CC BY
72
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта
УДК 629.735.03
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ АВИАЦИОННЫХ ГТД ВО ВРЕМЕНИ
К.А. СОРОКИН
Статья представлена доктором технических наук, профессором Чичковым Б.А.
Статья посвящена исследованию возможности применения полиномов второго и третьего порядка для построения моделей изменения параметров во времени, поиску алгоритмов оптимальной длины выборки для их построения и сравнению рассчитанных моделей с применяемой в настоящее время линейной моделью.
В параметрическом диагностировании авиационных ГТД при многополетной оценке их технического состояния широкое применение получило построение линейных регрессионных моделей изменения параметров во времени. Однако, даже при использовании методов поиска оптимального объема выборки для построения линейной регрессии, полученная модель не всегда в полной мере описывает изменение исследуемых параметров во времени [1].
Для построения регрессий второго и третьего порядка воспользуемся методом наименьших квадратов [2], [3]:
А • IX0 + А! • XX +...+ А, • XX* = Xх!°г! і=1 і=1 і=1 і=1
А • їх1 + А • XX2 +...+А'І*,1+! = XX 'У
(і)
к
і=1 і=1 і=1 і=1
А,-X Xк + 4-! X'+! +...+Ак •X XГк = X *,%,
і=1 і=1 і=1 і=1
где X и У - наработка и исследуемый параметр, соответственно; к - порядок полинома; п - объем выборки.
В итоге регрессия будет иметь вид:
А0 + А1 • X + А2 • X2 = У - аёу ї і ееі і і а 2 її буаёа;
2 3 (2)
А, + Аі • X + А2 • X + А3 • X = У - аёу її ëëі їі а 3 її буаёа.
Для получения оптимального объема выборки для линейной регрессионной модели достаточно использовать алгоритм [4], [5]. Однако коэффициент парной корреляции теряет смысл как характеристика степени тесноты связи между переменными при рассмотрении нелинейных зависимостей, поэтому вместо него используем коэффициент детерминации [і]:
п
Xу'-у')2 (3)
Я2 = 1 -Л!_______ (3)
п __ ’
X (У - У )2
і = 1
где У - значения исследуемого параметра в і-ой точке;
Уі - значение исследуемого параметра по полученной модели в і-ой точке;
У - среднее значение параметра в выборке.
Корректируем его по формуле:
л !,Г* = 1 - (1 - Я2)' -п4, (4)
п - 2
где Я - коэффициент детерминации;
п - объем выборки.
Также вместо критерия серий в алгоритме [5] используем критерий «восходящих» и «нисходящих» серий [1]. За основную гипотезу с вероятностью 0,05 Н0 принимается гипотеза о наличии тренда в рассматриваемой выборке. Формируется последовательность положительных и отрицательных разностей по правилу: если ум — у. > 0, то у( соответствует плюс, в противном случае - минус (если подряд идут несколько равных по знаку наблюдений, в расчет принимается одно из них). Таким образом вычисляется число серий и и длина самой продолжительной из них т. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то с вероятностью 0,05 гипотеза Н0 отвергается [1]:
и>
1 1 ^ 16п — 29
— (2п — 1) —1.96,--------------
3 V 90
(5)
т<т0.
где п - объем выборки;
т0 - равна 5 для п<=26.
При определении оптимальной длины выборки используем значения от 6 до 20 членов в ряду. Для каждого значения объема выборки для линейной, квадратной и кубической регрессий выполняем расчет оптимальной длины выборки. На рис. 1 показаны оптимальные значения объемов выборки с наработкой для трех регрессий параметра «Обороты ротора вентилятора» №).
Из рис. 1 следует, что при использовании идентичных алгоритмов для выявления эффективной длины выборки для рассматриваемых регрессионных моделей, на практике в некоторых случаях эффективные длины выборки различны для различных моделей.
Ь выборки
Рис. 1. Изменение эффективной длины выборки с наработкой для полиномов 1, 2 и 3 степеней
Для выявления наиболее подходящей под рассматриваемый набор данных регрессии обычно применяется метод последовательных разностей [1]. Однако этот метод хорошо работает только при монотонно изменяющихся последовательностях, что в случае параметрической диагностики маловероятно с учетом эксплуатации ЛА в различных атмосферных условиях и т.п. (несмотря на приведение параметров к САУ). Поэтому в настоящей работе оптимальной принимается та регрессия, у которой, с учетом алгоритмов определения эффективной длины выборки, наибольший исправленный коэффициент детерминации. Этот выбор обусловлен тем, что коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессией, т.е.
может служить обобщенной мерой «качества» статистической модели [1]. Чем он ближе к 1, тем больше соответствие предложенной модели реальному изменению параметра во времени. На рис. 2 представлен исправленный коэффициент детерминации для каждой регрессии.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
РЛ2испр
-0,2
-0,4
650
■Линейная
-■Квадратная
1050
Наработка, час — -А — Кубическая
Рис. 2. Изменение коэффициента детерминации с наработкой для полиномов 1, 2 и 3 степеней
Одной из основных целей получения линии регрессии является возможность оценки скорости изменения параметра в рассматриваемый момент. В случае линейной модели скоростью изменения параметра будет является коэффициент наклона прямой. В случае с полиномами 2 и
3 степени необходимо выполнять расчет касательной в рассматриваемой точке:
У = / ( хс) + /'(хс)(х - хоХ (6)
где х0 - абсцисса рассматриваемой точки;
/ ( х0) - значение функции в рассматриваемой точке;
/'(х0) - значение производной функции в рассматриваемой точке.
Тогда скоростью изменения параметра будем считать /'(х0) .
Однако в результате расчета может быть получена такая аппроксимирующая функция, что в некоторой окрестности рассматриваемой точки у нее может быть либо экстремум (максимум или минимум), либо точка перегиба (только для кубической параболы). В таком случае некорректно брать касательную к рассматриваемой точке, так как полученное значение скорости изменения параметра не будет отображать изменение параметра в рассматриваемый момент из -за изменения поведения функции.
Координаты точки перегиба определяются приравниванием к нулю второй производной рассматриваемой функции (в нашем случае можно говорить о точке перегиба только для кубической параболы, так как только она имеет вторую производную). А для получения координат экстремума функции достаточно приравнять её первую производную к нулю:
А
Ї адаагаа
3 А
Ху2
Ху3 =■
2 А
3 А
- +
^(Аг)/(3А;)Г-(А,)1(3Аз),
где Х
перегиба
точка перегиба;
2
хэ2 и хэ3 - экстремумы функции для параболы и кубической параболы.
На рис. 3 представлен ряд и аппроксимирующая кубическая парабола с точкой перегиба и экстремумами.
N3, %
♦ Ряд Полиномиальный (Ряд)
Рис. 3. Аппроксимирующая функция с указанием экстремумов и точки перегиба
Определим окрестность рассматриваемой точки как интервал между предыдущей точкой и текущей плюс 6 ч наработки (с учетом следующего полета). Тогда, если в указанном интервале будет либо экстремум регрессионной функции, либо точка её перегиба, то построение касательной проведем к предыдущей по отношению к рассматриваемой точке, соответственно и скорость изменения параметра будем считать равной /'(х0-1) . На рис. 4 представлены значения
К, если К=1 - у функции в окрестности рассматриваемой точки присутствует точка перегиба, если К=2 - экстремум, если К=0 - экстремум и точка перегиба отсутствуют. Из этого рисунка следует, что такие случаи достаточно часты и их необходимо учитывать при анализе полученных скоростей изменения параметров во времени.
На рис. 5. представлены скорости изменения параметра № с наработкой для рассматриваемых регрессий с учетом исключения точек перегиба и экстремумов согласно формуле 4, на рис. 6 показан исследуемый ряд, линейная регрессия и касательные к остальным в исследуемой точке (оптимальная регрессия - кубическая по коэффициенту детерминации), причем по алгоритму определения эффективного ряда получены одинаковые длины выборки для каждой, а на рис. 6 представлен тот же ряд с рассчитанными для него регрессиями.
.....квадратная —•— кубическая Нараб°тка, час
Рис. 4. Наличие экстремумов или точек перегиба с наработкой в полученных регрессиях
Из рисунков 5, 6 и 7 можно сделать вывод, что хотя разности (рис. 5) между рассчитанными скоростями тренда по различным регрессиям могут достигать порядка, но полученная оптимальная регрессия достаточно хорошо описывает изменение исследуемого параметра, так как коэффициент детерминации максимальный из рассматриваемых, а, следовательно, отклонение выбранной модели от реальных точек минимально, т.е. наиболее адекватно реальному изменению параметра во времени на рассматриваемом участке.
Рис. 5. Изменение скоростей тренда параметра № с наработкой для рассматриваемых регрессионных моделей
^Ыв, %
Касательная к кубической
Линейная аппроксимация
850
900
950
Касательная к квадратной аппроксимации Наработка, час 1000
Рис. 6. Исследуемый ряд и касательные к линиям регрессии
Мв, %
Ряд Кубическая аппрок- линейная аппрокси-
симация . мация
850
900
950
1000
Рис. 7. Исследуемый ряд с линиями регрессии
Следовательно, и полученные скорости тренда наиболее реалистично представляют мгновенное изменение параметра во времени. Физическое подтверждение может быть проиллюстрировано на рис. 8 и 9.
На рис. 8 и рис. 9 представлены выборка исследуемого параметра и точки, в которых согласно алгоритмам [6] получены признаки «опасный тренд» по квадратной и линейной регрессиям. Каждый полученный признак соответствует реальному изменению параметра и позволяет выявить начальную стадию анормального изменения параметра. Однако полученные по квадратной регрессии признаки охватывают большее число участков, в которых начинается характерное изменение параметра. Также, согласно [7], определяются необходимые для выявления и устранения неисправности работы в том случае, если полученные признаки проявляются подряд в двух и более полетах. У оценок по линейной регрессии подобных сочетаний нет, а у оценок по квадратной - есть (рис. 8), и расположены они в характерных точках - началах изменения параметра. Таким образом, мы получили более ценные для постановки диагноза оценки, которые могут существенно упростить процесс экспертного принятия решения и постановки диагноза.
91
№, %
90,5
90
89,5
«Опасный
тренд», полу- 89
ченный в
результате
оценки скоростей измене- 88,5
ния параметра
квадратной 88
регрессии
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Рис. 8. Оценка скоростей тренда, полученных по квадратной аппроксимации, на всей длине выборки
93
№, %
92
«Опасный тренд», полученный в результате оценки скоростей изменения параметра линейной регрессии
1000
2000
3000
4000
Наработка, час
5000 6000
0
0
Рис. 9. Оценка скоростей тренда, полученных по линейной аппроксимации, на всей длине выборки
Следует понимать, что полученные оптимальные регрессии справедливы только в рамках рассматриваемых участков и не могут применяться для прогнозирования изменения параметра во времени, так как лишь приближенно его описывают на определенной выборке и не являются его точной формульной интерпретацией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арженовский С.В., Федосова О.Н. Эконометрика. - Ростов-на-Дону, 2002.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных / Пер. с английского В.Е. Привальского и А.И. Кочубинского под редакцией акад. И.Н. Коваленко. - М.: Мир, 1989.
3. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами / Пер. - М.: Мир, 1973.
4. Чичков Б. А. Методология оптимизации статистических диагностических моделей авиационных ГТД для установившихся режимов работы. - М.: МГТУ ГА, 2001.
5. Сорокин К.А. Магистерская диссертация. Совершенствование системы параметрического диагностирования ТРДД типа ПС-90А. - М.: МГТУ ГА, 2007.
6. Двигатель ПС - 90А. Математическая обработка полетной информации. Методика 94-00-807ПМ194. Пермь, 2005.
7. Бюллетень № 94148 - БЭ - Г, 1996.
THE RESEARCH OF POSSIBILITY OF 2nd AND 3rd DEGREE POLYNOMIAL ADAPTATION UNDER BUILDING TIME MODELS OF AIRCRAFT ENGINE PARAMETERS.
Sorokin K.A.
This article devotes the research of possibility of 2nd and 3rd degree polynomial adaptation under building time models of aircraft engine parameters. It researches the optimal sampling length algorithm for these models and compares them with linear model used at present time.
Сведения об авторе
Сорокин Кирилл Алексеевич, 1984 г.р., магистр МГТУ ГА, область научных интересов - диагностирование авиационных ГТД по регистрируемым параметрам.
