Исследование возможностей адаптивной системы управления с эталонной моделью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Подставляя (19)-(22) в (17), после преобразования получим

(ю

(у

-«V (7-а (х, У)-Т (х, У) - с'рГн

( Ж(Х, У) &

$100 + Ж(х, у)" (х_______________

а(га(х, у))15

га2(х, у)р -а (х, у)А

г

(23)

Аю(х, у)р-а(х, у) Аю(х, у) Аю(х, у) (у

Н (х)

Р са (х,0) =

Ра

а ) (и(х, у))1>5 (у

ЯТса( х,0) ^Тса(х,0)

(24)

Граничное условие уравнения (15), обеспечивающее необходимые биохимические превращения в продукте по ходу процесса сушки, определяется соотношением

Г(х, у) = 7 -

Н (т)

- Г-

Н(х) *{, 100+ Г(х, у)

Г (х, у)

(у, (25)

где То и д - постоянные коэффициенты.

Для уравнений (13) и (22) граничными условиями являются управляющие воздействия, соответственно:

Тса (х І у= 0 = Т0; ®(х І у= 0 =

®0

(26)

Достижение цели (1) тесно связано с учетом конкретных условий, в которых должно быть принято оптимальное решение. Эти условия определяются совокупностью ограничений, фиксирующих область изменения переменных параметров процесса сушки [1].

Граничное условие рса(т, 0) для уравнения (12) определяется уравнением состояния идеального газа

Таким образом, концепция моделирования прибыльных технологий представлена совокупностью функции цели (критерия оптимальности) (1), математического описания процесса сушки (2)-(23) и системы ограничений (24)-(26). При этом средняя по времени прибыль однозначно определяется технологическим режимом тепловой обработки зерна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Грачев Ю.П., Тубольцев А.К., Тубольцев В .К. Моделирование и оптимизация тепло- и массообменных процессов пище -вых производств. - М.: Легкая и пищевая пром-сть, 1984. - 216 с.

2. Муштаев В. И., Ульянов В.М. Сушка дисперсных материалов. - М.: Химия, 1988. - 351 с.

3. Остриков А .Н., Кретов И .Т., Шевцов А.А., Доброми-ров В.Е. Энергосберегающие технологии и оборудование для сушки пищевого сырья. - Воронеж, 1998. - 344 с.

4. Добкин В.М. Системный анализ в управлении. - М.: Хи -мия, 1984. - 224 с.

5. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Кольцова Э.М. Системный анализ процессов химической технологии: Энтропийный и вариационный методы неравновесной термодинамики в задачах хими -ческой технологии. - М.: Наука, 1988. - 366 с.

Кафедра технологии хранения и переработки зерна

Поступила 16.01.07 г.

0

62-501.12

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ

В.И. ПУГАЧЕВ

Кубанский государственный технологический университет

При работе оборудования пищевой и других отраслей промышленности происходит изменение статических и динамических характеристик объектов управления из-за образования накипи, старения, изменения давления теплоносителя, продукта и т. п.

Для управления объектами с переменными параметрами в настоящее время применяют самоадапти-рующиеся системы, работающие в квазистационарном режиме, когда параметры модели периодически уточняются с использованием стохастических методов, а в промежутке предполагают постоянство этих параметров. Все большее внимание уделяется разработке регуляторов с нечеткой логикой. Однако первый метод сопряжен со сложными вычислительными операциями, дающими усредненный результат в ограниченной области частот, а второй не может быть использован в

промышленных условиях без решения вопросов устойчивости.

Для управления объектами с переменными параметрами в [1, 2] предложено использовать адаптивную систему управления с эталонной моделью. Однако такие системы обладают низким качеством вследствие невозможности практически реализовать значительное увеличение коэффициента усиления К из-за поте -ри устойчивости [1].

В настоящей работе показаны возможности анализа и способа повышения устойчивости эквивалентной модели (ЭМ) для практического применения метода.

На рис. 1 приведена схема включения модели-эталона параллельно объекту.

Такая схема обеспечивает неизменность динамиче -ских характеристик системы в целом при изменении динамических характеристик объекта. Это достигается введением в контур управления модели-эталона, которая соединена с основной системой управления.

Рис. 1

Выходная координата объекта управления х измеряется и сравнивается с выходным сигналом модели хм. Разность между ними вводится в цепь обратной связи, выходной сигнал щ вычитается из управляющего сигнала и(/% действующего на объект. Определим передаточную функцию эквивалентного объекта.

х* Р+. и* р)

X*р) = К(р)[и(р)-(х(р)-Жт*р)и(р))г0с(р)]: = К( р)[ и( р )- Кс * р)х( р )+^ос * р)^т * р)и( р ).

(1)

(2)

Отсюда

Х* р),1" ^о* р)Кс* р)] =

= Wо* р),1" Кс * р)^т * р)]г{ р);

х( р )_ Wо* р)[1" Woc* р^т* р)]

и( р ) 1" Wо * р^с* р)

(3)

(4)

При большом коэффициенте усиления звена обратной связи

We* р). ^^т * р)

(5)

К к

^^т ( р ) = —. Wo( р ) = —; Woc( р ) = К ос.(6)

т р" 1 То р " 1

В общем виде передаточная функция ЭМ W. (р) =

=_____________К о( КтК ос "Ттр " 1)___________

ТтТо р 2 " (К о К ос Тт " Тт " Т0 ) р" К 0 К ос " 1 .

(7)

Характеристическое уравнение ЭМ

ТтТо р2 " (К о К ос Тт " Тт " То) р " К о К ос " 1= 0 .

Как следует из характеристического уравнения, ЭМ всегда устойчива.

Для проверки устойчивости замкнутой системы запишем ее характеристическое уравнение с ПИ-регулятором

wy (р) = КР " -Ъ Wr (р) = W. (р )Wy (р) ;

Т1р

Wz (р) =

х (р)_ Wr (р)

х( р) 1" Wr (р)

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Т-ТтТ, р 3 " (ТТтК о К ос " Т^т " ТТТ "

"К о Кр ТТ ) р2 " (Т (1" Ко КтК ос Кр "

"К о Кр " К о Кос )" К оТт ) р" К о (1" К ос Кт ) = 0

Коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы по убывающим степеням р:

а0 = Т,Т„То;

Следовательно, свойства системы определяются лишь динамическими свойствами модели. Wm(p) выбирают так, чтобы вся замкнутая система была оптималь -ной с точки зрения управления. Однако формальное выражение (5) может привести к неформальным трудностям при реализации системы управления с заданными показателями качества. Аналогично тому, как формально инвариантности системы автоматического управления (САУ) можно добиться увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы, реализация управления по модели может столкнуться с вопросом устойчивости всей системы или ЭМ.

Проведем анализ устойчивости ЭМ и замкнутой САУ без чистого запаздывания.

Предположим, что исходная модель должна быть по свойствам близка к начальным свойствам реального объекта.

Пусть объект - апериодическое звено первого порядка, тогда выберем в качестве модели апериодическое звено первого порядка.

а, =ТТтКо К ос "ТТт "ТТ "К 0 К р ТТт .

а2 = Т (1" К о КтК ос Кр " К о Кр " К оК ос)" К о Тт . аз = К о(1" К ос Кт )

Поскольку а0 всегда больше нуля, проверим второй диагональный минор

Б2 =

; Б2 = а1 а2 — а 0 а3.

Очевидно, что определитель второго порядка всегда положителен, т. е. ЭМ всегда будет устойчивой.

Для реального объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, примем для определенности

Ко

= Т 2 Т1 р

^^т ( р ) =

Т1 р " То р " 1

К т

Тт1 р " Тт р " 1

где К о = 1,5; То = 5; Т1 = 6; Кт = 1,5; Тт = 6; Тт1 = 8.

Выясним, как влияет выбор Кос на устойчивость ЭМ:

а1 а3

аа

0

2

К. (р) =

2,25К ос +12 р2 + 9р + 1,5

48 р4 + 16р3 + (12К0с + 44)р2 + (9К0с + 11)р + 1,5КЖ + 1' Характеристическое уравнение ЭМ

48 р4 +16 р3 + (12Кос + 44) р2 +

+ (9К0с + 11) р+1,5Кос + 1 = 0.

Коэффициенты характеристического уравнения по убывающим степеням р

а0 = 48; а! = 16; а2 = 12Кос + 44; а3 = 9Кос + 11; а4 = 1,5 Кос + 1.

а1 а3 0

Б3 = а0 а2 а4 ;

0 а1 а3

В3(К ос) = 4320К о2- +21960К

Н (/) = П10Н (р) =

(9)

Рис. 2

Пусть Кр = 5, Т,- = 3. Тогда передаточная функция замкнутой системы по каналу ф3 ® ф принимает вид

Тогда получим привычное характеристическое уравнение вида

а0рп " а 1 р^1 " "а— 1 р" ап = 0.

Модель будет устойчивой, если при а0 > 0 главные диагональные миноры П2 и Б3 будут положительны.

Б2(Кос) = 480Кос + 2816.

25200.

Как следует из расчетов, В2 и В3 всегда положительны при положительном Кос.

Рассмотрим вид переходных функций реального объекта Но(/), модели Нт(/) и ЭМ Не(/).

Кт (р) К( р) (р)

Нт (р) = ^^; Но( р) = ^^; Не (р) = ^2. (8)

Найдем обратное преобразование Лапласа от изображений переходных функций

0,195р3 + 0,649р2 +15 р +1

0,636р5 + 1,01р4 + 11,3 р3 + 12,1 р2 +11 р +1

Переходная функция замкнутой системы

Иг (/) = 1— 0,0134ехр(—0,421/)со8(5,03/)—

—0,000631ехр(0,421/ )Бт(5,03/)—

—0,903 ехр(—0,342/ )соб(0,94 1/) —

—0,336ехр(—0,342/ ^т(0,941/)— 0,0846ехр(—0,0614/).

Переходная функция Иг(/) замкнутой САУ при управлении по модели и при произвольно выбранных параметрах ПИ-регулятора приведена на рис. 3.

Существенно изменим параметры реального объекта и посмотрим, как изменится динамика замкнутой САУ при неизменных параметрах регулятора.

К (р)=-

К = 5; Г0 = 15; Т1 = 26.

0,195р3 + 0,649р2 +15 р +1

11,1р + 1

где И(/) - оригинал функции; И(р) - изображение функции по Лапла -су; ЬА - символ прямого преобразования Лапласа.

Ит (/) = 1,5ехр(—0,5/)— 3ехр(—0,25/)" 1,5;

Ио (/) = 3ехр(—0,5/) — 4,5ехр(—0,333/)" 1,5.

Примем Кос = 100, тогда, подставив значения передаточных функций в (4) и с учетом (8) и (9), получим:

Ие (/) = 1,5" 1,5ехр(—0,5/)— 3ехр(—0,25/) —

—0,0025ехр(— 0,417/ )соб(5/ ) —

—(8,33)10— ехр(—0,417/ )Бт(5/).

Графики переходных функций реального объекта Ио(/), модели Ит(/) и ЭМ Ие(/) представлены на рис. 2 (кривые 1, 2, 3 соответственно).

Посмотрим переходную функцию замкнутой САУ при управлении по модели и при произвольно выбранных параметрах ПИ-регулятора.

0,826р + 1,1р4 + 11,2р + 12,6 рі Н (/) = 1- 0,908ехр(-0,341/)соє(0,953/)-—0,321ехр(-0,341/ ^іп(0,953/)--0,00142ехр(-0,289/ )со8(4,39/) --0,00211ехр(-0,289/ ^іп(4,39/ )-0,0909ехр(-0,061/). 1,5 1,25 1

0,75 0,5 0,25

0

1,5

1,25

1

0,75

0,5

0,25

0

5 10

Рис. 3

15

і

5 10

Рис. 4

15

ос

Переходная функция Иг(/) замкнутой САУ при управлении по модели при измененных параметрах объекта более чем в 3 раза и прежних параметрах ПИ-регулятора представлена на рис. 4.

Как следует из графика, переходная функция замкнутой САУ не изменилась.

ВЫВОДЫ

1. Адаптивные системы управления с объектами не выше второго порядка легко реализуемы и не имеют ограничений на величину коэффициента обратной связи.

2. Управление по модели нестационарными объектами без чистого запаздывания весьма эффективно, поскольку обеспечивает устойчивую и качественную

работу систем управления даже при значительных изменениях параметров реального объекта; это исключает необходимость перенастройки параметров регулятора в режиме длительной эксплуатации систем у правления.

3. Эквивалентные модели объектов с передаточными функциями не выше второго порядка всегда устойчивы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автомати -ческого регулирования. - М.: Наука, 1912. - 168 с.

2. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем авто -матического регулирования. - М.: Машиностроение, 1989. - 152 с.

Кафедра автоматизации производственных процессов

Поступила 08.11.06 г.

664.002.05

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА АГЛОМЕРАЦИИ ФОСФАТИДНОГО КОНЦЕНТРАТА В ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА БАД ВИТОЛ

М.А. МЕРЕТУКОВ

Майкопский государственный технологический университет

Функциональные пищевые продукты создаются с использованием биологически активных добавок (БАД) к пище, к которым относятся природные фосфолипиды растительного происхождения, обладающие уникальным сочетанием полифункциональной физиологической активности с широким спектром технологических свойств [1].

Технология производства фосфатидного концентрата - БАД Витол (растительноый лецитин) - заключается в прямой экстракционной очистке растительных фосфолипидов, полученных при переработке семян подсолнечника [2]. В качестве растворителя применяют ацетон по ГОСТ 2603-19 или ГОСТ 2168-84, сорт высший.

Стадия отгонки ацетона важна как с точки зрения обеспечения качества получаемого продукта, поскольку остатки ацетона недопустимы, так и с точки зрения ресурсосбережения.

Предложена операция подготовки материала к отгонке способом экструзионной агломерации. Установленные в результате исследований режимы позволяют получать однородные по размерам пористые частицы, что дает возможность обеспечить интенсивную и рав -номерную отгонку ацетона из обезжиренного фосфа-тидного концентрата.

Одна из важных задач оптимизации процесса - моделирование течения фосфатидного концентрата в канале вала одношнекового экструдера с учетом отжима.

Осевой поток неньютоновской жидкости в канале вала одношнекового экструдера описывается формулой, принятой в теории экструдирования [3], которая с учетом особенностей процесса, совмещенного с отжимом специфичного материала, включает корректирующие параметры к и к2:

Охі = пОКНЫ соє 0—к 1 -2 1

Н3кгр,їрак2 (Р

12пт с

ёХ

(1)

где <2х - осевой поток неньютоновской жидкости в экструдере, м /с; , - номер витка; В - диаметр зеера, м; Н - глубина витка, м; W = £сов0 - ширина витка через шаг 5", м; 0 = агс1^/(лВ) - угол наклона нитки витка, рад; N - скорость вращения шнекового вала, 1/с; п - показатель степенного закона в уравнении течения неньютоновской жид -кости (материала); т - вязкость неньютоновской жидкости, Па • с; Р - давление, вызванное валом, Па; X- расстояние вдоль шнекового канала, м.

Аналитическое решение исходного дифференциального уравнения (1) для всей длины канала с неизменной геометрией одношнекового экструдера

Q = А - В

Рк

к ехр В ^

( Х -1)

Конечное давление Рк должно совпадать с давлением, которое необходимо для течения обрабатываемого материала в отверстии матрицы экструдера с расходом, совпадающим с расходом в канале шнека.