CC BY
112013
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика Вып. 1(13)
УДК 517.941.1; 532.529.5
Исследования устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости
К. Г. Шварц
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 kosch@psu.ru; (342) 2396409
Представлен обзор статей, посвященных описанию адвективных течений в плоском горизонтальном вращающемся слое несжимаемой жидкости. Рассмотрены проблемы устойчивости таких течений и использования их для вывода квазидвумерных моделей неизотермических течений во вращающемся тонком слое.
Ключевые слова: адвективные течения; устойчивость; двумерные модели.
Введение
Адвекция (от лат. асЬесИо - доставка) -это горизонтальное перемещение воздушных масс и влаги в атмосфере или водных масс в водоеме из одного района в другой. Различают адвекцию воздушных масс, тепла, водяного пара, адвективных туманов, гроз, заморозков.
Адвекция тепла или холода - локальное повышение или понижение температуры воздуха под влиянием горизонтального переноса.
Вместе с воздухом или водой происходит одновременно адвекция тепла, взвешенных и растворимых веществ. Адвекция проявляется обычно в форме разнообразных течений [1].
Адвективными называют течения жидкости или газа, которые вызываются горизонтальным градиентом плотности. Они отличаются от конвективных течений тем, что скорость потока перпендикулярна действию сил тяжести и плавучести [2]. Они по существу являются частным случаем термогравитационной свободной конвекции и отличаются от конвективных течений тем, что скорость потока перпендикулярна действию сил тяжести и плавучести.
©Шварц К. Г., 2013.
Работа выполнена в рамках тематического плана НИР ПГНИУ № 5.5061.2011 "Математическое моделирование мезомасштабных атмосферных процессов переноса вредных примесей от нестационарных тепловых источников".
Адвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости при отсутствии вращения для случая, когда температура на обеих границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые описано аналитически Остроумовым Г.А. [3]. Особенностью течения является отсутствие вертикальной компоненты скорости, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, которая является основной причиной движения. Это свойство адвективного течения сохраняется при различном выборе граничных условий для скорости [4]. В [5] представлены геофизические приложения этих течений. Подробный обзор работ, в которых определены различные механизмы неустойчивости плоскопараллельных адвективных течений для случая твердых, свободных границ, а также при наличии теплоотдачи с поверхности по закону Ньютона, для теплоизолированных границ был представлен в монографии [2].
1. Адвективные течения во вращающемся слое жидкости
Адвективное течение, возникающее во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости, в котором ось вращения совпадает с точностью до знака с вертикальной осью координат, для случая, когда температура на границах линейно изменяется с продольной
координатой, было впервые описано аналитически как точное решение уравнений Навье -Стокса в приближении Буссинеска Аристовым С.Н. [6-9]. Как и в случае без вращения, у течения отсутствует вертикальная компонента скорости, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, однако имеются обе горизонтальные компоненты вектора скорости. Адвективное течение имеет экмановскую спиралевидную форму [10]. Можно утверждать, что указанный класс адвективных течений наряду с течением Эк-мана описывает основное течение в атмосфере и океане.
В монографии [ 11 ] было описано аналитически семейство замкнутых адвективных течений во вращающемся горизонтальном слое несжимаемой жидкости при различных граничных условиях. Представлены адвективные течения в плоском слое жидкости с обеими твердыми границами, со свободной верхней границей (с учетом и без учета термокапиллярных эффектов), адвективное течение Экмана, адвективное течение во вращающемся слое проводящей жидкости, в плоском слое стратифицированной жидкости, адвективное течение в свободной атмосфере и адвективные течения во вращающемся слое жидкости в вибрационном поле.
Рис. 1. Плоский горизонтальный слой жидкости, вращающийся с постоянной угловой скоростью
Так, в слое с твердыми границами (рис.1) горизонтальные компоненты скорости и температура Т описываются
следующим образом [12-14]:
зЬ(/1г)
и0(г) + п> о (7)-
_1_
Л2
-2
Т = х +
Яа
л/ть"0
(1)
(2)
где Яа - число Рэлея [2], Та - число Тейлора, Л = ^0.25Та(1 + г), / = V-Т . Профили
компонент скорости и0(г), у0 (г) и, соответственно, т0(г) являются антисимметричными относительно оси г (рис. 2, 3). Они описывают движение типа спирали Экмана, что иллюстрирует годограф вектора скорости на рис. 4. Профиль температуры позволяет говорить о том, что вдоль слоя формируются два тепловых потока, направленных в противоположные стороны. С ростом числа Тейлора вблизи твердых границ образуются пограничные слои скорости и температуры.
иг
Рис. 2. Зависимость компоненты скорости и0 от продольной координаты и числа Тейлора
К. Г. Шварц
где
Рис. 3. Зависимость компоненты скорости У0 от продольной координаты и числа Тейлора
ІІП
Рис. 4. Годограф вектора скорости при Та -105
В случае продольной вибрации во вращающемся горизонтальном слое жидкости адвективное течение описывается как
ио(г) -
v0(z) = Г0(*) =
1
д/Та + Кау
4Та Та + Яау Ка
1т у; (г),
Та + Яа,,
[^-Ке/і(2)], [г-Ке/,(*)],
(3)
1 + / Ж
Аг
1-й
Ж
Л = фга + На у , 11а у - вибрационный аналог числа Рэлея [15]. Профили компонент скорости с точностью до множителей совпадают с соответствующими профилями (1). Таким образом, продольная вибрация здесь является в некотором смысле частным случаем вращения ("одномерным вращением").
В отсутствии вращения все адвективные течения плоскопараллельные. При наличии вращения они перестраиваются, появляется вторая компонента скорости \70, которая увеличивается с ростом числа Тейлора. Начиная с некоторого Та, значение которого зависит от граничных условий, У0(г) достигает
максимального значения и начинает монотонно убывать вместе с первой компонентой скорости и0{г).
В работах [16, 17] описаны нестационарные адвективные течения во вращающемся плоском слое несжимаемой жидкости и адвективное течение стратифицированной жидкости.
2. Устойчивость адвективных течений
Устойчивость адвективных течений во вращающемся слое жидкости изучается сравнительно недавно. Исследование спектра малых нормальных возмущений конвективных течений и их линейной устойчивости сводится, как правило, к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами и малыми параметрами при старших производных [2]. Наиболее распространенными численными методами решения таких задач являются метод Галеркина, метод пошагового интегрирования с ортогона-лизацией и метод дифференциальной прогонки [17]. Исследование линейной устойчивости течений относится к классу жестких задач, когда для устойчивости вычислительного метода требуемые условия на шаг интегрирования более жесткие, чем это требует точность расчетов. Поэтому решать задачу целесообразнее с помощью методов, приспособленных к условиям жесткости [18, 19]. В частности, рекомендуется выбирать неявные методы, применение которых для линейных задач не вызывает больших затруднений.
В работах [20, 21] представлена новая методика решения задачи линейной теории устойчивости путем сведения ее к начальнокраевой задаче для системы линейных одномерных уравнений в частных производных, которая решается затем методом сеток. Исследовалась устойчивость адвективного течения несжимаемой жидкости во вращающемся горизонтальном слое с твердыми границами при значении числа Прандтля (Рг), равного 6.7 (вода). Рассматривались пространственные винтовые периодические по д: возмущения в виде валов с осью, перпендикулярной к оси X, и пространственные спиральные периодические по у возмущения в виде валов с осью, параллельной оси X. Заметим, что при отсутствии вращения винтовые возмущения вырождаются в плоские. Были построены нейтральные кривые для винтовых и спиральных возмущений при различных значениях числа Тейлора. Вращение стабилизирует адвективное течение, неустойчивость имеет колебательный характер. Анализ нейтральных кривых для обоих случаев показал, что при малых значениях числа Тейлора наиболее опасными являются спиральные возмущения, а при Та >60 - винтовые пространственные возмущения. В [22-24] показано, что вращение приводит к возникновению надкритичных возмущений в виде нестационарных, винтообразных трехмерных вихрей, расположенных в потенциально неустойчивых зонах температуры и движущихся периодически вдоль границ слоя. С ростом числа Тейлора, при быстром вращении вихри локализуются вблизи горизонтальных границ.
В работах [25-27] на основе расчетов, проведенных в интервале 0 < Та < 105, оценено влияние вращения на устойчивость адвективного течения в плоском слое с твердыми границами при малом числе Прандтля Рг = 0.1 для гидродинамической моды. Вращение не поменяет монотонный характер неустойчивости, оно стабилизирует течение за исключением небольшого интервала числа Тейлора (279 < Та < 550). Конечно-ампли-тудные возмущения температуры представляют собой систему чередующихся теплых и холодных пятен, расположенных вдоль слоя. С ростом числа Тейлора их вертикальные размеры уменьшаются. При 0 <Та< 279 жидкость в верхней половине слоя холоднее, чем в нижней, а при Та >279 , наоборот, оно теп-
лее в верхней половине слоя. Возмущения движения представляют собой систему стационарных пространственных вихрей, положение, количество и размер которых меняется в зависимости от числа Тейлора. В интервале 50 < Та < 295 эти вихри нестационарные. В работе [28] исследование устойчивости данного течения проводилось методом дифференциальной прогонки, полученные результаты согласуются с результатами работ [25-27].
В работе [29] исследуется устойчивость адвективного течения во вращающемся слое жидкости со свободной недеформируемой верхней границей при Рг = 6.1. Численные расчеты показали, что развивающаяся неустойчивость имеет колебательный характер, вращение стабилизирует течение, винтовые возмущения являются опаснее спиральных.
Устойчивость термокапиллярного адвективного течения, возникающего в слабо-вращающемся слое несжимающейся жидкости со свободными границами в условиях невесомости, исследуется в работах [30-32] при Рг = 6.7 и Рг = 0.1. Обе свободные границы считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони и имеется теплоотдача по закону Ньютона, температура среды вблизи границ слоя является линейной функцией координат. Ось вращения перпендикулярна слою жидкости, слабое вращение позволяет пренебрегать центробежной силой. При Рг = 6.7 неустойчивость имеет как монотонный, так и колебательный характер. За порогом устойчивости в случае монотонной линейной неустойчивости формируются стационарные, а в случае колебательной неустойчивости нестационарные периодические конечно-амплитудные возмущения скорости и температуры в виде системы пространственных вихрей и температурных пятен. Вычисления, проведенные для случая малого значения числа Прандля Рг = 0.1, 0 < Та < 30 и 0 < В1 < 1, показали монотонный характер неустойчивости винтовых возмущений. Начиная с Та >6.5, вращение стабилизирует термокапиллярное течение. Конечно-амплитудные возмущения температуры, возникающие для чисел Марангони (Мп) выше критических, представляют систему чередующихся теплых и холодных пятен, расположенных вдоль слоя. С ростом Мп холодные и теплые пятна последовательно меняют свое местоположение. Движение
вых возмущений. Начиная с Та 1 6.5, вращение стабилизирует термокапиллярное течение. Конечно-амплитудные возмущения температуры, возникающие для чисел Марангони {Мп) выше критических, представляют систему чередующихся теплых и холодных пятна, расположенных вдоль слоя. С ростом Мп холодные и теплые пятна последовательно меняют свое местоположение. Движение представляет собой пару вихрей, их место, количество, и размер изменяется с ростом числа Марангони.
3. Использование адвективных течений для вывода квазидвумерных моделей в тонком слое жидкости или газа
В монографии [33] представлена проце-дура вывода семейства квазидвумерных моде-лей, описывающих адвективные течения во вращающемся тонком слое жидкости. Это является развитием теории "мелкой воды" [34] для вязкой неизотермической жидкости. Двумерная модель получается из исходной трехмерной модели путем ее усреднения поперек слоя. Для замыкания двумерной модели используются точные решения уравнений Навье - Стокса, описывающие адвективные течения в плоском горизонтальном вращающемся слое. Вид окончательных уравнений зависит, в первую очередь, от граничных условий на верхней и нижней границе слоя.
Были получены двумерные модели термокапиллярных течений, адвективных течений и МГД-течений во вращающемся слое несжимаемой жидкости [7]. В работах [35-38] выведена модель крупномасштабных течений в океане, исследуется механизм отрыва течения Гольфстрим от западного берега Американского континента под действием неоднородного горизонтального нагрева. В работе [39] представлена модель, описывающая воздействие солеобмена на формирование основного черноморского течения (ОЧТ). В работах [40-45] представлены модели, описывающие влияние неоднородного нагрева на атмосферные мезомасштабные процессы переноса примеси в окрестностях городов Пермь, Березники, Киров. Моделирование процессов переноса примеси в свободной атмосфере рассматривается в [46, 47]. Работы [48-54] по-
священы моделированию процессов переноса примеси в нижнем слое атмосферы, связанных с выбросами большой мощности при аномальном температурном нагреве или при наличии мощного источника испаряемой жидкости. В работе [55] моделируются атмосферные мезомасштабные процессы переноса многокомпонентной примеси при торфяном пожаре в районе Краснокамска.
Заключение
Класс точных решений уравнений Навье - Стокса в приближении Буссинеска, описывающий замкнутые адвективные течения во вращающемся горизонтальном слое несжимаемой жидкости, выведен для различных граничных условий для скорости и температуры. Исследована устойчивость самых простых течений из этого класса. Важность изучения этих течений связана прежде всего с их геофизическими приложениями.
Список литературы
1. Геоэкология и природопользование: поня-
тийно-терминол. сл. / авт.-сост. Козин В.В., Петровский В.А. Смоленск: Ойкумена,
2005. 574 с.
2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
3. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гостехиз-дат, 1952. 256 с.
4. Андреев В.К. Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения. Препринт №1-10. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010.68 с.
5. Кирдяшкин А.Г. Тепловые гравитационные течения и теплообмен в астеносфере. Новосибирск: Наука, 1989. 81 с.
6. Аристов С.Н., Зимин В.Д. Адвективные волны во вращающемся шаровом слое. Препринт. Свердловск: ИМСС УНЦ АН СССР, 1986. 50 с.
7. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости. Препринт. Свердловск: ИМСС УрО АН СССР, 1987. 47 с.
8. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: автореф. дис. ... д.ф.-м.н. Владивосток: ИАПУ, 1990. 32 с.
9. Аристов С.Н., Шварц К.Г., Ямшинина Ю.А., Зеленина В.Г., Ачылова С.Д., Скулъ-ский О.И. Вихревые течения в вязкой жидкости: двумерные модели и точные решения // Информационный бюллетень РФФИ.
1999. Т. 7, № 1. С.12.
10. Ekman V.W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents // Arkiv Mat., Astr. Phys. 1905. Vol.2, №11. P. 1-53.
11. Аристов C.H., Шварц КГ. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости // Перм. гос. ун-т. Пермь, 2006. 155 с.
12. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Об устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №5. С. 3-11.
13. Aristov S.N, Shvartz KG. Stability of the Advective Flow in a Horizontal Fluid Layer // Fluid Dynamics. 1999. Vol. 34, № 4. P. 457-464.
14. Schwarz KG. About one class of closed advective flows in a rotated liquid layer // International Conference "Fluxes and structures in Fluids", July 02-05, 2007, St.-Petersburg, Abstracts. P. 109-111.
15. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Плоско-параллельные адвективные течения в вибрационном поле // Инженерно-физический журнал, 1989. Т. 56, № 2. С. 238-242.
16. Аристов С.Н., Шварц КГ. Крупно-
масштабные адвективные течения во вращающейся стратифицированной
жидкости // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 1997. Вып. 1. С. 77-83.
17. Аристов С.Н., Шварц КГ. Нестационарные адвективные течения во вращающейся жидкости // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 1997. Вып.1. С. 84-99.
18. Голъдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.
19. Деккер К, Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 334 с.
20. Шварц КГ. Численные методы. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: курс лекций. Изд. 2-е испр. / Пермь, Перм. гос. ун-т. 2008. 86 с.
21. Шварц КГ. Адвективные течения во вращающемся слое жидкости или газа: авто-реф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. Пермь, 2000. 32 с.
22. Тарунин Е.Л., Шварц КГ. Исследование линейной устойчивости адвективного течения методом сеток // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, № 6. С. 108-117.
23. Шварц КГ. Конечно-амплитудные пространственные возмущения адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости // Вычислительные технологии. 2001. Т.6. Спец. выпуск. 4.2. Тр. Меж-дунар. конф. RDAMM-2001. С. 702-707.
24. Schwarz K.G. Instability of Advective Flow in Rotating Horizontal Layer of Liquid // Selected Papers of the International conference "Fluxes and Structures in Fluids". St. Petersburg, Russia, June 23-26, 2003. Moscow. IPM RAS. 2004. P. 164-171.
25. Shvarts K. G. The stability of advective flow in rotating liquid layer for a small Prandtl number // Proc. of International Conference MSS-04 "Mode Conversion, Coherent structures and Turbulence", Moscow 23-25 Nov. 2004. P. 319-325.
26. Шварц КГ. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости при малом значении числа Прандтля // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. №2. С. 29-38.
27. Schwarz KG. Effect of Rotation on the Stability of Advective Flow in a Horizontal Fluid Layer at a Small Prandtl Number // Fluid Dynamics. 2005. Vol. 40, № 2. P. 193-201.
28. Чикулаев Д.Г., Шварц КГ. Исследование линейной устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости с твердыми границами методом дифференциальной прогонки // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7). С. 42-46.
29. Shvarts K.G., Boudlal A. Effect of rotation on stability of advective flow in horizontal liquid layer with a free upper boundary // Journal of Physics: Conference Series. 2010. Vol. 216, №1. 012005 (14pp).
30. Шварц КГ. Устойчивость термокапиллярного адвективного течения в медленно вращающемся слое жидкости в условиях невесомости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012. №1. С. 44-58.
31. Schwarz К. G. Stability of Thermocapillary Advective Flow in a Slowly Rotating Liquid Layer under Microgravity Conditions // Fluid Dynamics. 2012. Vol.47, №1. P. 37-49.
32. Shvarts K. G. Influence of slow rotation on the stability of a thermocapillary incompressible liquid flow in an infinite layer under zero-gravity conditions for small Prandtl number // Fluid Dynamics Research. 2012. Vol. 44, № 3. 031416 (14pp).
33. Аристов C.H., Шварц КГ. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. Киров: ВятГУ, 2011.207 с.
34. Волъцингер Н.Е. Длинные волны на мелкой воде. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 160 с.
35. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Двумерная модель крупномасштабных течений в океане / Перм. ун-т. 1989. 17 с. Деп. в ВИНИТИ № 3003-В89.
36. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Двумерная модель крупномасштабных течений в океане // Океанология. 1989. Т.29, вып.6. С. 951.
37. Аристов С.Н., Шварц КГ. Эволюция ветровой циркуляции в неизотермическом океане // Океанология. 1990. Т. 30, вып. 4. С.562-566.
38. Aristov S.N., Shvarts KG. Evolution of wind circulation in a nonisothermal ocean // Oceanology. 1990. Vol. 30, № 4. P. 414-416.
39. Аристов C.H., Шварц КГ. О влиянии со-леобмена на циркуляцию жидкости в замкнутом водоеме // Морской гидрофизический журнал. 1990. № 4. С. 38-42.
40. Шварц К.Г., Шкляев В.А. Моделирование мезомасштабных атмосферных процессов над большим городом // Метеорология и гидрология. 1994. № 9. С. 29-38.
41. Shvarts К. G., Shklyaev В. A. Modeling of mesoscale atmospheric processes over a large town // Russian Meteorology and Hydrology. 1994. №9. P. 21-29.
42. Шварц КГ. Двумерная модель мезомасштабных атмосферных процессов над крупным промышленным городом // Вычислительные технологии: сб. науч. тр. / ИВТ РАН. Новосибирск, 1995. № 13. С.326-335.
43. Schwarz К. G. Mesa-Scale Flows over Large City // in H.Branover and Y.Unger (eds.), Progress in Fluid Flow Research: Turbulence and Applied MHD, AIAA Progr. Ser. 182. 1998. P.271-279.
44. Шатров A.B., Шварц КГ. Численное моделирование атмосферных мезомасштабных процессов переноса примесей в окрестности города Кирова // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, № 3. С. 117-125.
45. Shatrov A.V. and Shvarts KG. Numerical Modeling of Mesoscale Atmospheric Impurity Transport Processes in the Environs of the City of Kirov // Fluid Dynamics. 2011. Vol.46, № 2. P. 332-339.
46. Шварц К Г., Шкляев В.А. Моделирование процессов переноса примеси в свободной атмосфере с помощью квазитрехмерной модели // Метеорология и гидрология.
2000. №8. С. 44-54.
47. Shvarts K.G., Shklyaev V.A. Modeling the pollution transport in the free atmosphere with a quasi-3D model // Russian Meteorology and Hydrology. 2000. №8. P. 18-26.
48. Шкляев В.А., Шварц КГ. и др. Моделирование регионального переноса примеси в атмосфере в результате аварий и катастроф техногенного и природного характера. Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результаты научных исследований, полученных в 2002 г. Аннотационный отчет: Пермь, ПНЦУрО РАН, 2003. С. 300-304.
49. Шкляев В.А., Шварц КГ. и др. Моделирование регионального переноса примеси в атмосфере в результате аварий и катастроф техногенного и природного характера. Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результаты научных исследований, полученных в 2003 г. Аннотационный отчет: Пермь, ПНЦ УрО РАН, 2004. С. 246-249.
50. Шварц К.Г., Шкляев В.А., Шварц Ю.А. Математическое моделирование процессов распространения примеси от мощного источника тепла при промышленных авариях или природных катастрофах // Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результаты научных исследований, полученных в 2007 г. Сб. ст. 4.1. Пермь, ПНЦ УрО РАН, 2008. С.157-159.
51. Шварц К.Г., Шкляев В.А. Численное моделирование мезомасштабных вихревых структур вблизи мощного горячего источника примеси в пограничном слое атмосферы // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т.1, №1. С. 96-106.
52. Шварц К.Г., Шкляев В.А., Шварц Ю.А. Математическое моделирование процессов рас-
пространения примеси от мощного источника тепла при промышленных авариях или природных катастрофах // Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результаты научных исследований, полученных в 2007-2009 гг. Сб. ст.: 4.1. Пермь, ПНЦ УрО РАН, 2010. С. 190-194.
53. Шкляев В.А., Шварц КГ. Моделирование процессов переноса примеси в нижнем слое атмосферы, связанных с выбросами большой мощности при аномальном температурном нагреве // Вестник Удмуртского университета. Сер. 6: Биология. Науки о Земле. 2010. Вып. 4. С. 156-159.
54. Шварц К.Г., Шкляев В.А. Особенности распространения загрязняющих веществ в атмосфере при наличии мощного источника испаряемой жидкости // Вестник Удмуртского университета. Сер. 6: Биология.
1. Науки о Земле. 2010. Вып. 4. С. 174— 176.
55. Шварц К.Г., Шкляев В.А. Численное моделирование атмосферных мезомасштабных процессов переноса многокомпонентной примеси при торфяном пожаре // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5, №3. С. 274-283.
Investigation of the stability of advective flows in a rotating fluid layer
K. G. Shvarts
Perni State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva St., 15 kosch@psu.ru ; (342) 2 396 409
A review of the papers, dedicated the description of advective flows in a flat horizontal rotating layer of incompressible liquid. The problem of stability of such flows and the using them to display of quasi-two-dimensional no isothermal models of flows in rotating thin layer is considered.
Key words: advective flow; the stability of the flow; two-dimensional model.
