Научная статья на тему 'Исследование влияния тепловой конвекции на процесс разрушения водонефтяной эмульсии при СВЧ воздействии'

Исследование влияния тепловой конвекции на процесс разрушения водонефтяной эмульсии при СВЧ воздействии Текст научной статьи по специальности «Механика»

70
10
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
ВОДОНЕФТЯНАЯ ЭМУЛЬСИЯ / РАССЛОЕНИЕ ЭМУЛЬСИЙ / ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ / СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ / OPENFOAM / WATER-OIL EMULSION / SEPARATION OF EMULSION / THERMAL CONVECTION / ULTRAHIGH-FREQUENCY ELECTROMAGNETIC RADIATION

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Тухбатова Э.Р., Мусин А.А., Юлмухаметова Р.Р., Ковалева Л.А.

В статье приводятся результаты численного моделирования задачи о воздействии сверхвысокочастотного электромагнитного поля на водонефтяную эмульсию. Математическая модель основана на системе уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска с добавлением уравнения диффузии. Моделирование задачи проводится в открытой программной платформе OpenFOAM методом контрольных объемов. При численных расчетах учитывалась тепловая конвекция эмульсионной системы. Показано, что возникающие конвективные потоки жидкости влияют на разрушение водонефтяной эмульсии. Для оценки результатов моделирования введены безразмерные параметры Остроградского и Архимеда.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Тухбатова Э.Р., Мусин А.А., Юлмухаметова Р.Р., Ковалева Л.А.,

STUDY OF THERMAL CONVECTION INFLUENCE ON THE PROCESS OF DESTRUCTION OF WATER-IN-OIL EMULSION UNDER MICROWAVE RADIATION

The authors of the paper consider results of numerical modeling of the problem of the effect of a microwave frequency electromagnetic field on a water-in-oil emulsion. The mathematical model of the process is based on the system of equations of thermal convection in the Boussinesq approximation with the addition of the diffusion equation. It is believed that the energy dissipation of the microwave electromagnetic field occurs on water droplets. The modeling was carried out in the open software platform OpenFOAM by the control volume method. Numerical calculations took into account the thermal convection of the emulsion system. To study the influence of thermal convection on emulsion stratification and the nature of the forming flows, calculations were conducted for various combinations of the Ostrogradsky and Archimedes numbers. It is shown that the intensity of the convective flow depends on the value of the Ostrogradsky number. For small values, a complete stratification of the emulsion was observed. At high values of the Ostrogradsky number, the intensity of the convective flows increased, so they began to stir the emulsion system intensively. The water droplets were drawn into the flow and performed translational motion along the velocity vector of the thermal motion of the liquid. The exception is the area along the walls of the vessel, which are not covered by the flow. Thus, it was demonstrated that thermal convection leads not only to distortion of isotherms, but it can have a negative effect on the process of the water-in-oil emulsion stratification too. It was found that, when critical values of the Ostrogradsky number are reached, both the character of the convective flows in the liquid and the sedimentation rate of the water droplets change.

Текст научной работы на тему «Исследование влияния тепловой конвекции на процесс разрушения водонефтяной эмульсии при СВЧ воздействии»

УДК 532.529.5

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ НА ПРОЦЕСС РАЗРУШЕНИЯ ВОДОНЕФТЯНОЙ ЭМУЛЬСИИ ПРИ СВЧ ВОЗДЕЙСТВИИ

© Э. Р. Тухбатова*, А. А. Мусин, Р. Р. Юлмухаметова, Л. А. Ковалева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 97 25.

*Email: elmira. r.yakupova@gmail. com

В статье приводятся результаты численного моделирования задачи о воздействии сверхвысокочастотного электромагнитного поля на водонефтяную эмульсию. Математическая модель основана на системе уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска с добавлением уравнения диффузии. Моделирование задачи проводится в открытой программной платформе OpenFOAM методом контрольных объемов. При численных расчетах учитывалась тепловая конвекция эмульсионной системы. Показано, что возникающие конвективные потоки жидкости влияют на разрушение водонефтяной эмульсии. Для оценки результатов моделирования введены безразмерные параметры Остроградского и Архимеда.

Ключевые слова: водонефтяная эмульсия, расслоение эмульсий, тепловая конвекция, сверхвысокочастотное электромагнитное воздействие, OpenFOAM.

Введение

Проблема разрушения стойких эмульсий типа «вода в масле» остается актуальной во многих сферах деятельности и особенно затрагивает такие отрасли, как нефтеперерабатывающая, химическая, металлообрабатывающая, фармацевтическая и др. От успешного разделения эмульсий на отдельные фазы зависит количество накапливаемых из года в год отходов. Наличие прочной оболочки из эмульгаторов вокруг капли воды, например, в водоне-фтяной эмульсии, так же усложняет процесс расслоения эмульсии [1—2]. Использование энергии сверхвысокочастотного электромагнитного поля (СВЧ ЭМ) для разрушения стойких эмульсий было предложено еще в начале XX в. [3]. Однако активное изучение применения технологии электромагнитного воздействия с целью разделения водоне-фтяных эмульсий началось с 80-х гг. как отечественными научными деятелями [4-5], так и зарубежными коллегами [6-8]. Успешное разрушение водонефтяных эмульсий с использованием электромагнитной энергии было доказано экспериментально в работах [9-11].

В настоящее время существует множество работ посвященных теоретическим, численным и экспериментальным исследованиям воздействия СВЧ ЭМ поля на водонефтяные эмульсии [12-15]. Тем не менее, остаются вопросы, которые требуют дальнейших исследований. Одним из таких вопросов, на решение которой направлена данная статья, является возникновение и развитие конвективных потоков в эмульсионной системе. Тепловые конвективные потоки, возникающие в капле и окружающей жидкости, могут способствовать и предотвращать разрушение водонефтяной эмульсии [16]. Поэтому очень важно выбрать правильный режим теплового воздействия на эмульсионную систему.

Постановка задачи

Рассматривается задача о влиянии СВЧ ЭМ поля на динамику оседания капель водонефтяной эмульсии в поле гравитационных сил. Замкнутая емкость высотой Н заполнена водонефтяной эмульсией (рис. 1). Стенки емкости изготовлены из радиопрозрачного материала и теплоизолированы. Под действием СВЧ ЭМ поля эмульсионная система постепенно нагревается. Достигнув определенного значения температуры, начинают образовываться конвективные потоки жидкости внутри емкости.

Рис. 1. Схема задачи.

Математическая модель задачи основана на системе уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, включает в себя уравнение диффузии, и имеет следующий вид:

— + (uV )и = -—Vp + — V(VV и) -dt р Ar

Grg2 Ar2

дй F

рср — + pe г Ий = — (V(¿V¿) + Osc),

SC St

(uV)c =

- + lu'

Ar • Prn

-NC +

SC dy '

divo = 0.

(2)

(3)

(4)

где р , c p , 1 - соответственно безразмерные

плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности эмульсии; v — безразмерный коэффициент кинематической вязкости эмульсии; и — вектор скорости теплового движения эмульсии; p — безразмерный перепад давления; в — безразмерная температура; C — концентрация капель

воды в эмульсии, Аг = gr03p20 (Pío - P20 )/П202 — число Архимеда; е= 9г0/210 — соотношение характерных размеров; Gr = /3gl0NT¡v\ — число Грасго-фа; Pr = v 2/ а — число Прандтля; PrD = v20/ D0 — диффузионное число Прандтля; Os = r0qo/ntoáo — число Остроградского; индексом 0 обозначены размерные параметры; ro — радиус капель воды; lo — размер емкости; A T0 — характерная разность температур; fio — коэффициент теплового расширения жидкости; ao — коэффициент температуропроводности эмульсии; g — ускорение свободного падения; Do — коэффициент диффузии; qo — плотность распределенных источников тепла.

При построении математической модели были приняты во внимание следующие допущения и предположения:

•среда ньютоновская, однородна, несжимаема и изотропна;

•течение жидкости ламинарно; •теплофизические параметры среды не зависят от температуры (рассматриваются малые перепады температур);

•сферические капли не меняют свою форму и имеют одинаковый размер;

•слияние капель не учитывается; •скорость оседания капель определяется по формуле Стокса;

•справедливо диффузионное приближение; •диссипация энергии СВЧ электромагнитного поля происходит на капельках воды.

Теплофизические параметры эмульсии рассчитываются как аддитивные величины:

р = piC - р2 (1 - C ), cp = cplC - cp2 (1- C), Я = Ä1C - Я2 (l - C ).

Здесь и далее индексом 1 обозначены параметры воды, 2 — параметры нефти.

Динамическая вязкость эмульсии рассчитывается согласно эмпирическому уравнению А. Эйнштейна:

П = п 2 (1 + 2.5С ).

Значение до определяется по формуле [17]:

a>s0e tgô

2

(5)

где s', tgô — относительная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь среды; £о - электрическая постоянная; m — круговая частота электромагнитного поля; Е0 — напряженность электрического поля.

Начальные условия:

u(t = 0) = 0, (6)

C(t = 0) = Co ,

T (T = 0) = T0,

(7)

(8)

Для поля скорости на границах задано условие прилипания:

и| = 0, (9)

Стенки емкости считаются непроницаемыми для фаз:

(VC), + ^ с

= 0,

(10)

Считается, что все стенки емкости теплоизолированы:

= 0 , (11)

Результаты решения задачи

Задача моделировалась в открытой интегрируемой платформе ОрепРОАМ [18]. Решение системы уравнений (1)—(5) с краевыми условиями (6)—(11) проводилось методом контрольных объемов. Для исследования влияния тепловой конвекции на расслоение эмульсии и характера образующихся потоков были проведены расчеты при различных комбинациях чисел Остроградского и Архимеда.

Нагрев среды при воздействии СВЧ ЭМ поля происходит за счет диссипации тепловой энергии на капельках воды. С течением времени капли воды оседают в нижней части емкости, и формируется слой жидкости, температура которого становится выше температуры верхних слоев жидкости. Неравномерное распределение температуры в эмульсии приводит к возникновению термоконвективных течений. Интенсивность конвективных течений меняется в зависимости от значений числа Остро-

2

W

градского. При высоких значениях числа Остроградского интенсивность конвективных течений возрастает, при низких значениях - убывает.

При малых значениях числа Остроградского (менее 10-8) наблюдается полное расслоение эмульсионной системы практически при любых значениях числа Архимеда, характерных для естественных водонефтяных эмульсий. Это объясняется тем, что в эмульсии возникают слабые конвективные течения. Температура рассеивается в объеме эмульсии. Скорость тепловой конвекции настолько мала, что она практически не оказывает влияние на процесс расслоения эмульсии.

С увеличением числа Остроградского в среде формируются конвективные течения, способные препятствовать расслоению эмульсионных систем. На рис. 2 приведено температурное поле в эмульсии при различных значениях числа Остроградского при Аг = 2.45^10-6. Видно, что температурное поле при малом значении числа Остроградского линейно распределяется по глубине (рис. 2а) и значительно искажается при большом значении числа Ов (рис. 26).

б)

Рис. 2. Температурное поле в эмульсии при Аг = 2.45-10-6 : а) Os = 2-10-7 , б) Os = 2-10-6

Такое распределение температуры объясняется формированием в эмульсии термоконвективных течений различной интенсивности. Стоит отметить, что под действием распределенных ис-

точников тепла температура среды постоянно возрастает, однако качественная картина не изменяется.

На рис. 3 приведены распределение скорости и линии тока в эмульсии для рассматриваемых случаев. Видно, что при малых значениях числа Остроградского в среде формируется слабое конвективное течение одновихревой структуры (рис. 3а), при больших - двухвихревая структура течения высокой интенсивности (рис. 3б).

Возникновение термоконвективных течений в эмульсии под действием СВЧ электромагнитного поля оказывает влияние на распределение концентрации капель воды в эмульсии. На рис. 4а показано, что при малых значениях числа Остроградского эмульсионная система полностью расслаивается. Концентрация капель воды в верхней части емкости снижается, в нижней части возрастает. При увеличении числа Остроградского скорость тепловой конвекции жидкости возрастает, и конвективные потоки начинают препятствовать осаждению капель воды в эмульсии (рис. 46).

б)

Рис. 3. Поле скоростей и линии тока в эмульсии при Аг = 2.4510 6: а) Os = 2-10-7 , б) Os = 2-10-6.

Конвективный поток жидкости начинает интенсивно перемешивать эмульсионную систему. Капли эмульсии вовлекаются в поток жидкости и совершают поступательное движение вдоль вектора скорости теплового движения жидкости. Исключение составляют области вдоль верхней и нижней стенок емкости, не охваченные течением. С течением времени интенсив-

ность конвекции постепенно затухает и эмульсия вновь начинает расслаиваться.

I м ,

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

«-0.200

б)

Рис. 4. Распределение концентрации капель воды в эмульсии при Аг = 2.45-10 6: а) Os = 2-10 7, б) Os = 2-10 6.

Увеличение числа Архимеда приводит с одной стороны к ускорению расслоения эмульсионной системы, с другой стороны к превалированию скорости оседания капель воды в эмульсии над скоростью термоконвективного потока. Это способствует полному расслоению эмульсионной системы, несмотря на наличие конвективных течений в эмульсии.

Заключение

Предложена математическая модель процесса расслоения водонефтяной эмульсии при СВЧ воздействии с учетом тепловой конвекции жидкости. Численные расчеты проведены в открытой программной платформе ОрепРОАМ. Расчеты показали, что при малых значениях чисел Остроградского (менее 10-8) происходит полное расслоение эмульсии при любых значениях числа Архимеда. С увеличением числа Остроградского в среде возникают термоконвективные потоки. В начальный момент времени происходит постепенное оседание капель воды в эмульсии. Концентрация капель воды в верхней части емкости снижается, в нижней части — возрастает. Наблюдается частичное расслоение эмульсии. Однако с течением времени скорость

тепловой конвекции жидкости возрастает, и конвективные потоки начинают препятствовать осаждению капель воды в эмульсии. Конвективный поток жидкости начинает интенсивно перемешивать эмульсионную систему. Капли эмульсии вовлекаются в поток жидкости и совершают поступательное движение вдоль вектора скорости теплового движения жидкости. Исключение составляют области вдоль стенок емкости, которые не охвачены течением. Таким образом, показано, что тепловая конвекция приводит не только к искажению изотерм, но также может оказать негативное влияние на процесс расслоения водонефтяной эмульсии. Обнаружено, что при достижении критических значений числа Остроградского меняется не только характер конвективных течений в жидкости, но и интенсивность оседания капель эмульсии.

Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ МК-9398.2016.1 и РФФИ №«16-31-00423 Мола.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фатхуллина Ю. И., Мусин А. А., Зиннатуллин Р. Р., Ковалева Л. А., Ахатов И. Ш. Численное моделирование сверхвысокочастотного электромагнитного нагрева эмульсионной капли // Вестник Башкирского университета. 2012. Т. 17. №4. С. 1666-1670.

2. Ковалева Л. А., Зиннатуллин Р. Р., Благочиннов В. Н., Мусин А. А., Фатхуллина Ю. И., Замула Ю. С. Разрушение водонефтяных эмульсий электромагнитным излучением в динамическом режиме // Труды Института механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. Вып. 9. (Уфа, 2-5 июля 2012). Ч. I. Уфа: Нефтегазовое дело, 2012.С. 110-115.

3. Lucas R. N. Dehydration of heavy crudes by electrical means // Proceedings of the Fall Meeting of the Society of Petroleum Engineers of AIME. SPE 1506. Dallas, TX. 1966.

4. Тронов В. П. Разрушение эмульсий при добыче нефти. М.: Недра, 1974. 271 с.

5. Баширова Р. М., Саяхов Ф. Л., Хакимов В. С. Зависимость степени разрушения водонефтяных эмульсии от частоты электромагнитного поля // Нефтепромысловое дело. 1982. №2. С. 25-26.

6. Klaila W. J. 1983. Method and apparatus for controlling fluency of high viscosity hydrocarbon fluids. U. S. Patent 4.067,683.

7. Wolf N. O. 1986. Use of microwave radiation in separating emulsions and dispersions of hydrocarbons and water. U. S. Patent 4.582,629.

8. Fang C. S., Chang B. K.L., Lai P. M.C., Klaila W. J. Microwave demulsification // Chem. Eng. Comm. 1988. Vol. 73. P. 227-239.

9. Fang C. S., Lai P. M.C. Microwave Heating and Separation Of Water-in-Oil Emulsions // Journal of Microwave Power and Electromagnetic Energy. 1995. Vol. 30, №1. P. 46-57.

10. Саяхов Ф. Л., Хакимов В. С., Байков Н. М. и др. Диэлектрические свойства и агрегатная устойчивость водонефтя-ных эмульсий // Нефтяное хозяйство. 1979. №1. С. 36-39.

11. Fortuny M., Oliveira C. B.Z., Melo R. L.F. V., Nele M., Coutinho R. C.C., Santos A. F. Effect of Salinity, Temperature, Water Content, and pH on the Microwave Demulsifica-tion of Crude Oil Emulsions // Energy Fuels. 2007. Vol. 21, №3. P. 1358-1364.

12. Kovaleva L. A., Musin A. A., Zinnatullin R. R., Akhatov I. S. Destruction of water-in-oil emulsions in electromagnetic fields

// ASME 2011 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. IMECE. 2011. 6 (PARTS A AND B). P. 617 621.

13. Ersoy G., Yu M., Sarica C. Modeling of Inversion Point for Heavy Oil-Water Emulsion Systems // SPE 115610. Denver, Colorado. 2008.

14. Мусин А. А., Тухбатова Э. Р., Анисенкова Н. А. Исследование интенсивности расслоения высоковязкой водоне-фтяной эмульсии в емкости с нагретыми боковыми стенками // Вестник Башкирского университета // 2017, Т. 22, №3, С. 908-913.

15. Ковалева Л. А., Мусин А. А., Тухбатова Э. Р., Бухмасто-ва С. В., Мясников А. В. Исследование динамики темпе-

ратурного поля в высоковязкой углеводородной среде под воздействием электромагнитного излучения // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21, №3. С. 580-584.

16. Fatkhullina Y. I., Musin A. A., Kovaleva L. A., Akhatov I. S. Mathematical modeling of a water-in-oil emulsion droplet behavior under the microwave impact // Journal of Physics: Conference Series. 2015. 574(1), art. no. 012110.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 532 с.

18. Greenshields C. J. OpenFOAM Programmers Guide. Open-FOAM Foundation Ltd. Version 3.0.1 edition, 2015. 100 p.

Поступила в редакцию 13.11.2017 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK BamKHpcKoro yHHBepcureTa. 2017. T. 22. №4

935

STUDY OF THERMAL CONVECTION INFLUENCE ON THE PROCESS OF DESTRUCTION OF WATER-IN-OIL EMULSION UNDER MICROWAVE RADIATION

© E. R. Tukhbatova*, A. A. Musin, R. R. Iulmukhametova, L. A. Kovaleva

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 9725.

*Email: elmira.r.yakupova@gmail. com

The authors of the paper consider results of numerical modeling of the problem of the effect of a microwave frequency electromagnetic field on a water-in-oil emulsion. The mathematical model of the process is based on the system of equations of thermal convection in the Boussinesq approximation with the addition of the diffusion equation. It is believed that the energy dissipation of the microwave electromagnetic field occurs on water droplets. The modeling was carried out in the open software platform OpenFOAM by the control volume method. Numerical calculations took into account the thermal convection of the emulsion system. To study the influence of thermal convection on emulsion stratification and the nature of the forming flows, calculations were conducted for various combinations of the Ostrogradsky and Archimedes numbers. It is shown that the intensity of the convective flow depends on the value of the Ostrogradsky number. For small values, a complete stratification of the emulsion was observed. At high values of the Ostrogradsky number, the intensity of the convective flows increased, so they began to stir the emulsion system intensively. The water droplets were drawn into the flow and performed translation-al motion along the velocity vector of the thermal motion of the liquid. The exception is the area along the walls of the vessel, which are not covered by the flow. Thus, it was demonstrated that thermal convection leads not only to distortion of isotherms, but it can have a negative effect on the process of the water-in-oil emulsion stratification too. It was found that, when critical values of the Ostrogradsky number are reached, both the character of the convective flows in the liquid and the sedimentation rate of the water droplets change.

Keywords: water-oil emulsion, separation of emulsion, thermal convection, ultrahigh-frequency electromagnetic radiation, OpenFOAM.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Fatkhullina Yu. I., Musin A. A., Zinnatullin R. R., Kovaleva L. A., Akhatov I. Sh. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2012. Vol. 17. No. 4. Pp. 1666-1670.

2. Kovaleva L. A., Zinnatullin R. R., Blagochinnov V N., Musin A. A., Fatkhullina Yu. I., Zamula Yu. S. Trudy Instituta mekhaniki im. R. R. Mavlyutova Ufimskogo nauchnogo tsentra RAN. No. 9. (Ufa, 2-5 iyulya 2012). Ch. I. Ufa: Neftegazovoe delo, 2012. Pp. 110-115.

3. Lucas R. N. Proceedings of the Fall Meeting of the Society of Petroleum Engineers of AIME. SPE 1506. Dallas, TX. 1966.

4. Tronov V. P. Razrushenie emul'sii pri dobyche nefti [The destruction of emulsions during oil production]. Moscow: Nedra, 1974.

5. Bashirova R. M., Sayakhov F. L., Khakimov V S. Neftepromyslovoe delo. 1982. No. 2. Pp. 25-26.

6. Klaila W. J. 1983. Method and apparatus for controlling fluency of high viscosity hydrocarbon fluids. U. S. Patent 4.067,683.

7. WolfN. O. 1986. Use of microwave radiation in separating emulsions and dispersions of hydrocarbons and water. U. S. Patent 4.582,629.

8. Fang C. S., Chang B. K.L., Lai P. M.C., Klaila W. J. Chem. Eng. Comm. 1988. Vol. 73. Pp. 227-239.

9. Fang C. S., Lai P. M.C. Journal of Microwave Power and Electromagnetic Energy. 1995. Vol. 30, No. 1. Pp. 46-57.

10. Sayakhov F. L., Khakimov V. S., Baikov N. M. Neftyanoe khozyaistvo. 1979. No. 1. Pp. 36-39.

11. Fortuny M., Oliveira C. B.Z., Melo R. L.F. V, Nele M., Coutinho R. C.C., Santos A. F. Energy Fuels. 2007. Vol. 21, No. 3. Pp. 1358-1364.

12. Kovaleva L. A., Musin A. A., Zinnatullin R. R., Akhatov I. S. ASME 2011 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. IMECE. 2011. 6 (PARTS A AND B). Pp. 617 621.

13. Ersoy G., Yu M., Sarica C. SPE 115610. Denver, Colorado. 2008.

14. Musin A. A., Tukhbatova E. R., Anisenkova N. A. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2017, T. 22, No. 3, Pp. 908-913.

15. Kovaleva L. A., Musin A. A., Tukhbatova E. R., Bukhmastova S. V, Myasnikov A. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2016. Vol. 21, No. 3. Pp. 580-584.

16. Fatkhullina Y. I., Musin A. A., Kovaleva L. A., Akhatov I. S. Journal of Physics: Conference Series. 2015. 574(1), art. no. 012110.

17. Landau L. D., Lifshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Electrodynamics of continuous media]. Moscow: Gos. izd-vo fz.-mat. lit., 1959.

18. Greenshields C. J. OpenFOAM Programmers Guide. OpenFOAM Foundation Ltd. Version 3.0.1 edition, 2015.

Received 13.11.2017.