Исследование влияния фрактальных свойств динамических рядов на оценку параметров их нестационарных фрагментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория сигналов

УДК 621.37

М. И. Богачёв

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Рассмотрен анализ статистической самоподобности динамических рядов. Приведен обзор характерных свойств динамических рядов с фрактальными свойствами и методов оценки указанных свойств. Рассмотрены вопросы влияния статистической самоподобности на оценку интегральных параметров нестационарных режимов. Предложен способ повышения чувствительности методов оценки нестационарных режимов, основанный на выделении и последующем режектировании фрактального компонента динамического ряда при помощи последовательного разложения в базисе ортогональных вейвлетов. Показана эффективность вейвлет-анализа для разложения динамических рядов на составляющие, раздельный анализ которых различными методами позволяет повысить информативность описания кратковременных нестационарных фрагментов.

Фрактальный процесс, динамические ряды, статистическая самоподобность, масштабная инвариантность, вейвлет-анализ, переходный процесс

Статистическая самоподобность, или фрактальность, выражающаяся в масштабной инвариантности по отношению к тем или иным статистическим характеристикам, является неотъемлемым свойством многих процессов различной физической природы. На практике при обработке данных измерений физических параметров, даже описываемых непрерывными функциями, представляемыми в статистических моделях случайными процессами, часто приходится иметь дело с анализом динамических рядов, соответствующих дискретным отсчетам для отдельно взятых реализаций (с учетом погрешностей измерений).

Установлен фрактальный характер целого ряда объектов и явлений естественного происхождения [1]-[5]. Наряду с детерминированными фракталами, для которых возможно точное воспроизведение свойств при масштабировании в определенных пределах (по крайней мере, теоретически), понятие фрактальности рассматривается и применительно к случайным процессам. В этом варианте можно говорить о масштабной инвариантности по отношению к тем или иным статистическим характеристикам.

Теоретические положения. Случайный процесс называется фрактальным, если некоторые из его важных статистических характеристик проявляют свойства масштабирования [6]. Поскольку это масштабирование математически приводит к степенным зависимостям, часто признаком принадлежности случайного процесса к классу фрактальных является степенной характер его статистических характеристик.

© М. И. Богачёв, 2006 3

//

ЛЭТИ

II

Исследование влияния фрактальных свойств динамических рядов на оценку параметров их нестационарных фрагментов

Одним из основных понятий, определяющих свойства фрактальных процессов, является самоподобность [7]. Случайный процесс Xt называется статистически самоподоб-

_ TT

ным, если этот процесс и процесс a Xat, полученный из Xt с учетом измененного временного масштаба at, имеют одинаковые конечномерные плотности распределения вероятностей для всех положительных целых n :

W{Xb X2, ..., Xn} = W[a~HXa, a~HX2a, ..., a~HXna}, (1)

где a - коэффициент расширения; 0.5 < H < 1 - показатель Херста [6]. При исследовании физических процессов, как правило, приходится иметь дело с проявлениями статистической самоподобности в ограниченном диапазоне коэффициентов расширения a.

Определение самоподобности случайного процесса. Прямое применение приведенного определения при исследовании процессов по конечным выборкам данных сталкивается с проблемой оценки распределения вероятностей, которое в большинстве случаев неизвестно. Поэтому на практике чаще прибегают к понятию самоподобности N-го по-

_H

рядка, когда процессы Xt и a Xat имеют одинаковые статистические характеристики по крайней мере до N-го порядка включительно. Также вводится понятие асимптотически самоподобных процессов, когда указанное свойство выполняется при a ^ да [6].

При анализе статистических характеристик второго порядка к основным признакам таких процессов относят:

• гиперболический вид корреляционной функции

R(k) = ki2H-2)L(tk), к ^да , (2)

где к - номер отсчета в дискретизированном временном ряду tk; L (•) - медленно меняющаяся на бесконечности функция: lim [L (txУL (t)] = 1, Vx > 0 ;

t ^да

• медленно затухающую дисперсию

D [Xm ] ~ m(2H-2), m ^да, (3)

где D[ ] - оператор определения выборочной дисперсии; Xm - временная последовательность, полученная усреднением первоначальной последовательности по непересекающимся последовательным блокам с размером m;

• степенной характер спектральной плотности мощности вблизи нуля S (w) ~ w~-L2 (w),

w ^ да, где 0 < у < 1; L2 (w) - медленно меняющаяся функция частоты [6].

Из соотношения (2) видно, что при 0.5 < H < 1 ряд, образованный суммой последовательных значений корреляционной функции, расходится: ^ R (к) ^да, что характеризует

k

еще одно важное свойство многих фрактальных процессов - наличие долговременной зависимости, или в данном случае ее линейной составляющей, мерой которой и является корреляционная функция. В то же время подобный вид корреляционной функции не является необходимым условием для определения в произвольном процессе фрактальной структуры.

4

К характерным особенностям многих процессов с фрактальной структурой относят также наличие распределения величин с "тяжелыми" хвостами [6]. Говорят, что случайная величина X распределена с "тяжелыми" хвостами, если вероятность

где 0 < а < 2, называется индексом хвоста распределения, или параметром формы.

Как видно из выражения (4), к ним относятся распределения вероятностей, затухающие по мере удаления от среднего значения медленнее экспоненты. В то же время данное свойство также не является необходимым для определения фрактальной структуры процесса. В ряде случаев физическая модель происходящих процессов не допускает даже редких значительных отклонений от среднего значения.

В условиях, когда природа происходящих процессов не вполне изучена либо применение адекватной модели затруднено, оценка параметра формы распределения а может быть произведена на основании имеющейся в распоряжении реализации изучаемого процесса. Однако оценка хвоста распределения требует чрезвычайно большого объема статистики. В то же время существует ряд тестов, обычно представляемых в виде графических методик, позволяющих произвести оценку параметра а по реализации длительностью в несколько тысяч отсчетов. Среди них следует отметить оценку Хилла, оценку по модифицированному 00-графику и оценку момента БеИаап [6].

При практическом применении указанных методов производится сортировка отсчетов выборки Х1, Х2, ..., хп реализации случайного процесса х = [х^}, в результате получается невозрастающая последовательность х' > х2 >... > Хп, для которой оценка Хилла а

При достаточно больших значениях k оценка а асимптотически сходится к истинному значению а.

Методика оценки на основании модифицированного QQ-графика (связанного с широко применяемым в прикладной статистике классическим квантиль-квантильным распределением) опирается на предположение, что при достаточно больших k функция распределения может быть оценена как P (z < Xj) = F (Xj)«1 - j/(k +1). Тогда график, для

которого по оси абсцисс откладывается - log [ j/(k +1)], а по оси ординат - log (Xj jxk),

будет представлять из себя прямую линию с наклоном а [9].

Оценка DeHaan а для индекса а может быть вычислена при помощи выражения из

тельная порядковая статистика.

Согласно экспериментальным данным [6] все приведенные методы эффективны при анализе выборок объемом по крайней мере в несколько тысяч отсчетов.

P [Y > У] = 1 - F (у) = у-аL (у ), y

(4)

[8] а = Y-1 = И\

- вспомога-

Как следует из определения (1), основной величиной, характеризующей самоподоб-ность случайного процесса, является показатель Херста. Проверка реального случайного процесса на присутствие самоподобности в его структуре на основании отдельной реализации связана с оценкой показателя Херста для имеющейся выборки. Строго говоря, вывод о самоподобном характере всего случайного процесса на основании оценки, проведенной по одной реализации, может быть сделан только при установленной его эргодичности. В других случаях следует говорить о самоподобной структуре в заданном масштабном диапазоне для заданного набора данных. Экспериментальное установление эргодичности по отношению к свойству самоподобности при наличии достаточно большого объема данных может быть выполнено рассмотренными оценками для различных фрагментов в различных масштабных диапазонах.

К основным методам оценки показателя Херста для временных рядов относят анализ нормированного размаха, анализ изменения выборочного значения дисперсии в зависимости от объема выборки, анализ спектральной плотности мощности (СПМ), оценку Виттла, вейвлет-анализ [6].

Херст предложил нормированную безразмерную меру, способную описать изменчивость изучаемых процессов, которую принято называть нормированным размахом, отличную от традиционной меры размаха случайного процесса. Для заданного набора наблюде-

_ 1 n

ний Xi, Х2, ..., xn с выборочным средним x =—}. x- нормированный размах R(n) оп-

nJ=1J

max А - - min A j k

ределяется как R (n) = 1~J ~n-J ~n—, где Ak = ^ xi - kx, 1 < k < n .

n£( xj-x-)2 -

i=i

Эмпирически установлено, что для многих природных явлений справедливо соотношение R (n) ~ cnH, где c - положительная константа, не зависящая от n. Показатель Херста H может быть оценен как наклон графика, у которого по оси абсцисс отложен log (n), а по оси ординат - log R (n).

В [7] показано, что для процесса, не обладающего свойством самоподобности, оценка H асимптотически сходится к значению 0.5.

Методика оценки показателя Херста посредством анализа указанного графика основана на свойстве медленного затухания дисперсии фрактального процесса (3) и связанного с

(3) соотношения о2 [Xm ] ~ am~ß, m ^ да . Эта методика состоит в получении оценки ß как наклона аппроксимирующей прямой для графика, где по оси абсцисс отложен log (m), а по

оси ординат - log {а2 [Xm ]}, после чего показатель Херста оценивается как H = 1 - ß/2.

Еще один известный способ оценки показателя Херста связан с использованием меры изменчивости, известной как индекс дисперсии для отсчетов:

IDC (t) = D{ A (t)}/M {A (t)},

где A и) - число событий случайного потока за время ^ М (•) - оператор определения выборочного среднего.

Приведенные методы с позиции точности оценки достаточно грубы, но могут использоваться для первичного выявления самоподобной структуры исследуемого динамического ряда.

Оценка Виттла для показателя Херста связана с оцениванием СПМ для реализации процесса. Оценка Виттла является оценкой максимального правдоподобия и дает асимптотически несмещенные результаты, однако данный метод является параметрическим и требует знания формы спектральной плотности мощности, некорректная оценка которой может стать причиной неустойчивых результатов. Оценка Виттла используется в предположении о наличии самоподобности и служит лишь для уточнения значений показателя Херста [6].

В значительной степени свободным от вышеперечисленных ограничений является методика оценки самоподобности, основанная на вейвлет-анализе динамического ряда. В основу данной методики положен мультиразрешающий анализ, который может быть проведен последовательным применением вейвлет-преобразования к исходной реализации. Вейвлет-преобразование позволяет разложить реализацию х 0) на грубую (низкочастотную) аппроксимацию ар (t) и мелкие (высокочастотные) детали ёй О), т. е.

да

хо)=аро) + £ ёйо)=£ujkфj,k ь) + £ £wjkVj,k ^),

] ^0 k ]k

где функции ^j k (0 = 2-^2 ф0 (2-jt - к) и (t) = 2-^2 (1 - k), фk = {ф^к};

У к = (уj к} образуют ортонормированный базис из сдвинутых и расширенных реализаций скейлинг-функции фо (t) и вейвлет-функции у о (t). Дискретное вейвлет-преобразование состоит в отыскании коэффициентов Wj k и Ujk, определяемых как

Wjk = \х- и) у*,к (t) dt; Ujk = |Xj и) ф*,к ^)dt,

где - знак комплексного сопряжения. При таком подходе к отражает положение временного окна, а] указывает на масштаб или разрешение анализа. С учетом соотношения [6]

В [ёе! ( j)] ~ 2*2*-2) (5)

можно произвести оценку самоподобности, выделив линейный участок на графике зависимости

log2

(2 7«о) х j

(6)

k

от log j, наклон которого определяется как 2H -1, где щ - объем данных. Аналитически доказано, что полученная таким образом оценка является несмещенной в достаточно произвольных условиях, а также эффективной при предположении гауссовской структуры данных [10].

В соответствии с выражением (5) линейно возрастающий участок зависимости (6) с показателем Херста 0.5 < H < 1 соответствует масштабному диапазону, в котором прояв-

7

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 3======================================

ляется самоподобность изучаемой реализации. На основании этого предлагается использовать результаты вейвлет-анализа для выделения фрактального компонента исследуемой реализации как суммы восстановленных из вейвлет-разложения компонентов исходного динамического ряда, соответствующих линейному участку зависимости (6). Для повышения достоверности данной процедуры рекомендуется при наличии достаточного объема исходных данных проводить оценку на различных пространственных масштабах к. Установление глубины самоподобности для изучаемого случайного процесса может быть произведено проведением подобной процедуры для ряда реализаций (теоретически по полному ансамблю), хотя для многих практических приложений можно ограничиться несколькими достаточно длинными реализациями при вариации всей совокупности воздействующих факторов. Контроль масштабной инвариантности может быть произведен оценкой основных статистических характеристик для выделенных составляющих при различных временном и пространственном масштабированиях.

При анализе кратковременных нестационарных фрагментов динамических рядов, порождаемых сложными системами, для оценки происходящих в них изменений часто бывает недостаточно использования информации о самом переходном фрагменте. В этих случаях одним из возможных подходов является оценка интегральных характеристик переходных процессов на основании изменений, вносимых ими в исследуемую систему.

Если представить поведение сложной системы при помощи адекватной модели, переходному процессу будет соответствовать переход параметров модели в пространстве состояний от устойчивой фазовой траектории, соответствующей фрагменту измеряемого динамического ряда 1 (рис. 1) к новой устойчивой траектории, соответствующей фрагменту измеряемого динамического ряда 3. Оценив параметры исходной и конечной фазовых траекторий, можно на основании их соотнесения выявить некоторые интегральные характеристики разделяющего их нестационарного режима 2.

Несомненным достоинством подобного подхода является возможность применения широкого арсенала средств, ориентированных на анализ стационарных или квазистационарных режимов, позволяющих достаточно детально описать интересующие свойства системы в рамках поставленной задачи. Кроме того, оценивание проводится вне активной фазы переходного процесса, которая во многих случаях сопряжена с повышенным уровнем помех при регистрации сигналов, т. е. появляется возможность оценки характеристик переходных режимов на основании обработки сигналов достаточно высокого качества.

Основным недостатком при этом является утрата информации о траектории фазового

перехода 2. Решением может стать отдельный анализ фазовой траектории в нестационарном режиме с использованием иного математического аппарата, чем при анализе стационарных фрагментов. Во многих случаях информация, полученная с использованием двух указанных подходов, является

взаимно дополняющей. Последующее ком-Рис. 1

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 3

плексирование результатов такого раздельного анализа позволит повысить интегральную информативность по сравнению со случаем использования только одной из указанных групп методик. Другой существенный недостаток состоит в увеличении времени анализа.

В рамках рассматриваемого способа анализа нестационарных режимов наличие са-моподобности, т. е. масштабной инвариантности по отношению к основным статистическим характеристикам, в некоторых компонентах исследуемого динамического ряда означает неинформативность этих компонентов для оценки происходящих в изучаемой системе изменений. В этом случае выделение фрактального компонента может быть полезно для его последующего режектирования. Актуальность режектирования фрактального компонента во многих задачах анализа систем различной природы отмечена в [11]. Одно из преимуществ применения результатов вейвлет-анализа, который используется как наиболее эффективный метод оценки наличия самоподобности, заключается в том, что в процессе оценки вычисляются готовые наборы вейвлет-коэффициентов для разложения на составляющие, которые могут быть проанализированы с использованием основополагающих свойств вейвлет-преобразования, изложенных в [12], или использованы для восстановления интересующих исследователя фрагментов реализации.

Выбор используемого семейства вейвлетов в практических приложениях является отдельной задачей. В работе [6] указывается на использование для оценки показателя Херста разложения с помощью вейвлет-преобразования Хаара. В то же время указанные свойства, приводящие к требуемому масштабированию, могут быть легко получены и для других семейств вейвлетов [12]. В работе [13] при отсутствии физически обоснованной модели, склоняющейся в пользу того или иного базиса, в качестве начального приближения рекомендуется использовать любое семейство, за исключением семейства вейвлетов Хаара, а при необходимости проводить экспериментальный анализ, заключающийся в сравнении результатов, получаемых при использовании различных базисных систем.

Вейвлет-разложение может послужить основой для дальнейшего выделения в исследуемом переходном процессе поддающегося регулярному анализу тренда, для которого могут быть оценены детерминистические характеристики, и для статистического анализа фрагментов нефрактальной части флуктуаций относительно этого тренда, чтобы оценить их изменения. Подобный подход в ряде случаев позволяет обеспечить более детальный анализ происходящих процессов, чем оценка интегральных характеристик. Являясь, по сути, элементом обобщенного спектрального анализа по сравнению с классическим спектральным оцениванием, данный способ наряду с широким выбором семейств вейвлетов, связанных с соответствующими базисными системами, позволяет проводить разделение на компоненты с использованием анализа свойств изучаемой реализации, а не по усредненным общепринятым границам. Возможно, для ряда задач это позволит адекватно учесть индивидуальные особенности изучаемого процесса, что представляется актуальным в задачах анализа биологических процессов, для которых характерным является значительный разброс индивидуальных параметров.

Экспериментальные результаты. Экспериментальная проверка предложенного подхода была проведена на реализациях динамических рядов сердечного ритма в рамках

решения задачи повышения эффективности работы систем дифференциальной диагностики синкопальных состояний на основании анализа данных тилт-теста, представляющего собой функциональный нагрузочный тест, порождающий кратковременный переходный процесс с описанными ранее свойствами. Первоначально проведена проверка для установления основных свойств, характерных для фрактальных процессов. Тестирование распределения для выявления "тяжести" хвостов проводилось с использованием методов оценки параметра хвоста а (4). Поскольку из [6] следовало, что хорошее качество оценивания реализуется только для объемов выборки в несколько тысяч отсчетов, проведен сравнительный анализ указанных методов как на реальных данных, так и на тестовых распределениях, сформированных в среде моделирования Matlab. Наибольшую устойчивость к снижению объема выборки показал метод оценки с использованием QQ-графика. На реальных данных (мониторограммы длительностью от десятков минут до суток, снятые в различных условиях) все тесты дали отрицательный результат, т. е. не смогли выявить наличие "тяжелых" хвостов в распределениях RR-интервалов. В то же время подобный результат не может быть истолкован как однозначное отрицание наличия долговременной связи в сердечном ритме. В рамках проверки наличия долговременной зависимости был также предпринят анализ взаимной корреляции между квазистационарными фрагментами ритмограмм тилт-тестов до и после активной фазы переходного процесса. Установлено, что значения коэффициентов корреляции не превосходят 0.3, что можно интерпретировать как практически полное отсутствие корреляции между массивами отсчетов, соответствующих исходному и ортостатическому положениям. Указанное обстоятельство свидетельствует о том, что возможная долговременная зависимость, вносимая фрактальным компонентом в функцию сердечного ритма, при оценке результатов кратковременных функциональных тестов практически не выделяется на фоне доминирующего переходного процесса, вызванного адаптацией к нагрузке, по крайней мере на уровне статистических характеристик второго порядка и не играет решающей роли.

Проверка на самоподобность проводилась оценкой показателя Херста. Для первоначального выявления самоподобности использовалась графическая методика оценки нормированного размаха по зависимости log R (n) = f [log (n)], давшая положительные pe-зультаты почти для всех записей, включая пятиминутные фрагменты в двух различных фазах тилт-теста, полные записи тилт-тестов и полные выборки сердечного ритма из суточных мониторограмм. Для уточнения использовался метод, основанный на вейвлет-анализе. Почти для всех реализаций оценка показателя Херста лежала в диапазоне 0.5 < H < 0.8, что отразило наличие фрактального компонента в функции вариабельности сердечного ритма. При этом наблюдался достаточно произвольный разброс показателей Херста как среди пациентов, так и для различных фрагментов ритмограммы одного и того же пациента. Изменчивость показателя Херста для фрактальных процессов в целом соответствовала литературным данным [6].

Ввиду отсутствия четких указаний относительно выбора семейства вейвлетов проведено экспериментальное исследование, в ходе которого не было установлено значимого различия между оцениваемыми интегральными характеристиками в зависимости от выбо-10

10Я2

2 ^ 2

п0 к

-11

-12.5

-14

1

Рис. 2

^ j

ра семейства. Использовались вейвлеты Хаара, их обобщение - вейвлеты Добеши второго и третьего порядков, а также семейства ортогональных вейвлетов второго и третьего порядков. В исследованиях использовалось семейство вейвлетов Добеши второго порядка.

В ходе обработки реальных данных при помощи вейвлет-анализа удалось установить обрыв линейного участка и характерный спад логарифмической характеристики (6) при значении ] = 4 (рис. 2). Указанное явление наблюдалось практически для всех записей независимо от длины выборки и ее локализации, равно как и стационарности анализируемого фрагмента, оцениваемой на уровне математического ожидания и дисперсии. Возможно, что значение ] = 4 характеризует предельную глубину масштабной инвариантности для сердечного ритма и является характерным для данного класса физиологических процессов. Масштабная инвариантность по отношению к статистическим характеристикам проверялась при анализе среднеквадратического отклонения (с учетом центрированных составляющих разложения, восстановленных из вейвлет-коэффициентов, характеризующих детали). Установлено, что дрейф выборочных значений среднеквадра-тического отклонения в основном не выходит за пределы 90%-го доверительного интервала. Наличие фиксированной границы, разделяющей качественно различные по своим статистическим свойствам составляющие ритмограммы, согласуется с физиологическими представлениями, на которых основан классический спектральный анализ вариабельности сердечного ритма [14]. Можно считать, что подобное свойство было еще раз подтверждено экспериментально при использовании иного базиса.

По результатам вейвлет-анализа произведено режектирование фрактального компонента, т. е. для дальнейших исследований использовался результат восстановления аппроксимирующей составляющей после последовательного трехкратного применения вейвлет-преобразования к исходной функции сердечного ритма. Установлено, что режектирование фрактального компонента позволило существенно повысить чувствительность статистического анализа переходных процессов в ритмограммах.

Последующие итерации вейвлет-пре-образования использовались для выделения тренда с целью оценивания его детерминистических характеристик и дополнения ими данных статистического анализа (рис. 3).

Рассмотренный подход позволил повысить информационную ценность анализа рис 3

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 3======================================

нестационарных процессов, возникающих при функциональном тестировании, и получить эффективный инструмент для экспериментального анализа физиологических процессов. Проведено разделение фрагментов динамических рядов сердечного ритма на три качественно различные по своим статистическим свойствам составляющие: регулярный тренд, нерегулярную, но информативную стохастическую составляющую, и высокочастотный неинформативный шум, который режектировался. Представляется перспективным применение аналогичного подхода в задачах анализа нестационарных фрагментов динамических рядов иного физического происхождения, которые могут быть описаны схожими моделями.

Библиографический список

1. Bunde A. Fractals in Science. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. 298 p.

2. Bunde A. Fractals and Self-Similarity. 2-d ed. Berlin, New York: Springer, 1996. 408 p.

3. Golberger A. L., Rigney D. R., West B. J. Chaos and fractals in human physiology // Sc. Am. 1990. № 2. P. 35-41.

4. Аксенов И. Б. Фрактальные свойства акустических локационных откликов // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 7. С. 131-133.

5. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of nature. San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1982. 460 p.

6. Peitgen H.-O., Jeurgens H., Saupe D. Chaos and fractals: New frontiers of science. New York: SpringerVerlag, 1992. 984 p.

7. Mandelbrot B. B., Van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM Rev. 1968. Vol. 10. P. 422-437.

8. Resnick S. I., Starica C. Consistency of Hill's estimator for dependent data // J. of Appl. Prob. Vol. 32. 1995. P. 139-167.

9. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosh T. Modelling extremal events: Applications of mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1997. 645 p.

10. Abry P., Veitch D. Wavelet analysis on long range dependence traffic // IEEE Trans. on Inf. Th. 1998. Vol. 44, № 1. P. 2-15.

11. Афанасьев В. В., Польский Ю. Е. Методы анализа, диагностики и управления поведением нелинейных устройств и систем с фрактальными процессами и хаотической динамикой. Казань: Изд-во Казанск. техн. ун-та, 2004. 219 с.

12. Blatter C. Wavelets - Eine Einführung. Braunschweig-Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH., 1998. 178 s.

13. Daubechies I. Ten lectures on wavelets // CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math. 1994. Vol. 61. 76 p.

14. Heart Rate Variability. Standards of Measurement, Physiological Interpretation, and Clinical Use // Circulation. 1996. Vol. 93. P. 1043-1065.

M. I. Bogachev

Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Fractal properties influence of dynamic series to non-stationary fragments analysis

The terms of statistical self-similarity analysis in dynamic series are reviewed. A review of specific properties of dynamic series with fractal components and fractal properties estimation methods is given. The influence of statistical self-similarity to the estimation of integral characteristics in non-stationary fragments is discussed. To put up the sensitivity of non-stationary fragments estimation a tool for fractal component rejection based on orthogonal wavelet transformation of the dynamic series is proposed. Efficiency of wavelet analysis in regular trend selection and enhancement of irregular component statistical analysis is demonstrated.

Fractal process, dynamic series analysis, statistical self-similarity, scaling invariance, wavelet analysis, transient

Статья поступила в редакцию 1 ноября 2005 г.