CC BY
144
УДК 537.523
ВИХРЕВЫЕ КОЛЬЦА И ПЛАЗМЕННЫЕ ТОРОИДАЛЬНЫЕ ВИХРИ В ОДНОРОДНОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ. I. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПУТЬ, ПРОХОДИМЫЙ ВИХРЯМИ
У. Юсупалиев, С. А. Шутеев1, Е. Э. Винке1, П. У. Юсупалиев1
Экспериментально определен максимальный путь LMAX, проходимый вихревыми кольцами (тороидальными вихрями) в воздухе и воде до начала их распада, в широк,ом диапазоне изменения, их начальны,х интегральных характеристик. Из законов движения, и изменения, энергии таких вихрей получена формула для величины LMAX в зависимости от их начальны,х характеристик. Показано, что эта формула удовлетворительно согласуется, с опытными данными.
Ключевые слова: вихревое кольцо, тороидальный вихрь, коэффициент сопро-
тивл6ния.
Введение. Одной из основных характеристик вихревого кольца (низкотемпературного тороидального вихря), движущегося в однородной среде (воздухе и воде при атмосферном давлении, температуре ~293 К), является пройденное им расстояние Lmax до своего распада. Несмотря на давнюю историю исследования вихревого кольца [1 17], величина Lmax экспериментально впервые была измерена в широких пределах изменения характеристик генераторов вихря только в 1975 году автором работы [8], т.е. спустя почти 100 лет после работы О. Рейнольдса [1]. Опытные дсшныб этой работы по измерению величины Lmax, начального радиуса R0, начальной скорости поступательного движения V0 и угла расширения радиуса а таких вихрей приведены в таблице 1 (строки с 1 по 5). Определения основных характеристик тороидального вихря даны на рис. 1. На опыте число Рейнольдса вихревых колец Яво, составленное из величин V0 ,Ro, кинематической вязкости воздуха и воды, варьировалось в интервале 103 — 6 • 105. Исходя
Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия.
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119992, Москва, e-mail:
nesu@phys.msu.ru
ИЗ ОПЫТНЫХ ДсШНЫХ, в этой ^ке работе предложена следующая эмпирическая формула для величины ¿мах"
^ « 10 • Яв10/3. (1)
Ко
В условиях работы [8] число Кп в основном изменялось путем варьирования значения скорости Уп, величина которой не превышала 125 м/с. Из (1) следует, что чем больше число Яеп, тем больше должна быть величина максимального проходимого вихрем пути ЬМаХ- Однако в [18] экспериментально показано, что при скоростях высокотемпературного (плазменного) тороидального вихря (светящегося вихревого кольца) Уо > 140 — 160 м/с (Кеп > 106) сила сопротивления, действующая на вихрь со стороны обтекающего потока, растет вследствие появления за вихрем турбулизованного потока воздуха. Тороидальный вихрь (ТВ) с такой скоростью быстро тормозится окружающей средой, что приводит к существенному уменьшению величины ЬМаХ, несмотря на рост числа Кеп. Таким образом, эмпирическая формула (1) при больших числах Кео противоречит опытным данным.
В этой работе также показано, что низкотемпературные тороидальные вихри (турбулентные вихревые кольца) в однородных средах (в воздухе [6, 8] и воде [8, 11]) и высокотемпературные (плазменные) тороидальные вихри в воздухе [19 22] имеют идентичные динамические свойства. Исходя из этого экспериментального факта, автор работ [18, 19] определил силы, действующие на такие вихри в однородной безграничной среде, и вывел уравнение движения их центра масс. Получено решение этого уравнения закон движения тородального вихря:
*) = £{(1 + [Ь + 4]«^ — 1} , (2)
а также закон изменения скорости его поступательного движения:
Г Уп 1 Ь+4
У^(Ъ) = Уо 11 + [Ь + 4]аК0Ч (3)
и закон изменения его радиуса:
К
о
1
У 1 Ь+4
К(Ъ) = Яп\ 1 + [Ь + 4]а—П ъ\ , (4)
и\ - •• -1-й 3С*( Рп \ где г(ъ) - зависимость пройденного вихрем пут и от времени ъ, Ь = - — , раи
2а \PavJ
средняя плотность жидкости (плазмы, газа и жидкости) в вихре2
С2 и а - коэффициент лобового сопротивления и угол расширения радиуса вихря соответственно (см.
Рис. 1: Картина линий тока тороидального вихря (ТВ) в системе координат вихря к моменту завершения его формирования и в произвольный момент времени его движения в однородной среде с координатой г. Цилиндрическая система координат выбрана так, что её плоскость г = 0 совпадает с главной плоскостью тора в момент завершения формирования вихря, а ось 0г - с осью симметрии тора. Направление оси 0г совпадает с направлением скорости поступательного движения ТВ Уг. Внутри атмосферы вихря жидкость движется по замкнутым линиям тока (внутри замкнутой линии БСОБ). тс - радиус твердотельного ядра вращения жидкости.
рис. 1), рп - плотность окружающей среды. Направление поступательного движения центра масс ТВ совпадает с осью 0г цилиндрической системы координат, связанной с неподвижной окружающей средой (рис. 1).
В этих работах также показано, что решение (2) удовлетворительно согласуется с опытными данными как для плазменного ТВ в воздухе [18-21], так и для вихревых колец в воздухе [6, 8] и воде [8, 11] при атмосферном давлении до момента возникновения их неустойчивостей. На основании полученного решения (2) и экспериментальных данных определен коэффициент лобового сопротивления таких вихрей. При одинаковых числах Рейнольдса величина Сг для тороидального вихря может быть существенно меньше (более чем на порядок), чем соответствующий коэффициент, равный 0.045, для каплевидного тела вращения - наиболее обтекаемого объекта.
Сравнение теоретической кривой (2) с опытными данными для вихревых колец в воздухе и воде показало, что величина безразмерного параметра Ь для таких вихрей
имеет значение порядка А & 1.5. Из этого факта получена следующая формула для величины С г'
Сг & А 1(а. (5)
3 V Ро /
Т а б л и и а 1
№ Агрегатное состояние тороидального вихря и среды Диаметр сопла генератора тороидального вихря 2Е*, см Яо, см И), м/'сек Яео ¿МАХ, м ¿МАХ Яо а, рад Коэффициент сопротивления ТВ, сх Лит
1 в од а- в од а 1 0.54 1.5 8.1х 103 1.21.4 222260 8х 10_3 6.9-10"3 [8]
2 воздух-воздух 3 2 6 8х 103 45 200250 1.2х 10"2 1.0-10"2 [8]
3 воздух-воздух 4.2 3.4 125 2.83х 105 2530 735880 Зх 10"3 2.6-10"3 [8]
4 воздух-воздух 100 60 6 2.4х 105 260 430 6 х 10"3 5.0-10"3 [8]
5 воздух-воздух 30 19 50 б.ЗЗх 105 120130 630680 4х 10_3 3.5-10"3 [8]
6 в од а- в од а 3.4* 1.5 1.1 3.03.5 200233 1.0х 10"2 8.6-10"3
7 воздух-воздух 5.0** 2.5 8 1314 520560 4.2х 10"3 3.6-10-3
8 воздух-воздух 4.0 2.0 43 17 750850 З.Зх 10"3 2.8 • 10_3
9 воздух-воздух 6.0 3.2 65 3036 9301125 2.5х 10"3 2.1-10"3
* - генератор вихря в бассейне; ** - генератор вихря - ящик Вуда.
В рамках модели, предложенной в [18], коэффициент лобового сопротивления тороидального вихря Сх-, оказывается прямо пропорционален углу расширения его радиуса
01. что согласуется с опытными данными [6, 8, 10. 11. 17, 18 22]: чем меньше угол расширения радиуса вихря а, тем меньше коэффициент сопротивления Сг-
Для условий работы [8] значения коэффициента сопротивления вихрей Сг определялись нами по формуле (5), так как автор этой работы считал, что импульс вихревого кольца при его движении остается постоянным, т.е. на вихрь не действует сила сопротивления со стороны окружающей среды (Сг = 0). А постоянство импульса вихря является основным предположением автомодельной теории движения турбулентного вихревого кольца [5, 6]. Однако опыт показывает обратное [18]: при движении вихря его импульс со временем уменьшается. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса вихря происходит в результате действия на него сил. возникающих при взаимодействии вихря с окружающей средой и диаметрально противоположных его элементов между собой [18, 19, 24 25]. Из постоянства импульса ТВ следует, что путь, проходимый вихрем, может быть сколь угодно большим (¿мах ^ го). А это (основное предположение автомодельной теории [5, 6[) противоречит опытным данным.
Использование ТВ для решения прикладных задач требует, чтобы пройденный им путь был максимальным. Однако имеющиеся как экспериментальные данные [6 12. 15, 17, 18 26], так и теоретические модели [5, 6, 13, 14, 16, 18] по исследованию тороидальных вихрей не позволяют определить величину ЬМаХ. Данная работа посвящена количественному определению этой величины в зависимости от характеристик тороидального вихря и среды.
1. Экспериментальная, установка и методики измерения. Экспериментальная установка. генераторы тороидальных вихрей (вихревых колец) в воздухе и воде, методики измерения основных их характеристик подробно описаны в работах [18, 25, 26]. Измерение величины ЬМаХ для воздушного ТВ производилось следующим образом. Ось генератора такого вихря была ориентирована перпендикулярно к марлевой тттторе размерами 3x5 м. Сначала расстояние между генератором ТВ и марлевой тттторой фиксировалось. Дотттел ли вихрь до тттторы или нет. было видно по её колебаниям. Расстояние, на котором прекращались колебания тттторы. выбиралось в качестве максимального пути ЬМаХ, как это делалось в работе [8]. Для визуализации вихря в воздухе (воде) в рабочий объем генератора вихря вводился дым (чернила), и основные характеристики вихря регистрировались видеокамерой. При этом в качестве максимального пути вихря ¿мах выбиралось расстояние от генератора вихря, при котором вихревое кольцо начинало распадаться вследствие возникновения его неустойчивостей. Эти неустойчивости
проявляются в виде колебаний вихревого кольца в радиальном и аксиальном направлениях.
2. Экспериментальные результаты. В таблице 1 приведены величины Т/0, ¿мах а и коэффициент сопротивления Сг тороидального вихря в воздухе и воде при атмосферном давлении, полученные нами (строки с 6 по 9). Коэффициент сопротивления вихря Сг определялся по формуле (5). Выборка из всего массива опытных данных для таблицы 1 определялась тем, что величина коэффициента сопротивления Сг должна быть минимальной. Один из основных выводов работы [18] состоит в экспериментальном доказательстве прямо пропорциональной зависимости коэффициента сопротивления ТВ Сг от величины угла расширения вихря d (соотношение (5)). Из этого факта следует, что чем меньше угол а, тем меньше а следовательно, больше пройденный вихрем путь. А в работе [24] экспериментально определены условия, при которых величина уг-
а
истечения струи - характеристик генератора вихря). Для достижения максимального значения пути, проходимого вихрем, мы руководствовались именно этими закономерностями.
Рис. 2: Зависимость относительного максимального пути —-—; пройденного то-
Но
роидальными вихрями в воздухе и воде до момента их распада, от коэффициента их сопротивления Сг- Кружочки о - экспериментальные данные работы [8], треугольники А - экспериментальные данные настоящей работы. Кривая построена по формуле (15).
На рис. 2 приведена экспериментальная зависимость относительного максимально-lmax „ ..
го пути ———, пройденного тороидальными вихрями в воздухе и воде до их момента R0
распада, от коэффициента их сопротивления CZ. Из приведенных экспериментальных данных (таблицы 1 и рис. 2) следует однозначная связь между величинами Lmax, R0 и CZ: чем меньше коэффициент его лобового сопротивления CZ и больше начальный радиус вихря R0, тем больше расстояние Lmax проходимое вихрем до своего распада.
3. Обсуждение экспериментальных результатов. Для определения величины Lmax воспользуемся результатами работ [18, 19]: законом движения вихря (2), (3), (4) и (5). В общем случае низкотемпературный ТВ имеет кинетическую энергию EC поступательного движения относительно покоящейся среды, вращательную энергию вещества (газа или жидкости) Erot относительно его оси ядра тора - оси вращения, внутреннюю энергию его вещества Ein, захваченного в вихревое движение:
Etv = Ec + Erot + Ein. (6)
В работах [15, 17] экспериментально показано, что на начальной стадии движения воздушного ТВ (после его формирования) энергия его вращательного движения Erot примерно в три раза превышает его кинетическую энергию поступательного движения EC:
Erot - 3Ec = 2праиRX2. (7)
Будем предполагать, что соотношение (7) выполняется и для тороидального вихря в воде. При движении у такого низкотемпературного ТВ внутренняя энергия его вещества не изменяется (Ein — const), так как средняя температура вихря практически не отличается от температуры окружающей среды. То есть градиентом температуры в вихре (как и потоком тепла из вихря) можно пренебречь, чего нельзя сказать о высокотемпературном (плазменном) ТВ (начальная температура плазмы составляет 8000 9000 К [18]). Тогда изменение энергии вихря в единицу времени равно мощности сил, действующих на вихры
= -Ff(t) • Vz(t) - (Fm(t) - Fn(t)) • Vr(t) (8)
at
с начальными условиями
Etv(0) = Ec(0) + Erot(0), Vz(0) = Vo, Vr(0) = a • V>, R(0) = Ro,
где Ff - сила сопротивления, действующая на вихрь со стороны окружающей среды против направления поступательного движения вихря, FM — Fn = 2nR(fM — /п), fM и /п - сила растяжения и сила притяжения, действующие на элемент вихря единичной длины (см. рис. 1), VZ(t) - скорость поступального движения вихря, Vr(t) - радиальная
скорость расширения вихря. Скорости Ух (¿) и Уг (г) = ¿Я(1)/вг связаны между собой соотношением: Уг (г) = аУх (¿), которое получено из следующего соотношения
Я(г) = Я0 + аг (г), (9а)
установленного экспериментально в работах [6, 8, 10. 11. 15, 17, 18]. Заметим, что соотношение (9а) справедливо до момента возникновения неустойчивостей вихря. В [18, 19] показано, что силы Рр и (Рм — Рп) равны соответственно:
FF = СхРр0ухБы, Рм — Рп = 2пЯ(/м — /п) = аСхР0уХБы, (9Ь)
где Бм = 4пЯ2 - миделево сечение ТВ.
Интегрирование уравнения (8) с начальными условиями и с учетом (3), (4) и (9Ь) дает работу Ату, совершаемую тороидальным вихрем на преодоление сопротивления окружающей среды:
г г
Ету(0) — Ету(Ь) = А(г) = ! ¿ра)Ух(№ + /(Рм(С) — Рп(0)Уг% =
оо г
= 2проСх(1 + а2^ У|(£)Я2(£К = о
2п(1 + а2)СхРоЯ0Уо
а(2Ь + 3)
1
1--
1 + (Ь + 4)
Ь+4
(10)
Из (10) в работе [26] получена формула для доли энергии а—гг> теряемой вихрем
Ету (0)
на преодоление сопротивления окружающей среды при прохождении им пути, равного своему диаметру. Полученная формула сравнивалась с опытными данными работ [15, 17], и было показано, что она согласуется с опытными данными. Поэтому уравнение (10) с учетом условия возникновения неустойчивостей ТВ [24] можно использовать для определения максимального проходимого тороидальным вихрем расстояния ¿мах-
Для этого сначала определим время жизни ТВ тцР как время до начала его распада. Распад вихря происходит в результате возникновения его неустойчивостей. До момента распада вихрь на преодоление сопротивления окружающей среды расходует определенную долю своей энергии п'-
А(ТЫр) = ПЕТУ (0), (11)
где 0 < п < 1. Подставляя выражение (10) при Ь = т^ в (11), получим характерное время жизни ТВ:
До
тыр
(Ь + 4)аУо
1
ч Ь+4 4пЁту(0) \ 2Ь+3
1
1
ПроЯ3У02 )
(12)
^ 2п(1 + a2)Cz т г
где П = -—--—. Теперь для определения величины пути Ьмлх выражение (12)
а(2Ь + 3)
подставим в закон движения вихря (2) и получим следующее выражение для Ьмлх/Ло:
= 1<<1 + Ко а
1
Ь+4
1 , 4п«Ету (0Л 2Ь+3 1 + ПроЯЗ У02 ]
1
1
Ь+4
1
(13)
Итак, путь, проходимый тороидальным вихрем до своего распада, зависит от его начальной механической энергии £ту(0), нач^ьного радиуса К0 и коэффициента сопротивления вихря Cz.
Используя (5) и (7), выражение (13) приведём к следующему виду:
Ь
млх Ко
2Лрау
3pоCz
1 +
1 +
2п(2Ь + 3)
~(Ь+4) 2Ь+3
1
А 1 +
9Ро С 2 4Л2р1„ Cz
Ь+4
1
(14)
В (14) неизвестна средняя плотность газа раи внутри вихря. Вследствие вращения внутри вихря имеется разрежение газа, следовательно, по крайней мере для газа, Раи < Ро- Оценка величины рай для параметров ТВ, приведенных в таблице 1, показывает, что при малых начальных скоростях вихря (Уо < 10 м/с) она близка к плотности окружающей среды (0.93ро < раи < ро), а при 10 м/с < Уо < 125 м/с -0.7ро < раи < 0.9ро. Поэтому для проведения расчёта по формуле (14) в интервале 1 м/с < Уо < 125 м/с можно принять, что раи ~ 0.8ро.
Согласно опытным данным [18], Ь ~ А = 1.5, и тогда из (14) получим
Ьмлх Ко
Ра
РоCz
1+
—о.92
1+
8п
1 + & С1
1
о.18 2
1
(15)
В (15) неизвестна величина п- Для её оценки строились кривые по формуле (15) при различных значениях п■ Сравнение этих кривых с опытными данными работы [8] и
1
нашей работы показало, что при п = 0.16 кривая хорошо согласуется с этими данными (см. рис. 2).
Таким образом, формула (15). полученная из законов движения и изменения энергии тороидальных вихрей в воздухе и воде с учётом момента их распада, адекватно описывает экспериментально установленную зависимость максимального проходимого ими пути от их коэффициента сопротивления С г и начального радиуса Я0.
ЛИТЕРАТУРА
[1] О. Reynolds, Nature 14, 477 (1876).
[2] R. Wood, Nature 63, 418 (1901).
[3] H. E. Жуковский, Заметка о движении вихревых колец (М., Моск. унпверс., 1907).
[4] R. Н. Magarvey, С. S. Maclatcky, Ganad. J. Phys. 42(4), 678 (1964).
[5] Б. А. Луговцов, Автореф. дне. на соиск. д.ф.-м.н. (Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1973).
[6] М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Проблемы, гидродинамики и их математические модели (М-, Наука, 1973).
[7] J. P. Sullivan, S. Е. Windall, S. Ezekiel, AIAA J 11, 1384 (1973).
[8] В. Ф. Тарасов, Дне. на соиск. к.ф.-м.н. (Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1975).
[9] Т. Maxworthy, J. Fluid Mech. 81, part 3, 465 (1977).
[10] К. Shariff, M. Leonard, Ann. Rev. Fluid Mech. 24, 235 (1992).
[11] В. И. Б ояринцев, Т. E. Бояринцева, Д. Г. Коротаев и др.. Изв. РАН Сер. МЖГ Л"2 3, 125 (1997).
[12] М. Charib, Е. Rambod, К. Shariff, J. Fluid Mech. 360, 121 (1998).
[13] Т. E. Faber, Fluid, dynamics for physicists (University press, Cambridge, 2001).
[14] P. G. Saffman, Vortex dynamics (University press, Cambridge, 1992).
[15] Д. Г. Ахметов, Авторефер. дне. на соиск. к.ф.-м.н. (Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО РАН, 2002).
[16] С. В. Алексеенко, П. А. Куйбнн, В. Л. Окулов, Введение в теорию концентрированных вихрей (Институт теплофизики СО РАН, Новосибирск, 2003).
[17] Д. Г. Ахметов, Вихревые кольца (Академ. и зд&т ел ьс т во Тео", Новосибирск, 2007).
[18] У. Юсупалиев. Физика плазмы 31(6). 543 (2005).
[19] У. Юсупалиев. Краткие сообщения по физике ФИАН. У2 10. 39 (2004).
[20] У. Юсупалиев. Дис. на соиск. к.ф.-м.н. (МГУ. М.. 1988).
[21] А. Ф. Александров. В. А. Черников. У. Юсупалиев. ТВТ 26(4). 639 (1988).
[22] У. Юсупалиев. Краткие сообщения по физике ФИАН. Л"2 6, 46 (2005).
[23] У. Юсупалиев. П. У. Юсупалиев. С. А. Шутеев. Краткие сообщения по физике ФИАН, № 5, 41 (2006).
[24] У. Юсупалиев, П. У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, ЖТФ 77(7), 50 (2007).
[25] У. Юсупалиев, П. У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, Физика плазмы 33(3), 226 (2007).
[26] У. Юсупалиев, С. А. Шутеев, П. У. Юсупалиев и др.. Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(11), 45 (2008).
Поступила в редакцию 29 апреля 2010 г.
