CC BY
66
УДК 51
Изложение темы «Прямые и плоскости» на практических занятиях по математике в техническом вузе — II
М. Я. Спиридонов
Настоящая статья является продолжением статьи "Изложение темы «Прямые и плоскости» на практических занятиях по математике в техническом вузе — I", опубликованной ранее в майском номере журнала «Вестник МГУП» за 2011 год (см.: Вестник МГУП. 2011. № 5. С. 106-132). В ней рассматривалось место темы «Прямые и плоскости» в учебной программе первого семестра, указывались причины, которые делают освоение этой темы для студентов зачастую более сложным даже по сравнению с некоторыми разделами математического анализа.
При изучении раздела «Прямые и плоскости» в техническом вузе предлагается следующая последовательность рассмотрения тем:
Тема 1. «Плоскость в пространстве»;
Тема 2. «Прямая в пространстве»;
Тема 3. «Прямая и плоскость в пространстве»;
Тема 4. «Прямая на плоскости».
Обсуждение темы «Плоскость в пространстве» было проведено в ранее опубликованной первой части статьи.
Тема 2: «Прямая в пространстве»
При изучении данной темы следует, по моему мнению, выделять лишь четыре фундаментальных положения: три различных вида уравнений прямой в пространстве (канонические, параметрические, общие) и угол между прямыми. Все остальные формулы и факты из них выводятся (иногда совсем легко, а иногда с помощью некоторых поэтапных рассуждений).
2.1. Параметрические уравнения прямой
Исходным для составления уравнений прямой возьмем следующий совершенно очевидный на интуитивно-геометрическом уровне факт: прямую в пространстве (а кстати, и на плоскости) полностью и однозначно определяют два объекта — это 1) точка М0(ж0; у0; г0), принадлежащая прямой, и 2) параллельный (направляющий) вектор а(Цт',п) ф 0.
(Координаты направляющего вектора обозначаются буквами I, т, п по давней традиции. Это не всегда бывает удобно. Поэтому в современных учебных пособиях нередко используют и другие формы записи, например, о(аг; а2; о3).)
С методической точки зрения здесь стоит отметить определенное единство объектов, задающих в пространстве плоскость и прямую, причем как количественное, так и качественное: в обоих случаях их два и они (как геометрические объекты) одинаковы — это точка и вектор; только по отношению к плоскости вектор должен быть перпендикулярным, а по отношению к прямой параллельным.
Сами параметрические (как и канонические) уравнения отражают простейшие и понятные закономерности между век-
торами. А именно, точка пространства М(х; у, г) принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда векторы М0л1 и а параллельны (коллинеарны), а последнее, как известно, равносильно их пропорциональности. Иными словами, существует такое число что
Соотношение (7) определяет все точки прямой, проходящей через заданную точку М0 параллельно заданному вектору а. При изменении параметра Ь от — оо до +оо точка М «пробегает» всю рассматриваемую прямую. На этом основании равенство (7) называют векторным параметрическим уравнением прямой.
(Уравнение (7) часто записывают в виде г — г0 + £ а, где г0 = ОМд и г — ОМ — радиусы-векторы точек М0 и М соответственно, при этом М0М = г — г0.)
Перейдем от векторной записи в (7) к координатной. Поскольку М0М = (х — х0] у — у0; г — г0), то равенство (7) будет равносильно трем числовым равенствам
Соотношения (8) называются (координатными) параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Очевидно, что точка М0 и вектор а образуют на прямой координатную систему: координатой любой точки М на прямой служит фигурирующее в соотношении (7) или (8) число при этом между множеством всех точек прямой и всеми значениями параметра Ь (то есть множеством вещественных чисел М) существует взаимно однозначное соответствие.
Конечно, при выборе точки, принадлежащей прямой, и направляющего вектора имеется значительный произвол (существует бесконечное множество как точек на прямой, так и
МпМ = г-а.
о
(7)
параллельных прямой векторов). Но геометрически понятно, что при любом таком выборе мы будем получать одну и ту же прямую. Здесь имеет смысл продемонстрировать учащимся формальное доказательство приведенного утверждения, основанное на равенстве (7).
Предложение 1. Прямая может задаваться любой своей точкой и любым отличным от нуля вектором, параллельным этой прямой.
Доказательство. Рассмотрим некоторую прямую, проходящую через точку М0 параллельно вектору а / 0, то есть точка М пространства принадлежит этой прямой в том и только в том случае, когда выполняется равенство (7) при некотором
Пусть К0 — произвольная точка этой прямой, а Ь — произвольный отличный от нуля вектор, параллельный рассматриваемой прямой. Докажем сначала, что всякая точка М, удовлетворяющая условию (7), будет удовлетворять соотношению -^
К0М = т Ь при некотором т £ К.
По правилу сложения векторов = К^м'ц + М0М.
Поскольку точка К0 принадлежит прямой (7), то существует число £0 такое, что М0К0 = £0 а. Кроме того, коллинеарные (параллельные одной и той же прямой) векторы а и Ь пропорциональны, то есть а = А Ь, где число А отлично от нуля. Следовательно,
КоЙ = -М0к1 + Мйй = -*0 5 + * 3 = - £0) а = (*-*„) А6, ->
а значит, К0М = тЬ, где т = (£ - £0) А.
Обратно, если К0М = тЬ, то есть точка М лежит на прямой, заданной точкой К0 и направляющим вектором Ь, то
М()й = М0к1 + кйй = £0а + тЬ = £0а + та/А = *а,
где Ь = + г/А. Тем самым установлено, что точка М будет находиться и на прямой (7). □
Полезно отметить механический смысл параметрических уравнений. Если параметр t рассматривать как время, а уравнения (7) или (8) как уравнения движения (изменения положения) точки М(х] у\ г) в пространстве, то параметрические уравнения будут описывать прямолинейное равномерное движение точки М. Так, в начальный момент времени Ь = 0 положение точки М совпадает с точкой М0; скорость у движения точки М постоянна и равна направляющему вектору, а ее абсолютная величина V его длине: V = а(1, ш; п), V = |а| = \/12 + т2 + п2.
2.2. Канонические уравнения прямой
Если все координаты I, т, п направляющего вектора прямой отличны от нуля, то из каждого равенства в (8) можно выразить параметр ¿:
^ _ х ~ хо ^ = У ~ У о ^ _ г ~ го
I ' 771 ' П
Отсюда следует (опять-таки при I ф 0, т ф 0, пф 0), что
х — х0 _ у — у о -г — г0 /дч
I т п
От направляющего вектора а(1\т\п) прямой требуется лишь неравенство нулю, при этом некоторые его координаты (но не все одновременно!) могут быть нулевыми. Если, к примеру, т = 0, то из (8) вытекает, что у = у0, или у — у0 = 0. Приведенные рассуждения, конечно же, безупречны с математической точки зрения. Но опираясь на них, условились придавать смысл равенствам (9) и в тех случаях, когда один или два знаменателя фигурирующих там дробей равны нулю: если I = 0, то считают х — х0 =0; если т = 0, то считают у — у0 = 0; если п = 0, то считают г—г0 — 0.В силу сделанных соглашений уравнения (9) при любых значениях I, т, п, не равных одновременно нулю, будут равносильны параметрическим уравнениям (8) и, следовательно, также будут уравнениями рассматриваемой прямой.
Уравнения вида (9) называются каноническими уравнениями прямой. Они равносильны системе из двух независимых линейных уравнений, о чем речь пойдет в следующем разделе, посвященном общим уравнениям прямой.
Объяснить вид канонических уравнений прямой можно непосредственно, не апеллируя к параметрическим уравнениям: коллинеарность (параллельность) векторов М0М и а означает их пропорциональность, а значит, пропорциональность соответствующих координат, что и отражают соотношения (9), рассматриваемые как обычная числовая пропорция.
Точка М принадлежит прямой, проходящей через точку М0 и параллельной вектору а, тогда и только тогда, когда
М0М || а О М0М = t ■ а
Г X — ^ / 5 ^ \ У - Уо - 1т
параметрические уравнения
X И/0 -Н
У = Уо+^гп, г = г0 +
а{1; ш; п) ф О """' М0(х0;у0-,г0)
канонические уравнения
X
X,
о. _ У - У о _
т
п
Конспект-схема вывода канонических и параметрических уравнении прямой в пространстве
Вернемся еще раз к тому обстоятельству, что один или два знаменателя дробей в (9) могут быть нулями. Это, разумеется, неожиданно и непривычно для вчерашних школьников, поэтому указанный момент я всегда стараюсь разъяснять не спеша и скрупулезно. Тем не менее, когда на практических занятиях появляется на доске что-то вроде = = то сразу раздаются несколько искренне удивленных (а порой и возмущенных) голосов: «А на ноль делить нельзя!» С одной стороны, конечно, приятно, что некоторые положения школьного курса математики так прочно и неистребимо застряли в сознании учащихся, но с другой стороны, приходится заново объяснять принятое соглашение относительно канонических уравнений. Последнее можно осуществить простым повтором того, что было сказано
выше, но, если позволяет время, я иногда к поднятой проблеме подхожу с «другого бока». После студенческого выпада о том, что на ноль делить нельзя, я невозмутимо спрашиваю: «А почему?» За многие годы работы удовлетворительного ответа на сей незамысловатый вопрос я так и не дождался! Поэтому начинаю медленно объяснять: операция деления является обратной к умножению, например, число 6, деленное на число 3, есть такое число х (частное), которое будучи умноженным на число 3 (делитель) дало бы в результате 6 (делимое), то есть 6:3 = 2; означает, что х х 3 = 6, и, следовательно, х = 2; если же мы пытаемся делить 6 на нуль (6 : 0 = х), то нам придется искать такое число х, что х х 0 = 6, а это невозможно (поскольку жхО всегда равно нулю); противоречие при делении на нуль снимается лишь тогда, когда и делимое, и делитель равны нулю (если 0Х : 02 = х, где нижние индексы у нулей проставлены для различения делителя и делимого, то равенство х х 02 = 0! верно при любом ж); именно такое положение содержится в соглашении о записи канонических уравнений прямой (если знаменатель какой-либо дроби в (9) равен нулю, то нулю равен и ее числитель). Польза от такого экскурса состоит еще и в том, что мы исподволь подготавливаем студентов к встрече с неопределенностью вида 0/0 при вычислении пределов.
Сравнивая методические достоинства параметрических и канонических уравнений, я в практике решения задач отдаю предпочтение последним. Поэтому на помещенной далее таблице «Прямая в пространстве» канонические уравнения представлены и занумерованы (вопреки последовательности изложения!) первыми, параметрические — вторыми, а общие уравнения прямой — третьими.
Учащимся я всегда говорю, что канонические уравнения необходимо запомнить, знать их «устройство», форму записи, что в каждой задаче на составление уравнений прямой нужно
найти принадлежащую искомой прямой точку и параллельный ей вектор и немедленно выписать соответствующие канонические уравнения. Параметрические же уравнения запоминать, в общем-то, не нужно: чтобы их получить, следует каждую дробь канонических уравнений приравнять параметру £ и выразить (действуя формально в случае равенства нулю знаменателя) текущие координаты х, у, г точки на прямой через координаты х0, у0, г0 «начальной» точки М0, координаты /, т, п направляющего вектора а и параметр t.
2.3. Общие уравнения прямой
На интуитивном уровне ясно, что любые две непараллельные плоскости пересекаются по прямой (в элементарной геометрии это положение принимается за аксиому). С другой стороны, понятно, что всякую прямую можно представить как линию пересечения двух (определяемых неоднозначно) плоскостей. Тем самым прямые в пространстве могут задаваться двумя уравнениями вида
Ахх + В1У + Сгг + = О, А2х + В2у + С2г + Г>2 = 0,
где коэффициенты Ах, Въ С\ и А2, В2, С2 не должны быть пропорциональными (так как две плоскости пересекаются по прямой тогда и только тогда, когда они не параллельны, а значит, их нормальные векторы не коллинеарны). Уравнения (10) называются общими уравнениями прямой.
Чтобы получить уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей в виде (10), в канонической или параметрической форме, нужно найти 1) точку на этой прямой и 2) ее направляющий вектор. Здесь предлагается три варианта решения поставленной задачи.
Способ первый. Самый безыскусный способ — это найти две различные точки на прямой как два различных решения
системы (10) двух линейных уравнений с тремя неизвестными. (Такая система имеет бесконечно много решений и найти какие-либо два из них, например, простым подбором, не составляет большого труда.) В качестве направляющего вектора при этом можно взять вектор с началом в одной из найденных точек и концом в другой.
Способ второй. Наиболее часто рекомендуемый в учебной литературе способ поиска точки и направляющего вектора прямой состоит в следующем: точку М0(ж0; у0; г0) на прямой находят (например, подбором) как одно из решений неопределенной системы линейных уравнений (10), а направляющий вектор а(1\т; п) вычисляют как векторное произведение нормальных векторов Вх\Сх) и АБ2; С2) плоскостей, пересечением которых является заданная прямая, то есть
г / к А, В, С, .
а2 в2 с2
Способ третий. Еще один способ получения канонических уравнений (9) из общих уравнений (10) основан на алгебраических преобразованиях последних. А именно, от системы (10) методом исключения неизвестных приходят к системе двух уравнений, в каждом из которых одна неизвестная «отсутствует». Так, если в (10) удалось сначала исключить х, а затем г, то (при условии не пропорциональности коэффициентов при исключаемых переменных) получится система вида
г = ху + X, х = ц у + и,
которая легко трансформируется в канонические уравнения прямой:
г - X _ х -и ^ х - у __ У - 0 _ г ~А к ц ц 1 ус
а
= ^ х ^2 =
В этом случае прямая будет проходить через точку {у\ 0; Л) параллельно вектору (/л; 1; яг).
Обоснование возможности такого способа решения поставленной задачи лучше провести с помощью правила Крамера. Поскольку в (10) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, то по крайней мере один из определителей
Л Вх А0 В0
Л сх А2 С2
В! Сх
Вг, Со
не равен нулю. Если таковым окажется, например, средний определитель, то неизвестные х и г могут быть линейно выражены через у, что сразу следует из применения формул Крамера к равносильной (10) системе
Ахх + Схг = -Вху - Их, А2х + С2г = -В2у - £>2. Еще раз подчеркну, что на практике нужный результат получают не по формулам Крамера, а, как правило, с помощью алгоритма последовательного исключения неизвестных, лежащего в основе метода Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассказывая на занятиях об общих уравнениях прямой, следует отметить, что канонические уравнения (9) эквивалентны двум независимым уравнениям плоскостей, пересечением которых служит данная прямая. Так, если, допустим, т / 0, то
(9) ^
У-Уо
т У ~Уо т
ОС Д/д
г~
п
ку - у о) = т(х - хо)> п(у - уо) = - ¿о)
тх — 1у + 0г + (1у0 — тх0) = 0, Ох — пу + тг + (пу0 — тг0) = 0. Последняя система представляет собой систему уравнений вида (10) с непропорциональными коэффициентами при неизвестных (Ах = т, Вх = -I, Сх = 0 и А2 = 0, В2 = -п, С2 = га), то есть представляет собой общие уравнения (10) прямой (9).
Конечно, канонические уравнения (9) можно заменить эквивалентными тремя равенствами
( х х0 1 _ У -Уо т
(9) ^ < X — х0 1 X п
У -Уо г
к т п
т(х-х 0) =1(у-у0), ^ ^ п(х-х0) = 1(г-г0), & п(У ~ Уо) = т(г ~ я0)
тх — 1у + (1у0 - тх0) = О, ^ пх - 1г + - пж0) = 0, (11)
пу - тг + (тг0 - пу0) = 0, но они будут уже зависимыми: одно из этих равенств окажется следствием двух других, так что в результате мы вновь придем к общим уравнениям (10) этой прямой (отмеченный факт является следствием свойства транзитивности равенств: если А = В и 13 = С, то Л = С).
Однако уравнения (11) имеют отчетливый геометрический смысл: они описывают прямую как пересечение трех плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости Оху, Охг и Оуг соответственно. (Строго говоря, последнее верно лишь в случае, когда две или три координаты /, т, п направляющего вектора отличны от нуля. Если же две из указанных координат обращаются в нуль, то содержащее их уравнение в (11) превращается в верное числовое равенство 0 = 0, что означает перпендикулярность прямой соответствующей координатной плоскости. Так, если I = т = 0, то прямая перпендикулярна плоскости Оху и ее проекцией на эту плоскость является одна точка с координатами х = х0, у = у0.)
Уравнения (11) называются уравнениями прямой в проекциях. Это название объясняется тем, что каждое из трех равенств в (11) представляет собой (с учетом сделанной выше оговорки) уравнение проекции данной прямой на соответствующую координатную плоскость. Уравнения прямой в проекциях могут быть получены из общих уравнений (10) путем исклю-
чения из последних сначала переменной х, затем переменной у и, наконец, переменной z.
2.4. Угол между прямыми
Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Как и в случае плоскости (см. п. 1.2), здесь никаких дополнительных формул выписывать не нужно: угол между двумя любыми векторами и, в частности, между направляющими векторами ал и а2 двух произвольных прямых учащиеся должны уметь находить (через скалярное произведение): cos у? = \3^\-\s2\ ■
Добавим, что угол между двумя прямыми, как и угол между двумя плоскостями, однозначно определить, вообще говоря, не так-то просто: во-первых, сама формула — скалярное произведение векторов, деленное на произведение их длин, — уже дает для угла два значения, составляющие в сумме 2тг, а, во-вторых, направляющие векторы к прямым, как и нормальные векторы к плоскостям, определены не однозначно, а с точностью до пропорциональности. Таким образом, указанное выше определение угла между прямыми (или плоскостями) как угла, образованного их направляющими (соответственно нормальными) векторами дает в общем случае четыре различных значения в диапазоне от 0 до 2тг. При этом не спасает даже наложение ограничения 0 ^ ^ тг, которое все равно оставляет выбор между двумя смежными углами, дающими в сумме тг. Угол между прямыми (или плоскостями) будет определяться однозначно, если, например, считать его острым (0 ^ (р ^ |) и значение его косинуса вычислять по формуле cos tp =
(соответственно cosy? = ). Однако в вузовском курсе
I 11' I 2!
математики на такие тонкости внимания не обращают, да и вряд ли это разумно с практической (вычислительной) точки зрения.
Прямую определяют:
1) точка М0(х0;у0;г0);
2) || вектор а{1\ т\ п) ф 0.
а{1\ т-,п) ф 0
М(х-,у;я) М0(х0;у0;г0)
1. Канонические уравнения прямой
х
I т
п
= £
2. Параметрические уравнения прямой
X -— X д "I- £ I}
г/ = у0 + £т, — оо < £ < +оо. ^ = -г0 + £ п;
5. Общие уравнения прямой
(прямая как пересечение двух плоскостей)
Ахх + Вгу + Схх + £>! = 0, А2х + Б2у + С2г + £)2 = 0.
4■ Угол между прямыми
определяют по углу между их направляющими векторами:
¿Аг, Л2 = 1аъ а2.
Решение задач: методика поиска точки и вектора
Решение задач, в которых требуется составить уравнение прямой в пространстве, сводится, по преимуществу, к отысканию двух определяющих прямую объектов — 1) точки, принадлежащей искомой прямой, и 2) параллельного (направляющего) для этой прямой вектора (что и отражено в названии методики). Затем выписывают канонические уравнения, откуда, если нужно, легко получить уравнения прямой и параметрические (8), и общие (10), и в проекциях (11).
Приведем примеры задач в рамках темы «Прямая в пространстве». Найти (как правило, канонические) уравнения прямой: а) проходящей через две заданные точки; б) проходящей через данную точку параллельно данной прямой; в) являющейся пересечением двух плоскостей; г) проходящей через задан-
ную точку перпендикулярно двум данным прямым; д) являющейся одной из сторон треугольника или одной из его медиан; е) проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне или перпендикулярно его плоскости. Приведенный перечень задач не является исчерпывающим: в него не входят задачи на поиск точки пересечения двух прямых в пространстве, а также обширного блока задач по теме «Прямая и плоскость» (и о том и о другом речь пойдет ниже). Пример 7. Составить канонические, параметрические и общие уравнения прямой, содержащей точку (—4; 2; 1) и параллельной прямой х = 3 4- 2Ь, у — —5 + г = 9 — П. Решение. Пусть Т — указанная в условии задачи точка. У заданной прямой нужно выделить два определяющих ее геометрических объекта — точку и направляющий вектор. Для этого от известных параметрических уравнений перейдем к каноническим = -^у^- = (здесь каждая из дробей равна параметру ¿), откуда следует, что данная в условии прямая проходит через точку (3; —5; 9) параллельно вектору а(2; 1; —7). (Конечно, координаты точки на прямой и параллельного ей вектора можно сразу «извлекать» из параметрических уравнений, если помнить их структуру, но я исхожу из того, что основными считаются канонические уравнения.)
Здесь следует сделать небольшое отступление. При решении задач по рассматриваемой тематике я всегда подчеркиваю, что непосредственно геометрическими объектами — прямыми, плоскостями — мы оперировать в математических формулах не можем: нельзя складывать две прямые или умножать прямую на плоскость! Таким образом, прямые и плоскости — это неотъемлемые атрибуты лишь имеющихся в нашем воображении геометрических картинок (рисунков), которые позволяют увидеть взаимное расположение объектов, связи между ними и «нащупать» путь решения задачи. Но чтобы произвести необходимые
вычисления, мы должны иметь дело с векторами и точками; так, векторы можно складывать, вычитать, умножать на любые числа, находить их скалярное, векторное и смешанное произведения. Поэтому для каждой заданной прямой и плоскости нужно выделить принадлежащие им точки и определяющие их векторы (нормальный для плоскости и направляющий для прямой), а если в задаче имеется несколько различных точек, то их, как правило, желательно соединить векторами, проведенными из одной точки.
Итак, продолжим решение задачи. Соответствующий рисунок показывает, что задача имеет единственное решение. Для отыскания уравнений прямой (сначала — всегда канонических, независимо от того, какие требуется найти в задаче) нужно определить два объекта: 1) точку, ей принадлежащую, и 2) ее направляющий вектор. Точкой на прямой является Г, а в качестве направляющего вектора может быть взят вектор а, поскольку искомая прямая параллельна данной (это заключение подсказывает пространственное воображение и рисунок). Итак, требуемые канонические уравнения имеют вид
2 + 4 _ У- 2 = 2-1 2 1 -7 '
Соответствующие параметрические уравнения получаются из канонических приравниванием каждой дроби последних параметру Ь и выражением из полученных соотношений координат точек прямой:
откуда
ж = -4 + 2£, у = 2 + г, 2 = 1-7£.
Заметим, что точка (3; -5; 9), через которую проходит заданная в условии прямая, оказалась невостребованной. Заранее, безусловно, трудно оценить, какие исходные данные будут использованы при решении, а какие нет, поэтому на рисунке эта
точка выделена и в случае необходимости она вместе с точкой Т могла бы образовать вектор, используемый в дальнейших преобразованиях.
Чтобы выписать общие уравнения искомой прямой, нужно взять любые два из трех содержащихся в канонических уравнениях равенств (в общем случае имеется одно ограничение: если ровно одна дробь в канонических уравнениях имеет нулевой знаменатель, то эта дробь должна входить только в одно из выбранных равенств). Например: ж+4_у-2
2 -7
Последняя система и описывает искомую прямую как пересечение двух плоскостей; первая из этих плоскостей проектирует прямую на координатную плоскость Оху, а вторая — на координатную плоскость Охг. □
х - 2у + 8 = О, 7х + 2z + 26 = 0.
о(2; 1; -7) Рисунок к примеру 7
Пример 8. Найти канонические уравнения медианы АМ, проведенной из вершины А в треугольнике ABC, где А(—5; 4; 1), В(2; —1;3), С(-6;-1;9).
Решение. Сначала, разумеется, нужно сделать рисунок с изображением треугольника ABC и его медианы АМ.
Точка, через которую проходит медиана АМ, известна — это А(—5;4;1), а направляющим вектором здесь может служить вектор АМ, если, конечно, его удастся найти. Но последняя проблема легко решается, причем по крайней мере двумя способами: 1) либо явно находятся координаты точки М, которая является серединой стороны ВС, & потому эти координаты
равны полусумме соответствующих координат точек В и С, то есть М{—2; —1; 6); 2) либо используются линейные операции над векторами, согласно которым
аЙ = аЁ + вй = АЁ + ±вд.
Так или иначе, направляющим вектором медианы может быть взят вектор а = АМ = (3; —5; 5). Следовательно, ее канонические уравнения принимают вид
ж + 5 __ у-4 _ г — 1 п 3 -5 5 Пример 9. Определить уравнения прямой, на которой находится точка (3; —4; 9) и которая перпендикулярна прямым ^ = ^ = и х = 8 + у = -1-г, г = -3*. Решение. Сначала на рисунке изображаем обе заданные прямые, на каждой из которых прорисовываем точку и направляющий вектор (последние обозначим через а и Ь), а также данную точку (обозначим ее через Р) и искомую прямую. Поскольку
искомая прямая перпендикулярна двум заданным прямым, то
—*
ее направляющий вектор с перпендикулярен векторам а и Ь, а значит, можно взять с = а х Ь (символом х обозначается векторное произведение векторов). (Заметим, уже второй раз: при изучении темы «Векторное произведение векторов» нужно акцентировать внимание учащихся на таком приложении векторного произведения как получение по двум известным векторам им перпендикулярного, а не ограничиваться лишь подсчетом площадей и проверкой коллинеарности двух векторов.)
На этом задача, собственно, решена: нам известны 1) точка Р(3; —4; 9), лежащая на искомой прямой, и 2) параллельный этой прямой вектор
г з к с = ах Ь = -5 0 2 4 -1 -3
= 2г - 7з +5 к.
Стало быть, в качестве ответа на вопрос задачи предъявляем следующие канонические уравнения:
х-3 _ У + 4 _ г-9 п 2 -7 5 '
Пример 10. Составить канонические уравнения прямой
Зх - 4у - 9г + 20 = О, х + 2у — 13^ = 0.
Решение. В п. 2.3 описаны три способа перехода от общих уравнений прямой к каноническим. Продемонстрируем их на данном примере.
Способ первый. Найдем две различные точки прямой как два различных решения неопределенной системы (12). Последнее нетрудно осуществить простым подбором. Если взять, например, г = 0, то однозначно найдутся х = —4 и у = 2; если положить г = 1, то г и у окажутся равными 3 и 5 соответственно. (В системе (12) при каждом произвольно выбранном значении г значения величин х и у будут находиться однозначно, поскольку определитель коэффициентов при х и у отличен 3 -4 1 2
надлежат две точки: М1(—4; 2; 0) и М2(3; 5; 1).
Теперь легко выписать искомые канонические уравнения, зная точку на прямой, например М1; и ее направляющий вектор, коим может служить М1М2 = (7; 3; 1):
х + 4 _ У ~ 2 _ 7 3 1 '
Способ второй. Здесь следует найти какую-либо одну точку на прямой, координаты которой представляют собой частное решение системы (12). На практике указанное решение системы (12) ищется, как и в способе первом, подбором; пусть такой точкой будет найденная выше Мг{—4; 2; 0). В качестве направляющего вектора а прямой берется векторное произведение нормальных векторов Л^ и к плоскостям, пересечением которых эта прямая является:
от нуля:
= 10.) Таким образом, заданной прямой при-
= 70 г + 30 з + 10 к.
г з к а = ~Й1у.~Й2= 3 -4 -9 1 2 -13
В итоге получаются те же канонические уравнения, что и при способе первом.
Способ третий. Поскольку в системе (12) определитель при неизвестных х и у отличен от нуля, то эти неизвестные могут быть линейно выражены через неизвестную г. На практике, однако, такие выражения не получают, а поступают следующим образом: сначала (пользуясь алгоритмом метода Гаусса) исключают из системы х (прибавляя к первому уравнению системы второе, домноженное на —3) и у (складывая с первым уравнением второе, умноженное на 2), что дает равносильную систему
— 10у + ЗОг + 20 = 0, 5х - 35г + 20 = 0;
затем из каждого уравнения последней системы выражают ранее не исключавшуюся переменную г, то есть приходят к дробям вида г = и г = -^у^-, которые и позволяют составить искомые канонические уравнения
х + 4 _ У-2 __ г-0 п 7 3 1 '
О взаимном расположении двух прямых в пространстве
Традиционно здесь решается вопрос о том, как по уравнениям двух прямых в пространстве (то есть по известным точкам на них и их направляющим векторам) определить, являются ли данные прямые параллельными, перпендикулярными, скрещивающимися или пересекающимися. Получение исчерпывающих ответов на поставленные вопросы мною рассматриваются как несложные геометрические задачи.
Пусть одна прямая Л1 проходит через точку Мх{хх\ ух\ параллельно вектору а^^; тх, щ), а другая прямая Л2 содержит точку М2{х2\у2\ %2) и в качестве направляющего имеет вектор а2(/2;т2;п2).
Условия параллельности и перпендикулярности связаны в общем случае с определением угла <р между прямыми: в первом случае ^ = О или /р = 7Г, то есть совср = ±1, а во втором случае (р — а значит, соэ^ = 0. Впрочем, параллельность и перпендикулярность прямых еще проще характеризуется геометрически очевидным взаимным расположением их направляющих векторов: у параллельных прямых направляющие векторы параллельны (коллинеарны), то есть пропорциональны, а у перпендикулярных прямых направляющие векторы перпендикулярны, то есть имеют нулевое скалярное произведение. Последнее быстро воплощается в легко проверяемые математические соотношения над координатами направляющих векторов:
_1_ Л2 ах ± а2 ах • а2 = 0 1г12 + тгт2 + пхп2 = 0. Выяснить, лежат ли прямые в одной плоскости или не лежат (не лежащие в одной плоскости прямые называются скрещивающимися) , можно соответственно по компланарности или не компланарности трех векторов
МХМ2 = (х2 -хг\у2 -Ух,г2 а^т^щ), а2(12, т2; п2).
Критерием компланарности трех векторов пространства служит равенство нулю их смешанного произведения. Следовательно, две прямые расположены в одной плоскости (не скрещиваются) тогда и только тогда, когда
Во многом пролить свет на взаимное расположение двух прямых помогает поиск точки их пересечения. Теоретически
Л, || Л2 ^ ах || а2 ^ ¡1 =
2
х2 Х1 У2 У1 г2
это совершенно элементарная задача, поэтому приведем лишь соответствующий пример.
Пример 11. Определить точку пересечения двух прямых
ж + 8 = У-5 = г — 3 ж + 1 _ у + 3 _ г + 10
5 -4 11 -2 ~ -7 '
Решение. Способ первый: использование параметрических уравнений прямых. Такой подход мне представляется наиболее естественным и понятным в данной ситуации.
Запишем параметрические уравнения обеих прямых:
ж = -8 + 5г, Г ж = -1 + т,
у = 5 - 4г, и у = -3 - 2т, г = 3 + £ г = -10-7т.
Точке их пересечения (если она существует) отвечают такие значения параметров £ и т, которые удовлетворяют системе линейных уравнений
-8 + = -1 + т, 5 - 4£ = -3 - 2т, 3 + £ = —10 — 7т Последняя система имеет единственное решение Ь = 1, т = — 2, и стало быть, прямые пересекаются в единственной точке (—3; 1;4). Наличие бесконечного множества таких решений говорит о совпадении прямых. Если система относительно ¿ит окажется несовместной, то мы имеем дело с непересекающимися прямыми, которые, следовательно, или параллельны, или скрещиваются; установить, что же имеет место в действительности, легко с помощью направляющих векторов прямых: очевидно (и это отмечалось выше), параллельность прямых эквивалентна коллинеарности (пропорциональности) их направляющих векторов.
Способ второй: использование общих уравнений прямых. Перейдем от канонических уравнений данных прямых к общим, например, так:
ж + 8 _ У~ 5 _ 2-3 5 ~ -4 ~ 1 ^
£ + 8 _ У-5 ,
5 ~ -4 ' ^ I 4х + 5у = -7,
ж+ 8 _ г-З | х-5г = -23;
5 1 к
ж + 1 _ у + 3 _ 2 + 10 .. 1 ~ -2 ~ -7
Г ж +1 - + 3 г о
„ I 1 - -2 ' I 2х + у = -5,
1 х + 1 = 2 + 10 ~ 1 7х + г = -17.
11-7 к
Таким образом, точка (и вообще, область) пересечения двух прямых в пространстве совпадает с множеством решений следующей системы четырех линейных уравнений с тремя неизвестными:
4гг + 5у = -7, ж — 52 = —23, 2х + у = -5, 7а;+ 2 = -17.
Как известно, подобная система может быть несовместной (прямые или параллельны, или скрещиваются, причем эти случаи легко различаются по коллинеарности (пропорциональности) или не коллинеарности направляющих векторов), может иметь единственное решение (прямые пересекаются в одной точке), может иметь бесконечное множество решений (прямые совпадают). В данном случае последняя система имеет единственное решение х = — 3,у = 1,2 = 4,а значит, прямые пересекаются только в одной точке с координатами (—3; 1;4).
Таким образом, и тот и другой способы позволяют непосредственно, не опираясь на соотношение (13), установить взаимное расположение двух прямых в пространстве. Более того, попутно мы получаем и математическое описание множества, по которому пересекаются прямые (в данном случае координа-
ты единственной точки пересечения). Использование же критерия (13) дает более скудную информацию: поскольку
Мх(-8;5; 3), ах(5; -4; 1), М2(-1; —3; —10), а2(1;-2;-7),
Х2 Х1 У2 У\ — г1
тл
пл
7 5 1
-4 -2
13 1
-7
0,
к
¿2 Ш2 Т?^
то можно заключить, что прямые лежат в одной плоскости и, так как их направляющие векторы, очевидно, не пропорциональны, пересекаются в одной точке. Но чтобы найти координаты этой точки, нужно прибегнуть к дополнительным (например, приведенным выше и в двух вариантах) выкладкам. □
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть М*(х*-,у*-,г*) и
х
~з?о _ У ~Уо I т
¿-¿о п
про-
извольные точка и прямая в пространстве. Расстояние о? от точки до прямой в пространстве определяется следующим образом.
Если точка находится на прямой, то с? = 0.
Если точка не принадлежит прямой, то существует единственная плоскость, содержащая данную точку и данную прямую; расстояние от точки до прямой в этой плоскости и называется расстоянием от точки до прямой в пространстве.
Чтобы вычислить величину с1, нужно на прямой найти такую точку М'[х'\ у'-, г'), для которой отрезок М'М* будет перпендикулярен прямой, или, иначе, вектор М'М* будет перпендикулярен направляющему вектору а(1; т; п) прямой. Тогда искомое расстояние <1 равно длине вектора М'М*, то есть а = \М'М*\ = у/(х* - х')2 + {у* - у')2 + (г* - г')2.
Приведем два способа отыскания расстояния от точки до прямой в пространстве.
Рисунок к выводу формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве
Способ первый: явное отыскание точки М'.
Первая и самая бесхитростная мысль, которая приходит в голову, — это попытаться найти координаты точки М'.
Положение искомой точки однозначно определяется двумя факторами: во-первых, она находится на данной прямой и, во-вторых, вектор М'М* перпендикулярен направляющему вектору а этой прямой. Первое требование обеспечивает существование такого числа что М0М' — 1'-а\ второе требование приводит к соотношению М'М* ■ а = 0 (равенство нулю скалярного произведения как условие перпендикулярности двух векторов). Поскольку М'М* = М0М* - М0М' = М0М^ - ¿'а, то
(М0М* -t'a)- а ~ 0 & М0М4 • а - t' а ■ а = О, откуда находим t' — (М0М* ■ а)/\а\2. Тем самым мы получаем следующую формулу для подсчета искомого расстояния от точки М* до прямой Л в пространстве:
dist(M*;A) = \М'М*\ =
|а|2
а
• (14)
Студентам иногда бывает затруднительно провести подобные рассуждение на языке векторов, особенно увидеть соотношение М'М* — М0М^-М0М'. Но здесь вполне приемлемо (а для нынешних учащихся, может быть, и проще) оперирование только с координатами. Так, из параметрических уравнений данной прямой получаем, что координаты (х'\ у'; г') точки М' равны х' = х0 + у' = у0 + 1'т, х' — г0 + ¿'п, значит,
М'М* = (х* - х0 - t'l; у* - у0 - t'm;z*-z0 - t'n). Далее, условие перпендикулярности векторов М'М* и а позволяет найти значение параметра t':
М'М* JL а & М'М* • а = О
(х* — xQ — t'l) ■ I + (у* - у0 - t'm) • т + (z* - z0 - t'n) • n = 0, что дает (разумеется, совпадающее с ранее найденным) f = ((я* - x0)l + (у* - у0)т + {z* - z0)n)/(l2 + m2 + n2).
Наконец, еще один подход к определению координат точки М' связан с решением задач на прямую и плоскость в пространстве: сначала выписываем уравнение плоскости, проходящей через точку М* перпендикулярно заданной прямой (такая плоскость перпендикулярна направляющему вектору прямой и поэтому имеет уравнение 1{х — х*) + т(у — у*) + n{z — z*) = 0), а затем ищем точку (это и есть М') пересечения построенной плоскости и данной прямой (для этого координаты точек прямой х = x0 + tl, у = y0 + tm, z = z0+tn подставляем в уравнение плоскости и определяем отвечающее точке их пересечения М' значение параметра t = £').
Способ второй связан с вычислением площади параллелограмма. Конечно, этот прием требует определенной смекалки (по сравнению с рутинной вычислительной работой первым способом), но зато приводит к очень изящной и компактной формуле.
Итак, площадь параллелограмма, построенного на векторах М0М^ и а (на рисунке он выделен отточием) равна, с од-ной стороны, модулю векторного произведения векторов М0М* и а, а с другой стороны, произведению основания |а| на высоту, которой в данном случае служит искомое расстояние d: |М0М^ х а | = |а| d. Следовательно,
dist(M*;A) = d = = (15)
|о|
Нетрудно убедиться в том, что формула (14) преобразу-
ется в (15). Действительно, пусть в — угол между векторами М0М^ и о, изменяющийся в диапазоне 0 < в < -к. Тогда
* • а)
м0м
^ (МпМ¥ • а)
а =
= Мм0м*)
Л^'Д)2 | (Мо^-а)
а2 =
а
о
М0М
( М0М*
сое 6>)5
¿12
= Л/|МПМТ- !МЛМ^12-СО820 =
¿12
М0М*
м0м х а
|а| |о|
В заключение пункта отметим, что поиск расстояния от точки до прямой используется также в задачах о нахождении расстояния между двумя параллельными прямыми. Пример 12. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
х-2 _ у-6 = г + 5 £-3 _ У + 1 _ г
-4 б -2 2 -3 1'
Решение. Заданные прямые действительно параллельны, так как их направляющие векторы пропорциональны.
Возьмем на первой прямой произвольную точку, например точку м*(2; 6; —5), используемую в записи соответствующих канонических уравнений. Теперь задача свелась к отысканию расстояния от точки м* до второй прямой Л, проходящей (согласно ее уравнениям) через точку М0(3; —1; 0) параллельно вектору а(2; —3; 1).
Способ первый: явное отыскание координат точки М' — основания перпендикуляра, опущенного из точки М* на прямую Л.
Первый вариант решения связан с использованием параметрических уравнений второй прямой Л:
Л : х = 3 + 2Ь, у = -1 - 2 =
Пусть точке М', принадлежащей прямой Л, отвечает значение параметра 1 Тогда
М'{3 + -1 - 3£'; £') и М'М* = (-1 - 2£'; 7 + 3£'; -5 - £')• Величину найдем из условия перпендикулярности векторов М'М* и а, то есть из равенства нулю их скалярного произведения:
М'М* _1_ а М'М* ■ а = О ^ (-1 - 2£') • 2 + (7 + 3£') • (-3) + (-5 - • 1 = 0 ^ И = -2. Следовательно, М'{—1; 5; —2). В итоге искомое расстояние с1 равно
с? = |М'М*| = |(3; 1; -3)| = ^9+ТТ9 = ^19.
Второй вариант поиска точки М' связан с построением плоскости (содержащей точку М* и перпендикулярной Л) и нахождением точки ее пересечения с прямой Л. Он осуществляется в два этапа.
Сначала составляем уравнение плоскости, проходящей через точку М* перпендикулярно прямой Л. Уравнение такой плоскости имеет вид 2х — Зу + г + 19 = 0, поскольку в качестве нормального к ней вектора можно взять направляющий вектор а прямой Л.
Затем ищем точку пересечения (ею и будет М') построенной плоскости и прямой Л. Для этого координаты «текущих» точек прямой из ее параметрических уравнений подставляем в уравнение плоскости и находим отвечающее точке М' значение параметра Р. 2(3 + 2*) - 3(-1 - 3*)+£ + 19 = 0 <=*• ¿ = -2.
Способ второй основан на использовании готовой форму-
лы (15):
М0М* х а
г 3 -1 7 2 -3
к -5 1
й = сШ(М*;Л) =
М0М* х а
о
—8г — 9_7 - 11/с;
У(-8)2 + (~9)2 + (-11)= \/22 + (-3)2 + 1
л/14
Расстояние между скрещивающимися прямыми и их общий перпендикуляр
Пусть имеются две скрещивающиеся прямые
Л
х—х
1 •
1
У-У г
£ 2/-\ к X СС о
-L и Ло: -—
т1 п1 " 12 т2 п2
(16)
Термин скрещивающиеся означает, что эти прямые не параллельны и не пересекаются, или, короче, не принадлежат одной плоскости. В силу (16) на прямых и Л2 расположены точки М1(ж1; г/1, и М2(х2;у2;г2) соответственно, а их направляющими векторами служат а1(?1;т1;п1) и а2{12, т2; п2), причем ах и а2 не коллинеарны. Напомним, установить, скрещиваются две данные прямые или нет, можно, сравнивая с нулем определитель из (13).
Предложение 2. На двух скрещивающихся прямых найдется одна и только одна такая пара различных точек, что прямая, соединяющая эти точки, перпендикулярна каждой из скрещивающихся прямых.
Доказательство. Обозначим через и Р2 искомые точки. Они, разумеется, должны принадлежать разным скрещивающимся прямым. Итак, требуется доказать существование и единственность таких точек Рг и Р2, что
Рг е Ах, Р2 е Л2, Р^2 _1_ аг, Р^2 _1_ а2.
Чтобы запись была менее громоздкой, проведем все рассуждения в векторной форме. Как и принято, начало отсчета обозначим через О. Отметим, что координаты радиуса-вектора ОМ точки М совпадают с координатами самой точки М.
Поскольку точки Рг и Р2 расположены на прямых Л! и Л2, то справедливы равенства MlP1 = t • аг и М2Р2 = т ■ а2 с некоторыми числами t и г (см. векторное параметрическое уравнение (7) прямой).
Найдем вектор РгР2-МхР[ = - OM[ => = Mxp\ + OM[ = t-a1 + 0М[,
м2р\ = of2-ОА?2 =Ф> = М2Р2 + ОМ^ = г• а2 + Oii^;
= of2-C)Pl = та2 + ОМ^ — tax — Ом[ = та2 — £ах + М[М^2.
Впрочем, последнее соотношение можно получить и не оперируя с радиусами-векторами:
РХР2 = Рхм! + МХМ2 + М2Р2 = + + ra2.
Условие перпендикулярности вектора Р1Р2 с каждым из направляющих векторов аг и а2 данных скрещивающихся прямых равносильно равенству нулю соответствующих скалярных произведений:
РХР\ ■ fij, = О, í -tal + МХМ2 • ах + тах ■ а2 = О,
->• ^ S ->•
РХР2 • о2 = 0 [ -tax ■ а2 + МХМ2 • а2 + та| = 0.
Полученная система двух линейных уравнений относительно двух неизвестных ¿иг имеет единственное решение, поскольку отличен от нуля ее определитель
->2 -» —а, а.
Д =
-ах-а2 а2
= -ах2 • а22 + (ах • а2)
2 _
= — \ах\2 • |а2|2 + (laj • \а2\ • cos ip)2 = —\аг\2 • \а2\2(1 — cos2 ip),
где tp — угол между векторами ах и а2 (а так как аг и а2 не коллинеарны, то | cos у? j ф 1). □
Если Рг и Р2 — пара точек, указанная в формулировке предложения 2, то проходящая через них прямая называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых, а длина \Р1Р2\ прямолинейного отрезка (или, что то же самое, длина вектора РХР2), соединяющего точки Р} и Р2, называется расстоянием между данными скрещивающимися прямыми. Почему именно величину \РХР2\ естественно назвать расстояни-_ем между скрещивающимися прямыми, объясняет следующее утверждение.
Предложение 3. При любых двух точках Тг и Т2, принадлежащих различным скрещивающимся прямым Л2 и А2, имеет место неравенство
1-^1-^21 ^ I 1 >
причем равенство в нем достигается только при Тг = Рх и Т2 = Р2.
Доказательство. Для скрещивающихся прямых, заданных уравнениями (16), и точек Рг е Лх, Тх е Л15 Р2 € Л2, Т2 £ Л2 существуют такие числа т, т0, что
мй = г0-а2, м^?2 = т-а2.
Выразим вектор ТгТ2 через вектор РгР2 с учетом только что приведенных равенств (через О обозначено начало координат):
мхр\ = оРх - ом[ ^ оРх = мхр\ + ам^ = г0-а1 + ом^ = от[ - ом[ Ш[ = м^1 + Ш?1 = г-а1 + Ш?1, м2р\ = о^2- ом^ о?2 = м2р\ + ам^ = т0 • а2 + ам^, м2т*2 = от£ - ом"2 => Ш2 = м2т*2 + ам^ = г • а2 + ой2\
= т0а2 + ом*2 - ~ ом^. = т0а2 - + м1м>2, т\?2 = = та2 + Ш^-Ы1-ОА?1 = та2-Ых + М^2,
Т^2 = Р\^2 - (г - *0) ах + (т - г0) а2.
Впрочем, последнее соотношение несложно получить и без привлечения радиусов-векторов:
т\т[ = + + М=
= — £ • ах + • + РХР2 — т0 • о2 + т ■ а2 =
= ~ - ¿о) «1 + О - т0) «2-
Тогда
|Т^|2 = (З^)2 = - [(* - ¿0) а, - (г - т0) а2])2 =
+[(*-*о)г1-(г-го)й2]2 =
= |Р1-Р2|2+ - (Г-Го)«2|2»
так как
^ Р^2-аг = 0, Р^Р2±а2 ^ Р^2-а2 = 0.
Поэтому
причем равенство достигается только при
(£ - *0) ах — (т — т0) а2 = 0, что возможно (в силу неколлинеарности векторов ах и а2) лишь при £ = £0 и г = т0, то есть при Тх = Рх и Т2 = Р2. □
Как же на практике находить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и их общий перпендикуляр?
Наиболее привлекательным мне видится способ, изложенный при доказательстве предложения 2. Суть его — в явном отыскании на скрещивающихся прямых такой пары точек, что соединяющий их вектор перпендикулярен обеим прямым. Подобный метод дает исчерпывающую информацию: он позволяет довольно-таки беспроблемно найти координаты точек на скрещивающихся прямых, через которые проходит их общий
перпендикуляр, а потому легко выписать канонические уравнения общего перпендикуляра и моментально вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми.
Если речь идет о расстоянии с? = с11б1(А1, Л2) между скрещивающимися прямыми Лх и Л2, то существует его наглядная геометрическая иллюстрация как расстояния между двумя параллельными плоскостями Пх и П2, содержащими данные прямые Лг и Л2 соответственно. Такие плоскости существуют и единственны: каждая из плоскостей П^ (] =■ 1; 2) включает прямую А] и параллельна другой прямой, то есть плоскость П^ однозначно определяется точкой Мпринадлежащей прямой и нормальным вектором Л^ = аг х а2, где а1, а2 — направляющие векторы скрещивающихся прямых Лх, Л2.
Аналитически это расстояние находится по формуле (2) как расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. Например,
сI = (Ив^Л^ Л2) = сИв^М^ П2) = (1ЩМ2, Пх).
Для расстояния с? между двумя скрещивающимися прямыми Л1 и Л2 имеется формула, позволяющая непосредственно выразить величину с? через исходные данные (16):
с1 = сИэ^Л^ Л2)
Рисунок, иллюстрирующий расстояние <1 между скрещивающимися прямыми Ах и Л2
где Мх, М2 — точки на скрещивающихся прямых, аг, а2 — их направляющие векторы, а через (а, Ь, с) и ах Ь обозначены, соответственно, смешанное и векторное произведения векторов. Предложим два способа вывода формулы (17).
Рисунок к выводу формулы для расстояния <1 _между скрещивающимися прямыми Ах и Л2_
Способ первый связан с вычислением объема параллелепипеда, построенного на векторах М1М>2, аг и а2. Если в указанном параллелепипеде вектор МХМ2 рассматривать как боковое ребро, а параллелограмм, на сторонах которого расположены векторы а1 и а2, — как основание, то высотой будет служить отрезок прямой, перпендикулярный к плоскостям Пх и П2 и заключенный между этими плоскостями, то есть длина высоты будет равна расстоянию с1 между скрещивающимися прямыми Л[ и Л2.
Объем V параллелепипеда равен, с одной стороны, модулю смешанного произведения «образующих» его векторов М1М>2, ау и а2, ас другой стороны, произведению площади основания на длину высоты. Таким образом,
что равносильно (17).
Способ второй доказательства формулы (17) основан на том, что величина проекции вектора МгМ2 на направление, перпендикулярное к плоскостям Пх и П2, равна с точностью до знака расстоянию с? между скрещивающимися прямыми А1 и Л2. Поскольку векторное произведение ах х а2 направляющих векторов ах и а2 прямых представляет собой вектор, перпендикулярный плоскостям П1 и П2, то величина указанной проекции равна
Пр. хв Мгм'2 = ^М2.(а,ха2) = (М М2, аа2) =
± ал хао ± ¿< —* >
1&1 X ^21 1а1 Х а2\ что опять-таки приводит к (17).
Наконец, уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых можно получить следующим способом. Пусть II]1 и П^- — плоскости, перпендикулярные параллельным плоскостям П1 и П2 и проходящие через прямые Лх и Л2 соответственно. Уравнения таких плоскостей составляются без
труда: каждая из плоскостей П^- (] = 1; 2) определяется точкой М-, принадлежащей прямой Ар и нормальным вектором а^ х (аг ха2). Пересечение плоскостей П^ и П^ является, очевидно, общим перпендикуляром к двум данным скрещивающимся прямым, а значит, система вида (10), составленная из уравнений плоскостей П^ и П^-, представляет собой общие уравнения (как прямой в пространстве) искомого перпендикуляра. Продемонстрируем изложенные приемы на примере.
Пример 13. Даны две прямые в пространстве:
д . ж + З _ У - 1 _ г д . х — 2 _ у - 1 _ 2-4
V -у-- 2 -у и Л2.
Требуется:
1) установить, что эти прямые скрещиваются;
2) найти уравнения их общего перпендикуляра и точки на прямых, через которые он проходит;
3) вычислить расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
Решение. Приведенные в условии канонические уравнения данных прямых позволяют для каждой прямой (] — 1; 2) сразу выписать координаты принадлежащей ей точки М- и параллельного (направляющего) вектора а у.
Мх{-3;1;0), «1(1; 2; 1); М2(2; 1; 4), а2(1; -1; 4). 1)0 способах определения взаимного расположения двух прямых в пространстве говорилось в соответствующем разделе и они обсуждались в приведенном там примере 11.
Способ первый основан на поиске области пересечения двух прямых с помощью их параметрических уравнений
х = 2 + г, У = 1 - г, 2 = 4 + 4 т.
х = —3 + 1, Ах : у = 1 + 2£, и Л2 :
2 = г
Общим точкам прямых (если они существуют) должны отвечать значения параметров £ и т, удовлетворяющие следующей
системе трех линейных уравнений с двумя неизвестными:
-з-н = 2 +г, ( г-т = 5,
< 1 + 2* = 1 - т, & < 2Ь + т = О, к г = 4 + 4г [ * - 4т = 4.
Последняя система, как легко видеть, решений не имеет, а значит, прямые не пересекаются. Из двух оставшихся возможностей — прямые параллельны или скрещиваются — первая отвергается в силу очевидной не коллинеарности (не пропорциональности) направляющих векторов а1 и а2.
Способ второй основан на поиске области пересечения двух прямых с помощью их общих уравнений вида (10), каковые в данном случае могут быть выбраны следующим образом:
Г ж + З = у-1 ,
111 к
( х-2 = У-1 с
Л ] 1 -1 ' ] Х + У = 3,
Л2 ** \ о и ^ <
| Д-2 = г-4 | 4х-г = 4.
4 к
Тогда наборы координат всех общих точек прямых представляют собой множество решений системы четырех линейных уравнений с тремя неизвестными
Г 2х — у = —7,
I х-г = -3,
х + у = 3, 4х — г = 4,
которая, в чем несложно убедиться, несовместна, а потому прямые не пересекаются.
Способ третий связан с проверкой компланарности или некомпланарности векторов М1М>2, аи а2, то есть сводится к подсчету их смешанного произведения (см. (13)):
5 0 4
а1; а2) = 1 2 1 = 33 ф 0. 1 -1 4
Поскольку указанные векторы не компланарны, то рассматриваемые прямые скрещиваются.
2) Приведем два описанных ранее способа поиска общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и точек его пересечения с этими прямыми.
Способ первый связан с непосредственным отысканием на скрещивающихся прямых точек Рх и Р2, через которые проходит общий перпендикуляр. Именно эта идея лежала в основе доказательства предложения 2. Такой, казалось бы, самый наивный подход, тем не менее, неожиданно быстро и экономно приводит к цели.
Положение точек Рх и Р2 в пространстве характеризуется двумя условиями: во-первых, они располагаются на различных скрещивающихся прямых и потому их координаты описываются параметрическими уравнениями этих прямых, то есть Рх(—3 + £; 1 + 24; £), Р2{2 + т; 1 — т; 4 + 4т); во-вторых, вектор РгР2 = (5—t+т] —2т; 4 — £+4т) перпендикулярен обеим прямым, то есть перпендикулярен их направляющим векторам а1; а2, что позволяет составить систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных £ и т, а именно,
Последняя система всегда имеет единственное решение (в общем случае этот факт установлен при доказательстве предло-
(5 - £ + т) • 1 + (-2* - т) • 2 + (4 - £ + 4т) • 1 = 0, (5 - £ + т) • 1 + (-2* - т) • (-1) + (4 - £ + 4т) • 4 = 0
жения 2). В данном примере получим £ = 1, т = — 1, что дает Рх(-2; 3; 1), Р2(1; 2; 0).
Заметим, что в предыдущем рассуждении вместо условия перпендикулярности вектора РгР2 с векторами аг и а2 можно использовать коллинеарность векторов РгР2 и аг х а2, основанное на которой равенство Р1Р2 — А • (аг х а2) (пропорциональность) в координатной записи приводит к системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными г и Л.
Теперь, зная координаты точек Рг и Р2, выписать канонические уравнения общего перпендикуляра не составляет никакого труда:
х + 2 _ У~ 3 _ г-1 3 -1 -1 '
Способ второй связан с построением двух плоскостей, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна их общему перпендикуляру. Сам общий перпендикуляр будет в этом случае пересечением указанных плоскостей.
Пусть плоскость П?; (] — 1; 2) проходит через прямую Л ■ и параллельна общему перпендикуляру данных скрещивающихся прямых, то есть параллельна вектору
г ] к 1 2 1 1 -1 4
агх а2 —
= — ?> ] — Ък
или коллинеарному ах х а2 вектору г = (3; —1; —1). Плоскость П^ однозначно определяется точкой М3, находящейся на прямой Лу, и нормальным вектором Л^; = а^ х г.
Расчеты показывают, что нормальные векторы к плоскостям П^ и П^ равны Д = (-1; 4; -7) и = (5; 13; 2) соответственно, а уравнения этих плоскостей имеют вид
П^ : х - Ау + 7 г + 7 = 0 и : 5ж + 13у + 2г - 31 = 0.
В результате получаем следующие общие уравнения (как пря-
мой в пространстве) искомого общего перпендикуляра двух заданных скрещивающихся прямых:
Г X - 4у + 7г + 7 = О, | 5х + 13у + 22 — 31 = 0.
Теперь необходимо найти координаты точек Рх и Р2, в которых общий перпендикуляр пересекается с скрещивающимися прямыми. Здесь можно использовать, например, тот факт, что точки Рх и Р2 являются точками пересечения прямых Лх, Л2 с плоскостями П^, П/-, а именно, Рх = Л1 П П^, Р2 = Л2 П П^. Имеем:
5(—3 + г) + 13(1 + 2£) + Ц - 31 = 0 £ = 1 => Рх(-2; 3; 1); (2 + т) - 4(1 - г) + 7(4 + 4т) + 7 = 0 г = -1 =>• Р2(1; 2; 0).
3) Приведем три способа вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
Способ первый можно считать наиболее прямолинейным: он предполагает сначала нахождение на скрещивающихся прямых точек Рх и Р2, через которые проходит общий перпендикуляр, а затем вычисление искомого расстояния |РХР2| как длину вектора РХР2.
Два варианта определения координат точек Рх и Р2 рассмотрены выше. Было получено: Рх(—2; 3; 1), Р2(1; 2; 0). Следовательно, РХР2 = (3; —1; —1) и расстояние между данными скрещивающимися прямыми равно
¡рхр2| = \/з2 + (—I)2 + (—I)2 = л/ТХ.
Способ второй основан на определении расстояния между скрещивающимися прямыми как расстояния между проходящими через них параллельными плоскостями.
Пусть плоскости Пх и П2 параллельны между собой и проходят через прямые Лх и Л2 соответственно. Каждая из плоскостей Пу {] = 1; 2) определяется точкой М3 на прямой Aj и нормальным вектором г, коллинеарным векторному произведению ах х а2 направляющих векторов ах и а2 скрещивающихся
прямых (координаты векторов ах х а2 и г определены выше). Элементарные расчеты показывают, что
: Зх - у - г + 10 = 0, П2 : Зх-у-г-1 = 0.
Расстояние с? между скрещивающимися прямыми может быть вычислено, например, как расстояние от точки Мх, расположенной на прямой Л1; до плоскости П2, проходящей через прямую Л2 параллельно прямой Лх (при этом уравнение плоскости Пх востребовано не будет). Пользуясь формулой (2) для расстояния от точки до плоскости, находим
в, = с11З1(А15 Л2) = сНв^М^ П2) =
= I3 • (~3) -1-1-1-0 -1| = 1-111 = ^
^32 + (-1)2 + (-1)2 у/п
Способ третий поиска расстояния между скрещивающимися прямыми связан с применением готовой формулы (17).
Ранее мы уже находили смешанное произведение векторов МХМ2, а1, а2 и векторное произведение векторов а1} а2\
(М1М>2, а17 а2) =33; ах х а2 = 9г- 3/- 3к. Поэтому, согласно (17),
1 ах х а2\
=_|331__ _33_ _ □
^/92 + (-3)2 + (-3)2 ^
Небольшой обзор учебной литературы
В заключение опишем, как вопросы нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве и расстояния между скрещивающимися прямыми отражены в стандартной учебной литературе для втузов.
В учебниках [7]-[10] о формуле вида (15) для расстояния от точки до прямой в пространстве вообще не упоминается, хотя в двух из них (см. [7], пример 3 в §68; [9], упражнение 33 к гл. V части 2) приводятся задачи на эту тему. Стало быть,
предполагается, что решение вполне может быть осуществлено без знания формулы (15) с помощью несложных и стандартных для геометрических задач рассуждений, например: сначала составляем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой; затем находим точку пересечения этой плоскости и прямой, то есть находим основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую; наконец, вычисляем искомое расстояние (длину перпендикуляра).
Что касается скрещивающихся прямых, то в [7] и [10] о них вообще не упоминается, в [8] выводится формула (17) для вычисления расстояния и предлагается соответствующая задача (см. [8], упражнение 2 к §6 гл. VI). В учебном пособии [9] приводится лишь критерий (13) компланарности прямых, но при этом предлагается задача на поиск расстояния между скрещивающимися прямыми (см. [9], упражнение 34 к гл. V части 2); значит, считается, что указанное расстояние может быть вычислено «подручными» средствами без использования формулы (17), например: проводим через одну из прямых плоскость, параллельную другой, и по формуле (2) определяем расстояние от любой точки второй прямой до построенной плоскости.
И только в курсе лекций по геометрии [б] оба вопроса, касающиеся расстояния от точки до прямой в пространстве и скрещивающихся прямых (расстояние, общий перпендикуляр), исследуются крайне скрупулезно и, в частности, доказываются формулы (15) и (17) (см. [6], лекция 16).
В задачниках [1]-[3] формулы (15) и (17) не приводятся в теоретических справках, предшествующих формулировкам заданий. Однако в отдельных задачах подобные вопросы обсуждаются. Так, в пособиях [1] и [2] формула (15) не упоминается, хотя в ряде задач (см. [1], № 335; [2], № 2.42, 2.46) требуется вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве. В [3] формула (15) приведена (даже с выводом) в указании к
соответствующей задаче (см. [3], № 503, 504, 513).
Теперь о скрещивающихся прямых. Необходимое и достаточное условие (13) принадлежности двух прямых одной плоскости в [1] и [3] приводится без пояснений, а в [2] оно составляет содержание задачи (см. [2], № 2.44).
В задачнике [3] только в одной задаче предлагается найти «кратчайшее расстояние между непараллельными прямыми», причем в указании приведен фактический вывод формулы (17), которая явно выписана в ответе (см. [3], № 525).
В сборнике задач [2] приведен пример отыскания расстояния между скрещивающимися прямыми и уравнений их общего перпендикуляра (см. [2], пример 5 в §2 гл. 2). Здесь искомое расстояние вычисляется как расстояние от любой точки второй прямой Л2 до плоскости П15 проходящей через первую прямую Л1 параллельно второй прямой Л2, а общий перпендикуляр описывается как пересечение плоскостей П^, проходящих через скрещивающиеся прямые Ль Л2 соответственно и перпендикулярных плоскости П1. Однако в одной из задач предлагается вывести формулу (17) для подсчета расстояния между скрещивающимися прямыми (см. [2], № 2.47).
Таким образом, приведенный выше краткий библиографический обзор показывает, что формулы (15) и (17) для расстояния от точки до прямой в пространстве и расстояния между скрещивающимися прямыми совершенно излишне включать в базовую часть учебного материала и, более того, без них вообще можно обойтись при решении задач.
Список литературы
1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1-2. — М.: Высшая школа, 1980 (или любое позднее издание).
2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под. ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1981.
3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1978 (или любое позднее издание).
4. Наука и жизнь. 2000. № 12.
5. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1978.
6. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1979.
7. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: Наука, 1975.
8. Погорелое A.B. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1978.
9. Привалов И. И. Аналитическая геометрия. — М.: Физмат-гиз, 1963.
10. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1980.
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова E-mail: myspir@mail. ru Поступила 01 марта 2012 г.
