Исследование жесткости пространственного манипулятора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01 А.Х. Шамутдинов

Омский государственный технический университет, г. Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МАНИПУЛЯТОРА

Рассмотрим только оригинальную часть пространственного механизма манипулятора

[1], реализующую угловые движения вокруг осей X и Y и поступательное перемещение вдоль оси Z за счет сложения двух встречных вращений [2]. Традиционные три связи (две поступательных и одно вращение) опустим, поскольку они реализованы в серийных станках и их жесткость достаточно известна (рис. 1).

Ъ

X

У

4

3

2

а

Ь

Рис. 1. Расчетная схема пространств. Манипулятора: 1-поворотный стол; 2-наклонная платформа; 3-опорно-

поворотное устройство; 4- установочное звено (рабочий стол), а,Ь,с- приводные устройства (гидроцилиндры)

67

Наиболее неблагоприятное нагружение связей будет, если исключить из расчетной схемы, параллельно действующие элементы, образуемые приводами а, Ь и с. Поэтому основу жесткости конструкции будет составлять жесткость их соединений, а именно сдвоенные шарниры, которые, с точки зрения теории механизмов и машин, представляют собой кинематические цилиндрические пары.

д=Р/1

Я2

Яг

А

с

1

А

ь

Рис. 2. Контакт цилиндра с цилиндрич. впадиной:

1-поворотный стол; 2-наклонная платформа; 3-опорно-поворотное устройство; 4- установочное звено (рабочий стол), а,Ь,с- приводные устройства (гидроцилиндры)

Для решения поставленной задачи используем зависимости, приведенные в [3]. При взаимном сжатии равномерно распределенной нагрузкой q двух цилиндров, соприкасающихся параллельными образующими (рис. 2), полуширина прямоугольной площадки, учитывая Е1 = Е2 = Е и q = Р/1, определится по формуле (табл. 60, стр. 640) [3]:

Ь = 1,522 •

P

l • E

Ri • R2 R2 - R1

, (1)

максимальное напряжение из формулы (табл. 60, стр. 641) [3]:

q = 1,27 •

max 7

b

= 0,418-

P • E l

• ^ - Д ^ ^

(2)

где q - распределенная нагрузка, Е1, Е2 и Я1г Я2 - модули упругости материалов и радиусы первого и второго цилиндров, соответственно.

Приведенные выше формулы получены при значении коэффициента Пуассона ц=0,3. Сближение соприкасающихся тел, т.е. цилиндров определяется по формуле (табл. 60,

стр. 641) [3]: А = 1,82 •

____ Р

I • Е

• (1 - 1п Ь)

(3)

68

Из выражений (1) и (2) видно, что при малой разности (Я2 — Я]), т.е. когда (Я2 — Я1)^0 будет: 1) из выражения (1): Ь^-0; 2) из выражения (2): ^тах^О.

Это говорит о том, что если контакт между цилиндрами будет полным, зазоры отсутствуют, наибольшие напряжения будут иметь минимальные значения.

__ Зная усилие Р на цилиндры и их сближение А, можно рассчитать жесткость данного

Р

сопряжения: с = , (4)

А

Тогда подставляя (1) и (3) в (4) получим:

м

1Е

с =

I Р

Я • Я }

(5)

1,82[1 - 1п | 1,522

1]

1 2

^ 1Е Я2 - Я1 )

Рассчитаем коэффициенты жесткости при следующих параметрах модели:

I = 5102 м, Е = 210]1Па; Я1=4,9103 м; Я2=5103 м; Усилие Р будем варьировать: Р1 = 102

Н, Р2 = 103 Н, Р3 = 104 Н, Р5 = 105 Н, Р6 = 106 Н. Расчеты приводят к следующим значениям: С1=5,2108Н/м, С2=5,9108Н/м, сз=6,7108Н/м, С4=7,8108Н/м, С5=9,3108Н/м. (6)

Кроме того, надо учесть, что в предлагаемом схемном решении такие соединения (их 3 ед.) связаны последовательно, поэтому надо перевести жесткость в податливость и определить её приведённое значение:

откуда находим:

1

Спр

1 1 с,

= + 1

с

2

+ , сз

(7)

Спр

С1 ■ С2 ' с3 Сі ■ С2 ^ с ■ С3 ^ С2 ■ С3

(8)

Для упрощения принимаем с = с1 = с2= с3, тогда формула (8) перепишется как:

с

с = пр 3

(9)

Используя расчетные значения жесткости (6) по формуле (9) находим:

(спр.тт---Спр.тах) = (1,745-108...3,П0-108) Н/м

В [4] показано, что жесткость суппортов станков средних размеров составляет (30.. .100) Н/мкм = (3-107.. ,108) Н/м.

Рассматривая оригинальный элемент данного механизма как колебательную систему, определим качественный параметр этой системы - собственную частоту её колебаний к.

___ Из теории колебаний [5], известно, что собственная частота к колебаний зависит только

с

от параметров системы и определяется как: к =

1д . Здесь а - коэффициент инерции сис-а

69

темы. В нашем случае а=тпр. Данное выражение имеет размерность с1 или рад/с. Умножив его на коэффициент 1/2п выразим частоту в Гц: к = 1 •

2ж

с т

пр пр , (10)

где спр - приведенная жесткость системы, тпр - приведённая масса системы.

Используя, ранее рассчитанные значения спр и задавая значения приведённой массы тпр: тпр1=10 кг, тпр2=20 кг, тпр3=30 кг, найдём собственные частоты системы: 1) При спр1 = 1,745 108 Н/м:кі=665 Гц, к2=470 Гц, кз=384 Гц; 2) При спР.2= 1,960-0 Н/м:к} = 705 Гц, к2=498,2 Гц, кз=407 Гц; 3) При спРз= 2,236108 Н/м:к=752,6 Гц, к=532 Гц, кз=434,5 Гц; 4) При с„Р4= 2,601 108Н/м:кі=812 Гц, к=574 Гц, к3=469 Гц; 5) При спР.5=3,110 ■108Н/м:к1=888 Гц, к2=627,6 Гц, к3=512,4 Гц. Сравнивая полученные значения с эксплуатационными частотами технологического оборудования [6, 7] видно, что оборудование, оснащенное предла-

гаемым манипулятором, будет работать в дорезонансной зоне.

Используя пакет программы МаШСАО 14, приводим графические зависимости выражения (10) в зависимости от массы т системы и приведённой жесткости спр, которые представлены на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3.Зависимость собственных частот колебаний от массы системы:

кривая 1 при тпр=10 кг,

Ао

$

8 40 7 80 7 20

к(с1)бб0

кривая 2 при тпр=20 кг, кривая 3 при тпр=30 кг

5 40 4 80 4 20

Д

1-4

Л

Н

О

н

г

д

д

о

[2

о

ю

о

и

3 60

3 00

1

2

3

1.74 5x10 2.08 6x10 2.42 8x10 2.76 9x10 3 .11x10

с1

Шеааа^пау жапоетои, 1/1

приведенная жесткость, Н/м

5 75

1 2 3

Рис. 4. Зависимость собственных частот колебаний от приведенной жесткости системы: кривая 1 при спр=1,75-108Н/м,

Ао

ОГ,

П01

Г г

Г р

( т1)

( т1)

5 30 4 85 4 40 3 95

кривая 2 при спр=1,96108Н/м, кривая 3 при спр=2,24-108Н/м

10 15 20 25 30

1аппа, ёа

т1

масса, кг

т1, т2, т3 - текущие значения массы т; к(е1), г(с1), р(с1) - собственные частоты системы при фиксированном значении приведённой жесткости с1 и при различных значениях массы системы. (Рис. 3)

с1, с2, с3 - текущие значения приведённой жесткости системы спр;

к(т1), г(т1), р(т1) - собственные частоты системы при фиксированном значении массы т1 и при различных значениях приведённой жесткости системы. (Рис. 4)

Выводы:

1) Жесткость данного пространственного механизма сравнима с жесткостью суппортов современных станков, что доказывает принципиальную возможность использования данного механизма в качестве манипулятора, расширяющего возможности современного технологического оборудования.

70

2) Из рис. 3 следует, что, при фиксированной приведённой жесткости, с увеличением приведённой массы частота собственных колебаний уменьшается, а по рис. 4, при фиксированной приведённой массе, при увеличении приведённой жесткости собственная частота колебаний возрастает.

3) Диапазон собственных частот предлагаемой конструкции манипулятора выше эксплуатационных частот силового возбуждения технологического оборудования.

Библиографический список

1. Балакин, П. Д. Схемное решение механизма пространственного манипулятора /

П. Д. Балакин, А. Х. Шамутдинов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2012. - № 2(110). - С. 65-69.

2. Люкшин, В. С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов / В. С. Люкшин. - М. : Машиностроение, 1967. - 372 с.

3. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко [и др.] ; под общ. ред.

Г. С. Писаренко. - Киев : Наук. думка, 1988. -736 с.

4. Проектирование металлорежущих станков и станочных систем : справочник : в 3 т.

Т. 1. Проектирование станков / А. С. Проников [и др.] ; под общ. ред. А. С. Проникова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана : Машиностроение, 1994. - 444 с.

5. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С. С. Норейко. - М. : Высшая школа, 1975. - 248 с.

6. Кедров, С. С. Колебания металлорежущих станков / С. С. Кедров. - М. : Машиностроение, 1978. - 199 с.

7. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - М. : Машиностроение, 1967. -

348 с.