Изложение темы «Ряды» с учетом ее математической значимости Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 378.147:51

ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ «РЯДЫ» С УЧЕТОМ ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ

© Е. И. ЕРМОЛАЕВА Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, кафедра Математики и математического моделирования e-mail: ermelenka@rambler.ru

Ермолаева Е. И. - Изложение материала по теме «Ряды» с учетом ее математической значимости // Известия

ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 220-225. - В данной статье приводится методика преподавания темы «Ряды», рассматривается специальная система упражнений, выделяющая ее математическую значимость, целесообразность изучения, а также необходимость дальнейшего применения.

Ключевые слова: методика математики, система упражнений по теме «Ряды».

Ermolaeva E. I. - Presentation of the topic “Mathematical sequence” as significant unit// Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 220-225. This article is devoted to the methods of teaching the topic “Mathematical sequence”. Special system of exercises is being examined. This topic has mathematical significance and should be studied properly. It could be applied in real life.

Key words: methods of teaching mathematics, the system of exercises on the topic “Mathematical sequence”.

Математические знания это важная база для дальнейшего изучения специальных дисциплин в вузе. Поэтому при обучении студентов математике преподавателю нужно не только подчеркнуть всю важность получаемых знаний, но и систематизировать их для дальнейшего использования. Для этого необходимо определенное заинтересовывающее изложение математического материала и специальные упражнения и задачи. В данной статье мы приведем пример изучения темы «Ряды»: методику ее преподавания, выделив типы упражнений способствующих достижению поставленных целей.

Начинаем с формирования основных понятий данной темы. В основе самого понятия ряда, как известно, лежит понятие числовой последовательности. Числовая последовательность как математическое понятие было известно с античных времен. Последовательности встречаются в виде прогрессий: арифметической и геометрической, уже в папирусе Ахмеса, у Архимеда, а также у некоторых китайских математиков. В то время уже умели пользоваться правилами вычисления сумм арифметической и геометрической прогрессий, полное обоснование которых было получено в конце XVI века французским математиком Ф. Виетом. Как показывает наш собственный опыт, сведения относительно категорий бесконечно малого и бесконечно большого, связанные в древности с задачами определения объема пирамиды, при решении которых математики стали привлекать исследование бесконечных процессов (парадоксы Зенона), дополнительно стимулируют студентов к изучению рядов. Исходным понятием для изучения данной темы является весьма сложное в методическом отношении понятие предела. Наиболее элементарной иллюстрацией привлечения понятия предела последовательности как основы соответствующего вычислительного аппарата можно считать поиск длины окружности и площади круга, который, как известно, фактически сводится к вычислению числа п. В соответствии со сказанным, необходимо, в первую очередь, повторить понятие предела, уже введенного ранее в теме «Введение в анализ», воссоздать его определение, основные свойства, правила вычисления, формулировку первого и второго замечательных пределов.

Обосновывая необходимость вводимого материала, целесообразно исходить из того, что последовательности, по сути, представляют собой простейшие модели явлений и процессов реального мира, они достаточно точно моделируют физические, экономические и др. процессы, обладая определенными структурными свойствами (монотонность, ограниченность) и имея качественное поведение (иметь предел или нет). Последовательности, как известно, могут быть заданы по-разному: явно, описанием, рекуррентно. Переход от одной формы задания к другой, а также определение общего члена последовательности являются достаточно интересными в методическом плане задачами. При их решении обеспечивается возможность актуализировать все основные мыслительные операции, различные приемы умственной деятельности и, в частности прием структурирования.

На начальном этапе важно актуализировать у студентов способность «видения» особенностей той или иной последовательности при помощи ее геометрической интерпретации. При этом целесообразно использовать две модели интерпретаций: линейную (одномерную) и плоскую (двумерную), на основе которых можно показать изображение последовательностей в виде точек, координаты которых соответствуют членам последовательности при фиксированном положении числовой прямой, или системы координат. Для этого полезно рассмотреть примеры:

Решение производится следующим образом (на примере второй последовательности):

1) составляем послеовательность при п = 1 а=3; п=2 а=5/2; п=3 а=7/3; п=4 а=9/4; п=5 а=11/5 и т.д.

2) строим числовую прямую и отметим на ней найденные члены последовательности:

11 7

5 3 а„

0 9 5 3

4 2

_ „ 2п +1 „ тп

а = 2 ; а =-----------; а = 2соз—

П 5 П 5 П г\

п 2

Затем для актуализации понятия предела и способов его вычисления предлагаем следующие упражнения:

1. Используя определение предела, доказать, что:

3п + 2

пт-----------------= 3

п +1

2. Пользуясь правилами вычисления пределов, вычислить:

а) Ііт 3 + 42П + 2п б) Ііт(%/п2 + 3п +1 -■>/п2 - 3п - 4) в) Ііт(1

п — 3 п^» \ / п^да і п — 1)

Таким образом, на данном этапе формируются и обыгрываются интуитивные представления о понятии последовательности и ряда, актуализируется понятие предела. Обращение к задачам, принципиально не разрешимых на интуитивном уровне, приводит к осознанию размытости, диффузности интуитивных представлений о понятии ряда и побуждает студентов к их уточнению. Процесс уточнения осуществляется в ходе формирования строгого понятия ряда.

Определение: Числовым рядом называется выражение вида а1 + а2 + а3 +... + ап +...., при этом числа а1, а2, а3,..., ап,.. называются членами ряда, а число ап - общим членом ряда.

Само «понятийное поле» темы «Ряды» целесообразно представить в виде специальной логико-смысловой модели, которая составляется вместе со студентами на первом лекционном занятии и кратко характеризуется преподавателем. Впоследствии данная схема начинает играть роль своеобразного «мини-справочника» для анализа предлагаемых заданий, представляя собой всю систему знаний по данному модулю в свернутом и структурированном виде.

После изучения самого понятия ряда переходим к изучению виду рядов, необходимого и достаточных признаков сходимости числовых рядов, степенные ряды и радиус сходимости и т. д. Остановимся, например, на изуче-

нии темы «Признаки сходимости». Использование схем, таблиц и графиков, как мы уже оговаривали раньше, в существенной мере способствует систематизации. Поэтому на лекции, посвященной данной теме, вывод и формулировка признаков сходимости могут сопровождаться следующими таблицами и схемами.

Приведем примеры решения задач по каждому из признаков в виде следующей таблицы (табл.1):

Таблица 1.

Достаточные признаки сходимости Пример

Сравнения: Пусть V ап и VЬп ряды с положительными членами, причем п=1 п=1 существует конечный отличный от 0 предел Нт—. Тогда п^ад Ь п ряды Vап и VЬп сходятся или расходятся одновременно. п=1 п=1 V п5 + 5 . В качестве ряда Ьп возьмем ряд V“Г - он сходится. п=1 п — 2 п=1 п » 5 г 4 п + 5 4 .. п + 5п Нт— п = 1гт—; = 1 п^“ п5 - 2 п^ад п - 2 Предел существует, следовательно, данный ряд сходится.

Даламбера: Пусть для ряда V ап существует конечный предел Нтап+1 = 1. п=1 п Тогда если /<1, то ряд сходится; если />1 - ряд расходится. Если /=1, то ряд может сходится или расходится. V пп ^ п!2п Решение: ап+1 = (п + ^ 1 п+1 (п +1)! 2п+1 Нт (п + 1)п+11-п!'2п = Нт(п +^ = 1 Нт Г1 + 1Т = п^ад (п +1)! -2 пп п^ад 2- пп 2 п^ п) = — > 1 ^ расходится

Коши: Пусть для ряда V ап существует конечный предел Нт 1Иап = 1. " п >ад п=1 Тогда если /<1, то ряд сходится; если />1 - ряд расходится. Если /=1, то ряд может сходится или расходится. і «• Г3п+2 Ї £ 12п +1J Решение: Ііт .»/«• Г 3И + 2 12п +1 у ^ расходится П = Ііт4~п-3П + 2 = 3 > 1 п^“ 2п +1 2

Интегральный: Пусть ряд V ап с положительными членами, для которого п=1 существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1;®) функция /(X) такая, что /(.X) =ап. Тогда ряд Vап и несобственный интеграл | /(х)А сходятся п=1 1 или расходятся одновременно. і 1 П=1(п + 1)1п(п + Решение: / (х) л dx ] (х + 1)1п( х +1) = 1іт1п1п( х +1) а^ад Интеграл расхо ) 1 (х + 1)1п( х +1) а dx = 1іт I = .1 (х + 1)1п(х +1) а = 1іт(1п1п(а +1) - 1п1п2) = ад 1 а^ад дится, следовательно ряд расходится.

Установление содержательных взаимосвязей между указанными элементами учебного материала целесообразно осуществить с помощью следующей схемы, составляемой в процессе обсуждения со студентами теоретического материала. Данная схема может в дальнейшем служить в качестве опоры при решении задач на практических занятиях (см. ниже).

Затем происходит переход к закреплению теории при решении задач. Система заданий уже в большей мере нацелена на формирование системы понятий по данной теме. В частности, актуализация содержательных взаимосвязей между различными темами, составляющая содержание условия обеспечения возможности переноса знаний студентов по данной теме в другие темы и дисциплины профессиональной подготовки, может быть реализована на примере задач на исследование сходимости рядов, в которых при подсчете пределов нужно использовать правило Лопиталя, изученного в предыдущей теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».

Приведем пример системы заданий по изучению признаков сходимости рядов:

1. Могут ли следующие ряды быть сходящимися?

а) £ ; б) £

+ 1 ^

„=! 1- 1 „=1

п

пъ + 2

*) £

п2 + 3

1 (п + 2)(п + 5)

2. Приведите примеры расходящихся и сходящихся рядов Дирихле.

3. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаками сравнения:

п + 5 ^ л/П + ^п , „ (п +1

; б) >

=1 п — 2

п + 5 \п + \п ^

а) £-2 ; б) £—^ ; е) £1п

2

п=1 п + п=1 V п

4. Исследовать ряд на сходимость, применяя целесообразный, на ваш взгляд, достаточный признаки сходимости:

5 ^ ~ \3п+1

п

^ п5 п + 2 У+ ^ 1

а) £ тпгт; б) £15— I ; е) £ т1п= •

п=1 5 п=1 V 2п + 1) п=2 ^1пп

п + 2

' +1) п=2 п

При решении данных заданий широко задействуется схема, составленная на лекции. Решая первое задание, студенты осознают важность выводов, которые можно сделать, пользуясь лишь необходимым признаком сходимости. Зная, как ведут себя ряды Дирихле и формулировку необходимого признака сходимости, они, пользуясь уже достаточным признаком сходимости рядов - признаком сравнения, легко выполняют третье задание. После актуализации правил вычисления пределов и знакомства с формулировками остальных достаточных признаков без особого труда можно выполнить последнее задание.

Далее решаются задачи на закрепление изученных понятий по рассматриваемым темам. В числе видов заданий, специально сориентированных на систематизацию знаний и отвечающих выделенным требованиям, можно указать следующие:

1. Упражнения по распознаванию рассматриваемых понятий и их классификации. Они формируют у обучающихся способность распознать данный объект, подвести его под изучаемый класс объектов.

Пример 1:

Установите соответствие между различными формами записи ряда:

да 1 а) £ -; п=1 п

б) £

(х - 2)2 ;

п!

*) £

13 + п

2

п

п=1

(X — 2) + (х — 2)2 + (х — 2)3 +

1

Пример 2:

2! 3!

2 ^ сов(2п —1)х ^ п — 2 ^

Какой из рядов 1) —X——г-2 ; 2) X ; 3) X

п п=\ (2п — 1) п=1 п! п=1

1 4 9 16 111

2) —\------------------------\-\-+... 3) 1 +-\-\-+ .

4 5 6 7 2 3 4

п!

; 5)

является:

а) числовым;

б) степенным;

в) рядом Фурье.

2. Задания-вопросы. Это задания обобщающе-систематизирующего характера, позволяющие студентам вычленить из изучаемого материала наиболее важные, существенные моменты, взглянуть на этот материал с более общих позиций.

Пример 1:

Исследовать ряд на сходимость. Какой из признаков сходимости можно применить для исследования данного ряда? Сформулируйте этот признак и обоснуйте целесообразность его использования.

^ 2п ^ п^ \ 2 (, 1 /

а) X—; б) X 16 ; в) XпI1 —I .

п=1 п2 п=^л/п6 \ 2п — 2 п=1 V п)

Пример 2:

Укажите какие ряды можно исследовать по признаку Лейбница, а какие нет. Исследуйте ряд на абсолютную сходимость?

>) X ; 2) X

п=1 п=1

(—1)

п(п—1)

п 2п

; 3) X

п(п\1)

(—1)^. (—1)п2-3п

1 п2 \ 3п

; 4) X^

7п

3. Задания - мини-исследования. Этот дидактический прием учебной деятельности, наряду с принципами модульного обучения, позволяет активизировать работу по систематизации за счет специальной акцентировки связей между элементами локальной системы математических знаний. Мы практикуем задания с большим количеством вопросов, ответ на большинство из которых необходим для ответа на один из последующих вопросов. Такая преемственность, присутствующая фактически в одном задании, способствует осознанию общности и взаимозависимости закономерностей, лежащих в основе используемых при решении приемов математической деятельности.

Пример 1:

(х \ 5)п

Для данного ряда: X

3п\1 -п 1п3 п

1. Найти радиус сходимости ряда;

2. Исследовать сходимость на концах интервала;

3. Какие признаки вы использовали при исследовании ряда. Пример 2:

Исследовать ряд на сходимость. Определить характер сходимости.

1) X-

(—1)п

Ч2 ; 2) X(—1)п-п3 | ; 3) X

=0(СО5Пп)2 3 п=1(п!)2-6п

4. Упражнения «открытого» типа. Такие задания целесообразно давать студентам в конце изучения темы, при их выполнении они получают возможность относительно самостоятельно переструктурировать в своем сознании усвоенный материал, выделить в нем главные, узловые моменты и, на этой основе, составить целостное представление об изученном материале.

п=1

п=2

Пример 1:

Пользуясь изученным материалом, составить план изложения темы «Ряды» и подобрать примеры по использованию материала данной темы при рассмотрении ситуаций, возникающих в дальнейшей практике.

В практике нашей работы широко применяется также составление творческих заданий: докладов с применением дополнительной литературы; наглядных пособий; самостоятельное составление оригинальных задач, имеющих несколько решений и представление всех вариантов таких решений. Так, в качестве одного из примеров применения математических рядов в строительстве, предлагаемого в качестве доклада студентам первокурсникам строительных специальностей, можно рассмотреть ряды предпочтительных чисел, являющихся одной из теоретических основ стандартизации.