CC BY
19
История создания и основные направления исследований теоретико-числового
метода в приближенном анализе Калина В. В.
Калина Вера Вячеславовна /Kalina Vera Vyacheslavovna - магистрант, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии,
Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого, г. Тула
Аннотация: статья посвящена достаточно молодому, развивающемуся направлению теории чисел -теоретико-числовому методу в приближенном анализе. Здесь раскрыты основные сведения об истории создания, а также основным направлениям исследований данного раздела.
Ключевые слова: теоретико-числовой метод в приближенном анализе.
Становление теоретико-числового метода в приближенном анализе, как раздела теории чисел, непосредственно связано с именем российского математика Н. М. Коробова. Именно с его первой работы «Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел», вышедшей в 1957 году, ведётся отсчёт теоретико-числового метода в приближенном анализе. Данная работа опиралась на глубокие оценки Г. Вейля рациональных тригонометрических сумм для простого модуля, которые потребовались при изучении введенных в этой работе Н. М. Коробовым новых сеток, названных им неравномерными.
В 1956 году в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР в рамках семинара по теоретикочисловому методу в приближенном анализе началось становление нового направления теории чисел. По словам Н. М. Коробова: «Заседание семинара проводилось под председательством одного из трех его руководителей - Н. С. Бахвалова (МГУ), Н. Н. Ченцова (ИПМ АН СССР) и Н. М. Коробова (МИ АН СССР)».
Интересен состав руководителей этого семинара. Н. М. Коробову шёл уже сороковой год, и он уже 4 года как был доктором физико-математических наук, а в 1955 году ему было присвоено звание профессора. Будущему академику Н. С. Бахвалову в то время было только 23 года, и он ещё работал над кандидатской диссертацией, которую защитил в 1958 году, а уже в 1964 году защитил докторскую диссертацию. Будущему дважды лауреату государственных премий Н. Н. Ченцову было 27 лет, и он тоже защитил свою кандидатскую диссертацию только в 1958 году, но уже в 1956 году был награжден орденом Трудового Красного Знамени за выполнение важных прикладных работ [1].
По словам доцента кафедры теологии Самарского государственного университета путей сообщения Е. А. Морозовой, вдовы Н. Н. Ченцова, инициатива организации такого семинара исходила от Николая Николаевича Ченцова, который в это время работал в группе И. М. Гельфанда, занимающейся вычислительными проблемами отечественного атомного проекта.
На Четвертом Всесоюзном математическом съезде в 1961 году в Ленинграде руководители докладывали о проделанной участниками семинара работе. От имени руководителей доклад делал Н. Н. Ченцов. В докладе приводился список публикаций из 27 наименований, из которых 12 в Докладах АН СССР [2].
В монографии Н. М. Коробова, опубликованной в 1963 г. (второе издание вышло в 2004 г.), отражены результаты работы семинара «трех К» за первые шесть лет. За рубежом этой проблеме были посвящены несколько монографий. Этот период времени и стал первым этапом истории развития теоретико-числового метода в приближенном анализе.
Можно констатировать, что уже на первом этапе определились следующие четыре основных направления исследований:
• построение многомерных теоретико-числовых квадратурных формул для периодических функций и методы периодизации задач численного интегрирования,
• построение многомерных интерполяционных формул периодических функций,
• построение теоретико-числовых методов решения интегральных уравнений,
• построение теоретико-числовых методов решения некоторых классов уравнений в частных производных [3].
Кроме этого к этим направлениям исследований следует отнести и пятое -
• построение различных многомерных теоретико-числовых сеток и оценка их отклонения.
Теория равномерного распределения по модулю 1 является идейной основой теоретико-числового метода в приближенном анализе.
В рамках теоретико-числового метода в приближенном анализе выделились два важных направления:
• свойства оптимальных коэффициентов и алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов;
• теория гиперболической дзета-функции решёток.
К ним примыкают ещё три направления, которые пока далеки от завершения:
• алгоритмы вычисления различных характеристик параллелепипедальных сеток;
• определение количества точек решетки в гиперболическом кресте;
• суммы дробных долей и из приложения [3].
В последние годы своей жизни Н. М. Коробов особое внимание уделял новому направлению исследований:
• специальные полиномы и их приложения к приближенному анализу.
В заключении хотелось бы отметить, что изучение истории развития теоретико-числового метода в приближенном анализе в настоящее время находится в стадии становления и требует дальнейших систематических исследований.
Литература
1. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М. Гиперболические дзета-функции сеток и решеток, диофантовы приближения, их приложения к многомерным квадратурным формулам и экономическая эффективность фундаментальных исследований // Актуальные вопросы управления социальноэкономическими системами: международная научно-практическая конференция. Тула: АНО ВПО «Институт экономики и управления». 2013. С. 127-140.
2. Реброва И. Ю. ПОИВС ТМК: история создания теоретико-числового метода в приближенном анализе // В сборнике: Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения Материалы XII Международной конференции, посвященной 80-летию профессора Виктора Николаевича Латышева. 2014.
3. Бочарова Л. П., Добровольский Н. М., Реброва И. Ю. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе: проблемы и достижения // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8. №4.
