CC BY
29
МАТЕМАТИКА
УДК 517.97
ББК 22.161.67
М 22
Д.К. Мамий, А.В. Лаврентьев, М.Х. Уртенов
Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма*
(Рецензирована)
Аннотация
В работе предлагаются специальные итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма. В случае, когда однородное уравнение имеет нетривиальное решение, текущее приближение полностью определяется из условия разрешимости уравнения для следующего приближения. Получены оценки скорости сходимости.
Ключевые слова: уравнения Фредгольма, решение, итерационное приближение, оператор, банахово пространство.
D.K. Mamiy, A.V. Lavrent’ev, M.H. Urtenov
Iterative methods of solution of the Fredholm singular perturbed
functional equations
Abstract
Special iterative methods of solving the Fredholm singular perturbed functional equations are offered. The current approximation is defined completely from resolvability of the equation for the next approximation in the case when the similar equation has a nontrivial solution. Estimations of convergence velocity have been obtained.
Key words: Fredholm equations, solution, iterative approximation, operator, Banach space/
В данной работе, являющейся продолжением [1], для сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма
в указанных в [1] условиях на Г и 2т предлагаются различные итерационные методы решения.
Пусть В - некоторое банахово пространство над R с нормой || • ||в, а L(B, В) -пространство линейных непрерывных операторов ® с нормой
В* - пространство сопряженное к В, Т - оператор сопряженный к Т.
Определим для сингулярно возмущенного операторного уравнения Фредгольма последовательные приближения
1-й случай. Пусть уравнение Т(х)=0 имеет лишь тривиальное решение, тогда уравнение Т(х)=Я имеет решение для любого Я е В (Т - удовлетворяет первой части альтернативы Фредгольма), следовательно, Т-1 существует. Так как Т - линейный
T ( x ) + ( x ) = f,
T = max T(x) , x е B, T е L(B, B),
L ||x||< 1
x0 е B - некоторый элемент,
T(xk +1) = - Zm (xk) + S, k = °Л...
(1)
(2)
Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 Единого заказ/наряда.
непрерывный оператор, а В - банахово пространство, то T-1 непрерывный линейный оператор. Следовательно, последовательные приближения (2) можно переписать в виде
х, +1 =- T \Zf (X,)) + T 1(s). (3)
В силу условия M1Jm ^ZmIL = 0 и ограниченности оператора T~1 существует такая окрестность Um 0 точки ,, что оператор Z, = T lZ, : B ® B является оператором сжатия с постоянной q(m ) = ||t- 'Z, [ < q <
1 при m £ Um 0 n U0 . Более того q(m) =0.
Из теоремы о сжатых отображениях получаем справедливость следующей теоремы. Теорема 1. Пусть Г(х)=0 имеет лишь тривиальное решение. Тогда существует такая окрестность Um 0 точки ,, что при каждом фиксированном m £ Um 0 n U0 сингулярно
возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет единственное решение хт, последовательные приближения хк определены для любого к=1, 2, ... при любых при U, 0 n U0 , X0£ B и сходятся к хт, причем справедливы оценки
IIх, - х, |B£ cqk + 1(m X к = 1,2,..., m£ U0 n U0. (4)
Замечание. Из оценки (4) видно, что последовательные приближения х, сходятся к
хт равномерно относительно m £ U, 0 n U0 при и при любом фиксированном ,
являются асимптотическими приближениями при m®m0.
2-й случай. Пусть справедлива вторая часть альтернативы Фредгольма, а именно: уравнение Г(х)=0 имеет n линейно независимых решений х(1), ., х(п). Тогда и уравнение Т*(х)=0 имеет n линейно независимых решений g-1-1, ..., g-n). В этом случае для разрешимости уравнения (4) необходимо и достаточно, чтобы
g7 )(s)=0, 7=1, ..., n , (5)
n
и тогда общее решение уравнения (4) имеет вид х = х + £ С)х{(), где х* - любое
i = 1
решение неоднородного уравнения (4), а c(i) - произвольные постоянные.
Составим матрицу H, = (g( 1 )(Z, (х(г))))”;- = 1. Будем предполагать существование
такой окрестности точки т<ь что det Hm Ф 0 при m £ U, 0 n U0. Осуществим выбор нулевого приближения х0 в виде
тогда для х1 получим уравнение
где S„ = -£ ci) Z, (х")) + S.
г = 1
Это уравнение имеет решение
если только
= X c0" )x01, (б)
i= 1
T(x)=So,
C1 = x** + X c1(v x''
i= 1
g°)(So)=0, j = ^ ... , n. (7)
Обозначая h=(gf')(s)) n= 1; C0 = (C0*)) n= 1, систему (7) запишем в виде HmCo=h,
откуда определим Таким образом:
Co = H; lh. (8)
x0
1) хо определено полностью;
2) уравнение для Х1 разрешимо.
Пусть уже определены Хо, ..., Хк, причем
хк = хк + >■ ск} X°}
г = 1
*
где Хк - некоторое решение неоднородного уравнения
і X ck) x(i) , (9)
Т(х^ы , (10)
где Sk-1 = Ят (хк-1) + S, ск) пока не определены. Обозначим сг = (с( 1})п= ь Ио=0,
Иг = (g(1)((х*))Уг= 1 ,г = 1, 2,^ и предположим ск-1 = н; ^ - н;\-1.
Определим Ск и Хк+1. Для Хк+1 получаем уравнение
Т(х) = Sk,
п
где Sk = - 1; (хк) - У с« 1; (х(г)) + S . Это уравнение имеет решение
х = х + У с(г) х(г)
к + 1 -''к + 1 т Ц к + 1Л ,
г = 1
если только
^С^0, 1 = 1, ... , п . (11)
В векторной форме система (11) запишется в виде Н; Ск=Ъ-Ък , откуда следует
Ск = н; 1и - н; \. (12)
Таким образом, справедлива теорема 2.
Теорема 2. Пусть:
1. Уравнение Т(х)=0 имеет п линейно независимых решений х(1), х(п) .
2. Существует такая окрестность и; 0 точки ;, что
det Н;Ф 0 при ;е и;0 п и0. (13)
Тогда последовательные приближения, определенные равенствами (6), (8), (9), (12), существуют для любого к=0,1, ...
Прежде чем доказывать существование единственного решения х; сингулярно возмущенного операторного уравнения Фредгольма и сходимость к нему последовательных приближений хк, определенных выше, рассмотрим некоторые свойства операторного уравнения Фредгольма (4) и возмущенного операторного уравнения Фредгольма (6), предполагая выполненным условие 1 теоремы 2. Согласно альтернативе Фредгольма уравнение Т*(^)=0 имеет также ровно п линейно независимых решений
. , я™ .
Из теоремы о биортогонализации [2] следует существование элементов у(1), ... , у(п) еВ и /1, ., / еВ*, таких что
/1(х(г)) = gl(у(г)) = ^ , и1 = 1,...,п
где ^ 11 - символ Кронекера.
Из теоремы 1 из [2, с. 500] следует, что оператор Т представим в виде
Т(х^(х)+Г1(х),
п
где оператор W1 имеет непрерывный обратный оператор, а У1(х) = -У /(х)у(г)
г = 1
является конечномерным оператором.
Обозначим S={yеB: gi(y)=0, г = 1, . , п}.
i= 1
Лемма 1. Для любого ує S, х = Щ'(у) является частным решением уравнения Т(х)=у. Доказательство. Введем обозначения
в= щи... Л), В= Ц{х(1),.., X1"'}).
Очевидно В = В' Ф В". Покажем, что для любого у уравнение Т(х) = у имеет решение х є В'. Существование решения х є В следует из альтернативы Фредгольма.
-1-І- ' \ Г)' " Г)
Полагая х = х + х , х є В , х є В, получаем
у = Т(х' + х') = Т(х'> + Т(X а гх(г>> = Т(х'>, (14)
г = 1
то есть Т(х > = у.
С другой стороны Щ(х'> = Т(х > - Уі(х'> = Т(х > + X ^ (х(г>>у°> = Т(х'> = у.
і= 1
Таким образом, х решение уравнения Щ1(х'> = у , откуда и следует
х = Wl-1( у >. (15)
Из (14), (15) следует доказательство леммы 1.
Теорема 3. Пусть выполнено условие 1 теоремы 2 и существуют такая окрестность
при и0 точки т и такая постоянная с, что \н^ \таіг - с\^т II при т є ит0 п ио. Тогда существует такая окрестность ит о точки д0, что сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет не более одного решения при каждом т є Ц, о п и0.
Доказательство проведем от противного. Пусть при некотором ^ є В сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет решения ~1 и ~2, причем ~1 + ~2. Обозначим ~ = ~1 - ~2. Тогда ] решение уравнения Т(] ) + (] ) = 0, которое
перепишем в виде Т(] ) = - (] ) . Из альтернативы Фредгольма, рассматривая - ^ (] )
как свободный член и используя лемму 1, получим
1 =- Щ'(2Г (])) +Х а ,хы, (16)
і = 1
gг О = 0, і = и ^ ". (17)
Из(16)следует
ыв £ 1К иЛг Iипв+у а Л|х"Цв , или (1 - 1К цлг, [)тв £ у а л*" цв
г= 1 г= 1
Так как ||г, = 0 , то существует такая окрестность и, 0 точки ;, что
Ц|[ < 1 при ; е С/, 0 п и0.
Следовательно,
~ 1 п II . II
Ц II £ -л-Гм—и-Л“У а Мх(г 1 < с (18)
1111 1 -ц^-\ь? 11 г111 |В , (18)
с учетом (16) получаем
Ц <Уа гх (г) + °(|| г,| [ )< с . (19)
г = 1
Подставляя (19) в (17), имеем
0 = gj(Z,ОТ» = x” аig(Zm(x®»і o||Z,IL)< c,
i= 1
Иm Lar = (gj(Zm (X(i))))”,.j = і................> 4Zm
откуда с учетом
m Wmatr 11^*“*1 ^ ^ SSSi, 1 = ^\matr II m \\l'
при m £ um 0 n U0 с Um 0 n U0 получаем «7=0, 7=1, ... , n. Но тогда из неравенства (18)
следует ||f] || £ 0, то есть h = 0 . Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 4. В условиях теоремы 3 сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет решение хт и последовательные приближения х,, , = 0, 1, ... сходятся к хт, причем справедливы оценки
IIх, - х„||£ с(||Zm ||LГ, , = 0,1,... (20)
Доказательство. Прежде всего, заметим, что
x, =x,і Xc,) x (i)
г = 1
не зависит от выбора частного решения хк неоднородного уравнения
Т(х)= - Z,(Xk-l)+S
в силу способа определения с(г), г = 1, ... , п. Действительно, пусть
x = x* і У c(i)x(i) • x = X і Y cd) xd)
x,,1 Л'k,1 T L ,,1Л ; ,2 x,,2 T L ,,2Л
г= 1 г= 1
к к
где хк д, хк ,2 - два разных решения неоднородного уравнения, тогда
X,,1 - Xk,2 = X а iX
* * Vі (i)
и, следовательно,
х,,1 - х,,2 = х*,1 - х*,2 + 1 (СЙ - СЙ)х(i) = t (« г + СЙ - ^х(i) . (21)
г= 1 г= 1
В силу определения С, получаем с, 1 - С,,2 = - Hm (h,1 - h,,2), где
h,1 - h,,2 = (g11 >(Z, (х;ч1))п., - (g<1 )(Z, (х*,2)) |n=, = (g(1 )(Z, (х,,, - х;,2»)п= , =
X а ,g (j)( Zm (x")))) ”, і = Н,а , а= (а, ... , а/,
но тогда ск1 - ск 2 = - а г и из (21) получаем хк,1 _ хк,2 = 0 . Что и требовалось доказать. Учитывая этот факт и то, что по построению Sk в уравнении Т(х) = Sk принадлежит
*
S и, используя лемму 1, будем брать хк при доказательстве теоремы в виде
хк = Щ-1(Sk )г.
Введем обозначения Ц к+1 = хк+1 - хк, к = 1,2,... х = (х(г))п= 1. Тогда
п
Ц к + 1 = хк + 1 - хк = хк+ 1 - хк + У (ск+)1 - Ск ))х( ) .
г = 1
Используя указанный ранее способ выбора х*к , получим
хк+1 - хк = Щ1№)- Щ1- 1(Sk_ 1) = Щ 1(Sk - Sk_ 1) = - щ(хк - хк-1)) = - Щ\2, (Ц к))
и
c* 1 - c, = - и; 1(h, і і - hk ) = - и;1 g (Z m (x^ 1 - x, )) = и;1 g(Z„ (W1- 1(Zm (О , )))■
Следовательно, ° ,і і = - W1(Zm ° , » і 'g(Zm (W1 '(Zm ° , Ж x) ■
i = 1
Откуда получаем оценку
ь к+ Л В < С1112, \\ь ь 4 + с21н, II таЛг; ИгЬ 4 = (с1 + ^1 нт II таЛг; И Я2 И Ь 4 <
< (с1 + с2сз)|г, ||г |Ц к||В = С\г, ||г |Ц к||В •
По индукции получаем
ь, и в 4124 )*ы < с(сг,|1 г1. (22)
Из этой оценки следует сходимость последовательных приближений хк.
Обозначая х, = 1®п¥ хк и переходя в Т(хк)= -2,(хк -1)+S к пределу при к®¥ с учетом непрерывности операторов Т, 2, получаем, что х, решение сингулярно возмущенного
операторного уравнения Фредгольма. Из х, - хк = У Ц г и (22) получаем оценку (20),
г= к+ 1
что и требовалось доказать.
Из доказательства теоремы видно, что ||хк||в < сЦх0||В . Переходя в этом неравенстве
при каждом , е и, 0 п и0 к пределу при к®¥, получаем оценку решения сингулярного
возмущенного операторного уравнения Фредгольма 1Ы1< сЛх0В, ,е и, 0 п и0.
Из (8) с учетом И = (^)(5))”= 1 , непрерывности g(г) и оценки ||н, || ^ с2|г, ||г , получаем
\\хЛ< 4АИ^1. (23)
Проведенные ранее рассуждения остаются, очевидно, справедливыми и в случае, когда S зависит от ,. Поэтому для уравнения
Т(х)+1,(х^, , (24)
где S;: Ц®В справедлива теорема 5.
Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3 и, кроме того, существуют такие постоянная с > 0 и функционал у ^ ) : и, 0 ® К, что
|К||В £ су (, X , е и, 0 п и0. (25)
Тогда существует такая окрестность и, 0 с и, 0 точки , что уравнение (24) имеет
единственное решение х,, причем справедлива оценка
IIх, IВ - с\\г, 11/У (, ), , е и/,0 п и0. (26)
В следующей работе нами будут предложены различные схемы последовательных
приближений для операторного уравнения Фредгольма в случае, когда возмущение операторного уравнения Фредгольма представлено итерационными или асимптотическими приближениями.
Примечания: References:
1. Мамий Д.К., Лаврентьев А.В., Уртенов М.Х.
Сингулярно возмущенные операторные
уравнения Фредгольма // Труды ФОРА. 2008. № 1З. С. 22-2б. (URL: http://fora.adygnet.ru)
2. Канторович Л.В., Акилов Г.Н.
Функциональный анализ. М., 1977. 742 с.
1. Mamiy D.K., Lavrentiev A.V., Urtenov M.H.
Fredholm singular perturbed functional equations // Proc. FORA, 2008. No. 13. P. 22-26. (URL: http://fora.adygnet.ru)
2. Kantorovich L.V., Akilov G.N. The functional
analysis. M. 1977. 742 pp.
