CC BY
24
Секция 2. Преподавание
УДК 51
Изложение темы «Прямые и плоскости» на практических занятиях по математике в техническом вузе — I
М.Я. Спиридонов
Введение
К изучению раздела «Прямые и плоскости» курса математики студенты подходят с уже изрядным багажом знаний, полученным в начальные месяц-полтора первого семестра (при 2-х часах лекционных и 4-х часах практических занятий в неделю). В этот период изучаются определители и матрицы, методы решения систем линейных уравнений (правило Крамера, метод Гаусса и средства матричного исчисления), векторы и их координаты. линейные операции над векторами, а также скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
В раздел «Прямые и плоскости» входят следующие четыре темы:
• «Прямая на плоскости» (различные виды уравнений прямой на плоскости, угол между прямыми, взаимное расположение двух прямых, расстояние ог точки до прямой);
• «Прямая в пространстве» (канонические, параметрические и общие уравнения прямой в пространстве, угол между прямыми, взаимное расположение двух прямых);
• «Плоскость в пространстве» (уравнение плоскости в пространстве, угол между плоскостями, взаимное расположение двух плоскостей, расстояние от точки до плоскости);
• «Прямая п плоскость» (угол между прямой и плоскостью, взаимное расположение прямой и плоскости).
Здесь под термином «пространство» подразумевается евклидово пространство К' с выбранной системой прямоугольных координат Охуг, причем соответствующий ортонормиро-ванный базис обозначается через г , ] , к и является положительно ориентированным (правым). Под «плоскостью» имеется в виду евклидово пространство М"' с координатной системой Оху, направление осей которой определяется ортонормирован-ным базисом г , ] . (О прямых и плоскостях в аффинном и проективном пространствах в технических вузах уже не упоминают, как, впрочем, и о самих этих пространствах.)
Как показывает опыт проведения практических занятий и семестровых экзаменов, решение задач именно по теме «Прямая и плоскость» вызывает у студентов значительные трудности.
В учебную программу первого семестра традиционно включаются следующие разделы высшей математики: матрицы и определители, системы линейных уравнений, векторы и операции над ними, прямые и плоскости, кривые второго порядка, пределы, производная, исследование функций с помощью производных, функции нескольких переменных, комплексные числа. Так вот, среди экзаменационных задач но этим
темам наименьшей популярностью у студентов пользуются задачи именно на составление уравнений прямых и плоскостей. И это на фоне широко (и не без оснований) распространенного мнения о том, что математический анализ в целом гораздо сложнее, чем аналитическая геометрия!
Причины такого положения дел мне видятся в наличии и одновременном влиянии следующих пяти факторов: при изучении темы «Прямые и плоскости» студент сталкивается с 1) новизной информации и 2) немалым ее объемом, от него требуются 3) наличие пространственного воображения, 4) умение сделать грамотный рисунок (чертеж), а также 5) способность самостоятельно и логически безупречно рассуждать.
Указанные факторы, с одной стороны, конечно, осложняют сам процесс научения, привлекая дополнительные усилия как от ученика, так и от учителя. Но, с другой стороны, необходимость собрать воедино разносторонние навыки при поиске пути решения задач дает несомненный педагогический выигрыш — и в плане становления будущего полноценного специалиста, и в плане формирования всесторонне развитой самостоятельно мыслящей личности.
Остановимся на перечисленных факторах несколько подробней.
О новизне. С рядом вопросов программы первого семестра студенты знакомы (пусть в значительно меньшем объеме, а иногда очень поверхностно и даже бегло) еще со средней школы: это системы линейных уравнений, векторы, скалярное произведение векторов, уравнение прямой с угловым коэффициентом, начальные сведения о пределах, производная и некоторые ее приложения (составление уравнения касательной к графику функции, определение промежутков монотонности и локальных экстремумов функции). С другими же темами учащиеся впервые встречаются только на студенческой скамье. Послед-
нее относится к матрицам и определителям, кривым второго порядка (за исключением, быть может, окружности), функциям нескольких переменных, комплексным числам и, конечно же, к теме «Прямые и плоскости»: только в вузе изучаются уравнения прямой и плоскости в пространстве и в максимальной общности уравнения прямой на плоскости (на плоскости большей частью используют общее и каноническое уравнения прямой, а не известное со школьных времен уравнение прямой с угловым коэффициентом), соотношения между этими геометрическими объектами и т.д.
Об объеме. Объем учебного материала по аналитической геометрии, изложенный в традиционных курсах (см., например, |1| |3|), не мал: учащимся предлагается для запоминания и активного использования при решении задач довольно-таки большое количество форму;!. Так, только в разделе «Плоскость в пространстве» в качестве стандартного набора «рабочих инструментов» перечисляются следующие формулы: ^ нормальное уравнение плоскости; 2) общее уравнение плоскости; частные случаи общего уравнения, когда плоскость параллельна какой-либо координатной оси или координатной плоскости; 41 уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору (или уравнение связки плоскостей); уравнение плоскости в отрезках; 6) уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; 7) формула для отыскания угла между двумя плоскостями; 8) условие параллельности двух плоскостей и 9' условие перпендикулярности двух плоскостей; 10) формула для нахождения расстояния от точки до плоскости; уравнение пучка плоскостей. А ведь есть еще три других (указанных в начале статьи) раздела!
О пространственном воображении и рисунке. Естественно, что при решении задач но теме «Прямые и плоскости» требуется пространственное воображение: нужно представлять
взаимное расположение геометрических объектов (точек, векторов, прямых, плоскостей) в пространстве, видеть связи между заданными и искомым объектами, делать по мере надобно сти дополнительные построения и т.д. Иными словами, добротная стереокартинка, будучи основополагающим моментом для выработки алгоритма решения, должна быть как бы перед глазами, а затем умело воплощена в грамотный рисунок (чертеж).
Зависимость от качественной трехмерной иллюстрации в других разделах программы первого семестра незначительна (и можно сказать, просто отсутствует): иногда бывает полезным нарисовать пирамиду, параллелепипед или призму при работе с векторами (и здесь рисунок — это, как и в геометрии, «рабочий инструмент», помогающий определиться с ходом решения), а также воспроизвести какую-либо из поверхностей второго порядка, если требуется изобразить график функции двух переменных или поверхность уровня функции трех переменных (но здесь рисунок всего лишь «художественное изображение» уже имеющейся математической формулы). Вот, собственно, и все.
Добавим, что развитию пространственного воображения и умению перенести мысленный трехмерный образ на бумагу в виде рисунка (чертежа) способствуют только два школьных предмета из естественно-научного цикла — стереометрия и черчение. Но сегодня, увы, стереометрия (да и вся геометрия в целом) постепенно выталкивается на обочину среднего образования, а рейтинг черчения среди общеобразовательных дисциплин комментировать вообще трудно. Отсюда, кстати, проистекают многие проблемы тех студентов, которые обречены учебным планом на знакомство в вузе с «Начертательной геометрией» и «Инженерной графикой».
О самостоятельности в рассуждениях. При решении за-
дач по теме «Прямые и плоскости» практически каждый шаг требует от учащегося самостоятельных рассуждений: это умение проанализировать условие задачи, представить себе взаимное расположение объектов в пространстве (привлекая свое пространственное воображение), сделать адекватный рисунок, увидеть взаимосвязи между геометрическими объектами, провести, если нужно, дополнительные построения, составить правильный и оптимальный план решения и, наконец, реализовать этот план, получив верный результат.
Конечно, самостоятельность самостоятельности — рознь. Можно чувствовать себя полностью самостоятельным, роботоподобно исполняя «внешние» четкие указания или подробные инструкции. Но здесь речь идет о самостоятельности, которая связана с элементами творческого поиска, с принятием собственных решений, со способностью логически мыслить, с необходимостью сконструировать последовательность математически обоснованных и корректных (а потому безошибочных) действий, образующую поэтапный план решения задачи. Вот эта-то нешаблонность в решении геометрических задач и является самым страшным бичом нынешних студентов (да и школьников).
А теперь посмотрим с этих позиций на другие разделы программы первого семестра. Так, нее способы решения систем линейных уравнений уже давно реализованы как программный продукт (для компьютеров). Методы исследования функций одной и нескольких переменных опять-таки выдаются студентам в виде четкого пошагового предписания. То же относится и к кривым второго порядка. Алгебраические действия над комплексными числами и извлечение из них корней выполняются по известным правилам и формулам. Некоторую изобретательность приходится проявлять лишь при вычислении пределов (как элементарными средствами, гак и по правилу Лопиталя—
Бернулли), но, понимая сложность и объемность этой темы, ее излагают, как правило, структурированной по типам задач и приемам их решения, что опять-таки приближает работу учащихся к применению готовых схем.
Кстати, указанная тенденция — построение обучения решению математических задач на алгоритмическом принципе в последнее время, к сожалению, неуклонно набирает обороты. Оценить ее я могу только как вредную и ведущую к катастрофическим последствиям. Впрочем, дабы избежать здесь крепких выражений, укроюсь за безусловным авторитетом — академиком В. И. Арнольдом, высказавшим в одном из журнальных интервью следующее мнение (|4|): «С математическим образованием в мире дела обстоят очень плохо. В России, кстати, получше, но все ]ю,вно плохо!.. <...>
Марат, преэ/сде чем его убила Шарлота Корде, успел произнести глупейшую фразу: «Из всех математиков самые лучшие те, кто все время решает задачи, вычисляя по заранее заданной формуле». С современной точки зрения, это делают только тупицы, однако фраза Марата весьма популярна среди тех, кто совершенно не способен размыишять, но тем не менее старается навязать обществу свое мнение. <...> Я старюсь объяснить, что суть математики совсем в ином, чем пытаются нам представить. Математика подобна деятельности детектива, который должен, задавая разные вопросы и обращая внимание на детали, путем нестандартных размышлений прийти к истине. Романы Агаты Кристи гораздо ближе к математике, чем умножение многозначных чисел. Ну а рассказы Эдгара По тем более! Представления о математике в большинстве случаев фальшивые, неправильные. Но, к сожалению, все программы обучения составляют люди с подобными представлениями, поэтому я и стараюсь предотвратить катастрофу!»
Но вернемся к разделу «Прямые и плоскости». Какие же педагогические задачи можно ставить при его изложении? Речь здесь, безусловно, не может идти о выхолащивании творческих начат из учебного процесса, о попытке «алгоритмизирования» практики решения задач. Следовательно, усилия должны быть направлены, во-первых, на сокращение объема исходной информации и, во-вторых, на тщательное продумывание формы ее подачи.
Проблема корректировки в сторону уменьшения объема излагаемого учебного материала, наверное, всегда стоит перед педагогом (а в наше время реформ особенно остро!), и пути ее решения, в общем-то, известны. Главное здесь вычленить небольшое количество фундаментальных положений, вокруг которых концентрируются все остальные понятия и факты, и в процессе решения задач опираться только на них. При этом многочисленные, по имеющие подчиненный характер формулы нужно каждый раз в ходе решения получать как следствия из основных утверждений. Это освобождает учащегося от необходимости запоминать огромный сонм формул и побуждает к творческому применению фундаментальных положений.
Еще один резерв в уменьшении объема информации — это стремление к максимально простым, кратким и доступным для аудитории доказательствам.
Наконец, преподносить основную информацию по данной теме лучше, на мой взгляд, в виде таблиц, схем и т. п., то есть в сжатой, компактной и обозримой форме (в чем-то близкой к классической шпаргалке), что делает ее более удобной для запоминания, активного овладения и использования.
Предлагаемый план изложения
При изучении раздела «Прямые и плоскости» в техническом вузе предлагается сначала рассмотреть геометрию в пространстве, а лишь затем геометрию на плоскости. При этом многие положения планиметрии доказывать вообще не придется: они будут элементарными следствиями уже доказанных закономерностей для плоскостей и прямых в пространстве. Приведем последовательность изучения тем:
Тема 1. «Плоскость в пространстве»;
Тема 2. «Прямая в пространстве»;
Тема 3. «Прямая и плоскость в пространстве»;
Тема 4. «Прямая на плоскости».
Другой вариант изучения предполагает сначала познакомить слушателей с геометрией на плоскости, а лишь затем, реализуя принцип «от простого к сложному», переходить к объектам в пространстве. Такой подход, безусловно, заслуживает внимания и имеет несомненное количество положительных моментов. Однако, как показывает опыт, каких-либо принципиальных сложностей при изучении геометрических структур в трехмерном (привычном для человека) пространстве у студентов не возникает. Разумеется, решение стереометрических задач требует пространственного воображения, но его развитие никак не определяется последовательностью изучения тем: вряд ли решение планиметрических задач приведет к развитию пространственного воображения.
Остановимся подробней на каждой из четырех указанных тем и методических особенностях ее изложения на практических занятиях.
Тема 1: «Плоскость в пространстве»
Изложение соответствующего учебного материала должно, но моему мнению, группироваться вокруг трех основных концентров: общее уравнение плоскости; угол между плоскостями; расстояние от точки до плоскости. Это фундаментальные положения, без которых не обойтись, но их в целом оказывается и достаточно для решения всех задач по данной теме. Дополнительным (иногда крайне полезным и почти незаменимым) концентром является так называемое уравнение плоскости в отрезках на осях.
1.1. Общее уравнение плоскости
Здесь и первую очередь необходимо зафиксировать абсолютно понятный факт: плоскость в пространстве однозначно определяют два объекта это 1) точка Л/0(.т0; у0; 20) и 2) перпендикулярный (нормальный) вектор Л^(Л; 13; С) ф 0. Вектор Л^ называют1 также ортогональным плоскости.
После этого вывод общего уравнения плоскости не составляет труда: точка пространства М(:г; у, z) принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы Л^ и Л/0А/ перпендикулярны, а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть
Л? • М0 Û = 0 <ï=> Л{х - xQ) -I- В {у - i/o) + C(z - zQ) = 0,
откуда и получается общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0 (1)
Коэффициентами при переменных х, у, 2 в уравнении (1) служат координаты нормального (перпендикулярного) вектора.
1.2. Угол между плоскостями
Угол между плоскостями определяется как угол между
их нормальными векторами.
В принципе здесь никаких формул выписывать не нужно:
угол между двумя любыми векторами и, в частности, между
А* л?
нормальными векторами Л , и Л ., к двум плоскостям студенты
Л? Я. гч
должны уметь находить: соь у> - 1 . Этим учащиеся зани-
i л , i • | л 21
мались ранее при изучении скалярного произведения векторов.
1.3. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки М*(х*\у*\г*) до плоскости П, определяемой общим уравнением Ах+Ву+Сг+И = 0. вычисляется по формуле
ЧИЛГ;. + + (2)
\/А2 + В2 + С2
Вывод формулы (2) несложен. Пусть точка Л/0 является основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки .\Г
нн плоскость. Тогда искомое расстояние (I равно длине вектора
-+ -у
М0М , то есть (I = |Л/0М |. Поскольку, с одной стороны, Л^ • Л^Р = • |Л/оМ*|-со8 0 = • \ЦаР\ ■ (±1) = ±|#| • в (угол в между коллинеарными векторами .V и М0\Г равен 0 или 7г), а с другой стороны,
• М^М' = А(х* - х0) + В(уФ - у о) + С(г* - г0) =
= Ах* + Ву* 4- С г* + (-Аг0 - Ву 0 - Сг0) = Ах* + Ву* +Сг' + И
(А.г0 + Вх0 + Сх0 + 0 = 0 верное равенство, так как точка Мо принадлежит заданной плоскости), то
• Л/0М1| = \7)\ ■ (I = |Ах* + Ву* + Сг* + й\
что и приводит к (2). 116
М0(10;у0;л0)
Л = |М0М |
^НЩТ1
М0М' = (х*-х0;у'-у0;г'-г0)
П : Ах + Ву + Сг + О = О
Рисунок к выводу формулы для расстояния
_ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (I = П)
Можно предложить и другое, менее искусственное, но столь же простое доказательство равенства (2). Оно (заимствованное из |5|) использует пропорциональность коллинеарных векторов М0А/ и Л : существует такое число что
Тогда искомое расстояние ^ равно
х'-х0 = гА, у * — у0 = IВ,
сI = \М0М1\ = уЧ^ " *о)а + (У ~ Уо)'2 + («• - -о)2 = И |Л'| ■
Чтобы найти значение параметра ¿, подставим координаты точки Л/0
х0 = а:*-М, у0 = у'-ЬВ, г0 = г'-1С
в верное числовое равенство .4,г0 + Вх0 + Сх0 -I- О = 0. Получим { _ ,4д* 4- Ву' + СУ + £> _ Ах* + Ву* + С г' + £> ~ л2 + В2 + С2 '
Тем самым формула (2) вновь доказана.
1.4. Уравнение плоскости «в отрезках на осях»
Уравнение плоскости «в отрезках па осях» имеет вид
х и г
+-=1 а и с
где не равные нулю величины а. Ь и с соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями координат Ох, Оу и Ог.
Уравнение (3) представляет собой частный случай общего уравнения плоскости (1). Если в общем уравнении плоскости свободный член О Ф О (условие £) Ф О означает, что плоскость не проходит через начало координат), то 15 результате деления каждого члена этого уравнения на О получим уравнение (3) «в отрезках на осях».
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Обгцее уравнение плоскости
( А х + Ву 4- С г 4- Р = О
А'(.4; В: С)
2. Угол между плоскостями
определяют по углу между их нормальными векторами:
П
3. Расстояние от точки до плоскости
М'(х':у'\г*)
АгЧ- Ву,+ Сг'+ Р\ у/Л2 + В'1 + С2
(I
(П.ч1(Л/*.П) =
7
II : ,4.г + Ву + Сг + Р = О
4. Уравнение плоскости «в отрезках на осях»
с
Плоскость пересекает оси
Ох, Оу, Ог в точках (а;0;0), (0;6;0), (0:0;с).
х
Решение задач: методика поиска точки и вектора
Данный способ решения основан на том. что в (почти) каждой задаче по теме «Плоскость в пространстве», где требуется составить уравнение плоскости, удовлетворяющей тем или иным условиям, нужно находить два определяющих плоскость объекта 1) точку, принадлежащую искомой плоскости, н 2) перпендикулярный (нормальный) к этой плоскости вектор (отсюда и проистекает название методики). Подобный подход я считаю самым удачным и выигрышным со всех точек зрения.
Приведем примеры такого сорта задач. Найти уравнение плоскости: а) проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору: б) проходящей через три не лежащие на одной прямой точки; в) проходящей через точку параллельно данной плоскости; г) проходящей через через какую-либо ось координат и не лежащую на ней точку (поскольку тема «Прямая в пространстве» еще не изучена, то вместо произвольной прямой пока приходится брать только оси координат); д) проходящей через две заданные точки и параллельной какой-либо координатной оси; е) проходящей через две данные точки перпендикулярно данной плоскости; ж) проходящей через точку перпендикулярно двум не параллельным плоскостям.
Заметим, что при решении задач очень часто перпендикулярный к искомой плоскости вектор находят как векторное произведение двух известных векторов, расположенных в этой плоскости. Поэтому при изучении темы «Векторное произведение векторов» помимо двух основных его геометрических приложений (вычисление площадей и установление коллинеарности двух векторов) нужно обращать внимание учащихся на еще одно свойство, носящее прикладной характер на возможность получения по двум данным векторам им перпендикулярного.
Пример 1. Определить уравнение плоскости, в которой содержится точки ( — 2; 3; 1), (0; —1;4), (1; 5; 4).
Решение. Обозначим три заданные точки через Р, Я соот-ветственно и сделаем надлежащий рисунок. На чертеже разрозненные точки почти всегда целесообразно соединить минимальным количеством векторов, исходящих из одной точки; здесь ими будут, к примеру, векторы П.
Точку, находящуюся в искомой плоскости, мы имеем: ей может быть любая из трех указанных в условии точек; выберем, для определенности, Р. Нормальный вектор Л* к искомой плоскости найдем, как подсказывают рисунок и пространственное воображение, с помощью векторного произведения лежащих в плоскости векторов йЬ П :
Теперь используем общее уравнение плоскости (1). в котором известны три первых коэффициента, равные координатам только что найденного перпендикулярного вектора .V:
Значение остающегося пока неизвестным четвертого коэффициента вычислим с помощью точки Р. расположенной в искомой плоскости. Так как координаты точки Р уравнению плоскости должны удовлетворять, то
-18(-2) + 3-3 + 16-1 + £> = 0 =» £ = -61. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид -18х + 3у+ 16г -61 = 0. □
г ] к
2-4 3 =-18Г+з/+16 к. 3 2 3
- 18х + Зу + 16с + £> = 0.
Л* = РЗ х pft
Q
R
Рисунок к примеру 1
<г + 2и - Az + 7 = 0.
Рисунок к примеру 2
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р( —3;0; 1) uQ(2: —1;5) и перпендикулярной плоскости х + 2у - Az + 7 = 0.
Решение. Сначала делаем аккуратный рисунок, на котором, соединяя заданные точки Р и Q. изображаем вектор Р($. а также указываем вектор Д = (1:2;—4), перпендикулярный данной плоскости.
Далее, устанавливаем, что векторы J*Q и параллельны искомой плоскости, а поэтому в качестве перпендикулярного к этой плоскости вектора N можно взять их векторное произведение:
= Р$ х Я =
Т*
1
j *
-1 4 2 -4
= -4z + 24j+ 11 Л.
Наконец, как и в предыдущем примере, используем общее уравнение плоскости (1). Коэффициентами А, В и С в нем могут служить координаты уже вычисленного нормального век-тора /V:
-4x4-241/+ 11г + £> = 0.
Коэффициент находим с помощью подстановки в последнее уравнение координат какой-либо точки, принадлежащей искомой плоскости, например Р:
—4 • (—3) + 24 0 + ll-l + D = 0 => D = —23 121
проходящей через три заданные точки:
х -х, у- у, 2-2, х2 - X, у2 - у, 22 - 2, = 0 .
•Гз •Г1 Уз У1 ~з ~1
Если обратиться к примерам 1 и 2, то в них такой подход легко применим. В первом случае компланарными будут век-
плоскости. а Л/1( —2; 3:1), М2(0; — 1; 4), А/3(1; 5; 4) заданные точки. Во втором случае компланарны искомой плоскости век-
Но вот в условиях третьего примера такие три чудо-век-гора найти сходу не удастся и рассматриваемый метод дает некоторую осечку. Единственный вектор, который моментально определяется из условия это нормальный к заданной плоскости вектор Лц. Но не он нужен!
Чтобы спасти методику, приходится находить какие-либо два неколли неарных вектора, расположенных в данной плоскости. а значит параллельных искомой; третьим вектором, напомним, здесь будет Л/^М. Сделать это можно двояко: или найти (например, элементарным подбором) три решения уравнения 4./' + 9у — 52 — 13 - 0. которые будут координатами трех точек, находящихся в заданной плоскости, что и позволит построить два параллельных искомой плоскости вектора, или найти два неколлинеарных вектора, перпендикулярных вектору Л,,, что можно сделать, решая (например, опять-таки подбором) уравнение 4и1 9у2 + (—5)г>3 = 0 относительно неизвестных г,, и2, г3 (указанное уравнение выражает перпендикулярность векторов Л*0 = (4;9;—5) и = (и1;и2;и3) в терминах скалярного произведения).
горы Л/, Л/, Л/,Л/2, Л/,Л/3, где М(х;у;г) переменная точка
О взаимном расположении двух плоскостей
Умея вычислять угол </? между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями, легко судить о параллельности или совпадении этих плоскостей (cos<¿> = ±1), а также об их перпендикулярности (cos<¿> = Ü).
Эти условия легко выписать и непосредственно в терминах коэффициентов уравнений
Axx + Bxy + Cxz + Dx =0 и А2х + В2у + С2г + D2 = 0.
Так. условие перпендикулярности плоскостей эквивалентно равенству нулю скалярного произведения их нормальных векторов Л^ = (Л,; Л,:С,) и Х2 = (Л2; В2\С2). то есть записывается в виде .4, • Д2 + В1 ■ В2 + С, • С2 = 0 (формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты в ортонормированном базисе нужно, безусловно, знать).
Пространственное воображение подсказывает, что у параллельных или совпадающих плоскостей нормальные векторы коллинеарны, а значит, сами векторы и их координаты пропорциональны. Это позволяет выписать условие параллельности плоскостей в виде пропорций коэффициентов при переменных из их общих уравнений: Ах/А2 = BJВ2 = Сх/С2.
Простота и естественность этих рассуждений не позволяет приведенные условия параллельности и перпендикулярности плоскостей относить к разряду фундаментальных и засорять ими страницы учебников и умы учеников.
Сказанное в полной мере относится и к условию пересечения двух плоскостей по прямой, которое также легко характеризуется значением угла <р между плоскостями: eos у ф ±1. Поскольку указанное условие означает непараллельность плоскостей, то оно равносильно неколлинеарности (непропорциональности) их нормальных векторов Л^ и Л^-
О формуле для расстояния от точки до плоскости
Формула (2) для расстояния от точки до плоскости используется не только для непосредственного вычисления указанного расстояния, а также расстояния между двумя параллельными плоскостями, но и при составлении уравнений плоскостей в целом ряде задач. Приведем пару примеров.
Пример 4. Каковы уравнения всех плоскостей, отстоящих от плоскости 2.г — у — 2с — 7 = 0 ни 5 единиц?
Решение. Пространственное воображение и рисунок подсказывают. что искомых плоскостей две и обе они параллельны заданной плоскости.
С помощью формулы (2) предложенная задача имеет следующее решение. Точка М(х: у: с) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда расстояние от нее до данной плоскости равно о, то есть
|2х -у- 2г-7|
__=г = 5 \2х - у - 2.: - 71 = 15 О
у/2* + И)а + М)2
2.г -у — 2г-7 = ±15
■ 2х- у - 2с - 22 = 0. 2х - у - 2с + 8 = 0.
Таким образом, искомых плоскостей действительно оказалось две.
Конечно, при решении этой задачи можно было вообще обойтись без формулы (2). Вот, например, идея одного такого решения, безусловно, более кропотливого по сравнению с только что приведенным:
находим какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости (как одно из бесконечного множества решений уравнения 2х - у - 22 - 7 = 0);
мысленно (или на рисунке) откладываем от нее как ог начала два возможных перпендикулярных плоскости вектора
длиною в 5 единиц (эти векторы равны ±5Л0/|Л0|. где вектор Л0 - (2; —1; —2) ортогонален данной плоскости);
средствами векторной алгебры определяем координаты концов построенных векторов (зная координаты самих векторов и их начальных точек);
выписываем уравнения искомых плоскостей (в каждой из них известно по точке, найденной на предыдущем этапе решения, а в качестве нормального вектора и к той и к другой можно взять, скажем, Л0). □
5
/ / 2.г — у — 1г - 7 = 0, / 5
Рисунок к примеру 4
/Ъх-- 5у + 2г - 1 = 0/ / (1
(1
/{х- 10у + 4г + 9 = Ц/ к
Рисунок к примеру 5
Пример 5. Написать уравнение плоскости, равноудаленной от плоскостей З.г — 5у-)-2с — 1 =0 и От — 10?/ + 4с + 9 = 0. Решение. Из геометрических соображений понятно, что две заданные плоскости должны быть параллельны (их нормальные векторы .V, = (3;-5;2) и Л2 = (6;—10;4) действительно пропорциональны, а значит, коллинеарны) и задача имеет единственное решение.
Как и н предыдущем примере, формула (2) позволяет сразу выписать уравнение, которому должны удовлетворять точки М(х: у: г) искомой плоскости:
|3х — 5у + 2г — 1| _ |6д* - 10у + 4; + 9) /32 + (-о)2 + 22 ~ д/6а + (-10)2 + 4-'
2 |3я — 5у + 2г — 1| = |6х — 10у + 4г + 9| <=>
2(3х - 5»/ + 22 - 1) = ±(6т - 10у+ 4г+ 9)
—2 = 9 неверное равенство, . 12т — 20у + 8с + 7 = 0 искомое уравнение .
Без применения формулы (2) решение предложенной задачи, разумеется, возможно, но оно значительно более трудоемко, хотя с точки зрения преподавания и обучения крайне интересно и познавательно. □
Об уравнении плоскости «в отрезках на осях»
Уравнение плоскости «в отрезках на осях» (3). являясь частным случаем общего уравнения плоскости (1), тем не менее представляет определенный интерес и очень выручает при решении ряда задач, где фигурируют плоскости, пересекающие оси координат в тех или иных точках.
Пример 6. Найти уравнение плоскости, которая не проходит через начало отсчета и содержит точку Л/0(—5; 8; —6), причем ордината точки пересечения этой плоскости с осью Оу и аппликата точки пересечения с осью Ог равны соответственно удвоенной и утроенной абсциссе точки пересечения с осью Ох.
Решение. Поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат, то ее уравнение можно искать в форме (3). В данном случае оно имеет вид
и содержит всего лишь один неизвестный параметр и / 0, который легко вычисляется в результате подстановки в последнее уравнение координат точки Л/0:
х а г а 2а ¿а
-5 8 -6
1 => а — —3.
За
Таким образом, с помощью уравнения плоскости «в отрезках на осях» быстро и изящно найдено уравнение искомой плоскости:
х и г
6.г + Зу + 2г -I- 18 = 0 .
Безусловно, задачу можно решить и по-другому, не прибегая к уравнению «в отрезках». Например. Согласно условию. искомая плоскость должна проходить через четыре точки А/0(—5;8; —6), М,(а;0;0), Л/2(0;2а;0), Л/З(0;0;3а), где а ф 0.
Условие принадлежности этих четырех точек одной плоскости
__ _1 -^
равносильно компланарности векторов М1Л/0, Мх\12, М{\13, равенство нулю смешанного произведения которых дает уравнение для отыскания параметра а:
—о — а —о —а
8 -6 2а 0 0 За
= 0
п . = -3.
Теперь осталось составить уравнение плоскости, проходящей через любые три точки из четырех имеющихся.
Приведем еще один способ решения, который использует только общее уравнение плоскости (1). Наличие координат четырех точек Л/0, Л/,, Л/2, М3, принадлежащих искомой плоскости, позволяет составить следующую нелинейную систему уравнений:
" -5Л + 8Я-6С + £ = 0, аЛ +0 = 0.
2а В +0 = 0, 3 аС + 0 = 0.
В последней системе четыре уравнения и пять неизвестных. Упростить ситуацию помогает следующее рассуждение: во-первых. коэффициенты Л, В, С, й общего уравнения плоскости (1) определяются с точностью до постоянного множителя, поскольку обе части уравнения (1) можно умножить на любое
отличное от нуля число; во-вторых, в рамках условия задачи D ф 0, так как плоскость не включает начало координат; следовательно, в-третьих, без ограничения общности можно считать. что D = 1. Тогда составленная система будет содержать четыре уравнения с четырьмя неизвестными и благополучно разрешаться. □
О нормальном уравнении плоскости
Общее уравнение плоскости (1) называется нормальным уравнением плоскости, если ортогональный вектор Л*(Д:В\С) нормирован (то есть имеет единичную длину: = 1. что равносильно условию А1 + В2+С2 = 1) и если D ^ 0. Чтобы общее уравнение (1) привести к нормальному, следует обе его части умножить на нормирующий множитель ±1/\Д42 + В2 + С2, в котором знак плюс или минус выбирается при D ф 0 противоположным знаку D. а при D = 0 любым.
Нормальное уравнение плоскости принято записывать в
виде
х cos о + у cos /3 + г cos 7 — р — 0 , (6)
где cos a. cos d, cos 7 направляющие косинусы нормированного нормального вектора (его принято обозначать Я), а р ^ 0. Величина р в (6) равна расстоянию от начата координат до плоскости; при р > 0 единичный вектор п направлен из начала координат в сторону плоскости.
Зачем нужны нормальные уравнения? Я ответить на -лот вопрос затрудняюсь и поэтому на практических занятиях о них даже не упоминаю. В .литературе я нашел два применения нормальных уравнений.
Первое. Оказывается расстояние d от точки Л/*(.»•*:</*: 2*) до плоскости (6) выражается равенством
d = | х* cos а + у* cos /3+2* cos 7 - р |.
Замечательная и уникальная в своем роде книга |6| утверждает: «Эта формула объясняет зачем нужны нормальные уравнения». А мне-то думалось, что именно формула (2) исчерпывающе решает задачу вычисления расстояния oi точки до плоскости, заданной общим уравнением (1)! (Нормальное уравнение (6) является частным случаем общего уравнения (1).)
Второе. Оказывается, с помощью нормального уравнения плоскости (6) можно определить взаимное расположение произвольной точки М*(х*; у*\ 2*), самой плоскости и начала координат. Точнее: при р / 0 величина
./•* cos а + у' cos ft + г* cos 7 — р
положительна гогда и только тогда, когда точка А/' расположена не в том полупространстве, которому принадлежит начало отсчета.
Но вопрос о критерии разделенностн или неразделенно-стн любых двух точек плоскостью давно и успешно решен (и не только в евклидовом, но и в аффинном пространстве). А именно, две различные и не принадлежащие плоскости (1) точки Л/Дхр 2/г; .г,) и М2(х2: у2: г2) находятся по одну сторону от этой плоскости (то есть в одном полупространстве, или, иначе, не разделены плоскостью (1)) тогда и только тогда, когда числовые величины
Ar, + Biji + Czx + D и Ax 2 + By2 + Cz2 + D
имеют одинаковые знаки. Все очень удобно, и никакое нормальное уравнение для этого использовать не нужно.
отличное от нуля число; во-вторых, в рамках условия задачи D ф 0. так как плоскость не включает начало координат; следовательно, в-третьих, без ограничения общности можно считать. что D = 1. Тогда составленная система будет содержать четыре уравнения с четырьмя неизвестными и благополучно разрешаться. □
О нормальном уравненин плоскости
Общее уравнение плоскости (1) называется нормальным уравнением плоскости, если ортогональный вектор Л*(.4\В\С) нормирован (то есть имеет единичную длину: \N\ = 1. что равносильно условию .42 + В2 + С2 = 1) и если D ^ 0. Чтобы общее уравнение (1) привести к нормальному, следует обе его части умножить на нормирующий множитель ±1/\/.42 + Б2-1- С2, в котором знак плюс или минус выбирается при D / 0 противоположным знаку D. а при D = 0 любым.
Нормальное уравнение плоскости принято записывать в
виде
х cos о + у cos /3-1-2 cos 7 — р = 0, (G)
где coso, cos/3, cos7 направляющие косинусы нормированного нормального вектора (его принято обозначать Я), а р ^ 0. Величина р в (6) равна расстоянию от начала координат до плоскости; при р > 0 единичный вектор ñ направлен из начала координат в сторону плоскости.
Зачем нужны нормальные уравнения? Я ответить на -»тот вопрос затрудняюсь и поэтому на практических занятиях о них даже не упоминаю. В литературе я нашел два применения нормальных уравнений.
Первое. Оказывается расстояние d от точки АГ(х'; у': г') до плоскости (6) выражается равенством
d = I х* cos et + у' cos /3 + 2* cos 7 — p I.
Замечательная и уникальная в своем роде книга | О J утверждает: «Эта формула объясняет зачем нужны нормальные уравнения». А мне-то думалось, что именно формула (2) исчерпывающе решает задачу вычисления расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением (1)! (Нормальное уравнение (6) является частным случаем общего уравнения (1).)
Второе. Оказывается, с помощью нормального уравнения плоскости (6) можно определить взаимное расположение произвольной точки А/*(х*; у*; г*), самой плоскости и начала координат. Точнее: при р ф О величина
х* cos о -I- у* cos /3 + 2* cos 7 — р
положительна тогда и только тогда, когда точка .\Г расположена не в том полупространстве, которому принадлежит начало отсчета.
Но вопрос о критерии разделенности или неразделенно-стн любых двух точек плоскостью давно и успешно решен (и не только в евклидовом, но и в аффинном пространстве). А именно, дне различные и не принадлежащие плоскости (1) точки А/, (.г,; у,; 2,) и М,{х2: у2: z2) находятся по одну сторону от этой плоскости (то есть в одном полупространстве, или, иначе, не разделены плоскостью (1)) тогда и только тогда, когда числовые величины
-4.г, + Бу, + Сг, + D и Лх2 + Ву2 + Cz¿ + D
имеют одинаковые знаки. Все очень удобно, и никакое нормальное уравнение для этого использовать не нужно.
Список литературы
1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 2. М.: Высшая школа. 1980 (или любое позднее издание).
2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под. ред. A.B. Ефимова. Б. П. Демидовича. - М.: Наука. 1981.
3. Мипорский В. П. Сборник задач по высшей математике.
М.: Наука, 1978 (или любое позднее издание).
4. Наука и жизнь. 2000. № 12.
5. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, 1978.
6. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1979.
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова. E-muil: myspir@mail. ru. Поступила 07 мая 2011 г.
