Исследование влияния насыщения матрицы ВГМС на силовые характеристики магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.И. Кармазин, Ю.С. Мосты ка,

В.Ю. Шутов, Л.З. Гребенкж

Московский государственный горный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НАСЫЩЕНИЯ МАТРИЦЫ ВГМС НА СИЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

В процессе магнитной сепарации материала вероятность захвата частиц магнитной фракции обусловлена функциями распределения магнитной и противодействующих сил в рабочей зоне сепаратора. На это указывается в ряде работ и, в частности, в [2] при рассмотрении зонновероятностной модели захвата частиц материала. Силовые характеристики магнитного поля (распределение напряженности поля или магнитных сил) исследовались в работах [2] - [4] и других для некоторых типов рабочих зон.

Для создания градиентов магнитного поля в современных магнитных сепараторах нередко используются ферромагнитные матрицы в виде "стальной ваты", сеток, стержней. Элементы таких матриц можно рассматривать как ферромагнитные цилиндры.

В данной работе рассматриваются силовые характеристики магнитного поля в рабочей зоне ВГМС с цилиндрическими ферромагнитными элементами в условиях их магнитного насыщения.

Запишем формулу пондеромоторной магнитной силы, действующей на частицу материала [2]:

К = Ио (хр-хг)УрН^асШ (1)

где Н - напряженность магнитного поля в точке, совпадающей с центром тяжести частицы;

Ур - объем частицы;

хр,хх- объемные магнитные восприимчивости частицы и среды.

Предполагается, что размеры частицы малы по сравнению с пространственным интервалом, в пределах которого следует учитывать изменение напряженности поля. В качестве основной силовой характеристики магнитного поля рассмотрим величину:

*я = Ъ(хг"х,уГ,’

которую с учетом формулы (1), можно представить в виде:

/=Нра<ЗН (2)

Пользуясь терминологией [2], будем называть эту величину удельной магнитной силой.

Заменяя уравнение (2) его проекциями на оси прямоугольной системы координат, получим:

№. сШ

/, = и,

*+н’

ЛІ.

+н.

сЬс

<ш.

(3)

(4)

где НХ,Нпроекции вектора напряженности магнитного поля на оси х, у соответственно.

Величины Нх,Ну в окрестности

кругового цилиндра, помещенного во внешнее однородное поле с напряженностью Н0, определяются по формулам [1]

(вектор Н0 параллелен оси х):

г2

Нх =ЯО(1+Л^соз20); (5)

(6)

где 0, г - угол и радиус-вектор точки в полярной системе координат, центр которой совмещен с центром поперечного сечения цилиндра;

А = ЫЬ- ■

Й.+Ц/ ’

\ij-~ магнитные проницаемости материала и среды; г„ - радиус цилиндра.

Выражая угол © через координаты хуу прямоугольной системы, из (5), (6) можно получить

1 + А + г

Ну = НйА-г1

2 X2-/

" (х2+у2)2 2 ху

2 \2

(Xі + у2)

(7)

(8)

Для матрицы, состоящей из множества цилиндрических элементов, оси которых параллельны между собой и направлены по нормали к вектору Н0 компоненты

вектора напряженности можно определить, применяя принцип суперпозиции магнитных потенциалов:

нх=н0+Хн^ Я, = 2Х.<

(9)

(10)

Ы

Здесь п - число цилиндрических элементов матрицы;

НХІУНу{- компоненты вектора Я. напряженности магнитного поля, обусловленного намагниченностью /-го элемента за счет внешнего поля

//_, = Н„Агг Х>~у‘

= Н„Аг^

(*,’ +у>У •. 2х,у,

2\2

(х;+у;)

(п)

(12)

Х,,У,- абсцисса и ордината фиксированной

точки поля, отсчитываемые от центра поперечного сечения і -го цилиндра Из (11) можно получить:

АН А Х(3->' "Л* (13)

дх

0 и*

2 \3

(*;+уП

-^ = -2 АН Я .УР (14)

ду

2 \3

(К+уП

Из (12) можно получить аналогичные выражения для производных

дн„

и

дх ду

В случае потенциального магнитного поля эти производные можно найти также из условий:

дН

дх

ду

ЗНул _ -дН„

(15)

(16)

ду дх Производные от напряженности результирующего магнитного поля, входящие в правые части (3), (4), можно найти, дифференцируя (9), (10) по х и по у :

^ = (П)

дх дх у..] их

эну

дх Ь дх ’

дН х _ дН х і

ду .=1 ду

(18)

8Ну =у5Ну,

ду

7—1

$У

(20)

В случае потенциального магнитного поля достаточно найти только производ-

дН, дН„

ные-

, так как в этом случае

дх дх

8Н, _ дНу

дН

У _

ду дх ду дх Подставляя (9), (10) и (17) - (20) в (3), (4), находим выражения компонент

/х,/у вектора /удельной магнитной силы

для рабочей зоны, содержащей п цилиндрических ферромагнитных элементов:

( " \п дН

/х=[я0+2я» +

1=1

п п Д1/

+уя у£^

& дх

( " ^ ” дИ ■

Л= я»2-^г‘+

у 1=1 Ф*

(21)

ч

пдН

+Уя У——

я у' г ф

(22)

После этого можно найти

/ = (/?+/,’)* (23)

Преобразуя правые части (21), (22)

можно получить :

Л = £/« + *,; )=1

Л = 2Л.‘ + Л2 .

(24)

(25)

где /ж,, / ,компоненты вектора / удельной магнитной силы, обусловленной намагниченностью /-го цилиндра во внешнем поле Н0 при отсутствии всех остальных (п-

1) элементов. Величины, входящие в правые части (24), (25), определяются по формулам:

дН дН.

Л, = (Н0+Нх,)-^ + Ну, -£-■ (26)

/=(//„ + //„ )^ +Я

а, = 22

,..1 /-1

ду

дН

X,}

л2 = 22

*-1 7—1

я

дх

дН

+н

+ Я

аи Эи

При определенных условиях величинами Л,,Д2 можно пренебречь тогда из

(23), (24), (25) имеем:

г п \г г п \г

1/2

/-{2/» +

2Л.<

V 1=1 У

Г" (28)

Приближенную формулу расчета удельной магнитной силы (28) можно использовать в случае, когда рассматривается область в окрестности / -го элемента ограничена условием: 2г /Ь < к, где г - расстояние от любой точки этой области до оси / -го элемента; Ь - шаг решетки цилиндрических элементов. Величина к зависит от уровня приемлемой погрешности расчета удельной магнитной силы от параметра А и от конфигурации решетки, которую образуют центры поперечных сечений элементов матрицы.

С целью оценки применимости приближенной формулы были выполнены сравнительные расчеты удельной магнитной силы по формулам (21) - (23) и по (26) - (28), для квадратной решетки цилиндрических элементов с шагом Ь = 4(1» (*/„ -диаметр цилиндра). Чтобы исключить краевые эффекты, рассматривалась область в окрестности такого элемента, который находился в центре решетки элементов размером ЗЬ х ЗЬ (число элементов п = 9). В результате этих расчетов получено, что при А = 1 погрешность расчета величины / по формуле (28) составляет не более 4 %, 3%, и 2%, соответственно, на изолиниях

/=

= Л

7,

= 0,015; 0,023 и 0,045, для кото-

рых &=0,88; 0,74 и 0,59. При А = 0,5 для такой же системы элементов указанная по-

2%, соответственно на изолиниях /=0,08; 0,10 и 0,133, для которых 0,51;

0,49 и 0,45. С использованием

7 V/IV!

формул (21) - (23) были выполнены расчеты удельной магнитной силы / =Н]ргсиЩ\ при различных значениях напряженности внешнего магнитного поля Но в пределах от 104 А/м до 7,2*10б А/м (соответствующие значения магнитной индукции Во — 0,01 - 9 Тл). Рассматривалась ферромагнитная матрица из малоуглеродистой стали (0,2% С), включающая в себя цилиндрические элементы с параллельными между собой осями, причем центры поперечных сечений цилиндров расположены в узлах квадратной решетки с шагом Ь=4с1м/.

Магнитное поле в рабочей зоне считается двумерным:

Н=Н(х,у) где х, , у - прямоугольные координаты в плоскости, нормальной к продольной оси цилиндра ось х параллельна вектору Н0 на-пряженности внешнего по-

а)и-0,0П

(Л’О

г.о |~

‘Л

I 5

---—1

. 2 5

К

ля.

Рис Л

Так как удельная магнитная сила / (х, у) определяется функцией Н (х ,у), то рассмотрим сначала изменения этой функции при увеличении напряженности Но. С учетом симметрии поля Н (х, у) относительно осей х и у достаточно показать картину поля в первом квадранте плоскости х,у. На рис. 1 в плоскости относительных

координат у , -у показаны линии рав-

/ f-W

ных уровней напряженности Н = const результирующего магнитного поля, обусловленного внешним однородным полем и намагниченностью цилиндра:

Н - Нг

1 +

\г

+ 2—r-cos20 г

У

ш

V."

\

о,14 я, м.

0,3(5 Oj 5j 0,87

V:

\

0.3 о 0.5

! В,= 9Тл (Я*о,л) н* "/п f, ю я*

г.а г i 0,4\

: 1 ?. ОМ

3 D.U

1* 1,03

V.,

1,г.ь

А.

\ 'Л £ И

А

$

С

т 1 {гл 1.93

А 11.^4 г,«

н •JM

ъл

:с)й. -0/5 ь (А

*• »V»I т 0,26

2 о.т

Л 0,52

4 0,56

*/■« V 0,57

ь 0,577

7 0, Й5

8 0.78

\.\s\

1}

"V

\\ \ \ \

\V?\ ’

№ \

..1LLL

г - (х2 + у2)^; 0 - —

х

Задавались значения Но= 104; 8,5*106 и 7,2*106 А/м, которым соответствуют значения магнитной индукции #0=0,01; 1,1 и 9 Тл и значения параметра А = 1; 0,5 и 0,11. При фиксированном значении Но величина Н изменяется в пределах НтЫ< Н < #тах,

где Нтт - (1-А)Н0 , Нтах^ (1+А)Н0 В частности, при ВсГ 9 Тл отношение Н/Но изменяется в пределах 0,89 - 1,11, тогда как при В(Г 0,01 Тл - в пределах 0-2,0. При любых значениях Но линия Н-Н0 проходит в области парамагнитного захвата; в пределах первого квадранта эта область располагается между осью х и линией Ртг^0 , где Ят>г -

радиальная составляющая магнитной силы. При увеличении Но до уровня порядка 107 А/м обе линии: Н^Но и Рт г 0 приближаются к биссектрисе квадранта. На рис. 2 показаны линии равных уровней величины рассчитанной по формулам

(21) - (23) для различных значений напряженности внешнего магнитного поля в пределах

Я(Н04-772-10б А/м (#0-0,01 -9 Тл).

Из приведенных выше формул для Н и grad Н можно получить, что

при А > 0,6 в точках х=0, ^=±у/;

y,= rwJjA

Функция /(х,у) имеет седловую точку, а радиальная составляющая /, вектора /, т.е.

г ттдН

]Г=Н-----, в точке, х-0, у=у1, имеет локаль-

дг

ный экстремум.

По мере увеличения Но указанная точка приближается к поверхности цилиндра и при значении Н0 , соответствующем А = 0,6 (для данного ферромагнитного материала - при Н(Г 5,7*10б А/м), располагается на поверхности цилиндра.-Таким образом при А > 0,6 максимальное значение отталкивающей (для парамагнитных частиц) магнитной силы на линии х=0 достигается не на поверхности цилиндра, а на расстоянии

, (/бТ'Л

п = г» Л—А -1 от нее.

Из рис. 2 видно, что при десятикратном увеличении магнитной индукции Во от 0,01 Тл до 0,1 Тл картина распределения величины / практически не изменяется. В этом диапазоне можно приближенно принимать квадратичную зависимость величины / от Но, так как параметр А изменяется слабо. Картина распределения / (х, у) остается качественно подобной и при дальнейшем увеличении В0 , вплоть до Во* 0,7 Тл (А = 0,6), когда указанная выше особенность распределения/(х, у) исчезает.

На режиме магнитного насыщения зависимость / от Н0 становится слабее квадратичной, которая имела бы место для гипотетического случая А ~1(}лу/ >(цс) Можно показать, что при больших Но, соответствующих магнитной индукции В0& 9 Тл и более, зависимость f от Н0 близка к линейной. Запишем формулу относительной маг-

нитной проницаемости, которая приближенно выполняется для режимов магнитного насыщения:

—- « 1 н-----— где Ма - намагничен-

ие Я0

ность насыщения.

Принимая приближенно, /// = цо и подставляя выражение //УуИ/ в формулу,

Л

Л ---------^ имеем:

А* 1 + 2 Н0/Ма

Для обычно используемых материалов ферромагнитных матриц

(1,5 - 1,7) * 10б А/м, поэтому для больших Но, порядка 107 А/м, можно использовать более простую формулу А:

2Я„

Подставляя это выражение в формулу градиента напряженности магнитного поля

\gradH | = 2А 0

1

Г.. г

где г - г !rw \ г - расстояние от оси цилиндра, имеем:

\gradH\ =

Ма

1

(30)

Это означает, что в фиксированной точке поля (r= const) на режиме глубокого насыщения ферромагнитных элементов матрицы (Во^ 9 Тл) с увеличением Но величина grad Н остается практически постоянной.

Из формулы напряженности магнитного поля в окрестности цилиндра

Н=Н0

1+

+ 2—г cos 20

док 0,1, можно использовать приближенную формулу

я*я0

Поэтому, с учетом (30), для Г=СО№(

имеем:

н\^аан\^с,н0,

где С^сопМ Таким образом, в фиксированной точке поля на режимах глубокого насыщения ферромагнитных элементов зависимость удельной магнитной силы от Но практически линейная, тогда как при слабом магнитном поле эта зависимость практически квадратичная.

Отметим, что результаты расчетов удельной магнитной силы / представленные на рис. 2, получены для цилиндрических элементов диаметром 2 мм {гМ)= 1мм). Аналогичные результаты для других значений диаметров элементов можно получить путем умножения полученных значений / в любой точке поля, при фиксированном Н0, на масштабный коэффициент,

где 2мм, йт значение диаметра проволоки, выраженное в миллиметрах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. - М.- Л. : ГИТТЛ, 1948. - 539С. *

2. Кармазин В.И., Кармазин В.В. Магнитные методы обогащения. - М. : Недра, 1984. - 416С.

3. Файкштейн Э.Г., Толмачев С.Т. Теоретические основы расчета магнитных сепараторов, " у

- В кн. : Совершенствование техники и технологии горного производства. - М. : Недра, 1974.

4. Мостыка Ю.С., Кармазин В.И., Гребенюк Л.З., Шутов В.Ю. Расчет силовых характеристик рабочей зоны магнитного сепаратора с цилиндрическими ферромагнитными элементами. - Горный информационно-аналитический бюллетень, № 3, 1996 / М. : МГГУ, С. 56-59.

следует, что на режимах глубокого насыщения, когда параметр А имеет поря-

© В.И. Кармазин, Ю.С. Мостыка, В.Ю. Шутов, Л.З. Гребенюк