > 0 1000 Логнормальное отвергается
10 хп < 0 1000 экспоненциальное отвергается
10 хп < 0 1000 Логнормальное отвергается
100 хп > 0 1000 экспоненциальное отвергается
100 хп > 0 1000 Логнормальное отвергается
100 хп < 0 1000 экспоненциальное отвергается
100 хп < 0 1000 Логнормальное отвергается
Итак, даже в таком искусственном представлении текущих распределений хи через их левые и правые ветви установить вид их распределения из перечня
хорошо известных не удается - только в двух случаях из семнадцати гипотеза о виде распределения принимается.
Перейдем к еще одной попытке представления несимметричных распределений случайных величин хи . Визуальный анализ распределений и
аналитические правила построения переходов случайных блужданий на интуитивном уровне говорят нам о том, что левые и правые ветви эмпирических
распределений хи подчинены одному и тому же закону, но с разными параметрами.
Оценки для асимметрического распределения хи, выведенные в работе
А.А. Боровкова [1], также свидетельствуют об этом.
В этих обстоятельствах нам представляется естественным и оправданным сделать следующее преобразование несимметричных распределений хи в двух
вариантах. Сперва берем правую относительно нуля ветвь распределения хи , т.е. гистограмму реализаций хи > 0, и зеркально отражаем ее относительно оси OY на отрицательную полуось OX. В результате получаем симметричное искусственное распределение, построенное не основе хи. И далее проверяем гипотезы о виде его распределения. Затем тоже самое производим и для левой относительно нуля ветви распределения хи .
Нужно было бы проделать всю указанную процедуру преобразования распределения хи и для левых и правых ветвей относительно медианы Mexn
или среднего Мхп (что мы частично и сделали), но из-за ограниченного объема
статьи приведем результаты только для левых и правых ветвей относительно нуля, т.е. точки переключения правил перехода нашего случайного блуждания.
Приведем лишь три гистограммы построенных симметричных распределений, преобразованных из эмпирического распределения хи . Считаем
непринципиальным выбор левой или правой ветви для копирования (отражения) на противоположной оси, и, исходя из этого, за основу берем только правые ветви (хи > 0). Распределения строятся для различных начальных точек х0 .
Гистограмма 25: х0 = 0,п = 1000, хя > 0 Гистограмма 26: Х0 = 10, п = 1000, Хи > 0
гипотеза: вид распределения «нормальное» гипотеза: вид распределения
«нормальное»
Колмогоров-Смирнов d = 0,03455, p < 0,15
-16 -14 -12 -10
Гистограмма 27: Х0 = 100, П = 1000, Хи > 0
гипотеза: вид распределения «нормальное»
0 ■ ■ ■
%
1
1
1 Ы
___I____{
......I—^—
Как уже отмечено, в гистограммах мы проверяем гипотезу Н0 о нормальности построенных распределений с уровнем значимости 0,05. Приведем результаты проверки.
Таблица 7
Х0 п Гипотеза о виде распределения Гипотеза (критерий Хи-квадрат)
0 1000 Нормальное отвергается
10 1000 Нормальное отвергается
100 1000 Нормальное отвергается
Таким образом, и для преобразованного симметричного распределения хп гипотеза о его нормальности не подтверждается.
Задача 5. Проверка статистических гипотез о совпадении распределений.
Посмотрим на рассматриваемые распределения, связанные со случайной величиной хи, с точки зрения возможных эргодических свойств изучаемого
случайного блуждания. Понятие эргодичности случайных блужданий и порождаемых ими цепей Маркова имеет много внешних, а иногда и содержательно различных формулировок. Этому понятию посвящена обширная литература. Одним из соавторов настоящей работы также изучает вопросы эргодичности общих цепей Маркова в [9] и [10]. Мы здесь не будем касаться сложных вопросов эргодичности изучаемого случайного блуждания, поскольку основная цель настоящей работы - всего лишь численное моделирование таких блужданий и статистический анализ получаемых распределений. По этой причине мы исследуем лишь простой вопрос, касающийся эргодичности в рамках построенных нами распределений.
В Задаче 2 мы моделировали значения случайной величины хи при фиксированном п (п = 16, п = 100, п = 1000) в Т = 1000 реализациях при одном и том же начальном значении х0 = 0 . Полученное распределение характеризует
осреднение (по реализациям) значений случайной величины хи по пространству на момент времени п .
В Подзадаче 3.1. мы рассматриваем одну траекторию блуждания хи при фиксированном большом п, и строим распределение всех пройденных (реализованных) точек х^. при 0 < к < п. Полученное распределение характеризует осреднение реализованных значений х^ по времени к = 0,1,2,..., п для данной траектории случайной величины х (эти расчеты повторяем для нескольких различных траекторий хи).
Одна из формулировок эргодического принципа (при его справедливости для данного блуждания) утверждает, что оба указанных выше распределения должны быть близки при больших п и Т, т.е. «среднее по пространству в пределе должно быть равно среднему по времени».
Для проверки выполнения данного принципа необходимо сравнить описанные выше распределения и оценить их близость. Сделать это можно несколькими известными методами. Мы используем подход, в котором оба распределения описывают выборки из некоторой генеральной совокупности и проверяем гипотезу, что это одна и таже генеральная совокупность.
Приведем вначале сами обсуждаемые распределения.
Реализуем, случайное блуждание при х0 = 0.
Задача 2. Повторим эксперимент Т = 1000 раз с одной и той же х0 = 0. за п = 1000 шагов. Получаем множество М(1000,1000) экспериментальных значений случайной величины хи , представленное в Гистограмме 28.
Гистограмма 28: х0 = 0, п = 1000, Т = 1000
180 160 ш 140
I 120 ™ 100
£ 80
* 60
40
20
0
Подзадача 3.1. Фиксируем туже начальную точку х0 = 0. Моделируем
одну случайную траекторию за п = 1000 шагов, фиксируя множество всех пройденных значений £ . Результаты представляем в следующей Гистограмме.
Прмн: х(0) м_ 1 0 0 0, Распред.:Нормальное
Критерий Хи-квадрат = 131,41438, сс = 2 0 (сюрр.) , р = 0,0 00 0 0
- 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 26 2 8 3 0 1 -9 -7 -5 -3 - 1 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 23 2 5 2 7 29
Гру ппа (верхние границы )
Гистограмма 29: х0 = 0, п = 1000
Прмн: [(0) 1 тр, Распред.Нормальное Критерий Хи-ке адрат = 1 43,6 3 1 99, сс = 32 (сюрр.) , p = 0,00000
Группа (в ерхние границы)
Формулируем гипотезу. Реализованные множества М(1000,1000) и £ извлечены из одной генеральной совокупности. Из встроенных функций программ пакета статистика проверяем эту гипотезу с помощью трех критериев: Колмогорова - Смирнова, Вальда-Вольфовица и Манна-Уитни.
Приводим результаты проверки в форме представления результатов в пакете программ 8ТЛТ18Т1СЛ, где в столбце р-уровень показано на каком уровне значимости принимается гипотеза (на уровне значимости 0,05, р-уровень должен быть больше этого значения, т.е. больше 0,05).
Таблица 8
Перем. Критерий Колмогорова-Смирнова (Ыро1ег.з1а) По перем. коды Отмеченные критерии значимы на уровне р <,05000
Макс.отр Рлзн. Макс, по Разн. р-уров. Среднее Группа 1 Среднее Группа 2 Ст. откл Группа 1 Ст. откл Группа 2 N набл. Группа 1 N набл. Группа 2
обьёДИН. выбор. -0,0079321 0.233766 р < .001 3,264235 1,279144 3,894490 4,270498 1001 1001 |
Таблица 9
Перем. Критерий серий Вальда-Вольфовица (ЫроТ По перем коды Отмеченные критерии значимы на уровне ег эта) <,05000
N набл. N набл. Среднее Среднее Группл 1 Группа 2 Группа 1 Группа 2 2. р-уров. 2. скорр. р-уров. Число Число серий совп.
объедин.выбор. 10011 1001 3,264235 1 ,279144 -2,90616 0,003659 2.883807 0,003929 937 О
Таблица 10
Перем. Манна-Уитни 1) критерий (Ыро1ег.з1а) По перем. коды Отмеченные критерии значимы на уровне р <,05000
Сум.ранг Группа 1 Сум.ранг Группа 2 и 1 р-уров. г скорр. р-уров. N набл. Группа 1 N набл. Группа 2
объедин.выбор. 1149608 855395,0 353894,0 11,37491 0,000000 11,37491 0,000000 1001 1001
Приведем общие выводы проверки.
Таблица 11
Уровень значимости Критерий Колмогорова -Смирнова Критерий Вальда-Вольфовица Критерий Манна - Уитни
0,05 отклоняется отклоняется отклоняется
Подведем кратко некоторые общие итоги проведенного нами компьютерного моделирования, описанного выше осциллирующего случайного блуждания и порождаемой им цепи Маркова.
Были получены различные типы экспериментальных распределений, связанных с асимптотическим поведением случайного блуждания в Задачах 1-3. Проверка гипотез по отнесению их к известным типам распределений дала отрицательные ответы, что можно считать важным результатом настоящей работы.
Одной из причин полученных «отрицательных» характеристик блуждания, по-видимому, можно считать резкое (разрывное) переключение тактики поведения случайного блуждания, т.е. вида его переходной функции в точке ноль. Действительно, визуальный анализ представленных выше экспериментальных распределений, показывает нестандартность кусков гистограмм, находящихся в некоторой небольшой окрестности нуля (плюс - минус несколько единиц).
В этой связи представляется целесообразным в будущем промоделировать и сглаженные варианты изученного случайного блуждания, представленные в только что опубликованной работе одного из авторов настоящей статьи [8].
Результаты настоящей работы подсказывают исследователям, теоретически исследующим асимптотическое поведение данного случайного блуждания, об отсутствии для него «красивых» (классических) типов предельных (в том или ином смысле) и стационарных распределений.
Авторы статьи выражают глубокую благодарность профессору Л.Я. Савельеву за постоянное внимание к нашей работе по данной теме, продолжающейся уже ряд лет, за ценные советы, а, порой, и за справедливую критику. Мы постарались учесть все его замечания и пожелания.
Библиографический список
1. Боровков А.А. Предельное распределение для осциллирующего случайного блуждания. //ТВиП, 1980, т. XXV, в. 3, стр. 663-665.
2. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М., Эдиториал УРСС, 1999; Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН, 1999. 440 стр.
3. Жданок А.И. Фазовое пространство одного осциллирующего случайного блуждания. //Научные труды ТывГУ, Выпуск I. - Кызыл: Изд-во ТывГУ, 2003. C. 86-91.
4. Жданок А.И. Плотность положительных траекторий одного осциллирующего случайного блуждания на числовой прямой. //Научные труды ТывГУ, Выпуск II, Том II. - Кызыл: Изд-во ТывГУ, 2005. C. 28-32.
5. Жданок А.И. Существование инвариантных мер одного осциллирующего случайного блуждания с иррациональными шагами. //Научные труды ТывГУ, Выпуск IV, Том II. - Кызыл: Изд-во ТывГУ, 2006. С. 49-53.
6. Жданок А.И. Свойства инвариантных мер одного осциллирующего случайного блуждания с иррациональными шагами. //Научные труды ТывГУ, Выпуск IV, Том II. - Кызыл: Изд-во ТывГУ, 2006. С. 43-48
7. Zhdanok A. Invariant measures of one oscillating Random Walk //Modern stochastics: Theory and Applications III. Conference Materials. September 10-14, 2012, Kyiv, Ukraine. P. 55. (Жданок А.И.
Тувинский государственный университет
Инвариантные меры одного осциллирующего случайного блуждания. Материалы Международной конференции «Современная стохастика»).
8. Жданок А.И. Сглаживание осциллирующих случайных блужданий.//Научные труды ТувГУ, выпуск XI, Том II. Кызыл: Изд-во ТувГУ. 2013 г. С. 76-79.
9. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains I.//Siberian Advances in Mathematics. V. 13, N 1, 2003. p. 87-125. (USA, AIIerton press inc). (Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова!).
10. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains II.//Siberian Advances in Mathematics. V. 13, N 2, 2003. p. 108-125. (USA, AIIerton press inc)/ (Жданок А.И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова.П).
11. Жданок А.И., Ивирсина Н.Б. Моделирование на ЭВМ осциллирующих случайных блужданий. //Научные труды ТувГУ, выпуск X, Том II. - Кызыл: Изд-во ТувГУ, 2012. С. 110-114.
12. Ивирсина Н.Б. Моделирование осциллирующих случайных блужданий при различных условиях.//Научные труды ТувГУ, выпуск XI, Том II. - Кызыл: Изд-во ТувГУ, 2013. С. 79-81.
Bibliograflcheskij spisok
1. Borovkov A.A. Predelnoe raspredelenie dlya ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya. //TViP, 1980, t. XXV, v. 3, str. 663-665.
2. Borovkov A.A. Ergodichnost i ustojchivost sluchajnykh protsessov. M., Editorial URSS, 1999; novosibirsk: Izd-vo IM SO RAN, 1999. 440 str.
3. Zhdanok A.I. Fazovoe prostranstvo odnogo ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya. //Nauchnye trudy TyvGU, Vypusk i. - Kyzyl: Izd-vo TyvGU, 2003. c. 86-91.
4. Zhdanok A.I. Plotnost polozhitelnykh traektorij odnogo ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya na chislovoj pryamoj. //Nauchnye trudy TyvGU, Vypusk II, Tom II. - Kyzyl: Izd-vo TyvGU, 2005. c. 28-32.
5. Zhdanok A.I. Suschestvovanie invariantnykh mer odnogo ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya s irratsionalnymi shagami. //Nauchnye trudy TyvGU, Vypusk IV, Tom II. - Kyzyl: Izd-vo TyvGU, 2006. s. 49-53.
6. Zhdanok A.I. Svojstva invariantnykh mer odnogo ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya s irratsionalnymi shagami. //Nauchnye trudy TyvGU, Vypusk IV, Tom II. - Kyzyl: Izd-vo TyvGU, 2006. s.43-48.
7. Zhdanok A. Invariant measures of one oscillating Random Walk//Modern stochastics: Theory and Applications III. Conference Materials. September 10-14, 2012, Kyiv, Ukraine. P. 55. (Zhdanok A.I. Invariantnye mery odnogo ostsilliruyuschego sluchajnogo bluzhdaniya. Materialy mezhdunarodnoj konferentsii "Sovremennaya Stokhastika").
8. Zhdanok A.I. Sglazhivanie ostsilliruyuschikh sluchajnykh bluzhdanij.//Nauchnye trudy TuvGU, Vypusk XI, Tom II. Kyzyl: Izd-vo TuvGU. 2013 g. S. 76-79.
9. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains I.//Siberian Advances in Mathematics. V. 13, N 1, 2003. P. 87-125. (USA, Aiierton press inc). (Zhdanok A.I. Konechno-additivnye mery v ergodicheskoj teorii tsepej Markova.I).
10. Zhdanok A.I. Finitely additive measures in the ergodic theory of Markov chains II.//Siberian advances in Mathematics. V. 13, N 2, 2003. P. 108-125. (USA, Aiierton press inc)/ (Zhdanok A.I. Konechno-additivnye mery v ergodicheskoj teorii tsepej Markova.II).
11. Zhdanok A.I., Ivirsina N.B. Modelirovanie na EVM ostsilliruyuschikh sluchajnykh bluzhdanij .//Nauchnye trudy TuvGU, Vypusk X, Tom II. - Kyzyl: Izd-vo TuvGU, 2012. s. 110-114.
12. Ivirsina N.B. Modelirovanie ostsilliruyuschikh sluchajnykh bluzhdanij pri razlichnykh usloviyakh.//Nauchnye trudy TuvGU, Vypusk XI, Tom II. - Kyzyl: Izd-vo TuvGU, 2013. S. 79-81.
Жданок Александр Иванович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики (заведующий кафедрой), научный руководитель НИЛ «Теории вероятностей и ее приложений» Тувинского государственного университета, главный научный сотрудник Тувинского Института комплексного обследования природный ресурсов РТ СО РАН, Кызыл, E-mail: zhdanok@inbox. ru
Ивирсина Нина Борисовна - преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Тувинского государственного университета, Кызыл, Email: ivirsinanb@mail.ru
Zhdanok Alexander - Doctor of Physical and Mathematical sciences, professor of Department of mathematical analysis and methods of teaching mathematics (Chair), the supervisor of laboratory "Theory of Probability and its Applications" Tuvan State University, Chief researcher of the Tuvan Institute of complex examination of natural resources of the RT, SB RAS Kyzyl, Email: zhdanok@inbox.ru
Ivirsina Nina - Lecturer, Department of Mathematical Analysis and methods of teaching mathematics Tuvan State University, Kyzyl, E-mail: ivirsinanb@mail.ru
УДК 544.023.55:519.245
ОБРАЗОВАНИЕ ВТОРИЧНОЙ СТРУКТУРЫ НАНОЧАСТИЦЫ В РЕШЁТОЧНОЙ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
Красильников М.П.
ФГБУН Тувинский институт комплексного освоения природных ресурсов Сибирского отделения Российской академии наук (ТувИКОПР СО РАН), Кызыл
THE FORMATION OF SECONDARY STRUCTURE OF NANOPARTICLE IN LATTICE SIMULATION
Krasil'nikov M.P.
The Tuvan Institute for Exploration of Natural Resources of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (TuvIENR SB RAS)
Алгоритм Метрополиса был применен для моделирования процесса релаксации металлической наночастицы на простой кубической решётке с удвоенным числом узлов модельного пространства, приходящимся на элементарную ячейку частицы. Обнаружено образование устойчивой вторичной структуры частицы.
Ключевые слова: наночастица, решёточная модель, вторичная структура, имитационное моделирование.
The Metropolis algorithm was used to simulate the relaxation of the metal nanoparticle on a simple cubic lattice with twice the number of nodes of the model space per unit cell of particle. The formation of a stable secondary structure of the particle was been found.
Key words: nanoparticle, lattice model, secondary structure, stochastic simulation.
Решёточные имитационные модели нашли широкое применение в различных областях физики и химии и, в частности, - в моделировании процессов гетерогенного катализа [1]. Главной проблемой построения такой модели является выбор степени детализации моделируемых явлений, который является компромиссом между детальностью представления и стремлением отбросить «излишние» подробности. Именно имитационные модели, будучи моделями минималистическими, позволяют выделить ключевые моменты моделируемого процесса [2].
