Исследование влияния граничных условий на параметры напряженного состояния при объемном пластическом нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374.001.8

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский1, А. А. Ленок1, Л. А. Якубович2

1 Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье 2 Национальный горный университет, г. Днепропетровск

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ОБЪЕМНОМ

ПЛАСТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Определены и исследованы граничные условия при решении пространственной задачи теории пластичности в замкнутом виде. Представлены компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации. Решения выражаются сочетанием плоских функций. Схема течения металла в очаге деформации определяет характер распределения контактных нормальных и касательных напряжений. Контактное трение определяет величину и неравномерность распределения компонентов тензора напряжений в объеме очага деформации. Показаны качественные и количественные характеристики изменения напряженного состояния металла для однокупольной пространственной схемы нагружения. Представленный результат имеет место для нешироких очагов деформации, с одной линией разделения течения металла. Полученное решение можно использовать в случае объемного нагружения очага деформации.

Ключевые слова: граничные условия, контактное напряжение, объемное нагружение, пространственная задача, плоские функции, фактор формы, коэффициент трения.

Введение

Пространственное формоизменение характеризуется отличительной кинематикой течения металла, силовой схемой в сравнении с плоским деформированием. При этом задача усложняется как в постановочной части, так и в решении [1-4]. Анализ показывает, что рассмотрение только части системы уравнений теории пластичности является недостаточным для обеспечения надежности и достоверности результата. Решение задачи теории пластичности в напряжениях должны «подкрепляться» решениями в деформациях, т. е. задача должна быть замкнутой [5-7].

Постановка задачи

В работе [4] рассматривается система уравнений теории пластичности: уравнения равновесия, обобщенные уравнения равновесия, уравнения связи, уравнения совместности скоростей деформаций и граничные условия в напряжениях и скоростях деформации.

На рис. 1 представлена модель пластического течения в очаге деформации в плане и компоненты тензора напряжений, подлежащие определению [5-7].

В работах [1-4] предложены решения замкнутой пространственной задачи теории пластичности. Ком -поненты тензоров напряжений и скоростей деформации представлены в виде

а x = ±Са1 • exp 61 • rasА1Ф1 + Са3 • exp б3 • сс^А 3Ф 3 + а 0 + C, а y = +Са1 • exp01 • со$А1Ф1 ± Са2 • exp62 • со$А2Ф2 + а0 + C , а z = ±С а3 • exp 6 3 • ras А 3Ф 3 + С а 2 • exp 6 2 • ^s А 2 Ф 2 + а 0 + C,

© В. В. Чигиринский, А. А. Ленок, Л. А. Якубович, 2015

ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2015 127

Рис. 1. Компоненты тензоров напряжений и схема действия касательных напряжений на контакте при осадке прямоугольной заготовки

тxr = • exp0! • sin А!ф!,т= Саз • exp83 • sin А.3Ф3

Тzx = Са2 • eXP02 • sin А2Ф2

при условии

8,

1r ^

03 z =±Азфзг;

82 z = + А 2Ф 2

01 у =±А1Ф1х

02x =±А2Ф2z:

(1)

03Г = + Азф3z , 81 xx +81 rr = 0 >

А1Ф1ХХ +А1Ф1ГГ = 0 ; 03rr +03zz = 0 , А3Ф3rr +АзФзzz = 0 ;

02 zz +02 xx = 0, А2Ф2 zz +А2Ф2хх = 0,

(2)

(3)

8:2 x = ±В2Ф 2 z

8ta +81ry - 0 ,

5x = ±C^j • exp 61 • а^В1Ф1 + Суз • exp6з • а^ВзФз ,

5 = +C52 • exp6-, • созВ2Ф2 + Су1 • exp61 • ^sB^, 5z = ±Суз • exp6,, • сosB3Ф3 + Су2 • exp62 • 03sB202, y= 2 • Cy • exp 61' • sin В1Ф1, y^ = 2 • C53 • exp 6j • sin В3Ф3 Y = 2 • C2 • exp 62 • sin В2Ф2 при условии

61'x = +В1Ф1У, 6ly = +В1Ф1Х; Gjy = +ВзФз2 , 6jz = +В3Ф3У ;

g;; г=+В2Ф2х ,

В1Ф1хх + В1Ф1уу = О ; Gjyy + 6^zz = 0, ВзФзуу + ВзФзгг = о ;

6 2 zz +6 2 xx = 0, В ;Ф 2zz +В ;Ф 2 xx = 0. (4) где стi - нормальное напряжение; - касательное напряжение; у - линейная скорость деформации; y j -сдвиговая скорость деформации; ст0 - среднее нормальное напряжение; А и Bi - постоянные величины, характеризующие тригонометрическую функцию для напряженного и деформационного состояния пластичной среды; Фi - неизвестная гармоническая функция, зависящая от координат очага; 6 j и 6 j - неизвестные гармонические функции, показатели экспонент, характеризующие распределение напряжений и скоростей деформации в очаге деформации; CCTi и Су -постоянные величины, характеризующие напряженное состояние пластической среды и поле деформаций.

Полученные условия существования решения (2),

(4) позволяют определить неизвестные Gj, ^Фу .

В выражениях (1), (з) показаны функции, которые ограничены решениями задачи (2), (4). Это соотношения Коши-Римана и уравнения Лапласа. Для нормальных напряжений решения представляют собой сочетания плоских функций.

Ориентировочное распределение контактных напряжений при осаде показано на рис. 2.

Рис. 2. Эпюра предположенного распределения контактных напряжений

Из рис. 2 следует определенная привязка к граничным условиям, когда в углах очага деформации сопротивление деформации принимается равным 2£q . В

дальнейшем, переходя к безразмерным значениям, его можно исключить из рассмотрения.

В выражениях (1)... (4) фигурируют постоянные интегрирования и константы, которые определяются граничными условиями, рис. 2.

В условиях реального очага деформации нормальные напряжения (1) имеют знак «минус». Среднее нормальное напряжение [6]

ст0 = -2 • CCTj • exp81 • cos A^j - 2 • Сст2 • exp62 x x cos A 2Ф 2 - 2 • Са3 • exp 63 • cos А3Ф 3.

Из нескольких вариантов, которые допускают решение, запишем следующие выражения

стX = -3Cct1 • exP8j • cos А1ф1 - Ca2 • exP02 x

x cos A2Ф2 - 2Cct3 • exp 93 • cos A3Ф3 + C, ст^ = -Ca3 • exp93 • cos A3Ф3 - Ca1 • exp81 x x cos AlФl - 2CCT2 • exp 82 • cos A2 Ф 2 + C, стz = -3Cct2 • exp 82 • cos A2Ф2 - • exp 83 x x cos A^3 - 2CCTj • exp 01 • cos AJФJ + C,

т xy = Сст1 • exp01 • sin A1®1, т yz = Сст3 • exp83 • sin A3Ф3 ,

т zx = Сст2•exp8 2 • sin A 2 Ф 2 . (5)

В выражениях (5) присутствуют коэффициенты CCTj,

CCT2 , CCT3 и С .

Рассмотрим значения функций в точке В и запишем граничные условия, рис. 2 - при x = l / 2, У = b / 2,

z = h/2 , 01 = 010 , е2 = е20 , 0з = 030 , А^ = А^ , А2Ф2 =А2Ф20 , А3Ф3 =А3Ф30 , ах -стz =ау -стz,

ст z = 2k0 •

После составления разностей напряжений и подстановки граничных условий получим

2Cа1-exp010 • cos А1ф10 = Ca2 • exp020 х х cos А2Ф20 -Cа3^exp030 • cos А3Ф30

и далее

C = Ca2 • exP 020 • cos А2Ф20 -C^ exP 030 • cos А3Ф30

а1 2 exp 010 • cos А1Ф10 • (6)

Если разность в числителе равна нулю, то Cа1= 0 . При этом

exp030 • cos А3Ф30

Ca2 =C а3"

(7)

exp020 • cos А2Ф20

После несложных преобразований (6), (7) для предложенных граничных условий неизвестные постоянные запишутся в виде

C а1=-

C а2 =

k0

2 exp 010 • cos А1Ф1

0,5k0

C а3="

3exp 020 • cos А2Ф20 3,5k0

С = k0 •

(8)

3 exp 030 • cos А3Ф30

где k0 - сопротивление пластическому сдвигу в угловой части очага деформации на контакте.

Подставляя (8) в (5), запишем полученные компоненты тензора напряжений запишем полученные компоненты тензора напряжений

3 7 0 0 Ч cos А1Ф1

ст - = 2 k0 exp(01 -еlo)^0SА:ф0 -

-6 k0exp(02-020)^^ -6 cos А2Ф 20

7, /П п ч cos А3Ф3

- j k0 exp(03 -030)-^^ + k

7

СТ у =- 6 k0exp(03 - 030)

30 0

cos А3Ф30

cos А3Ф3

cos А3Ф30

+2 k0exp(01 -

2 cos А1Ф10

-1 k0 exp(02 -020)~""~АФ~ + ko,

3 cos А2Ф20

1 7 0 0 4 cos А2Ф2

аz = -~k0 exp(02 - 020)-Т^Г2-

2 cos А2Ф20

7

- - k0exp(03 -030)

cos А3Ф3 cos А3Ф30

+ k0 exp(01 -010) cos ^^ + V

cos А1Ф

(9)

Txy =-k0 exp(01 -010)

sin А1Ф1 cos А1 Ф10

sin А3Ф3

Tyz =^k0exp(03 -030) . ,, ,

2 cos А3Ф30

Tzx = 1 k0 exp(02 - 020) SinА2фl2 •

2 cos А2Ф20

Следует подчеркнуть, что в точках А и В напряжения а = ст = 0 , что соответствует принятым гранич-

х у

ным условиям.

Из уравнений Лапласа и соотношений Коши-Рима-

на определяем функции АгФг- и 0г-, (5), (i = 1,2,3).

С учетом граничных условий разности и функции Аг- Фг-в (9) будут равны

01 -010 = — А1А3

f b 2

f , 2

А1Ф1 = А1А3 • - • y

02 -020 = — А2А6

f 7 2 Л f 7 2 l 2 h

А2Ф2 =А2А6 • X • z ,

03 030 = 2 А3А9

fb2

2

А3Ф3 = А3А9 • у • г .

В угловых точках указанные разности равны нулю. Значения А1А3, А2А6 и А3А9 с учетом удельных сил трения в точках А ...Б, равны

А1А3 = 4 •ЛЦД, А2А6 = 4 f(1 - f)

l • b

А3А9 = 4

l • h

f (1 - f) b • h '

10

Напряжения (9) могут быть просчитаны для каждой точки объемного очага деформации, включая контакт с инструментом.

На рис. 3-5 представлена эпюра нормальных напряжений очага деформации по разным направлениям: вдоль оси Х- рис. 3-4 и вдоль оси У- рис. 5, при Н = 10 в зависимости от:

а - коэффициента трения / = 0,1...0,5, 1/Н = 8, Ь/Н = 8; б - фактора формы 1/Н = 1;3;5;8;10, / = 0,3, Ь/Н = 8; в - фактора формы Ь/Н = 1;3;5;8;10, / = 0,3, 1/Н = 8 .

2

2

-х

4

4

2

— х -

- z

4

4

2

2

z

4

4

+

+

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2015

129

-1-0,1

-(=0.2 -»"0.3 -(-0,1 -(=0,5

л,б -о,л 4,1 а су о,д

ОТНОСМТеЛЬИаЯ Длина очага .^юрМЭЦИН ,/1

а

-1/(1=1 -1/(1=3 -1/(1=5 -1/(1=8 -1/(1=10

-0,4 -0,2

Относительная

а деформации к/1

—ЬД|-1 -:,г|-1 -ЬЛ-5

-(Я/11-10

■0.6 ИЛ -0.2 I) 0,2 0.« 0.6 Относительная длина очага деформации к/1

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений на контактной поверхности вдоль оси Х, при у = 0 при осадке прямоугольной заготовки

Из рис. 3-5 следует, что нормальные контактные напряжения представляют собой объемную, многоповерхностную, однокупольную эпюру с неравномерным распределением нагрузки вдоль осей Х и У.

С изменением коэффициента трения / и факторов формы ¡/к и Ь/к на контакте, изменяется напряженное состояние в очаге по направлениям Х и У, а величина и характер распределения.

-0,6 -0,4 -0,2 О 0.2

Относительная длина очага деформации ,/

! I

1 I I ь

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Относительная длина очага деформации я/1 -в

Рис. 4. Распределение нормальных напряжений на контактной поверхности вдоль оси Х, при у = Ь/ 2 при осадке прямоугольной заготовки

в

/ -V \

л

f, V

N

\

_ _

1

г i ■

I тс

л •

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

Относительная длина очага деформации у/Ь

а

—Ф—l/h=3 —А— l/h=5

—i«e—i/h=a —i+i— l/h=10

-0.6 -0,4 -0,2 0 0.2 0.4 0,6

Относительная длина очага деформации у/Ь

б

-0.6 -0.4 -0.2 О 0.2 0.4 О.Ь

Огноснтелонай дли на очага деформации у/Ь

в

Рис. 5. Распределение нормальных напряжений на контакт-н о« п о в, р х н о = т и в „ о „ ь оси У, при х = I/2 при осадке прямоугольной заготовки

Однокупольная эпюра распределения напряжений по контактной поверхности соответствует схеме течения металла, представленной на рис. 1. Металл растекается относительно линий, совпадающих с осями сим-

метрии X и У очага деформации. Максимальные значения нормальных напряжений, по направлениям, совпадают также с осями симметрии, в которых контакт -ные касательные напряжения изменяют свой знак. Если кинематика течения металла характеризуется другой схемой, то эпюра контактных напряжений может быть двухкупольной и т. д.

Анализ показывает, что с изменением контактного трения (коэффициента трения) и параметров очага деформации (l/h и b/h) изменяются контактные напряжения в сторону увеличения или уменьшения их неравномерности, см. рис. 3-5. Если коэффициент трения равен нулю, то из выражений (9) следует, что удельные силы трения отсутствуют, а распределение нормальных напряжений на контакте носит равномерный характер.

Выводы

1. Схема течения металла в очаге деформации определяет характер распределения контактных нормальных и касательных напряжений.

2. Контактное трение определяет величину и неравномерность распределения компонентов тензора напряжений в объеме очага деформации.

3. Показаны качественные и количественные характеристики изменения напряженного состояния металла для однокупольной пространственной схемы нагру-жения.

Список литературы

1. Чигиринский В. В. Моделирование участков перехода при пластическом формоизменении в условиях объемного нагружения / В. В, Чигиринский, А. А. Ленок // Вюник ЗНУ : Збiрник наукових статей. Фiзико-матема-тичш науки. Запорiжжя : ЗНУ, 2015. - №3 - С. 275-284.

2. Чигиринский В. В. Определение напряженно-деформированного состояния в зонах перехода объемного течения / В. В. Чигиринский, А. А. Ленок // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии: научно-технический журнал. Орел : Госуниверситет УНПК, 2015. - №5 (313) - С. 87-94.

3. Чигиринский В. В. Определение интегральных характеристик напряженного состояния точки при пластической деформации в условиях объемного нагружения /

B. В. Чигиринский, А. А. Ленок, С. М. Ечин // Обработка материалов давление: сборник научных трудов. Краматорск: ДГМА, 2015. - № 2 (41). - С. 41-50.

4. Chigirinsky V. V. Determination of integral characteristics of stress state of the point during plastic deformation in conditions of volume loading / V. V Chigirinsky,A. A. Lenok, S.M. Echin // Metallurgical and Mining Industry : scientific and technical journal. 2015. - №. 11 - Р. 153-164.

5. Чигиринский В. В. Метод решения задач теории пластичности с использованием гармонических функций // Известия вузов. Черная металлургия. - 2009. - № 5. -

C. 11-16.

6. Чигиринский В. В. Замкнутая пространственная задача теории пластичности / В. В. Чигиринский, С. П. Шейко // Новi матерiали i технологи в металурги та машинобуду-ванш: науковий журнал, 2013. - № 2. - С. 120-125.

ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванн №2, 2015

131

7. Чигиринский В. В. Пространственная задача теории пластичности / В. В. Чигиринский, С. П. Шейко, С. М. Ечин //

Обработка материалов давление: сборник научных трудов. - Краматорск : ДГМА, 2013. - № 2 (35). - С. 3-8.

Одержано 09.11.2015

Чигиринський В.В., Ленок А.А., Якубович Л.А. Дослвдження впливу граничних умов на параметри напруженого стану при об'емному навантаженш

Визначенi та досл1джен1 граничнi умови при вирШенш просторово'1 задач1 теорИ пластичностг в замкнутому виглядi. Представлен компоненти тензорiв напружень i швидкостей деформацИ. РШення виражаються поеднанням плоских функцш. Схема течИ металу в осередку деформацИ визначае характер розподiлу контактних нормальних i дотичних напружень. Контактне тертя визначае величину i нерiвномiрнiсть розподшу компонентiв тензора напружень в об 'eui осередку деформацИ. Показан якiснi та юльюсш характеристики змiни напруженого стану металу для однокупольно'1 просторово'1 схеми навантаження. Представлений результат мае мiсце для нешироких осередюв деформацИ, з однieю лiнieю розподшу течИ металу. Отримане ршення можна використовувати в разi об 'емного навантаження осередку деформацИ.

Ключовi слова: граничн умови, контактне напруження, об'емне навантаження, просторова задача, плосю функцИ, фактор форми, коефщент тертя.

Chigirinskyi V., Lenok A., Yakubovich L. Research of influence of boundary conditions on the parameters of the stress state at a volume loading

Boundary conditions at the solution of a spatial task of the theory ofplasticity in the closed look are defined and investigated. Components of tensors of stress and rates of deformation are presented. Decisions are expressed by a combination offlat functions. Scheme of the metal flow in the deformation determines the character of the distribution of contact normal and tangential stresses. The contact friction determines the size and uneven distribution of the stress tensor components in the volume of the deformation zone. The qualitative and quantitative characteristics of the changes in the stress state of the metal-dome space for loading scheme are shown. The presented result takes place for not the wide zones of deformation, with one line of division of the metal flow. The resulting solution can be used in case of volume loading of deformation zone.

Key words: boundary conditions, contact stress, volume loading, spatial task, flat functions, form factor, friction coefficient.