CC BY
38
УДК 530.12: 531.51 ББК 22.313 Ж 86
И.Н. Жукова
Исследование зависимости линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны от ее интенсивности и поляризации
(Рецензирована)
Аннотация
Исследована мгновенная степень линейной поляризации глобального излучения заряда в поле эллиптически поляризованной электромагнитной волны как функция трех переменных: времени, интенсивности внешней волны и ее поляризации. Средняя по времени степень линейной поляризации глобального излучения исследована в зависимости от поляризации и интенсивности внешней волны. Вектор поляризации ориентирован вдоль направления распространения внешней волны.
Ключевые слова: вектор поляризации, степень линейной поляризации, а и п компоненты излучения, мощность глобального излучения.
Задача о движении заряда в поле эллиптически поляризованной электромагнитной волны представляет интерес в связи с общностью постановки [1, 2]. Меняя параметр поляризации волны можно рассмотреть большой спектр частных случаев, включая линейную и круговую поляризации. Кроме того, при исследовании излучения можно различным образом ориентировать вектор поляризации.
Пусть плоская эллиптически поляризованная электромагнитная волна распространяется вдоль оси г лабораторной системы координат со скоростью с. Вектор напряженности электрического поля волны имеет вид:
Е = 42е0( собусоб(о£ + ] ,$ту$та)£), (1)
где Е0 - амплитуда напряженности электрического поля; а - частота волны; у -параметр, характеризующий поляризацию волны (О <у < п/ 2), £ - момент излучения.
еЕ
Интенсивность волны будем характеризовать параметром у = —— . При у >> 1 волна
аст
считается сильной, при у << 1 - слабой.
В электромагнитном поле заданной плоской волны заряд е движется по определенной траектории. С зарядом удобно связать мгновенно сопутствующую систему координат (,у,г'), начало которой совпадает с той точкой лабораторной системы координат (, у, г), в которой находился заряд в момент излучения £. Положение заряда в лабораторной системе координат задается радиус - вектором г (рис. 1). Точка А, в которой в момент времени ^ наблюдается излучение заряда, удале-
вующая системы координат
на на большое расстояние Я(£) от заряда по сравнению с длиной волны излучения. Моменты излучения £ и наблюдения ^ связаны соотношением: £ = ^ -Я(£)/с .
При изучении линейной поляризации излучения вектор напряженности электрического поля излучения обычно раскладывают по двум ортогональным единичным ортам линейной поляризации [4, 5]:
Е = Е212 + Е31з, (2)
где 12 3 связаны с произвольно ориентированным единичным вектором поляризации у
и единичным вектором п = ^£), направленным от заряда к точке наблюдения т.о.:
Jn
I /„у • = [1 її • " = [і 312 ]. Й 3 )=Й2 )=(і 213 )= 0 . (3)
Vу - ("./у Vу - (".//
Компоненты Е2 и Е3 определяют соответственно а и ж компоненты излучения,
а - компонента характеризует проекцию Е на плоскость, ортогональную вектору у .
Угловое распределение мгновенной мощности излучения определяется выражением [3, с.258]:
= СЕ2К2 (у-(")), (4)
dW
ёО. 4п
где в(£) = и(£)/с, и(£) - скорость заряженной частицы.
Для описания поляризации излучения вводится специальная величина - степень линейной поляризации (далее - СЛП) р :
W2 - W3 _ W2 -(W - W2) _ W W2 + W3 ~ W ~ W
-1, (5)
где W2 3 - мгновенные мощности компонент глобального излучения, полученные из (4) интегрированием по телесному углу Q [2]. Из (5) следует, что значения СЛП находятся в пределах [-1,1].
Мгновенная мощность глобального излучения, очевидно, не зависит от ориентации вектора поляризации j и равна [7]:
W = W2 + W3 = 2e3 W (l (в , (6)
2 3 3c5 (1 -в2) ’ V '
где W - ускорение заряда.
Как следует из (3) и (5), мощность а - компоненты и СЛП существенно зависят от
ориентации вектора поляризации j .
Вектор поляризации излучения j направим вдоль направления распространения внешней волны:
j =(0,0,1). (7)
Для этого выбора вектора поляризации в работе [6] приведены уравнения движения r (£), полученные в системе отсчета, в которой частица в среднем покоится
(( = Pz = 0). Данный выбор системы отсчета дает дополнительную связь между инте-
1 -в,
гралом движения а = , = = const и параметром интенсивности внешней волны у:
а2 = 1 + у2. (8)
Полученными в работе [6] точными аналитическими выражениями для мгновенной Ж2 и средней по времени Ж2 мощности а - компоненты глобального излучения мы воспользуемся для нахождения мгновенной р = р(у, /, х) и средней по времени р = р(у, /) СЛП глобального излучения и проведем анализ полученных функциональных зависимостей.
Мгновенная мощность а - компоненты излучения для 7 = (0,0,1) имеет вид [6]:
е2 а2
W2 =-T'\A0 + (1 cos х + А2 cos2x + A3 cos3x + A4 cos4 х + A5 cosJx),(9)
2 12c CK • CK03 v h \ j
где введены обозначения: АО = 2а2(7а8 -8аб + а4 - 6^2а4 -2^2а2 -2^2);
А1 = ца2(З5аб - 52а4 + 5а2 -30а2^2 -4^2); А2 = 2а2^2(13а4 + 4 -29а2 -12^);
АЗ =П (- 28а2 + 2а4 +1 - 6^2); А4 = -2^4 (з + 2а2); А5 = -П;
П = -у2 cos(2y); CK = 2а2 +ncosх; CK0 = а2 +ncosх.
Мощность глобального излучения W в нашем случае равна:
т„ 2е2ю2а2 ( 2 \ ,ле^
W =----------(-ncos х). (10)
3c
Подставляя W2 и W в выражение для СЛП (5), получаем зависимость мгновенной СЛП от интенсивности у, поляризации внешней волны у и времени:
1 [P0 + P1cos х + P2 cos2 х + P3 cos3 х + P4 cos4 х + P5 cos5 х) ,11Ч
Р = -•------------------------Ti—s------------------------, где (11)
4 CK• CK03 •(у2-ncosх)
P0 = 2а2 (3а8 - 4а6 + а4 - 6ц2а4 - 2п2а2 - );
P1 = r/а2(15а6 -24а4 + 5а2 - 30а2ц2 -4ц2); P2 = 2а2П(а4 - 11а2 + 4- 12ц2);
P3 = ц3 (18а4 - 8а2 +1 - 6ц2); P4 = 2ц4 (ба2 -1) ; P5 = 3ц5.
Фазовую переменную х = 2а£ будем для краткости называть фазой, определяю-
щей положение заряда на орбите в момент времени £.
Проверка выражения (11) для частного случая волны круговой поляризации (у = п/4) приводит к известному в теории синхротронного излучения результату:
Р=’ (12)
т.е., мгновенная глобальная СЛП не зависит от времени (от положения на орбите) и в нерелятивистском пределе ру^0 ^ 1 / 2, а в релятивистском пределе рг^х ^ 3 / 4.
Как следует из выражения (10) для мгновенной мощности глобального излучения, при движении электрона в поле линейно поляризованной электромагнитной волны в определенные моменты времени излучение отсутствует, т. к. в эти моменты времени ускорение заряда равно нулю. Для линейно поляризованной волны с у = 0 мгновенная мощность глобального излучения принимает нулевые значения при х = п + 2пт, а для линейно поляризованной волны с у = п / 2 это имеет место при х = 0 + 2пт (т е N):
w =2е а •((-ncosх)=0 ^ (1+cos^^^s^))=0 ^{у ; ;
3с [у = п/2; х = 0.
В указанных точках понятие СЛП теряет смысл.
На рисунках 2 -4 представлены зависимости мгновенной СЛП от времени р = р(х) для внешней волны конкретной поляризации и интенсивности.
Рис. 2. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите для различных значений параметра интенсивности у внешней линейно поляризованной (/ = 0) электромагнитной волны. При х = п заряд не излучает.
Рис. 3. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите для различных значений параметра интенсивности у внешней линей но поляризованной волны ( / = п/2) электромагнитной волны. При х = 0, 2п заряд не излучает.
зованной ( / = п/8 ) электромагнитной волны.
В нерелятивистском пределе у ^ 0 выражение (11) для СЛП после разложения в
ряд по малому параметру q = у/у2 / ( +1) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид:
1 q2{l + 9 cos 2 (2у) cos 2 (x) -10 cos 2 (2у)^
P 2 4(1 + cos(2y)cos( x)) ’ ( )
откуда следует, что независимо от поляризации внешней волны мгновенная СЛП стремится к значению Ру^0 = 0.5, что хорошо видно на рисунках 2 -4 при у = 0.01.
В таблице 1 приведены предельные значения мгновенной СЛП в «контрольных» точках (у, x), вычисленные по формуле (13) при у = 0.01, а также результаты вычисления СЛП по точной формуле (11).
Таблица 1
( 0 0 п/2 п/2
x 0 п 0 п
Ру^0 по формуле (13) 1 + 0 ■ q2 2 1 9q = 0.49955 2 2 ( = 0, x ^п) 1 9q = 0.49955 2 2 ( = п/2, x^0) 1 + 0 ■ q2 2
1 + q- = 0.50005 2 2 ((^ 0, x = п) 1 + q- = 0.50005 2 2 ((^п/2, x = 0)
РУ^0 по формуле (11) 0.5(0) 0.49955 ( = 0, x = 0.99п) 0.49955 ( = п/2, x = 0.01) 0.5(0)
0.50005 ( = 0.01, x = п) 0.50005 ( = 0.99п/ 2, x = 0)
Графики зависимости мгновенной СЛП от положения на орбите р(х) в нерелятивистском пределе при у = 0.01 для различных значений поляризации внешней волны приведены на рисунке 5.
В релятивистском пределе (у ) СЛП (11) после разложения в ряд по малому
параметру 1 /у2 с точностью до членов первого порядка малости принимает вид:
Рис. 5. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите в пре-
деле слабой волны. Кривая с номером п соответствует внешней волне с поляризацией /п:
Номер кривой 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(n 0 п п 3п п 3п п 5п 3п 7п 63п п
256 32 32 8 16 4 16 8 16 128 2
p = p0 + pH y1, (14)
_ 3 3 cos 2 (2/) ■ sin 2 (x)
где p0 =------------------------ . ,
4 2 (] - cos2 (2/)cos2 (x)j
cos( x)^ 6 cos3 (2/) - cos(2/)^ + cos 2 (2¥){6 cos2 (x) - 8^ - 5 cos3 (2/) ■ cos3 (x) + 2 4^3 cos(2/) cos( x) - 2 + cos2 (2/) cos2 (x) - 3 cos3 (2/) cos3 (x) + cos4 (2/) cos4 (x)^
Из (14) следует, что для волны любой поляризации, кроме линейной, в моменты x = 0 и x = п мгновенное значение СЛП равно pY= 3 / 4. Это видно, например, на
рисунке 4 для эллиптически поляризованной волны с параметром / = п / 8 .
Предельные значения мгновенной СЛП в точках (/, x) = (0,n) и (/x)=(п/2, 0), вычисленные по формуле (14), приведены в таблице 2.
Формула (14) не применима для двух пар значений (/,x): (0, 0) и (к/2 ,п). Предельные значения мгновенной СЛП в этих точках также приведены в таблице 2.
Для оценки надежности результатов, полученных по формуле (14), в таблице 2 приведены результаты вычисления СЛП по точной формуле (11) при у = 100 .
Таблица 2
/ 0 0 п/2 п/2
x 0 п 0 п
Рг^~ по формуле (14) 1 0 3 11 + , = 0.74995 4 24Y Ww = 0, х ^ п) 3 11 + , = 0.74995 4 24Y (w = п/2, х ^ 0) 1 0
2 ^2 3 1 =+0.74999 4 8у2 (х = п, W ^ 0) 3 1 =+0.74999 4 8у2 (х = 0, у^п/2) 2 + у1
PY^ по формуле (11) 0.5(0) - 0.74995 Xw х 0, х = 0.99п) - 0.74995 (w = п/2, х = 0.01) 0.5(0)
+ 0.74999 (х = п, W = 0.01) + 0.74999 (х = 0, W = 0.99п/2)
Wn :
Номер кривой 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 п п 3п п 3п п 5п 3п 7п 30п п
W„ 64 16 32 8 16 4 16 8 16 64 2
Графики зависимости мгновенной СЛП от времени в релятивистском пределе при у = 100 для различных поляризаций внешней волны приведены на рисунке 6.
Все указанные в таблицах 1 и 2 особенности поведения ЛСП р = р(, /, х) вблизи контрольных точек (/, х): (0, 0), (0, п), (/2,0) и (/2,п) хорошо видны на графиках (рис. 5 и 6).
Размах значений мгновенной СЛП глобального излучения при изменении интенсивности волны иллюстрирует рисунок 7.
Рис. 7. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от интенсивности внешней волны. Характеристики кривой с номером п приведены ниже в таблице.
п = 1: [(у/ = 0, х = 0); п = 2: (/ = п/32, х = 0).
= п/2, х = п). п = 3: (/ = п/8, х = 0) .
п = 4 : {{/ = 0.999п/ 2, х = 0); [(/ = 0, х = 0.999п). п = 6: (/ = п/2, х = 7п/8).
п = 5: Г(/ = п/2, х = 0.001); [(/= 0.001, х = п). п = 7: ( = п/ 2, х = 15п/16).
п = 8: ( = п/2, х = 31п/32)
Качественный характер зависимости СЛП от поляризации волны в точках, близких к контрольным точкам (/ х)=(п/ 2 0) и (/ х)=(0, п) сохраняется в волне любой интенсивности (рис. 8 и 9) , но интервал значений СЛП существенно различен в нерелятивистском и релятивистском случаях.
Р
0.4999
(у = 0.01)
□.Є 0.8 1 1.2 1.4
/
Рис. 8. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения от поляризации внешней волны в момент х = 0.001 в нерелятивистском у = 0.01 и релятивистском у = 10 пределах.
(у = 0.01)
□ 0.2 0.4 0.6 0.0 1 1.2 1.4
Рис. 9. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения от поляризации внешней волны в момент х = 0.999п в нерелятивистском у = 0.01 и релятивистском у = 10 пределах.
Наконец, отметим еще одну особенность функциональной зависимости СЛП от поляризации внешней волны, которая наглядно представлена на рисунке 10. Здесь приведены зависимости р(/) в различные моменты времени (для различных положений заряда на орбите) для нескольких значений интенсивности внешней волны. Видим, что в момент х = 0 (а также х = п) функция р(/) является монотонной. Заметим, что этот вывод справедлив и в нерелятивистском пределе: при у = 0.1 СЛП изменяется от р¥=о = 0.500 до р/п/2 = 0.505. При всех иных значениях х функция р(/) не является монотонной. В момент х = ж/2 функция р(/) является симметричной.
Рис. 10. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от поляризации внешней
волны заданной интенсивности в фиксированный момент времени.
Теперь перейдем к обсуждению средней за оборот СЛП глобального излучения, которая определяется выражением:
Средняя по времени мощность глобального излучения имеет вид [6]:
— 2e2a>2f \ 2
Ш =-----------— < а2
3с I
у2 СОБ2 (2/)
4
(15)
(16)
Точные аналитические расчеты для случая у = (0,0,1) дают для средней по времени о - компоненты мощности глобального излучения Ж2 следующее выражение [6]:
а2 + 6а2( -а2 -ц2) 2а2ц2
2 2
ІГг ЄЮ
Ш2 = -----------
24с
8а4 —
22 — 10 а2 +1 + -
4 13п ,л ,
(а4 —П)
(а4 —П )2
Подставляя Ш из (16) и Ш из (17) в выражение для р (15), получаем:
2
р _
1
(а2 у2
(2 - 4а2 - 9ц2) )а2 - 6а4)
+ 2{с
4
22
а2п
а -п
(
а
п2 у
/ 2
+
3 а2 -у/|
а -п
(18)
Для волны круговой поляризации (п _ 0) средняя по времени СЛП (18) равна:
(19)
^1/2) и релятивистском
__ 3 1
Р 4 4(1 + у2)'
Предельные значения СЛП (19) в нерелятивистском (рг^0 ' ^ 3 / 4) пределах согласуются с результатами работы [7]. Как видим, в случае
круговой поляризации внешней электромагнитной волны мгновенная (12) и средняя (19) СЛП глобального излучения совпадают для любых значений у. Этот вывод очевиден из общих соображений и позволяет судить о надежности результатов (11) и (18).
На рисунке 11 представлена зависимость р(у) для различных интенсивностей внешней волны. Видим, что функция р(у) является немонотонной и симметричной. Насколько быстро меняется угол наклона касательной к графику р(у) вблизи граничных значений параметра у с ростом интенсивности волны видно из рисунка 11 б.
----—-------------------------------------- Ф
р \ 7 = 01
! \ ч_ 1
' 0.2/ 0.4 0.6 0.8 1 1.2 \ 1.4 У
/ а) у =10 у _ 1000—й
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
Рис.11. Зависимость средней СЛП глобального излучения р (рис.а) и производной ф / &у (рис.б) от поляризации внешней волны для различных значений интенсивности у.
Значения параметра поляризации (0 <у<п/ 2) можно разделить на три области: при фиксированном значении у СЛП может возрастать с ростом интенсивности внешней волны, может убывать и может иметь экстремум. На рисунке 11 а области значений у, соответствующие немонотонному характеру зависимости р(у\¥, выделены пунктирными линиями: (0.39 < у < 0.56) и (1.01 < у < 1.18). Значения параметра интенсивности волны у, при которых функция р(у) имеет минимум, а также минимальные значения самой функции р(у) приведены в таблице 3. На рисунке 12 область кривых р(у), имеющих минимум при некотором значении ут, помечена звездочкой.
Таблица 3
2
У Гт р(¥,7т ) У Гт р(¥,7т )
0.3900 23.07 0.2783 0.5600 0.2032 0.4998
п/8 _ 0.3927 10.29 0.2846 1.010 0.1863 0.4998
п/ 6 _ 0.5236 0.6628 0.4864 1.180 15.66 0.2802
п/4 = 0.785
Рис. 12. Зависимость средней СЛП глобального излучения от интенсивности волны для различных значений параметра поляризации волны.
В нерелятивистском пределе поведение СЛП р7^0 = р(у, у) описывается приближенной формулой, полученной при разложении (18) в ряд по малому параметру q:
Ру^0
2
- +
cos2 (2у)
q2.
(20)
В таблице 4 сопоставлены значения средней СЛП, полученные по точной (18) и приближенной (20) формулам при различных значениях интенсивности волны у. Жирным шрифтом выделены те значения средней СЛП, которые с точностью до 5 значащих цифр совпали по результатам использования точной и приближенной формул.
Таблица 4
*
Y У 0, п/2 п/3 п/4 п/8
0.2 ру^ по формуле (23) 0.45673 0.49639 0.50962 0.48317
0.01 0.49989 0.49999 0.50003 0.49996
0.001 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000
0.2 ру^ по формуле (21) 0.45738 0.49666 0.50962 0.483363
0.01 0.49990 0.49999 0.50002 0.49996
0.001 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000
В релятивистском пределе для линейно поляризованной волны (у = 0,п/ 2) средняя СЛП глобального излучения с точностью до членов первого порядка малости имеет вид:
Р =9 9 I 1 (cos2 (2У)) =_3+_^. L (21)
4 4 _ cos2 (2у) Y 2^2 (4- cos2 (2у)) 4 6^2 у
Для остальных значений параметра поляризации (0 <у<п/ 2) средняя СЛП гло-
бального излучения с точностью до членов второго порядка малости равна:
= 9 + 3 sin(2y) _ 9 +1Г 3 sin(2y) _ 1 ^
Ру^ 4 4 _ cos2 (2у) у2 {4 _ cos2 (2у)) . ( )
В таблице 5 приведены предельные значения средней СЛП, вычисленные по формулам (21) и (22) для различных значений интенсивности волны у. Здесь же приведены результаты вычисления средней СЛП по точной формуле (18), которые позволяют
оценить надежность результатов, полученных по формулам (21) и (22). Жирным шрифтом выделены те значения СЛП, которые с точностью в 5 значащих цифр совпали по результатам использования точной (18) и приближенных (21) и (22) формул.
Таблица 5
У V 0,п/2 п/3 п/4 п/8
10 Ру— по формулам (24) и (25) - 0.69107 0.54708 0.75500 0.28787
100 - 0.74411 0.54286 0.75005 0.28469
1000 - 0.74941 0.54282 0.75000 0.28466
10 Ру^ по формуле (21) - 0.68468 0.54132 0.74752 0.28464
100 - 0.74404 0.54281 0.74998 0.28466
1000 - 0.74941 0.54282 0.75000 0.28466
В таблице 6 приведены предельные значения СЛП, вычисленные по формуле (22) для значений параметра поляризации /, использованных при построении графиков, приведенных на рисунке 12. Видно, что приведенные в таблице 6 значения СЛП хорошо согласуются с рисунком 12.
Таблица 6
V Р 9 3 8Іп(2у) - 9 р- 4 + 4 - Сов2 (2у) V Р 9 3 sin(2v) - 9 Р— = 4 + 4 - ^2 (2у)
п — - 0.785 3 п — - 0.3927 0.28466
4 4 8
0.56 0.59661 0.20 - 0.23497
п — - 0.5236 6 0.5428 0,— 2 _ 3 р--- 4
Как видно из рис. 12, в слабой волне поляризация не влияет на среднюю по времени СЛП глобального излучения заряда. В этом случае при всех значениях / излучается преимущественно а - компонента и р = 0.5. В сильной волне (у >> 1) поляризация существенно влияет на среднюю СЛП. Например, в поле линейно поляризованной волны заряд излучает преимущественно п - компоненту, а при у ~ 0.974 излучение не поляризовано и р = 0. Для волны эллиптической поляризации, например, при / = п / 3 или / = п / 6 СЛП при изменении интенсивности волны изменяется незначительно вблизи значения р ~ 0.5 и при любом значении параметра у излучается преимущественно а - компонента. А, например, при значениях / = 0.282 или / = 1.288 излучение в релятивистском пределе не поляризовано вовсе (р = 0)!
Таким образом, мгновенная р(у,/,х) и средняя по времени р(у,/) степени линейной поляризации глобального излучения заряда в общем случае различны и существенно зависят от интенсивности и поляризации внешнего электромагнитного поля волны.
Автор благодарит профессора Томского госуниверситета В.Г. Багрова за интерес к работе и полезные обсуждения.
1. Багров ВТ. Некоторые вопросы классической теории излучения / ВТ. Багров, Ю.А. Маркин // Изв. вузов. Физика. - 1967. -Вып. 5. - С. 37-42.
2. . . -ния произвольно движущегося заряда /
. . , . . // Московского университета. - 1969. - №3. -С. 104-107.
3. . ., . .
физика. Т. 2. Теория поля. - М.: Наука, 1988. - 512 с.
4. : . /
. .. . . . - .: Наука, 1966. - 228 с.
5. / . . . . - .:
, 2002. - 576 .
6. . . -
нейной поляризации излучения заряда в
//
Труды ФОРА - 2005. - №10. - С. 36-43.
7. . .
заряда в электромагнитном поле плоской / . . , . . , . . Хапаев // Изв. вузов. Физика. - 1967. -. 8. - . 77-84.
