Исследование линейной устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости с твердыми границами методом дифференциальной прогонки Текст научной статьи по специальности «Физика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып.3(7)

УДК 532.15.013.4:536.252

Исследование линейной устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости с твердыми границами методом дифференциальной прогонки

Д. Г. Чикулаев, К. Г. Шварц

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 milanissimo.italy@gmail.com; (342) 239-64-09

Представлена методика исследования линейной устойчивости относительно нормальных возмущений адвективного течения во вращающемся слое жидкости с твердыми границами методом дифференциальной прогонки. Сформулирована краевая задача для амплитуд возмущений скорости и температуры в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты расчетов совпадают с аналогичными результатами, полученными с помощью метода сеток.

Ключевые слова: адвективные течения; устойчивость; метод дифференциальной прогонки.

Введение

Одной из важнейших задач гидродинамики является исследование устойчивости конвективных и адвективных течений жидкости, которые могут быть описаны аналитически [1, 2]. Широкое распространение в задачах устойчивости конвективных и адвективных течений получили метод Галёркина, метод пошагового интегрирования с ортогона-лизацией, метод дифференциальной прогонки и метод сеток. В первых трех случаях задача устойчивости сводится к многократному решению краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. В последнем случае решается краевая задача для одномерной системы уравнений в частных производных.

Адвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости при отсутствии вращения для случая, когда температура на обеих границах линейно изменя-

© Д. Г. Чикулаев, К. Г. Шварц, 2011

ется с продольной координатой, было впервые описано Р.В.Бирихом аналитически [3]. Особенностью такого течения является отсутствие вертикальной компоненты скорости, вектор скорости в потоке здесь ориентирован перпендикулярно силе плавучести, которая является основной причиной движения. Устойчивость таких течений, возникающих в горизонтальном слое жидкости при отсутствии вращения, исследовалась в основном методом дифференциальной прогонки и изучена достаточно подробно в работах В.М.Мыз-никова совместно с другими авторами [1].

Адвективное течение, возникающее во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости, для случая, когда температура на границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые выведено аналитически С.Н.Аристовым [4]. Как и в случае без вращения, у адвективного течения отсутствует вертикальная компонента скорости, вектор скорости в потоке ориентирован пер-

пендикулярно силе плавучести, однако имеются обе горизонтальные компоненты вектора скорости. Устойчивость адвективного течения, возникающего во вращающемся горизонтальном слое жидкости, исследовалась К.Г.Шварцем с использованием метода сеток в работах [5, 6].

В данной работе исследуется устойчивость адвективного течения во вращающемся слое жидкости с малым числом Прандтля (Рг = 0.1) методом дифференциальной прогонки. Результаты сравниваются с результатами, полученными методом сеток в работе

[7].

1. Постановка задачи

Рассмотрим плоский горизонтальный слой несжимаемой жидкости, ограниченный твёрдыми плоскостями г = ±h и вращающийся с постоянной угловой скоростью О = О0 ,

где - орт-вектор вертикальной оси г. Направление оси вращения совпадает с вертикальной осью координат. Изучение адвективных течений будем производить на основе уравнений конвекции в приближении Бусси-неска во вращающейся системе отсчета в декартовой системе координат [1]. Выбрав в качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и давления соответственно h, h2 /у , gPAh2 /у , Ah , р0 gPAh2 (здесь V - коэффициент вязкости, g - ускорение силы тяжести, 3 -

коэффициент теплового расширения, А -постоянный горизонтальный температурный градиент на границе слоя, р0 - средняя плотность), мы получим исходные уравнения в безразмерном виде [5]:

+ Gr(уУу)+ -УТа (г х у) = -Ур + Ау + Т • ,

div V = 0,

— + Gr (уУТ )= — АТ, дґ Рг

(1)

где V - вектор скорости, Т - температура, р

- давление, Gr = gPAh4/у2 - число Грасго-

фа, Та = (20 0 h2 /у)2 - число Тейлора,

Рг =у/% - число Прандтля. Здесь % - коэффициент температуропроводности. На обеих

плоскостях задана температура, линейно меняющаяся с продольной координатой х, условия прилипания и замкнутости потока

1 1

г = ±1: Т = х, V = 0, |у^г = 0, |у^г = 0. (2) -1 -1

Профили скорости и температуры возникающего адвективного течения описываются в виде точного решения задачи

(1)-(2) [5]

и 0(г )^^=1га /1(г),

-41а

У0(г) = ~^= (г - Ке /1(г)),

V 1а

wn

(z) = 0, Т0 = х + GrPrт0 (г),

(3)

Т0 (г) = “7= V0 (г^

V 1а

»’=%■-# ,

где и0 (г), v0 (г) и w0 (г) - компоненты вектора скорости, Re - действительная часть комплексного значения, 1т - мнимая часть комплексного значения.

Для исследования устойчивости стационарного плоскопараллельного адвективного течения применим метод малых возмущений [1]. Рассмотрим возмущенное течение

V = v0 + V, Т = Т0 + 6 , р = р0 + Р, где V ,6 , Р - малые нестационарные возмущения. Пренебрегаем квадратичными по V = (и,V, w) и в слагаемыми и получаем дv

+ Gr + V у^)+4Та (Тг х V)=

дґ

= -ур + /V+в • Тг

div V = 0,

(4)

— + Gr (кУТ0 + у0 Ув)= — Ав.

& Х ’ Рг

На твердых границах слоя возмущения скорости обращаются в нуль. Кроме того, будем считать, что ограничивающие слой пластины являются идеально теплопроводными; практически это означает, что теплопроводность материала, из которого изготовлены пластины, много больше теплопроводности жидкости. Отсюда следует, что на границах исчеза-

ют возмущения температуры. Имеем, таким образом, граничные условия для возмущений

г = ±1: V = 0, в = 0. (5)

В силу большой сложности исследования устойчивости течения в трехмерной постановке будем рассматривать предельный случай - пространственные винтовые периодические по х возмущения в виде валов с осью, перпендикулярной оси Ох при Рг = 0.1 в случае возмущений гидродинамического типа.

Учитывая дивергентность возмущений скорости, введем функцию тока возмуще-

дш дш

ний ш : и =------, ^ =-----и вихря возму-

дг дх

Г А ТЛ

щения скорости р = ^ 2 +------------— = А^ . В каче-

д ш д2ш

дх2 дг2

стве малых возмущений рассматриваем нормальные возмущения вида

р(ґ, х, г) = р1 (г )ехр(- Лґ + 7^хх), і//(ґ, х, г) = у/1 (г )ехр(- Лґ + ikхх), v(t■ х, г) = v1 (г )ехр(- Лґ + ikхх), в(ґ, х, г) = 61 (г )ехр(- Лґ + 7^хх).

(6)

Здесь рА(г), Ш\(г), V (г), в1 (г) - амплитуды возмущений, Л - декремент возмущений, kx

- вещественное волновое число, характеризующее периодичность возмущений вдоль направления х .

Подставляя (6) в (4) и избавляясь от давления, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

р' = рм ( = 1,2,3,5,7), р'4 = (2k2 + ikxGr • и0 - Лр3 +

+ (- К - ^х^(!С1и0 + и0()+ ^Лрр1 +

+ (- 4Та )р + ^хРт, р6 =4Тар2 + (- ^г • у0 )Р1 +

+ (^ + ^х^ • и0 - Лр

: GrPrр2 + (- kxGr2 Рг 2т'0 )р +

(8)

+ (^ + \kJGr • и0 - ЛРг р7

с граничными условиями (5) в виде

г = ±1: р = Р2 = Р5 = Р7 = 0. (9)

Здесь Р] = К1 ^ Р2 = ^ Рз = К ^ Р4 = К' ^

Р5 = V1■ Рб = V'' ^ Р7 = 6 Р8 = 61 .

Краевая задача (8)-(9) решалась методом дифференциальной прогонки с помощью пакета прикладных программ "Гидродинамическая устойчивость" [8].

2. Анализ результатов

Проводились тестовые расчёты для случая отсутствия вращения, которые полностью совпали с результатами работы Мызникова

[1, 9].

Анализ устойчивости производился для случаев очень слабого вращения (0 < Та < 0.1), слабого вращения

(0.1 <Та < 102), умеренного вращения (102 < Та < 103) и быстрого вращения (103 < Та < 2 • 104). При всех значениях числа Тейлора наблюдался монотонный характер неустойчивости, мнимая часть декремента Л равнялась нулю.

Для значений числа Тейлора, близких к нулю, минимальное критическое значение числа Грасгофа (Огк) достигается при

kx = 1,29 . На рис. 1 представлена нейтральная кривая при Та = 10-12, Grk = 794,12 .

Рис. 1. Нейтральная кривая при очень слабом вращении (Та=10-12)

При слабом вращении основные расчеты проводились при Та = 1. Результаты показали, что минимальное критическое значение

числа Грасгофа достигается при kx = 1,28 .

Критические значения числа Грасгофа, вычисленные с различной точностью интегрирования, представлены в табл. 1.

Таблица 1. Grk для различной точности

интегрирования при слабом вращении

є Gr 5

10-1 810,28 1,29%

10-2 817,81 0,36%

10-3 820,25 0,06%

10-4 820,50 0,03%

10-5 820,52 0,0280%

10-6 820,523 0,0276%

Оптимальная точность интегрирования порядка 10 4, так как разница с результатами более высокой точности невелика, а экономия времени, по сравнению с решением, полученным при большей точности, очень существенна. Разница между результатами работы [5] составляет менее 0,03%. Время работы программы при вычислении критического числа Грасгофа с различной точностью интегрирования при кх = 1,28 представлено в табл. 2.

Таблица 2. Время работы программы

при различной точности интегрирования

є 10-4 10-5 10 -6

Время работы программы 7 с. 74 с. 768 с.

С ростом числа Тейлора критическое число Грасгофа растет, вращение стабилизирует адвективные течения.

При умеренном вращении устойчивость течения снижается. Основные расчеты проводились при Та = 500. Критическое значение числа Грасгофа достигается при kx = 0,99.

Критические значения числа Грасгофа, вычисленные с различной точностью интегрирования, представлены в табл. 3.

Таблица 3. Grk для различной точности

интегрирования при умеренном вращении

є Gr 5

10-1 1527,86 5,92%

10-2 1439,91 0,17%

10-3 1437,73 0,19%

10-4 1437.40 0,0035%

10-5 1437.37 0,0055%

10-6 1437.365 0,0059 %

Разница между результатами работы [5] составляет менее 0,006%. В этом случае нейтральная кривая имеет специфическую форму "носика" (см. рис. 2).

При быстром вращении основные расчёты проводились при Та = 20000 . Критическое значение числа Грасгофа

(Grk = 12055,25) достигается при kx = 3,7.

Разница между расчетами, полученными методом дифференциальной прогонки и методом сеток, также составляла менее 0,006%. С ростом числа Тейлора вращение стабилизирует адвективное течение.

7400.00

6400.00

О 5400,00

О •

и

о

а

о 4400,00

Ч

и

£ 3400,00

2400.00

1400.00

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,2(

к„, волновое число

Рис. 2. Нейтральная кривая при умеренном вращении (Та=500)

Заключение

Расчеты показали, что вращение не меняет монотонный характер адвективного течения для всего рассматриваемого диапазона чисел Тейлора. Результаты, полученные методом дифференциальной прогонки, согласуются с результатами работы [5], что свидетельствует о работоспособности разработанного алгоритма и возможности его дальнейшего применении.

Список литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

2. Тарунин Е.Л., Шварц К.Г. Исследование линейной устойчивости адвективного течения методом сеток // Вычислительные технологии. 2001. Т.6, №6. С. 108—117.

3. Бирих Р.В. О термокапилярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Журн. ПМТФ. 1966. №3. С.69-72.

4. Аристов С.Н., Зимин В.Д. Адвективные волны во вращающемся шаровом слое: препринт / АН СССР, Урал. науч. центр. Ин-т механики сплошных сред. Свердловск, 1986. 50 с.

5. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2006. 154 с.

6. Shvarts K.G., Boudlal A. Effect of rotation on

stability of advective flow in horizontal liquid layer with a free upper boundary // Journal of Physics: Conference Series. 2010.Vol. 216, №.1. P.1-14.

7. Шварц К.Г. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонталь-

ном слое жидкости при малом значении числа Прандтля // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. №2. С.29-38.

8. Сорокин Л.Е. Исследование устойчивости течений и равновесия жидкости с помощью ППП "Гидродинамическая устойчивость" / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2006. 36 с.

9. Gershuni G.Z. and other. On the stability of plane-parallel advective flows in long horizontal layer // Micrigravity Q. 1992. Vol.2. №.3. P. 141-151.

Investigation of the advective flow linear stability in rotated horizontal liquid layer with solid boundaries by differential sweep method

D. G. Chikulaev, K. G. Shvarts

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 milanissimo.italy@gmail.com; (342) 239-64-09

The methodology of linear stability investigation relatively normal disturbations of advective flow with solid boundaries by differential sweep method is presented. The boundary problem for amplitude disturbations of velocity and temperature as the system of ordinary differential equations is formed. The results of calculations coincide with similar results which were obtained by grid method.

Key words: advective flows; stability; differential sweep method.