CC BY
80
УДК 21.373.626
ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
У. Юсупалиев, С. А. Шутеев1, П. У. Юсупалиев1, В. В. Чубаров1
Получено уравнение изменения энергии вихревых колец (свободных тороидальных вихрей) в однородной среде (воздухе и воде при атмосферном давлении и температуре ~293 К) в зависимости от их начальных параметров и среды. Показано, что решение этого уравнения согласуется с экспериментальными данными.
Несмотря на давнюю историю исследования вихревых колец в воздухе и воде при атмосферном давлении и температуре 285-293 К [1-16], а также плазменного тороидального вихря (ПТВ) в воздухе при тех же условиях [17-21], экспериментальное исследование их силовых и энергетических характеристик проведено сравнительно недавно [22-26]. Это обстоятельство связано с экспериментальной трудностью измерения пространственно-временных распределений поля скоростей таких вихрей. Так, в работах [23, 24] показано, что турбулентные вихревые кольца - свободные тороидальные вихри (ТВ) - в однородных средах (в воздухе [6-8, 10, 13] и воде [8, 10, 15]) и ПТВ в воздухе [17-21] имеют идентичные динамические свойства. Исходя из этого экспериментального факта, в [23, 24] определены силы, действующие на такие вихри в безграничной однородной среде, и выведено уравнение движения их центра масс. Получено решение этого уравнения - закон движения свободных ТВ:
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Ленинские горы, Россия.
а также закон изменения скорости их поступательного движения:
к(о = М 1+
з с* 2 а ( £2°. \Рап ,
3 ( 2 а \ .Рак 1 + 4
(2)
и закон изменения их радиуса:
т
= До{
1 +
3 Сг_ I >0оо \ 1
2 а \ра„)
4а—П а V*./ ,
J
(3)
где IIо, Уо,раУ, С г и а - начальный радиус, начальная скорость поступательного движения центра масс, средняя плотность, коэффициент лобового сопротивления и угол расширения радиуса ТВ соответственно (см. рис. 1), р<*> - плотность окружающей среды, t - текущее время. Направление поступательного движения центра масс ТВ совпадает с осью Ог цилиндрической системы координат, связанной с неподвижной окружающей средой.
Показано, что решение (1) удовлетворительно согласуется с опытными данными как для ПТВ в воздухе [23, 24], так и для воздушного вихревого кольца в воздухе [6, 8] и воде [15] при атмосферном давлении и температуре ~293 К до момента возникновения их неустойчивости. На основании полученного решения и экспериментальных данных в [23, 24] определен коэффициент лобового сопротивления Сг таких вихрей. При одинаковых числах Рейнольдса величина Сг для ТВ может быть существенно меньше (более чем на порядок), соответствующего коэффициента, равного 0.045, для каплевидного тела вращения - наиболее хорошо обтекаемого объекта.
Экспериментальное исследование энергетических характеристик и изменения энергии ТВ во времени проведено лишь недавно в работах [22, 26] для воздушного вихревого кольца в воздухе при атмосферном давлении и температуре ~293 К. Для этого проводилось измерение скорости движения газа в вихре с помощью двух миниатюрных термо-анимометров в различные моменты времени. Из измеренных данных для скорости газа в вихре определялось поле скоростей кольцевого вихря для различных моментов времени. Там же было показано, что на начальной стадии движения воздушного ТВ энергия вращательного движения ЕТо1 примерно в три раза превышает его кинетическую энергию поступательного движения Ек-
Е,
гоЬ
ЗЕК.
(4)
Исходя из данных поля скоростей такого вихря в различные моменты времени, определена диссипация его энергии. Показано, что на начальной стадии движения ТВ за время, необходимое для прохождения пути, равного своему диаметру 272, теряет примерно ~1% своей энергии. Этот опытный факт крайне важен для исследований энергетических характеристик ТВ.
Использование ТВ для решения прикладных задач требует, чтобы пройденный им путь был максимальным. Однако имеющиеся как экспериментальные, так и теоретические данные по исследованию силовых и энергетических характеристик свободного ТВ не позволяют определить условия, при которых достигается максимальная величина пути гтах, проходимого вихрем в однородной среде до своего распада. Анализ показывает, что величину zmax можно определить из энергетического баланса ТВ. Следовательно, количественное изучение изменения энергии ТВ во времени в зависимости от начальных параметров вихрей и окружающей среды является крайне актуальным. Это и есть цель данной работы.
В общем случае ТВ имеет кинетическую энергию Ец поступательного движения относительно покоящейся среды, вращательную энергию вещества (плазмы, газа или жидкости) ЕТot относительно оси ядра тора - оси вращения, внутреннюю энергию вещества вихря Ев, захваченного в вихревое движение, и теряет энергию излучения Er:
Erv = ЕК + ETOt + ЕВ + Er. (5)
В свою очередь, внутренняя энергия состоит из тепловой энергии вещества вихря Eh, энергии возбужденных атомов и молекул (плазмы, газа) Е* : Ев — Eh + Е*.
В данной работе рассматривается свободный воздушный ТВ в воздухе при атмосферном давлении и температуре ~293 К. При движении у такого ТВ внутренняя энергия не изменяется (Eh ~ const), так как средняя температура вихря не отличается от температуры окружающей среды. То есть градиентом температуры в вихре (как и потоком тепла из вихря), а также его энергией излучения можно пренебречь. Тогда изменение энергии такого ТВ в единицу времени равно мощности сил, действующих на вихрь:
^^ = -FP(t) ■ V.(i) - (FM(t) - Fn(t)) ■ Vr(t) (6)
с начальными условиями
£tv(0) = Ек(0) + £rot(0), Vz(0) = Vo, Vr(0) = a-V0, R(0) = i?0, (7)
где Fp - сила сопротивления, действующая на вихрь со стороны окружающей среды против направления поступательного движения вихря, Fm — Еп = 2лЯ(/м — /п),1м и
/„ - сила растяжения и сила притяжения, действующие на элемент вихря единичной длины, Уг = <!/£(£)/<# = В работах [23, 24] показано, что силы Ер и {Ем — Еп)
равны соответственно:
РооУ2 РооУ?
= С2—-^-Бм, Рм - Еп = 2жЯ(/м - /„) = аСг—тр-Зл/, (8)
где — 47гТ?2 - миделево сечение ТВ.
Физическую природу возникновения сил /м и /п можно понять из рассмотрения взаимодействия диаметрально противоположных элементов 1 и 2 такого вихря с равной циркуляцией скорости Г, но противоположных направлений вращения (рис. 1). Элемент 2 вихря с циркуляцией скорости Г вокруг себя порождает поле скоростей, в котором находится и элемент 1 с Г противоположного направления вращения. Согласно уравнению Бернулли, давление в точке В рв больше давления в точке А рл- Следовательно, согласно [27], на элемент 1 вихря единичной длины действует сила:
, - />~г2
/п 4тгД '
направленная к центру ТВ, т.е. элемент 2 притягивает к себе диаметрально противоположный элемент 1. Результатом действия этой силы притяжения является смещение всех частиц элемента 1 по направлению, параллельному оси Ог, т.е. дрейфовое движение элемента 1 в направлении, перпендикулярном действию силы притяжения /„.
Возникновение дрейфового движения элемента 1 под действием силы fn можно понять из рассмотрения действия этой силы на каждую частицу этого элемента (например, частиц, расположенных вдоль диаметра АВ). Из рис. 1 видно, что вращающиеся частицы областей II и III элемента 1 под действием этой силы ускоряются, а вращающиеся частицы областей IV и I того же элемента под ее действием замедляются, результатом чего является смещение всех частиц элемента 1 по направлению оси Ог, перпендикулярному действию силы притяжения. Механизм возникновения дрейфового движения элемента 1 вихря при действии силы /„ аналогичен механизму возникновения дрейфового движения вращающихся заряженных частиц вокруг силовых линий магнитного поля под действием силы, направленной перпендикулярно к его силовым линиям [28].
В свою очередь, при своем дрейфовом движении в результате обтекания элемента 1 вихря потоком окружающего газа в точках А и В, согласно уравнению Бернулли, возникает разность давления, равная рл — Рв > 0. Следовательно, при таком дрейфе со стороны обтекаемого потока на элемент 1 действует сила, направленная по оси Ог.
г
2
С_О_о
ft, А
z
Рис. 1. Качественная картина линий тока тороидального вихря в системе координат вихря к моменту завершения его формирования и в произвольный момент времени его движения в однородной среде с координатой г. Картина линий тока состоит из двух областей: замкнутая внутренняя область завихренного газа (или жидкости, атмосфера вихря) и внешняя область потенциального движения обтекающего воздуха. Внутри атмосферы вихря газ движется по замкнутым линиям тока (внутри замкнутой линии ВВСОБ). Атмосфера вихря имеет форму эллипсоида вращения и движется в окружающем воздухе с поступательной скоростью вдоль малой оси эллипсоида. Во внутренней части ядра тора газ вращается относительно оси ядра с одинаковой угловой скоростью (твердотельное ядро вращения и радиусом г с). Асимметрия линий тока относительно плоскости г = О (ОБ < ОС) возникает за счет действия силы сопротивления со стороны набегающего потока среды.
Результатом действия этой силы является растяжение ТВ в радиальном направлении. Величина этой растягивающей силы, действующей на элемент вихря единичной длины, согласно [27], равна: = РооУ2Т.
Так как ТВ при своем движении расширяется, то силы /м и /„ не компенсируют друг друга, причем /м — /п > 0. Эта результирующая сила, согласно второму закону Ньютона, в неподвижной системе координат (связанной с покоящимся воздухом) сообщает ТВ ускорение в радиальном направлении, поэтому с течением времени он расширяется.
Интегрирование уравнения (6) с начальными условиями (7) и с учетом (2), (3) и (8) дает работу Лтв, совершаемую тороидальным вихрем на преодоление сопротивления окружающей среды:
t t ETV(0) - ETV(t) = A{t) = J FF(0Vz(0dt + J(FM(0 - Fn(0)Vrd( =
i
= 2irPooCz(l + a2) j У23№2Ш =
7г(1 + а2){Ъ + 4)СгРоо1%У* 2a(2b + 3)(Ь + 1)
1 + (Ь+1)
4 aV0t
Ro
Ь+4
(9)
где b = (3Czp00)/(2apav).
Из закона движения ТВ (1) найдем время
hR
Ro
[(1 + 2«)
6+4
1
(10)
4(Ь + 1)а*/0
необходимое для прохождения вихрем пути, равного диаметру вихря -г(<2н) = 2R. Для начальной стадии движения ТВ г(^2л) ~ 2Ro. Определим отношение работы, совершаемой вихрем на преодоление сопротивления окружающей среды за время к сумме общей энергии вихря в момент времени Ь = 0, принимая во внимание (9), (10) и с учетом опытного факта (4):
A{t2д) = (¿ + 4)(1+а2)тгСг (р Ету(0) 16а(2Ь + 3)(Ь+1)
1 -
1
(! + а)26+3
Для условий эксперимента работ [22, 26] (Роо « pep, а ~ 0.006, Cz по формуле (11) дает следующее значение энергии, теряемой вихрем:
A(t2R)
(П)
0.004) расчет
ETv( 0)
0.0095 -г 0.012,
т.е. доля энергии, теряемой тороидальным вихрем на преодоление сопротивления окружающей среды при прохождении им пути, равного своему диаметру, составляет 0.95-1.2%, что согласуется с опытными данными работ [22, 26].
Таким образом, решение полученного уравнения изменения энергии ТВ (6) при температуре ~293 К удовлетворительно согласуется с опытными данными. Поэтому это
уравнение с учетом условия возникновения неустойчивости ТВ [25] можно использовать для определения одной из важных характеристик ТВ - максимально проходимого им расстояния zmax, что является предметом отдельного исследования.
Заметим, что уравнение (6) нельзя применять для описания изменения энергии плазменного ТВ, так как в уравнении не учтены изменение его тепловой энергии Eh и энергия излучения. Известно [18, 19, 24], что начальная температура плазмы в его ядре после его формирования составляет ~8000-И000 К. Следовательно, уменьшение тепловой энергии (температуры плазмы в ТВ) происходит вследствие теплопроводности и выхода излучения. Поэтому для определения изменения энергии плазменного ТВ необходимо учитывать теплопроводность и выход излучения. Такой учет для плазменного ТВ усложняется тем, что процесс теплопроводности во вращающейся плазме становится анизотропным [24]: величина коэффициента теплопроводности в перпендикулярном направлении оси вращения плазмы меньше, чем величина соответствующего коэффициента вдоль оси вращения.
Авторы благодарны А. А. Рухадзе за поддержку работы и полезные обсуждения. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант N 07-08-00569-а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] О. Reynolds, Nature 14, 477 (1876).
[2] R. Wood, Nature 63, 418 (1901).
[3] H. E. Жуковский, Заметка о движении вихревых колец (М., 1907).
[4] R. Н. Magarvey and С. S. Maclatcky, Cañad. J. Phys. 42(4), 678 (1964).
[5] Д. Г. Ахметов, О. П. Кисаров, ПМТФ 7(4), 120 (1966).
[6] А. А. Луговцов, Б. А. Луговцов, В. Ф. Тарасов, Динамика сплошной среды, Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, No 3, 50 (1969).
[7] Б. А. Луговцов, Авторефер. дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.-м.н. (Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1973).
[8] М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их математические модели (Наука, М., 1973).
[9] J. P. Sullivan, S. E. Windall, and S. Ezekiel, AIAA J. 11, 1384 (1973).
[10] В. Ф. Тарасов, Авторефер. дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.-м.н. (Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1975).
[11] Т. J. Maxworthy, Fluid Mech. 81, part 3, 465 (1977).
[12] A. Glezer, Phys. Fluid. 31, 3532 (1988).
[13] К. Shariff and М. Leonard, Ann. Rev. Fluid Mech. 24, 235 (1992).
[14] M. Gharib, E. Rambod, and K. Shariff, J. Fluid Mech. 360, 121 (1998).
[15] В. И. Бояринцев, Т. E. Бояринцева, Д. Г. Коротаев и др., Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, N 3, 125 (1997).
[16] Д. Г. Ахметов, ПМТФ 42(5), 70 (2001).
[17] A. F. Aleksandrov, I. В. Timofeev, В. A. Chernikov, and U. Yusupaliev, in: Proc. XVII Intern. Conf. Phen. Ion. Gas, Suansu, UK, J!P#7(UK, Suansu, 1987), part 2, p. 426.
[18] У. Юсупалиев, Диссертация на соиск. уч. степ, к.ф.-м.н. (М., МГУ, 1988).
[19] А. Ф. Александров, И. Б. Тимофеев, В. А. Черников и др., ТВТ 26(4), 639 (1988).
[20] А. Ф. Александров, И. Б. Тимофеев, У. Юсупалиев, ТВТ 29(1), 108 (1991).
[21] В. Н. Кунин, В. С. Плешивцев, Л. В. Фуров, ТВТ 35(6), 866 (1997).
[22] Д. Г. Ахметов, Автореферат дисс. на соиск. ученой степени к.ф.-м.н. (Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 2002).
[23] У. Юсупалиев, Краткие сообщения по физике ФИАН, No 10, 39 (2004).
[24] У. Юсупалиев, Физика плазмы 31(6), 543 (2005).
[25] У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, П. У. Юсупалиев, ЖТФ 77(7), 50 (2007).
[26] Д. Г. Ахметов, Вихревые кольца (Наука, Новосибирск, 2007).
[27] Т. Е. Faber, Fluid Dynamics for Physicists (Cambridge, University press, 2001).
[28] А. Ф. Александров, Л. С. Богданкевич, А. А. Рухадзе, Основы электродинамики плазмы (Высшая школа, М., 1978).
Институт общей физики
им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 6 октября 2008 г.
