Условие пластичности порошковых материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Условие пластичности порошковых материалов Рудской А.И., Рыбин Ю И., Цеменко В.Н.

ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНОЛОГИЯ ПОРОШКОВОЙ МЕТАЛЛУРГИИ

УДК 621.762

А. И. Рудской, Ю. И. Рыбин, В. Н. Цеменко

УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ

В теории упругости связь напряжений и де-формаций задана законом Гука, коэффициенты пропорциональности (модуль нормальной упругости, коэффициент Пуассона) являются константами В теории пластического течения коэффициент, связывающий девиаторы напряжений и скорости деформаций, зависит от величины приращения деформации, то есть на момент решения задачи неизвестен Зависимости, связывающие напряженное и деформированное состояния , могут быть получены на основании уравнений ассоциированного закона пластического течения. Коэффициент пропорциональности (неопределенный множитель Лагранжа) должен быть подобран так, чтобы было соблюдено условие пластичности

В отличие от компактных материалов, пористые и порошковые материалы деформируют -ся с необратимым изменением объема, увеличивая плотность за счет уменьшения объема пор. Если изменение объема при обработке давлением компактных материалов носит упругий ха -рактер и характеризуется коэффициентом объ-

емной деформации к =-----------, постоянным во

3(1 - 2г)

всем диапазоне обжатий, для пористых материалов это величина переменная, возрастающая по мере увеличения относительной плотности Решение технологических задач обработки давлением пористых материалов предполагает необходимость раскрытия еще одной нелинейности (помимо нелинейной связи девиаторов напряже-ний и скоростей деформации) - нелинейной свя-зи шаровых компонент тензоров напряжений и деформаций [1]. Подобно тому, как для установления связи девиаторов в систему введено условие пластичности, для нахождения переменного коэффициента объемной деформации необходимо сформировать дополнительное уравнение [2].

Анализ технологических процессов обработки давлением порошковых металлических материалов, таким образом, возможен с тех же позиций теории пластического течения, с которых выполняется моделирование процессов обработки давлением компактных материалов. Для этого необ-

ходимо корректно сформулировать условие пре-дельного состояния порошкового материала, т.е. построить поверхность текучести, и далее получить уравнение ассоциированного закона пластического течения, связывающее параметры напряженного и деформированного состояний [3].

Потребовался большой объем экспериментальных исследований, позволивший получить механические характеристики ряда порошковых материалов в зависимости от относигель-ной плотности материала (р) [4] и сформулировать условие пластичности на всех стадиях уплотнения [5].

Кривые текучести строятся по результатам испытаний на срез, одноосное растяжение и сжатие, сжатие в закрытой матрице, гвдростатиче-ское сжатие. Это позволяет определить предел уплотнения (с) - минимальное среднее напряжение, при котором начинается уплотнение, как самостоятельную механическую характеристику, а не вычислять ее как полуразность пределов текучести при гвдростатическом сжатии (дх) и растяжении (р) [2]. Как было показано ранее [6], предел уплотнения является функцией плотно -сти, и было бы некорректно сохранять его относительное положение неизменным на всех стадиях уплотнения. Однако при этом необходимо отказаться от квадратичной аппроксимации кривой текучести. Аппроксимация более высокого порядка создает проблемы математического плана , поскольку уравнение ассоциированного закона пластического течения в этом случае перестает быть линейным и необходимо линеаризовать связь шаровых компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций Это выдвигает задачу анализа математических возможностей встраивания в общий алгоритм расчета [3] кривой текучести третьего порядка и соответствующего уравнения ассоциированного закона течения.

Поверхность вращения параболы

Поскольку величина д,? - предела текучести на гвдростатическое растяжение мала по сравнению с остальными, в целях упрощения выкладок примем ее равной нулю. Заметим, что учет и этой величины не представляет существенных проблем.

Уравнение поверхности нагружения будем искать в виде:

Ф а1Т = + а2а0 + а3ст02 + а 4ст0 = 0. (1)

Здесь Т - интенсивность касательных напряжений; со - среднее (гвдростатинеское) напряжение.

Свободный член этого полинома равен нулю: здесь учтено, что д.=0 и кривая проходит через начало координат. В выражении (1) нет слагаемого, содержащего Т в первой степени: здесь учтено, что поверхность нагружения представляет собой тело вращения относительно гвдростатической оси и гвдростатическая ось перпендикулярна поверхности нагружения.

Для нахождения коэффициентов а 1-а4 воспользуемся следующими условиями прохождения кривойчерез точки А и В (рис. 1) и равенством нулю производной в точке А:

приОо=-Ри, Т = 0;

при 00= —с, Т = т. (предел текучести на пластический сдвиг);

приа0= —с, Ф' = 0.

Производная по аЬ функции Ф равна: Ф' а, =н- 2а, стп + 3а. ст2.

0"ь 2 3 Ь 4 Ь

Из условий (1)—(3) имеем:

(2)

-а 2р. + а3рх - а4 рх = 0; а1т_2 - а2с + а3с2 - а4 с3 = 0 ; а2 = 2а3с - 3а4с2.

Исключая а2 из первых двух уравнений, получаем:

~2а3сР, + 3а4с2р. + а3р. -а4р. = 0;

а1т_2 - 2а3с2 + 3а4 с3 + а3с2 - а4с3 =0.

После приведения подобных имеем:

а

(Р* -2с)+а4 (3с" -Р*) = ь;

а1т_2 - а3с2 + 2а4с3 = Ь.

Выразим а 4 из первого уравнения: Р * - 2с

а = а —-------- и подставим во второе.

4 3 Р* - 3с 2

Получаем: -а3с2 + 2а, -Щ—2^с3 = Ь

р.. - 2с

~3 р. -3с 2

После некоторых упрощений приходим к следующему уравнению:

«Л (Р2 - 3^2)- а3 (р. с2 + с4 - 2рьс2) = 0. Откуда:

а, = ал

2 2 2 Р3С

3 1 * 2 / \2 '

с (Р* - с)

Далее:

Р* - 2с 2 РІ - 3с2 Р* - 2с

а = а^-Ч*--------г аг2 -

4 3 Р2 - 3с" 1 * с" (Р* - с)2 Р2 - 3с"

= а т

Р * - 2с .

1 : с с (Р: - с)2 ’

2 — 3с2

а2 = 1а3с - 3а4с2 2а1т* Р* =—-

с (Р* - с)2

-Ъа т2 Р* “ 2с --2 Р* (2Р* - 3с)

1 . (р. - с)2 1 . с (р. - с)2

Подставив выражения а2-а4 в уравнение (1), получим уравнение поверхности нагружения в ввде:

, Т2 р.. (2р - 3с) р2 - 3с2 2

Ф — + , = 42 СТ0 + “77----------72 ^ +

Г* c(ps - с)

Р* -2с -ОІ = Ь.

с (Р* - с)

с 2( Р* - с )

2 Ь

(3)

Эта кривая проходит через начало координат, точки А и В и имеет максимум в точке А.

Обозначим:

А = Р*(2Р* - 3с) . с(Р* - с)2 ;

В = С =

2 0 2 Ра - 3с .

с2(Р* - с)2 ; Р* - 2 с с2(Р * - с)2 ,

(4)

уравнение поверхности нагружения запишем в ввде:

Т 2

Ф —Ла0 + В&0 + Соъ0 = 0. (3')

г2

£

Уравнение ассоциированного закона течения примет вид:

дФ

ёР = А — 1 Зст,,.

=х

£ Г1 7Г+^'

—А + — ВоЬ + СоЬ

ч3 3 Ь Ь,

(5)

Выразим множитель Лагранжа X через характеристики напряже нно-де форм ированного состояния. Для этого сопоставим выражение (5) с известным из теории течения:

єР =1 єР3.. +чр -^3.. +

ч 3 Ь ч V 3КР у 2ЦР

Из этого сопоставления следует:

£

1ц

ст,

1 =А

р

2 КР

■ = Л

3 А + 3 в^ь + Са0

(

=л

Откуда:

Л

V 3стЬ 3

СТь.

/иР ; КР = 2Я

Л

л ■

— + 2В + 3СстЬ

А 1

Обозначим: Б =-ь 2В + 3СстЬ, тогда КР =

ЛБ

Учитывая, что стЬ = КРє0 = —-ул

----ь 2В+3С<г„

Т = /иРИР = —^ИР, условие (3') запишем в ввде: 2А

ГГт2

Ф — + Ае Ь + В<гЬ2 + СстЬ3 т

4Л2

+А + В-^ + С-^ = Ь.

ЛБ Л2 Б2

Я3 Б3

Умножим обе части равенства на X .

Получим:

^+В 4Л 4 Б2

•3

Л + А ^ Л2 + С ^ = Ь. (6) Б Б3

Это - квадратное уравнение, поло жиге ль ным корнем которого является большее из двух значений:

А =

-Ь ±УІЬ2^

4ас

2а

(7)

где а = А-^; Ь =

МРҐ

В -4 Б2

с = С— Б3

Таким образом, как ив случае использования эллиптического условия пластичности, наиболее широко применяемого в качестве кривой текучести, использование кривой текучести в форме параболы позволяет придти к определяющим уравнениям с одним искомым в ходе итерационного процесса параметром X. Этот параметр является функцией предела уплотнения, пределов текучести материала при пластическом сдвиге и гвдростатическом сжатии, а также напряженно-деформированного состояния на рассматриваемой стадии нагружения.

В отличие от эллипса, кубическая парабола, в общем случае, не исключает наличие двух экстремумов и точек перегиба. Поверхность текучести всегда должна быть выпуклой. Поэтому использование кубической параболы в качестве кривой текучести необходимо сопроводить ана-лизом области возможного применения.

Исследуем функцию (3) на экстремум, перейдя предварительно к безразмерным значениям механических характеристик и параметров напряженного состояния (отнеся их к пределу текучести на гвдростатическое сжатие р.). Положение экстремума определяется уравнением:

дФ

= А + 2ВаЬ + 3Со 2 = Ь.

Решаем это квадратное уравнение относительно оь :

- В ±у!в2 - 3 АС _ 3С ~

' -1 ±(3с2 - 3с +1)

3 (1- 2с)

(8)

Здесь А, В, С определяются выражениями (4).

Решение уравнения (8) дает два корня: 3с - 2

"0 =-сИ "0 = .

Первое из этих решений соответствует исходным условиям для вычисления коэффициентов уравнения (1): максимум функции достигается при гвдростатическом давлении, равном пределу уплотнения. Второе решение тоже существует в области определения функции (безразмерное значение 00 изменяется в пределах от 0 до -1). Таким образом, поверхность предель-ного состояния может оказаться вогнутой.

2

1

Для определения границ возможного использования параболического (третьей степени) условия текучести возьмем вторую производную функции, полученной из (3'):

если

T = T.J-

<г0 +Ва0 +<

-ССТо3) .

Обозначив F = - (Ac 0+В<г02 + Сст^), получ им:

F;o =-(A + 2Ва0 + 3Са] );

F1 =-2 ( B + 3ССТ0 );

T ' = T

F'

T "=t

2F"F -(F')2

24F ’ * 4WF '

Таким образом, кривая текучести выпукла,

Рис. 2. Кривые предельного состояния оксидоцинковой керамики

Рис. 3. Исходная и продеформированные сетки конечных элементов (соответствующие р=0,56 и р=0,7) при прессовании образца 016,5 мм

д2Т _ 4(В + ЪСо0)(А^0 + В<з1 + С^03 )

до2

■= т

4 fVF (A + 2Ва0 + 3С&2)

4 FyfF

< 0.

Поскольку г. и F - величины положительные , отрицательным должен быть числитель дроби. После упрощений имеем:

4ВСап + 6ACa2

3СVn4 - A2 < 0.

(9)

Это неравенство должно соблюдаться во всем диапазоне изменения ст0, т.е. от 0 до -1. При ст0 = 0 неравенство (9) имеет ввд : -A2<0.

Используя выражения (4) и учитывая, что выражения в знаменателе - положительные числа, получаем: -(2- 3с) !с2 < 0 . Отсюда с < 2/3 .

При аь = -1 неравенство (9) имеет ввд: (3с - 1) (с + 1) (9с2- 6с + 5) > 0.

Учитывая, что выражения во вторых и третьих скобках дают положительный резуль-тат, получаем: с >1/3. Следовательно, кривая текучести выпукла, если предел уплотнения находится в интервале 1/3 < c/ps <2/3. Если от -ношение c/ps выходит за пределы этого диапазона , появляется второй корень уравнения (8), и использование параболического условия пластичности невозможно.

Проверка адекватности механической модели материала

Построение условия пластичности порошкового материала связано с использованием ряда допущений и упрощений, влияние которых необходимо оценить. Основные неточности обусловлены аппроксимацией кривой теку -чести параболой третьей степени и интерпретацией результатов испытания в закрытой матрице. Предел уплотнения и пределы текучести на пластический сдвиг и гвдростатическое сжатие определяются статистической обработкой экспериментальных данных. Кривая текучести в ввде параболы третьей степени строится на основании навденных величин предела уплотнения и пределов текучести и может не совпадать с экспериментально построенной кривой на всем ее протяжении Это, очеввдно, не должно отразиться на интегральных характеристиках процесса, но может вызвать некоторое искажение полей напряжений и деформаций. Некорректная интерпретация результатов испытаний в закрытой матрице, напротив, может привести к систематической ошибке и неправильному расчету интегральных характеристик (давление

А

■ і ^ 1

Рис. 4. Распределениенормапьных и касательныхнапряжений по сечению образца 016,5 мм

прессования). Исследования, результаты которых приведены в работе [4], выполнялись на семи металлических порошковых материалах. Адекватность предложенной модели в настоящей работе проверяется на пластифицированном порошке оксвдноцинковой керамики.

По результатам испытаний на срез, одноосное сжатие, сжатие в закрытой матрице, гвдростатинеское сжатие в координатах Т- стЬ построены кривые предельного состояния оксидноцинковой керамики (рис. 2). Область экспериментальных измерений охватывает интервал относительной плотности р = Ь,56-Ь,7; за нижним пределом образец самопроизвольно рассыпается.

Поскольку допущения и упрощения при об -работке результатов экспериментов носят математический характер, адекватность механической модели оценивается по результатам численного эксперимента. Методом конечных элементов решалась задача пластического течения о прессовании образца оксвдоцинковой керамики За 18 этапов жесткого нагружения циливдриче-

Рис. 5. Распределениенапряжений ст:повысоте образца вдоль образующей цилиндра (1), в средней части (2), вдоль оси цилиндра (3)

ский образец диаметром 016,5 мм от исходной относительной плотности р = 0,28 доведен до средней плотности по объему р = 0,7. Исходная сетка конечных элементов, соответствующая плотности р = 0,28, и продеформированные сетки (после 9-го и 18-го этапов нагружения) приведе-ны на рис. 3. Коэффициент трения принят таким же (и =0,5), каким был при обработке результа-тов механических испытаний.

При обработке экспериментальных данных прессования образцов материала в закрытой матрице напряжения аг усреднялись по объ-

ему исходя из допущения об их линейном рас -пределении по высоте, а касательные напряжения тгг - исходя из экспоненциального распре -деления по радиусу. При этих допущениях на -пряженное состояние описывается инварианга-

ё. + 2ст_ 1 г— _ , 2

и Т = ^=^1 (стг -ог) + тк , где

3

тк- напряжение контактного трения; стг и аг -усредненные по объему осевое и радиальное напряжения.

На основании результатов расчетов на рис. 4 приведены области равных уровней нормальных и касательных напряжений в продоль-

Рис.6. Распределение касательных напряжений вдоль радиусазаготовки в сечении А-А (см. обозначения на рис. 4)

ном сечении образца. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния, полученное средствами математического моделирования, качественно верно согласуется с принятым и допуще ниям и.

На рис. 5 показаны графики распределения вертикальных напряжений вдоль высоты в трех вертикальных сечениях, показанных на рис. 4 цифрами 1, 2 и 3. Эти графики демонстрируют закономерности распределения нормальных напряжений по объему заготовки и не являются прямыми линиями. Однако усредне-ние величин по высоте, проведенное при допущении об их линейном распределении, интегрально не вносит сколько-нибудь заметной ошибки График распределения касательных напряжений (рис. 6) вдоль радиуса по сечению А—А сввдетельствует о корректности описания зависимости в виде экспоненты.

Одним из результатов расчета является распределение напряжений на контактной поверхности; интеграл от этой функции = /(г)

дает величину усилия пресса. Расчетные значения величин усилия пресса в ходе процесса прессования образца диаметром 016,5 мм (рис. 7) сопоставлены с экспериментально наблюдаемыми значениями усилия пресса. Практически полное их совпадение в данном случае

р тс 7

6 5 4 3 2

1 О

0,4 045 0,5 0,55 0,6 0,65 Р

Рис. 7. Зависимость усилия пресса от средней по объемуобразца 016,5 мм относительной плотности

(расчетная кривая и экспериментальные точки)

подтверждает корректность методики обработ-ки экспериментальных данных, приемлемость допущений о линейном по высоте распределении напряжений и экспоненциальном рас -пределении по радиусу напряжений тГ2.

Таким образом, аппроксимация кривой текучести в виде параболы третьей степени не только качественно верно отражает закономерности уплотнения порошковых материалов, но и дает корректные численные значения параметров напряженно-деформированного состоя -ния на всех стадиях процесса.

Библиографический список

1. Колмогоров В.Л. Механикаобработкиметаллов давлением. М.: Металлургия, 1986. 688 с.

2. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение, 1989. 165 с.

3. Рыбин Ю.И., Рудской А.И.. Золотов А.М. Математическое моделирование и проектирование технологических процессов обработкиметаллов давлением. СПб.: Наука, 2004. 640 с.

4. ЦеменкоВ.Н. Деформирование порошковых сред. СПб.: Изд-воСПбГТУ, 2001, 104 с.

5. Рыбин Ю.И. Моделирование процессов обработки давлением порошковых металлических материалов // Труды 3-й Междунар. науч.-техн. конференции "Компьютерное моделирование 2002". СПб., 2002. С. 78-87.

6. Рудской А.И., Цеменко В.Н., Рыбин Ю.И. Математическая модель уплотнения Порошковых и пористых материалов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. С. 70-77.

УДК 621.762

И. В. Анциферова, О. Н. Глухарева

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОРОШКА АЛЮМИНИЕВОГО СПЛАВА АК12, ПОЛУЧЕННОГО ЦЕНТРОБЕЖНО-ПНЕВМАТИЧЕСКИМ РАСПЫЛЕНИЕМ МЕТАЛЛА В ИНЕРТНОЙ АТМОСФЕРЕ*

Потребность в сплавах алюминия с кремнием растет с каждым днем. Сдерживающим фактором их применения при производстве деталей на сегодняшний день являются ограниченные сырь-

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 06-08-00879-а.

евые ресурсы. При получении деталей методом литья значительное количество металла уходит в отходы. Применение методов порошковой ме-таллургии при изготовлении конструкционных деталей позволяет снизить материалоемкость за счет повышенного коэффициента использования металла и разработать материалы с высокими