ИЗМЕРЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2023, том 33, № 3, c. 60-73

- СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРИБОРОВ ^

И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МЕТОДИК

УДК 543.426; 543.9

© Б. М. Мамиконян, С. А. Казарян, 2023

ИЗМЕРЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ

Разработано микроконтроллерное устройство цифрового измерения составляющих комплексного сопротивления взаимной индукции магнитно-связанных катушек для случая, когда из-за эффектов "емкости" и "вихревых токов" в ЭДС взаимной индукции возникают "примесь" и "фазовый дефект". При этом в комплексном сопротивлении взаимной индукции появляется активная составляющая. Для инвариантного измерения составляющих этого сопротивления использован фазовый метод в сочетании с временным разделением канала измерения. Измерительная цепь (ИЦ) питается током управляемого генератора синусоидальных сигналов. Информативным параметром выходного сигнала ИЦ является угол фазового сдвига между двумя напряжениями. Эти напряжения поступают на аналоговые входы программируемого микроконтроллера (МК). В процессе измерения МК устанавливает частоту генератора, управляет переключением канала измерения, измеряет угол фазового сдвига между выходными напряжениями ИЦ и по заданным алгоритмам вычисляет составляющие комплексного сопротивления взаимной индукции. Изложены теория метода, методика расчета параметров элементов ИЦ, оценка чувствительности преобразования, анализ погрешностей измерения.

Кл. сл.: взаимная индукция, комплексное сопротивление, измерение, фазовый метод, угол сдвига фаз, погрешность измерения

Обозначения

В тексте электротехнические комплексные величины обозначаются латинскими буквами с точкой сверху, как, например, Е.

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление взаимной индукции (ВИ) является одним из наиболее важных параметров электрических цепей, который необходимо определять для систем катушек, применяемых в различных областях, включая трансформаторы, электрические машины и аппараты, электромагнитные устройства автоматики и измерительной техники, технологии связи, производство и передачу электроэнергии. Помимо этих традиционных применений, появляются новые. Индуктивно-связанные катушки являются важными узлами систем беспроводной передачи энергии, которые уже нашли применение в бытовой электронике, промышленном производстве и медицинских имплантатах, активно изучаются возможности их применения для зарядки электромобилей. Другой развивающейся отраслью промышленности является робототехника. Здесь нужны системы точного измерения перемещений механизмов, способных работать в условиях загрязненных сред. Таким требованиям наилучшим образом удовлетворяют системы, по-

строенные на базе датчика взаимной индуктивности. Широкое применение ВИ обуславливает требование постоянного совершенствования методов и средств измерения ее параметров.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В индуктивно связанных катушках сопротивление ВИ обычно определяется размером и геометрией обмоток, относительным положением между первичной и вторичной обмотками и витками обмоток. На частотах, превышающих f = 100 Гц, усиливаются эффекты "емкости" и "вихревых токов" [1-3]. Межвитковые емкости, потери на вихревые токи в проводниках обмоток, утечки и диэлектрические потери в изоляции приводят к ситуации, когда угол сдвига фазы между ЭДС Е2, индуцируемой во вторичной обмотке, и током 11 в первичной обмотке отличается от 90°. Нарушается также простая пропорциональность ЭДС Е2 частоте и значению геометрической (низкочастотной) индуктивности М0. Вместо идеального уравнения Е2 = 7®М011 появляется зависимость

Е2 = [ст + > (М0 + ДМ)]I = (ст + ]аМ)I, (1)

где о и ДМ — корректирующие члены, называемые соответственно "примесью" и "частотной коррекцией" М0 на частоте /. В комплексном сопротивлении ВИ ZM = а + ]аМ увеличивается эффективная взаимная индуктивность

М = М +АМ.

малый

угол

8 =

= агс^ (а/аМ)« а/аМ отображает фазовый дефект ВИ.

Активное сопротивление о зависит от частоты и некоторых других факторов. Наиболее подробно теория эффектов "емкости" и "вихревых токов" изложена в [1], теоретическая оценка дает приблизительно квадратичную зависимость о от частоты / Показано [1], что в случае, если первичная катушка должна пропускать большой ток, отклонение от квадратуры векторов Ё2 и 11 может стать значительным: рассмотрен пример, в котором даже при сравнительно низкой частоте / = 60 Гц дефект фазы составляет 75 мин. При применении ферромагнитных сердечников дефект фазы увеличивается и может достигать 10° [4].

В ряде случаев катушка ВИ используется для высокоточного установления сдвига фазы между током и напряжением на 90°, как, например, в прямоугольно-координатных потенциометрах, в стандартах высокочастотной мощности переменного тока и др. В [2] построена эквивалентная схема замещения катушек с индуктивной связью с учетом всех паразитных емкостей и получены математические зависимости а и ДМ от этих емкостей. При разработке стандартов высокочастотной мощности необходимо очень точно знать фазовую погрешность шунтов переменного тока [5, 6]. Погрешность фазового угла сильноточных шунтов калибруется по шунту с известным фазовым углом. Сопротивления сильноточных шунтов обычно находятся на уровне МОм, а реактивное сопротивление шунтов, которое генерируется эквивалентной индуктивностью, является доминирующей частью на высокой частоте. Измерения дефекта фазы взаимной индуктивности на частотах от 20 кГц до 200 кГц произведены в [2].

Для инвариантного измерения составляющих комплексных сопротивлений широко применяются мосты переменного тока в режиме уравновешивания [7, 8]. Для уравновешивания моста две его составляющие должны быть регулируемыми и градуированными, обычно применяются переменные образцовые сопротивления или емкости [3, 9]. С применением моста иМРТ-2 были измерены угловые погрешности катушек взаимной индуктивности типов КУ-1 и КУ1-5 (М = 0.01 Гн и М = 0.001 Гн) в диапазоне частот от 400 до 2500 Гц [3].

Мосты переменного тока работают обычно на низких частотах — до 1000 Гц; при работе на повышенных частотах погрешность измерения резко возрастает [10]. Мостовые методы измерения имеют общий недостаток: в них не обеспечивается выходной сигнал с единственным информативным параметром для передачи на расстояние или сопряжения со средствами вычислительной техники с целью автоматизации процесса измерения и обработки результатов измерений.

СУЩНОСТЬ РАЗВИВАЕМОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ

Как показано в настоящем исследовании, указанный недостаток мостовых методов можно устранить, если использовать фазовый метод измерения составляющих ХМ [11]. Сущность метода поясняется с помощью рис. 1.

В измерительной цепи (ИЦ) с первичной обмоткой ВИ последовательно соединены два образцовых резистора: опорный резистор Я1 и дополнительный резистор Я2. В ИЦ измеряемые параметры о и М преобразуются в угол фазового сдвига ф между выходными напряжениями и8 и иы, которые поступают на аналоговые входы микроконтроллера (МК), при этом вторичная обмотка ВИ работает в режиме холостого хода.

В первом (а) и втором (б) положениях переключателя имеем соответственно

из1 = 1( Я1 + а + ]аМ), й5 2 = I (Я1 + Я2 + а + ]аМ),

а опорное напряжение йм = 1Я1, где I — измерительный ток. Следовательно, будем иметь

tgр = аМ/ (а + Я1),

tgр2 = аМ/ (а + Я1 + Я2),

преобразованием которых получаем

Я

(2)

М=

а

а =

(с^р - с^р)'

(Я1 + Я2) ^ р - Я, ^ р2

(3)

(4)

Видно, что обеспечивается независимое друг от друга (инвариантное) определение Ми о, при этом необходимо измерить только угол ф в двух положениях переключателя, а результат измерения не зависит от стабильности измерительного тока.

а

Рис. 1. Упрощенная функциональная схема измерителя.

1 — генератор синусоидального напряжения с программируемой частотой, 2 — микроконтроллер, 3 — электронный переключатель, 4 — цифровое табло

В экспериментальном образце измерителя использованы микросхема генератора АБ9833 [12] и МК типа PIC32MX695F512H [13]. Аналоговые входы МК снабжены компараторами, где угол ф преобразуется во временной интервал т, который измеряется в МК методом дискретного счета. При каждом измерении МК устанавливает требуемую частоту ш генератора, управляет положением переключателя, измеряет углы ф\ и ф2, вычисляет значения М и о по алгоритмам (3) и (4) и выводит результаты измерения на цифровое табло.

ВЫБОР ДИАПАЗОНА ШКАЛЫ И АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

Анализ показывает, что из-за особенностей тангенсных и котангенсных функций чувствительность преобразования Др = р1 - р2 максимальна в середине шкалы 0° < р < 90° угла и падает по краям этого диапазона, поэтому шкала угла ф выбрана в диапазоне 15° < р < 75°, что реализуется выбором сопротивлений R\ и R2 с учетом диапазонов измерения М и о. При этом, поскольку р > р2, то верхний предел шкалы устанавливается значением сопротивления R1, а нижний — значением сопротивления R2.

Выполним расчет этих сопротивлений для случая частоты измерительного тока f = 1000 Гц

и диапазонов измерения о = 1-10 Ом, юМ = 1001000 Ом. Исключив из двух выражений (2) сумму (ст + R1), получаем

Я2 = а (Мтш • с^ р2тт -Мтах • ctg ртах ).

С учетом значений С§15° = 3.732 и ctg75° = = 0.268 получаем для шкалы М значение R2 »105 Ом, а также ст + Я1 = 1000/3.732 » » 268 Ом, ст + R1 + R2 = 100 / 0.268 » 373 Ом. При этих значениях находим также углы ртт и р2тах :

ЧР тт

Р2тах

100

ст + Я 268

! 0.373, Ртт - 20.45°;

аМ„

1000

ст + Я + Я2 373

2.681, Р2тах = 69.55°.

По результатам расчета чувствительности преобразования на рис. 2 построена кривая зависимости Др = f (р).

Для выбора шкалы о следует учесть, что с увеличением о угол ф уменьшается, как видно из (2). Поэтому целесообразно измерить вместо о добротность вторичной обмотки ВИ Q = соМ/ст, поскольку, имея значения аМ и Q , МК вычислит значения о.

дф> 10

8

о

10

20

40

8 хю ф°

70 100 х10 юМ, Ом

Рис. 2. График зависимости чувствительности преобразования Др = f (р) вдоль шкалы угла р

Из (3)и (4) следует, что

Q =

Я

(Я + Я ) ctg р - Я С^ Р2 '

(5)

tgР1 = tgР2 =

б

1 + Я1/ст

Я

1 + (Я + Я2 )/ст'

1 + Я/ ст = Ятах/^рп

(8)

tg Р2тт

бт

йтах/^Ртах + Я2 /СТ

а диапазон измерения б, определяемый диапазонами измерения юМ и а, будет б = 100-1000. Представим формулы (2) в виде:

откуда находим отношение

Я2 /СТ = бтп Р2тп - бтах Рт

105.

(6)

(7)

Для шкалы б целесообразно сохранить значение сопротивления Я2 = 105 Ом, которым устанавливается чувствительность преобразования. Для отметки р1тах шкалы из (6) определяем

и подставляем в формулу (7), представленную для начальной отметки шкалы:

Следовательно, ст = Я/105 = 1.0 для всей шкалы, с учетом чего из (8) находим Я1 = 267 Ом. Таким образом, для М и б получаем единую шкалу угла ф.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

Произведена теоретическая оценка погрешностей определения М и б по формулам (3) и (5). Нестабильность частоты ю не вызывает погрешности в (3), поскольку при вычислении угла ф по формуле р = (т/Т)■ 360° МК измеряет также период Т = 1// измерительного тока. Поэтому относительная погрешность определения М будет

х(M) = ЛM = ЛЯ^ | Л(^ё,)-Л(Ctg^2)

M R

Ctg, - Ctg,

= Xr (M ) + х, (M ),

где обозначены частные погрешности:

Xr (M) = ЛЯ2/R2 = х(R2),

(9)

(10)

(M ) =

Л( Ctg,)-^ Ctg,2 ) = Ctg,2 - Ctg, Ctg,1 -X( Ctg, )-Ctg,2 -X( Ctg,2 ) Ctg,2 - Ctg, '

(11)

Аналогичным образом получаем из выражения

(5):

xr ( Q ) =

x(Q ) = Xr (q) + X, (q),

л r (Q) = Q

R (Ctg ,2 - Ctg ,)[x (R) - x (R2)]

(R + R2)Ctg, -RiCtg,2

(12)

X, (Q) =

Л, (Q)

Q

R1 • Ctg ,2 -X(Ctg,2 )-(R1 + R2 ) Ctgf|- X( Ctg, ) (R + R2)Ctg, -R1 Ctg,2

(13)

Анализ показывает, что фазовый метод измерения параметров ВИ чрезмерно критичен к стабильности сопротивлений резисторов Я1 и Я2, поэтому выбраны наиболее высокоточные металлофольговые резисторы типа С5-61 [14]. С учетом значений допуска ±0.005% от номинального сопротивления Ям и ТКС

at = ±10 • 10 6 °C1 абсолютное изменение сопротивления резистора в нормальных условиях эксплуатации (при температуре 20 ± 5 °C) будет

ЛДЕ = 0.00005RN + ЛЯ, =±1.5 -10-4 RN,

где ЛЯ, = at -Л/• RN = 10-10-6 -10RN = ±10-4RN — температурное изменение сопротивления резистора. Следовательно, частная относительная погрешность измерения M от изменения сопротивления резистора Я2 с учетом (10) будет

Xr (M) = х(я) = ЛЯЕ/яы = 1.5 •Ю-4.

Можно считать, что погрешности резисторов Я1 и Я2 являются некоррелированными случайными величинами с нормальными законами распределения, поэтому для среднеквадратических

отклонений ff[x(Я)] их сопротивлений можно

принять с доверительной вероятностью 0.95 [15]

ff [х (Я1)] = ff [x (Я2)] = ff [X (Я)] = 0.5ЛЯЕ = = 0.75 •Ю-4, с учетом чего получаем

ff[x( Я1)-х( Я2 Ж 2ff2 [х( Я )] =

= 1.41ff [х (Я)] = 1.41 • 0.75 40-4 « 1.06 40-4. Подставляя в(12)

[х( Я1)-х( Я2 )] = 2 ff[x( Я1)-Х( Я2)]« 2.1 •Ю-4

и значения сопротивлений Я1 и Я2, получаем

Xr (Q )= 2 1'14'tgC'g,2t-C'g,). (14)

1.4 • Ctg ,1 - Ctg ,2

В табл.1 представлены результаты расчета Xr (Q) по формуле (14), где принято обозначение A = Ctg ,2 - Ctg,.

Табл. 1. Расчетные значения погрешности хЯ (Q) при Я1 = 267 Ом, Я2 = 105 Ом

Функция Q

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ctg,1 2.680 1.340 0.893 0.670 0.536 0.446 0.383 0.335 0.298 0.268

Ctg,2 3.730 1.865 1.243 0.933 0.746 0.621 0.533 0.466 0.415 0.373

A 1.050 0.525 0.350 0.263 0.210 0.175 0.150 0.131 0.117 0.105

Xr (Q), % 1.00 1.002 1.021 1.105 1.002 1.081 0.984 0.917 1.112 1.002

Расчеты показывают, что частная погрешность определения Q от изменения сопротивлений резисторов R1 и R2 с доверительной вероятностью 0.95 не превышает значения yR (Q) = 1.2%. Для уменьшения этой погрешности можно перед монтажом резисторов определить точные значения их сопротивлений.

Частные погрешности Ур (M) по формуле (11) и Ур (Q) по формуле (13) зависят от точности измерения фазовых углов ф1 и ф2. Относительная погрешность измерения фазового сдвига ф имеет две составляющие: погрешность у(т) преобразования угла ф во временной интервал т и погрешность У(р) = Ар/р измерения длительности импульсного сигнала — уе(р) = у(т) + у(р). Погрешность у(т) зависит от напряжений смещения нуля входных компараторов МК; практически ее можно устранить, используя способ биполярного измерения, при котором т определяется по четырем моментам перехода через нулевые значения синусоиды в обоих направлениях (в течение одного периода входного напряжения получаются два временных интервала т) [16]. Следовательно, относительная погрешность определения ctg р будет зависеть только от точности измерения фазового сдвига ф и может быть вычислена по выражению

К ctgp) = A( Ctgp)=-±- .^iCtgP).Ap = ctg р ctg р др

Ч>

ctg р • sin р р

Ар = _ 2рт(р) sin 2р

или

2рУ(р) 0.035р^(р)

у( с^р) = _ . \ =--w = ß^yO,

180•sin2р

sin2р

0.035р

где ß =--, а угол ф выражен в радианах.

8т2р

Следовательно,

y(ct%Pí) = ß1 •У(р1), У(ctgр2) = ß2 У(р2).

Погрешности у( ctgp) и у( ctgр2) являются случайными и независимыми, поэтому с доверительной вероятностью 0.95 можно принять, что

У (ctg р ) = 2CTy(ctg«), У ( ctg р2) = 2сту(^р2), следовательно, c учетом выражения (11) получаем:

Ур (M ) =

_4ß •У2(р)• ctg2р\ + ß2 У2(р2)• ctg2р2 ctg р2 _ ctg^

Т.к. углы ф! и ф2 измеряются одними и теми же аппаратными средствами практически одновременно, то можно принять, что У(р)~

« У(р2) = У(р) , следовательно,

У

(р)Уß2 •ctg2р + ß2 • ctg

Ур (M)= t t

ctg р2 _ ctgPl

С учетом выражения ß получаем:

Ур (M ) =

_ 0.0175 У(Р) ctg Р2 _ CtgPl \

sin2 р

Y ^

+

р2

Sin р2

(15)

Произведя аналогичные действия с выражением (13), получаем:

Ур (Q ) =

0.0175 У(р)

(1 + Я/ R1) ctg^ _ ctg р2

4

р2

Sin р2

+ (1 + RJ R1 )2

sin2 р

(16)

Для вычисления погрешностей по выражениям (15) и (16) необходимо найти значение у(р). Измерение фазового сдвига ф выполняется в МК по формуле р = (т/Т) -360° путем заполнения временных интервалов т и Т импульсами образцовой частоты /0 = 80 МГц тактового генератора. Показание таймер-счетчика будет

р =

nf0 N0

360° = — 360°, N

где п и N — количества импульсов, поступивших на таймер-счетчик за время т и Т соответственно.

Абсолютная погрешность измерения угла ф будет

Др = Рпду = {ДП-пш 1360°, ап ау ^ N N2 ^

а относительная погрешность:

, , Др Дп ДУ

ДР) =-=---77.

р п N

2

х

2

2

Табл. 2. Расчетные значения погрешности у р (M) при Rj = 267 Ом, R2 = 105 Ом, f = 1.0 кГц, f = 80 МГц

Функция mM, Ом

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

A 1.050 0.525 0.350 0.263 0.210 0.175 0.150 0.131 0.117 0.105

Ф1, град. 20.455 36.723 48.214 56.168 61.800 65.923 69.043 71.473 73.412 75.000

Ф2, град. 15.000 28.191 38.799 46.990 53.267 58.123 61.940 64.995 67.481 69.538

B 4.878 2.857 2.293 2.090 2.004 1.970 1.958 1.959 1.962 1.969

у (Р )-105 31.250 17.238 12.848 10.827 9.698 8.992 8.515 8.174 7.919 7.721

у р (M)-103% 2.547 1.642 1.473 1.506 1.620 1.772 1.945 2.136 2.324 2.534

Погрешность 7( р ) определяется случайной погрешностью дискретности, т.е. возможностью потери в числах п и N по одному счетному импульсу. Наихудший случай имеет место, когда Ап = 1, АN = -1:

( ) = 1+— = Т.+=т (1+11 =

7( Р) п + N пТ0 + М0 0 [т + Т )

/ Л 360° 1 = — 1 +- .

л \ р )

При имеющихся значениях и = 1.0 кГц, /0 = 80 МГц получаем

у( р ) = ±1.25-10"

(

360'

Л

1+

v Р /

(17)

B =

Р

sin р

+

Р2

sin р2

Аналогичный расчет по формулам (16) и (17) погрешности 7 р ^) показал, что она также минимальна в середине шкалы, где 7р (Q) « 0.57% при р = 45°, и принимает максимальное значение 7р (Q) = 116% в начале шкалы при Q = 100. Видно, что 7 р (Q) существенно больше 7 р (М).

Частные погрешности 7к (М) и 7р (М), 7к (Q) и 7 р (Q) случайны и независимы, поэтому

пределы допускаемых полных основных относительных погрешностей определения М и Q с доверительной вероятностью 0.95 будут

7(М ) = ^/[7к (М )]2 + [7р (М )]2 =

= 10-4 • >/1.52 + 0.2552 « 0.016%,

В табл. 2 представлены результаты расчета погрешности у р (M), вычисленные по формулам (15) и (17), где приняты обозначения

A = ctg р2 - ctg рх,

y(Q Ну (Q )]2+[ур (Q)]

= 10-2 -V1.22 +1.162 «1.67%

соответственно, с учетом соотношения а = coM/Q получаем

а в формуле (17) подставлены значения р = р2, поскольку всегда р2 <р\, а нас интересует предел допускаемой погрешности измерения. Из табл. 2 видно, что погрешность у р (М) минимальна в средней части шкалы угла ф, при р = 45° 7 (М) «1.46 • 10-3%, и увеличивается по краям шкалы. Максимальное значение этой погрешности равно 2.547 -10-3%.

у(*Ы[у( M )]2 +[y(Öyf =

= 40.0162 +1.672 «1.68%.

ВЫВОДЫ

В фазовом методе не используются аналоговые сигналы. Во многом благодаря этому метод позволяет сравнительно просто автоматизировать процесс измерения, реализовать инвариантное цифровое измерение активной и реактивной составляющих комплексного сопротивления ВИ магнитно-

2

2

2

связанных катушек и обеспечить достаточную для практики точность. Результаты исследования показывают, что в разработанном микроконтроллерном устройстве погрешности определения активного сопротивления а и индуктивности M комплексного сопротивления ВИ можно обеспечить не более /(ст) = 1.68% и у(Ы) = 0.016% с доверительной вероятностью 0.95. При этом можно уменьшить погрешности измерения сужением по краям шкалы угла ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Silsbee F.B. A study of the inductance of four-terminal resistance standards. London: Forgotten Books Publisher, 2016. 54 p.

2. Zhang J., Lui W., Pan X. et al. Design and measurement of the nH level mutual inductor // 19th IMEKO TC-4 Symposium and 17th IWADC Workshop Advances Instrumentation and Sensors Interoperability, 1819.07.2013. Barcelona, Spain. P. 389-390. URL: https://www. imeko. org/publications/tc4-2013/IMEKO-TC4-2013-096.pdf

3. Veksler A.Z. Measurement of angle errors of mutual inductance coils by means of an alternating current bridge // Measurement Techniques. 1959. Vol. 2, is. 6. P. 445447. DOI: 10.1007/BF00975983

4. Р5017 магазин комплексной взаимной индуктивности. https://ross.com.ru/magazin-kompleksnoi-vzaimnoi-induktivnosti-r-5017

5. Budovsky I. Measurement of phase angle errors of precision current shunts in the frequency range from 40 Hz to 200 kHz // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2007. Vol. 56, no. 2. P. 284-288.

DOI: 10.1109/TIM.2007.891117

6. Pan X., Zhang J., Ma X., et al. A Coaxial time constant standard for determination of phase error of current shunts up to 200 kHz // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2013. Vol. 62, no. 1. P. 199-204.

DOI: 10.1109/TIM.2012.2212595

7. Нефедов В.И., Сигов А.С., Битюков В.К., Самохина Е.В. Электрорадиоизмерения. Учебник. М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2018. 383 с.

8. Лушин Е.В., Долгов А.Н. Способы измерения индуктивности // Приволжский научный вестник. 2013. № 12, ч. 2. C. 36-40.

URL: https://elibrary.ru/item.asp? id=21072153

9. Марченко А.Л., Опадчий Ю.Ф. Электротехника и электроника. Учебник. М.: ИНФРА-М, 2022. 391 с.

10. Дивин, А.Г., Пономарев С.В. Методы и средства измерений, испытаний и контроля. Учебное пособие. Ч. 1. Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2011. 104 с.

11. Мамиконян Б.М., Мамиконян Х.Б. Методы и средства раздельного измерения параметров катушек индуктивности на переменном токе // Вестник НПУА: Электротехника, энергетика. 2014, № 2. С. 9-24. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=35061218

12. AD9833 Programmable Waveform Generator. https://static.chipdip.ru/lib/691/D0C011691452.pdf

13. PIC32MX695F512H. Высокопроизводительный 32-разрядный микроконтроллер с интерфейсами USB и Ethernet.

http://www.triatron.ru/upload/catalog_photo/elements/pdf /035343.pdf

14. Резисторы постоянные металлофольговые С5-61. http://amb-lab.narod.ru/References/ES/0004-3-1992/016.pdf

15. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 248 с.

16. Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы. Киев: Вища школа, 1986. 5 04 с.

Национальный политехнический университет Армении, Гюмрийский филиал, г. Гюмри, Республика Армения

Контакты: Мамиконян Борис Мамиконович, bomam@yandex.ru

Материал поступил в редакцию 08.05.2023

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2023, Vol. 33, No. 3, pp. 60-73

MEASUREMENT OF THE COMPONENTS OF THE COMPLEX RESISTANCE OF MUTUAL INDUCTION

B. M. Mamikonyan, S. A. Ghazaryan

National polytechnic university of Armenia,

A microcontroller device for digital measurement of the components of the complex resistance of mutual induction of magnetically coupled coils has been developed for the case, when due to the effects of "capacitance" and "eddy currents", an "impurity" and a "phase defect" arise in the EMF of mutual induction. An active component appears in the complex resistance of mutual induction. For invariant measurement of the components of this resistance, a phase method was used in combination with a timing separation of the measurement channel. The measuring circuit (MC) is powered by the current of a controlled generator for sinusoidal signals. An informative parameter of the MC output signal is the angle of the phase shift between two voltages. These voltages are supplied to the analog inputs of the programmable microcontroller (MCU). During the measurement, the MCU sets the generator frequency, controls the switching of the measurement channel, measures the phase shift angle between the MC output voltages, and calculates the components of the complex mutual induction resistance according to the given algorithms. The theory of the method, the technique for calculating the parameters of the MC elements, the evaluation of the sensitivity of the conversion, and the analysis of measurement errors are presented.

Keywords: mutual induction, complex resistance, measurement, phase method, phase shift angle, measurement error

Designations

In the text, electrical complex quantities are denoted by Latin letters with a dot above, as, for example, E.

INTRODUCTION

Mutual induction (MI) resistance is one of the most important parameters of electrical circuits that must be determined for coil systems used in various fields, including transformers, electrical machines and apparatus, electromagnetic devices of automation and measuring technology, communication technology, and the production and transmission of electricity. In addition to these traditional applications, new ones are emerging. Inductively coupled coils are important nodes in wireless power transmission systems, which have already found applications in consumer electronics, industrial manufacturing, and medical implants and are actively studied for their application for charging electric vehicles. Another growing industry is robotics. Here, we need systems for accurately measuring the movements of mechanisms capable of operating in contaminated environments. These requirements are best met by systems based on mutual inductance sensor. The widespread use of MI makes it necessary to constantly improve the methods and means of measuring its parameters.

RESEARCH TECHNIQUES

In inductively coupled coils, the MI resistance is usually determined by the size and geometry of the windings, the relative position between the primary and secondary windings, and the turns of the windings. At frequencies exceeding f = 100 Hz, the effects of "capacitance" and "eddy currents" are enhanced [13]. Turn-to-turn capacitances, eddy current losses in winding conductors, leaks, and dielectric losses in insulation lead to the fact that the phase shift angle between EMF E2 induced in the secondary winding, and the current I1 in the primary winding is different from 90°. The simple proportionality of the EMF E2 to frequency and the value of the geometric (low-frequency) inductance M0 is also violated. Instead of

the ideal equation E2 = jaM01 the dependency appears

E2 = [ff + ja (M0 + AM)]I = (ff + jaM)I1, (1)

where a and AM are correction terms, called "impurity" and "frequency correction" M0 at frequency f respectively. In the complex resistance of the MI ZM = a + jaM the effective mutual inductance M = M0 +AM increases, and a small angle 8 = = arctg (ff/aM)« u/aM represents the phase defect of the MI.

Active o resistance depends on frequency and some other factors. The theory of the effects of "capacitance" and "eddy currents" is described in most detail in [1]. The theoretical estimate gives an approximately quadratic dependence of the o on the frequency f It is shown [1] that if the primary coil must pass a large current, the deviation from the quadrature of the vectors E2 and I1 can become significant: an example is considered in which, even at a relatively low f = 60 Hz frequency, the phase defect is 75 min. When ferromagnetic cores are used, the phase defect increases and can reach 10° [4].

In some cases, the MI coil is used to establish a high-precision phase shift between the current and the voltage by 90 such as in rectangular-coordinate potentiometers, in the standards of high-frequency alternating current power, etc. In [2], an equivalent circuit for replacing coils with inductive coupling is built taking into account all parasitic capacitances, and mathematical dependencies o and AM on these capacitances are obtained. When developing high-frequency power standards, it is necessary to know the phase error of AC shunts [5, 6] very accurately. The phase angle error of high current shunts is calibrated against a shunt with a known phase angle. The high-current shunt resistances are typically at MQ level, and the reactance of the shunts, which is generated by the equivalent inductance, is the dominant part at high frequency. The measurements of the phase defect of the mutual inductance at frequencies from 20 to 200 kHz are performed in [2].

AC bridges in balancing mode are widely used for the invariant measurement of the components of complex resistances [7, 8]. To balance the bridge, two of its components must be adjustable and graduated, usually variable reference resistances or capacitances are used [3, 9]. Using the UMPT-2 bridge, the angular errors of the coils of mutual inductance of types KV-1 and KVI-5 were measured (M = 0.01 Gn and M = = 0.001 Gn) in the frequency range from 400 up to 2500 Hz [3].

AC bridges work normally at low frequencies — up to 1000 Hz; during operation at increased frequencies, measurement error increases sharply [10]. Bridge measurement methods have a common drawback: they do not provide an output signal with a single informative parameter for transmission over distance or interfacing with computer equipment in order to automate the measurement process and process measurement results.

ESSENCE OF THE MEASUREMENT METHOD UNDER DEVELOPMENT

As shown in the present study, this drawback of bridge techniques can be eliminated using a phase me-

thod for measuring constituents [11]. The essence of the method is explained in Fig. 1.

Fig. 1. Simplified functional diagram of the meter. 1 — sinusoidal voltage generator with programmable frequency, 2 — microcontroller, 3 — electronic switch, 4 — digital display

Two reference resistors, R1 and an additional resistor R2, are connected in series in the measuring circuit (MC) with the MI primary winding. In the MC, the measured parameters o and M are converted into the phase shift angle y between the output voltages uS and uN, which are supplied to the analog inputs of the microcontroller (MCU), while the secondary winding of the MI operates in idle mode.

In the first (a) and second (6) positions of the switch, we have, respectively

US1 = I( R1 + < + jaM), US 2 = I( R1 + R2 + < + jaM),

and the reference voltage UN = IR, where I is the measuring current. Therefore, we have

tg p = aMI (< + R1), tg (p2 = aM/ (< + R1 + R2), after transformation of which we obtain

(2)

M = -

R2

( ctg q>2 - ctg p )'

a

и =

( R + R2 ) ctg p - R ctg p,

ctg P2 - ctg p

(3)

(4)

It can be seen that a mutually independent (invariant) determination of M and o is provided, while it is necessary to measure only the angle y in two positions of the switch, and the measurement result does not depend on the stability of the measuring current.

The experimental sample of the meter uses the AD9833 generator microcircuit [12] and an MCU of PIC32MX695F512H type [13]. The MCU analog inputs are equipped with comparators, where the y angle is converted into the t time interval, which is measured by the discrete counting method in the MCU. At each measurement, the MCU sets the required generator m frequency, controls the switch position, measures yi and y2 angles, calculates M and o values according to algorithms (3) and (4) and outputs measurement results to a digital display.

70

E. M. MAMHKQHHH, C. A. KA3AP.3H

SCALE RANGE SELECTION AND SENSITIVITY ANALYSIS

The analysis shows that due to the features of tangent and cotangent functions, the sensitivity of the conversion Ap = p - p2 is maximum in the middle of the angle scale 0° < p < 90° and drops along the edges of this range, so the y angle scale is selected in the range 15° < p < 75°, which means the selection of the corresponding resistances R1 and R2 taking into account the measurement ranges M and a. Since p1 > p2, the upper limit of the scale is set by the resistance value Ri, and the lower limit is set by the resistance value R2.

We calculate these resistances for the case of measuring current frequency f = 1000 Hz and measurement ranges a = 1-10 ft, oM = 100-1000 ft. Eliminating the sum (ff + R1) from two expressions (2), we obtain

R2 = a (Mmn * ctg P2mrn -Mmax ' ctg Pimax )••

Taking into account the values ctg15° = 3.732 and ctg75° = 0.268 , we get for the scale M the value of R2 »105 ft, as well as ff + R = 1000/3.732 » « 268 ft, ff + R + R2 = 100 / 0.268 « 373 ft. With these values, we determine angles pmin and p2max :

tgP1mm =

aM„

100

ff + R 268

i 0.373,

Pm

' 20.45°;

tg P2

aM„

ff + R1 + R2

1000 373

2.681, P2max = 69.55°.

Based on the results of the conversion sensitivity calculation, a dependence curve was built Ap = f (p) in Fig. 2.

Fig. 2. Plot of transformation sensitivity Ap = f (p) along the angle p scale

To select the a scale, note that as the a increases, the y angle decreases, as seen in (2). Therefore, it is advisable to measure the Q-factor of the MI secondary winding Q = aM/ff, instead of a, since, having the values aM and Q , the MCU will calculate the a values.

It follows from (3) and (4) that

Q=

R

(R + R2) ctg p - Rctgp,

and the measurement range Q determined by the measurement ranges oM and a is Q = 100-1000. We present the formulae (2) as:

tgp1 =

tgp2 =

Q

1 + Rj ff

Q

1 + (R + R2 )ff'

(6)

(7)

For the Q scale, it is advisable to maintain the resistance value R = 105ft, which sets the conversion

sensitivity. For the scale mark p1max from (6) we determine

1 + RJ ff = QmaxAg?!

(8)

and substitute into formula (7) presented for the initial scale mark:

tg p2min

Qm

QmaxAg?W + R2/ff

then we find the relation

R2/ff = Qmin /tg p2min - Qmax /tg Pn

¡105.

Therefore, ff = R2/105 = 1.0 for the whole scale, taking this into account we determine (8) R1 = 267 ft. Thus, forMand Q, we get a single y angle scale.

STUDY OF MEASUREMENT ERRORS

A theoretical estimate of the errors in determining M and Q by formulas (3) and (5) was performed. The instability of the o frequency does not cause an error in (3) since when calculating the angle y according to the formula p = (r/T) -360° MCU also measures the period T = 1/f of the measuring current. Therefore, the relative error of determination M will be

y(M ) =

AM _ AR2 A(ctgp1 )-A(ctgp2)

- +

M R2 ctgp2 - ctg p

= yR (M) + Xp (M),

where partial errors are indicated: yR (M) = AR/R2 = 7(R2),

(9)

(10)

У, (M ) =

А( ctg ( )-А( ctg (р2) =

ctg (2 - ctg (

ctg (1 • У(ctg (1)-ctg (2 'У(ctg (2)

ctg (2 - ctg ( '

(11)

Similarly, we get from the expression (5):

r(Q ) = rR (Q) + r (Q),

yR (Q ) =

Аr (q) =

Q

r1 (ctg (2 - ctg ()[y (r1) - У (R2)]

(R1 + R2 ) ctg ( - R1 ctg (2

(12)

y (Q) =

АЛО)

Q

R1 • ctg (2 'У( ctg (2 )-(R1 + R2) ctgf|-y( ctg () (R + R2) ctg ( - R ctg (2

(13)

Analysis shows that the phase method of measurement of VI parameters is excessively critical to the resistance stability of resistors R1 and R2, therefore the most high-precision metal-fiber resistors of the S5-61 type are selected [14]. Taking into account the tolerance values ±0.005% from the rated resistance Rn and TCS at =±10 -10-6 °C-1 absolute change in resistor resistance under normal operating conditions (at 20 ± 5° C) will be

ARZ = 0.00005Rn +ARt = ±1.5 -10-4 RN,

where ARt = a, -At• RN = 10• 10-6 • 10RN = ±10-4RN — temperature change of resistor resistance. Therefore, the partial relative measurement error M from the resistance change of the resistor R2 considering (10) will be

rR (M) = r(R) = ARZ/Rn = 1.5-10~4.

It can be considered that the errors of resistors R1 and R2 are uncorrelated random variables with normal distribution laws, therefore for RMS deviations of

their resistances <[r(R)] can be taken with confidence probability 0.95 [15]

< [r ( R )] = < [r (R2)] = < [r (R )] = 0.5 AR = = 0.75 40-4, taking into account what we get

ф( R1)-У( R2 )H [y( R)] = = 1.41ст[y (R)] = 1.41' 0.75 • 10-4 «1.06 • 10-4.

Substituting in (12)

[y( R1)-У( R2 )] = 2 •o\y{ R1)-y( R2)]« 2.1 • 10-

and resistance values R1 and R2, we obtain 2.1 40-4 •(ctg P2 - ctg p)

У« (Q ) = -

1.4 • ctg p - ctg p

(14)

Tab. 1 shows the calculation results rR (Q) according to formula (14), where the designation is taken A = ctg p2 - ctg p.

Calculations show that the partial error of determining Q from the change in resistors R1 and R2 with a confidence probability of 0.95 does not exceed the value rR (Q) = 12%.. To reduce this error, you can determine the exact values of their resistances before installing the resistors.

Partial errors rp (M) as per formula (11) and

r p (Q) as per formula (13) depend on accuracy of

measurement of phase angles of y1 and y2. The relative error of y phase shift measurement has two components: error r(?) of 9 angle conversion to time interval t and error r( P) = A p /p of pulse signal duration measurement — r ( p) = r(T) + r(P). The error r(*r) depends on the zero displacement voltages of

the MK input comparators; practically it can be eliminated using a bipolar measurement method, in which the t is determined from four moments of transition through zero values of the sinusoid in both directions (during one period of input voltage two time intervals of t are obtained) [16]. Therefore, the relative error ctg p of determination will depend only on the accuracy of the phase shift measurement y and can be calculated from the expression

У( ctg (P ) =

А( ctg (( ) = 1 d( ctg ( ) ctg ( ctg ( д (

А ( =

Ч>

ctg ( • sin ( (

А ( = - 2 (у( ( ) sin 2 (

4

or

X( ctgp) = - 0 035pr(p)= P-X(p),

180-sin 2p

sin2p

Xp (M ) =

^ - X2 (p ) - ctg2 fl + ^22 - X2 (p2 ) - ctg2 p2

ctgp2 - ctgp

Since the angles of y1 and y2 are measured by the same hardware almost simultaneously, it can be assumed that x(p1)~ x(p2 ) = X (p), therefore,

X

(pWA'-ctg2 p + ^22-ctg2p2

X, (M) = . .

ctgp2 - ctgp

Taking into account the expression p , we get: Xp (M ) =

0.0175 - x(p) ctgp2 - rtgp ^

pi

sin p

2

+

p2

sin p2

(15)

By performing similar actions with the expression (13), we obtain:

Xp (Q ) =

0.0175 - x(p)

(1 + R/ R) ctgp - ctgp2

p2

sin p2

+(1+R2/ R )2

sin2 p1

(16)

p =

nf0 -360° = — -360°,

N0

N

0.035p

where p =--, and the y angle is expressed in

sin2p

radians. Therefore,

X(ctgp ) = p1 -x(P ), X( ctgp2 ) = p2-x(p2 ).

The errors x(ctgp) and x(ctgp2) are random and independent, so with a confidence probability of 0.95 it can be assumed x( ctgp ) = 2ffX(ctgp),

x( ctgp2 ) = 2ffX(ctgp), that therefore, taking into account the expression (11), we get:

where n and N are the number of pulses received by the timer-counter during t and T, respectively.

The absolute error of angle measurement will y be

Ap = pn + pN = {A—-4 AN 1360°, dn dN {N N2 )

and relative error:

, . Ap An AN

x(p) = — =---—.

v 7 p n N Error x(p) is determined by random error of discreteness, i.e. possibility of loss in numbers n and N by one counting pulse. The worst case occurs when

An = 1, AN = -1:

x(p) =1+- = +-t-v! n N nTn NT

f_

(

1 +

360 p

0

- T' T +11 =

At the available values f0 = 80 MHz we obtain

X(p) = ±1.25 -10-

(

1 +

360° p

of f = 1.0 kHz,

(17)

Tab. 2 shows the error xp (M) calculation results

calculated according to formulas (15) and (17), where designations are taken

A = ctgp2 - ctgp1,

B =

pi

sin2 p1

V ( +

/

p2

\

To calculate errors from expressions (15) and (16), you need to find a value x(p) . The measurement of y phase shift is performed in MC by formula p = (t/T) - 360° by filling time intervals t and T with pulses of the reference frequency f0 = 80 MHz of the clock generator. The timer count will be

sin p2

and in formula (17) the values p = p2 are substituted because p2 < p1, we are always interested in the limit of the permissible measurement error. Table 2 shows that the error yp (M) is minimal in the middle part of

the scale of the angle y. xp (m)~ 146 -10-3% at p = 45° and increases along the edges of the scale. The maximum value of this error is 2.547 -10-3% .

Tab. 2. Design error values yp (M) at R = 267 ft, R = 105ft, f = 1.0kHz, f0 = 80MHz

5

2

2

x

2

2

A similar calculation according to formulas (16) and (17) of error r p (Q) showed that it is also minimal in the middle of the scale, where rp (Q) ~ 0.57% at p = 45°, and takes the maximum value rp (Q) = 1.16% at the beginning of the scale at Q = 100. It can be seen that r p (Q) significantly more r p (M).

Partial errors rR (M) and r p (M), rR (Q) and r p (Q) are random and independent, so the limits of

the allowed total basic relative errors of determining Mand Q with a confidence probability of 0.95 will be

r(M ) = ^rR (M)]2 + [rp (M)]2 =

= 10-4 •V1.52 + 0.2552 « 0.016%,

r( Q W[r* (Q)]2 +[rp (Q)]2 =

= 10-2 • >/1.22 +1.162 «1.67%

accordingly, taking into account the ratio < = aM/Q we obtain

r(<W[r(M)]2 + [r(Q )]2 =

= V0.0162 +1.672 «1.68%.

CONCLUSIONS

The phase method does not use analog signals. Largely due to this, the method makes it relatively easy to automate the measurement process, implement an invariant digital measurement of the active and reactive components of the complex resistance of the VI magnetically coupled coils and provide sufficient accuracy for practice. The results of the study show that in the developed microcontroller device, errors in determining the active resistance of the o and inductance M of the complex resistance of the VI can be provided no more than r(<) = 168% and r(M ) = 0.016%

with a confidence probability of 0.95. It is possible to reduce measurement errors by narrowing along the edges of the y angle scale.

REFERENСES

1. Silsbee F.B. A study of the inductance offour-terminal resistance standards. London, Forgotten Books Publisher, 2016. 54 p.

2. Zhang J., Lui W., Pan X. et al. Design and measurement of the nH level mutual inductor. 19th IMEKO TC-4 Symposium and 17th IWADC Workshop Advances Instrumentation and Sensors Interoperability, 18-19.07.2013, Bar-

celona, Spain, pp. 389-390. URL:

https://www. imeko. org/publications/tc4-2013/IMEKO-

TC4-2013-096.pdf

3. Veksler A.Z. Measurement of angle errors of mutual inductance coils by means of an alternating current bridge. Measurement Techniques, 1959, vol. 2, is. 6, pp. 445447. DOI: 10.1007/BF00975983

4. P5017 magazin kompleksnoy vzaimnoy induktivnosti [P517 complex mutual inductance magazine]. https://ross.com.ru/magazin-kompleksnoi-vzaimnoi-induktivno sti-r-5017

5. Budovsky I. Measurement of phase angle errors of precision current shunts in the frequency range from 40 Hz to 200 kHz. IEEE Trans. Instrum. Meas., 2007, vol. 56, no. 2, pp. 284-288.

DOI: 10.1109/TIM.2007.891117

6. Pan X., Zhang J., Ma X., et al. A Coaxial time constant standard for determination of phase error of current shunts up to 200 kHz. IEEE Trans. Instrum. Meas., 2013, vol. 62, no. 1, pp. 199-204. DOI: 10.1109/TIM.2012.2212595

7. Nefedov V.I., Sigov A.S., Bityukov V.K., Samochi-na E.V. Elektroradioizmereniya. Uchebnik [Electroradio-measurements. Textbook]. Moscow, FORUM, INFRA-M Publ., 2018. 383 p. (In Russ.).

8. Lushin E.V., Dolgov A.N. [Methods of inductance measurement]. Privolzhskiy nauchnyy vestnik [Volga Scientific Bulletin Publ.], 2013, no. 12, part. 2, pp. 36-40. (In Russ.). URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=21072153

9. Marchenko A.L., Opadchiy Yu.F. Elektrotechnika i elek-tronika. Uchebnik [Electrical equipment and electronics. Textbook], Moscow, INFRA-M Publ., 2022. 391 p. (In Russ.).

10. Divin, A.G., Ponomarev S.V. Metody i sredstva izmere-niy, ispytaniy i kontrolya. Uchebnoe posobie. Ch. 1. [Methods and means of measurement, testing and control. Tutorial. PART 1]. Tambov, Izd-vo GOU VPO TGTU Publ., 2011. 104 p. (In Russ.).

11. Mamikonyan B.M., Mamikonyan Ch.B. [Methods and means of separate measurement of parameters of AC inductors]. Vestnik NPUA: Elektrotechnika, energetika [NPUA Bulletin: Electrical Engineering, Power Engineering], 2014, no. 2, pp. 9-24. (In Russ.). URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=35061218

12. AD9833 Programmable Waveform Generator. https://static.chipdip.ru/lib/691/DOC011691452.pdf

13. PIC32MX695F512H. Vysokoproizvoditel'nyy 32-razryadnyy mikrokontroller s interfeysami USB i Ethernet [PIC32MX695F512H. High-performance 32-bit microcontroller with USB interfaces u Ethernet]. (In Russ.). http://www.triatron.ru/upload/catalog_photo/elements/pdf /035343.pdf

14. Rezistory postoyannye metallofol'govye C5-61 [Permanent metal-fiber resistors C5-61]. (In Russ.). http://amb-lab.narod.ru/References/ES/0004-3-1992/016.pdf

15. Novizkiy P.V., Zograf I.A. Ozenka pogreshnostey re-zul'tatov izmereniy [Evaluation of measurement results errors]. Leningrad, Energoatomizdat Publ., 1985. 248 p.

16. Ornatskiy P.P. Avtomaticheskie izmereniya i pribory [Automatic Measurements and Instruments]. Kiev, Vischa shkola Publ., 1986. 504 p.