CC BY
4
УДК 621.01
Шамутдинов А.Х., к техн. н. профессор РАЕ, доцент кафедра 13 «Техническая механика»
Леонов Д.И. курсант гр. А-231
Омский автобронетанковый инженерный институт
Россия, г. Омск
ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ И СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ПЛАТФОРМЫ МАНИПУЛЯТОРА
Аннотация: рассмотрено схемное решение оригинального манипулятора и, на основе теории контактных напряжений и деформаций, рассчитана приведенная жесткость данной модели. Кроме этого, приведён расчет собственных частот колебаний данной системы.
Ключевые слова: контактные напряжения, модуль упругости Юнга, сближение тел, приведенная жесткость, собственная частота колебаний.
Shamutdinov A.H., Ph.D., professor RAE Associate Professor of the Department of 13 «Technical Mechanics»
Leonov D.I., cadet gr. A-231 Omsk Automobile Armored Engineering Institute
Russia, Omsk
STUDY OF HARDNESS AND OWN FREQUENCY OF VIBRATIONS OF A MANIPULATOR PLATFORM
Abstract: The circuit solution of the original manipulator is considered and, based on the theory of contact stresses and deformations, the reduced stiffness of this model is calculated. Besides, shown calculation of eigenfrequencies of the system.
Key words: contact stresses, Young's modulus of elasticity, the convergence of telephone, the reduced stiffness, natural frequency of oscillation.
Выделим из общей схемы пространственного механизма оригинальную часть, реализующую угловые движения вокруг осей X и Y и поступательное перемещение вдоль оси Z за счет сложения двух встречных вращений [1, с.248]. Традиционные три связи (две поступательных и одно вращение) опустим, поскольку они реализованы в серийном оборудовании и их жесткость достаточно известна (рис. 1).
Наиболее неблагоприятное нагружение связей будет, если исключить из расчетной схемы, параллельно действующие элементы, образуемые приводными устройствами a, b и с. Поэтому основу жесткости конструкции будет составлять жесткость их соединений, а именно сдвоенные шарниры.
ь
1 2
3
4
Рис. 1. Расчетная схема оригинальной части пространственного манипулятора: 1- установочное звено (рабочий стол); 2- опорно-поворотное устройство; 3- наклонная платформа; 4- поворотный стол; а,Ь,с- приводные
устройства (ШВП, гидроцилиндры) Для решения поставленной задачи используем зависимости, приведенные в [2, с.632]. При взаимном сжатии равномерно распределенной нагрузкой д двух цилиндров, соприкасающихся параллельными образующими (рис. 2). При Е1 = Е2 = Е полуширина полоски контакта Ь, учитывая, что д = Р/1, будет:
Ь = 1,522 •
Р Я ■ Я
1 ■ Е Я2 - Я
(1)
где д - распределенная нагрузка, Е1, Е2 и Я1, Я2 - модули упругости материалов и радиусы первого и второго цилиндров, соответственно.
Наибольшее напряжение, действующее в точках оси площадки, будет:
*Шах = 0,418 •
Р ■ Е Я2 - Я
I ■ Я2
(2)
Приведенные выше формулы получены при значении коэффициента Пуассона ¡1=0,3.
Сближение соприкасающихся тел, т.е. цилиндров определяется по формуле:
Р
Л = 1,82---(1 - 1п Ь)
I■ Е (3)
Из выражения (2) видно, что при малой разности (Я2 - Я1), т.е. когда (Я2 - Я1)^0 будет:
1) из выражения (1): Ь^ ;
2) из выражения (2): ошах^О.
Это говорит о том, что если контакт между цилиндрами будет полным, зазоры отсутствуют, наибольшие напряжения будут иметь минимальные
с
значения.
Зная усилие P на цилиндры и их сближение А, можно рассчитать жесткость данного сопряжения:
Р Р Ш
С А
Тогда
1,82 • Г • [1 - П Ь] 1'82[1" Ь Ь] Ш
Ш
или окончательно:
с =
1,82[1 - 1п
1,522
Г Я • -
1Е — —
(4)
]
Рис. 2. Контакт цилиндра с цилиндрической впадиной Рассчитаем коэффициенты жесткости при следующих параметрах модели:
I = 5 10-2 м, Е = 21011Па; Я1=4,910-3 м; Я.2=510-3 м; Усилие Р будем варьировать: Р1 = 102 Н, Р2 = 103 Н, Р3 = 104 Н, Р5 = 105 Н, Р6 = 106 Н. Расчеты приводят к следующим значениям:
с1=5,236108 Н/м, с2=5,881 108 Н/м, с3=6,708108 Н/м, с4=7,805108 Н/м, с5=9,331 108 Н/м (5)
Кроме того, надо учесть, что в предлагаемом схемном решении такие спряжения (их 3 ед.) соединены последовательно, поэтому надо перевести жесткость в податливость и определить её приведённое значение:
с =
пр
С1 • С2 • С3
откуда находим:
(6)
Для упрощения принимаем с перепишется как:
С1 • С2
+ С • сз + С2 • сз
с1 = с2
с3, тогда формула (6)
_ с
Спр = 3
Используя расчетные значения жесткости (5):
(стт...стах)=(5,236108... 9,331 108) Н/м по формуле (7) находим:
(спр.тт... спр.тах)=(1,745 108... 3,110108) Н/м В [3, с.193] показано, что жесткость суппортов станков средних размеров составляет (30...100) Н/мкм или ссупп. ст.= (3-107...108) Н/м.
Рассматривая схемное решение оригинального манипулятора как колебательную систему, определим качественный параметр этой системы -собственную частоту её колебаний к. Из теории колебаний [4, с.26], известно, что собственная частота к колебаний зависит только от параметров системы и определяется как:
1
к =
2п\
с
пр
а (8) Здесь а - коэффициент инерции системы. В нашем случае а=т, спр приведенная жесткость системы, т - масса системы.
Используя, ранее рассчитанные значения, спр и задавая значения массы т: т1=10 кг, т2=20 кг, т3=30 кг, найдём собственные частоты системы, по выражению (8), сведя их в таблицу 1:
Таблица 1
спр. г, Н/м\ тг, кг 1,745-108 1,960-108 2,236-108 2,601-108 3,110 -108
10 665 Гц 705 Гц 752,6 Гц 812 Гц 888 Гц
20 470 Гц 498,2 Гц 532 Гц 574 Гц 627,6 Гц
30 384 Гц 407 Гц 434,5 Гц 469 Гц 512,4 Гц
Сравнивая полученные значения с эксплуатационными частотами технологического оборудования [5, 6] видно, что оборудование, оснащенное предлагаемым манипулятором, будет работать в дорезонансной зоне. Используя пакет программы МаШСАО 15, приводим графические зависимости выражения (8) в зависимости от массы т системы и
приведённой жесткости спр, которые представлены на рис. 3 и рис. 4.
8 8 8 с1 := 1.745-108 с2 := 1.960-108 с3 := 2.236-108
к(т1) :=
-
I т1
2п
г(т1) :=
2к
р(т1) :=
(О I-
о ь и (О У
к
(О
01 ш
I-
и
ю о и
к(т1)
800 755 710 665
)620
г(т1) 575
• • • 5/5
Р(т1)530 485 440 395 350
10
15
20 т1
Масса, кг
25
30
Рис. 3. Зависимость собственных частот колебаний от приведенной массы системы: кривая 1 при спр=1,745 108 Н/м, кривая 2 при спр=1,960108Н/м, кривая 3 при спр=2,236108 Н/м
к(с1) :=
т1 := 10 т1
т2 := 20
ЦТ
т2
2%
г(с1) := ■
2%
т3 := 30
Р(с1) :=
с1
т3 2%
(О I-
о
I-
и (О У ГС (О
ф т
I-
и Ю О
и
к(с1)
900 840 780 720 )660 г(с1)600 Р(с1)540 480 420 360 300
1 ^
.........
2 .........
.......
3 . - " -
_, т т я ^
1.745x10
8
2.086x10
8
2.428x10 с1
8
2.769x10
8
3.11x10
8
Приведённая жесткость, Н/м
Рис. 4. Зависимость ________________________________ши от приведенной
жесткости системы: кривая 1 при т=10 кг, кривая 2 при т=20 кг,
кривая 3 при т=30 кг Выводы:
1) Результаты расчетов приведенной жесткости показали, что жесткость предложенной модели оригинального манипулятора сравнима с жесткостью суппортной группы станков средних размеров.
2) Диапазон собственных частот предлагаемой конструкции манипулятора выше эксплуатационных частот силового возбуждения технологического оборудования.
3) Предлагаемое техническое решение механизма манипулятора рекомендуется к использованию в технологических машинах машиностроительных производств.
Использованные источники:
1. Люкшин, В. С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов / В. С. Люкшин. - М. : Машиностроение, 1967. - 372 с.
2. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко [и др.] ; под общ. ред. Г. С. Писаренко. - Киев. : Наук. думка, 1988. -736 с.
3. Проектирование металлорежущих станков и станочных систем: Справочник. В 3 т. Т. 1. Проектирование станков / А. С. Проников [и др.] ; под общ. ред. А. С. Проникова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана; Машиностроение, 1994. - 444 с.
4. Яблонский, А. А. Курс теории колебаний / А. А. Яблонский, С.С. Норейко. - М. : Высшая школа, 1975. - 248 с.
5. Кедров, С. С. Колебания металлорежущих станков / С. С. Кедров. - М. : Машиностроение, 1978. - 199 с.
6. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - М. : Машиностроение, 1967. - 348 с.
