Исследование влияния дефектов на спектры собственных частот и формы колебаний стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 32-33

УДК 539.3:534.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ НА СПЕКТРЫ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ

© 2011 г. Л.Д. Акуленко, С.В. Нестеров

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

gavrikov@ipmnet. ги

Поступила в редакцию 16.05.2011

Изучаются частоты и формы продольных колебаний стержней, имеющих дефекты (инерционные, геометрические, жесткостные и др.), с целью их диагностики. Теоретическим аппаратом являются методы прямой задачи Штурма - Лиувилля и ее высокоточное решение (метод ускоренной сходимости). Излагаются результаты анализа множественных численно-аналитических и физических экспериментов для разных типов дефектов и мест локализации, а также мод колебаний. На их основе введен эффективный критерий поврежденности. Установлены качественные особенности и возможности определения дефектов (решения обратной задачи). Показано, что при наличии нескольких дефектов колебания существенно усложняются. Решение обратной задачи известными методами затруднено.

Ключевые слова: прямолинейный стержень, дефект, собственные частоты, формы, резонансный метод, динамическое взвешивание.

Имеется ряд работ, в которых исследуется влияние различных неоднородностей (инерционных, геометрических, жесткостных дефектов) на спектры собственных частот как продольных, так и поперечных колебаний стержней. В этих работах дефекты моделируются наиболее простыми способами, позволяющими привести задачу нахождения спектров к тем или иным вариантам алгебраических систем, определяющим спектр собственных частот. Недостатками этих работ являются именно конструкция (упрощенная форма) дефектов, доступных математическому описанию, малое количество сопоставлений теоретических и экспериментальных результатов, а также отсутствие указаний на то, какие требования должны предъявляться к экспериментам, в частности к используемым образцам и измерительной аппаратуре.

Рассматриваются спектры и формы продольных колебаний стрежней, имеющих дефекты, которые моделируются специальным образом.

Основным математическим инструментом является задача Штурма — Лиувилля с краевыми условиями второго рода (условия Неймана)

| р(х)—1 + А,г(х)и = 0, и'(0)=и'(1) = 0 (1)

ёх V ёх )

для продольных колебаний стрежня, где X — безразмерное собственное число, пропорциональное квадрату собственной частоты, и — форма колебаний.

Была введена математическая классификация

дефектов:

1. «Инерционные дефекты»

N

г( х) = 1 + Х Л (х X

к=1

где /к (х) - функции, локализованные в окрестности точек Ьк ; при этом принимается р(х) = 1.

2. «Упругие дефекты»

N

р( х)=1+Х ік(х х

к=1

где /к (х) - функции, локализованные в окрестности точек Ьк ; при этом принимается г(х) = 1.

3. «Дефекты поперечного сечения»

( N \

5 (х) = 1+ Х /к (х)

к=1

( N \

г( х) = р( х) = ^ 1 + Х fk ( х)

V к=1 у

Рассмотрим случай продольных колебаний, который проще реализуется в эксперименте. Краевая задача (1) решается методом ускоренной сходимости, определяется влияние одиночных дефектов всех трех типов на собственные частоты. Получены зависимости собственных частот и форм колебаний от параметров дефектов. Произведено сопоставление теоретических и экспериментальных результатов, которые были получены на установке резонансного типа, специально сконструированной для этих исследований.

Дополнительным результатом теоретических и экспериментальных исследований является по-

лучение возможности динамического определения масс образцов твердых и упругих тел: 1) геометрически малых элементов, соединенных с ко -леблющимся стержнем; 2) стержней большой протяженности с неизвестной массой при заданной массе элементов. Относительная погрешность определения массы посредством «динамического взвешивания» составляет величину порядка 0.5%. Теоретически установлено, что в условиях малой гравитации (невесомости) или движения несущего тела с существенно изменяющимся ускорением предложенный метод является адекватным способом определения массы.

Установлено также, что экспериментально определяется «дефект упругости» при его расположении в узловой точке колебаний.

Основные результаты исследований:

1. Разности собственных частот стрежня, имеющего дефекты, и частот стержня без дефектов в зависимости от положения дефекта имеют осцилляционный характер.

2. При наличии нескольких дефектов между

этими осцилляциями происходит интерференция. Осцилляции могут либо усиливаться, либо ослабляться.

3. Формы колебаний стрежня с дефектами практически не отличаются от форм колебаний стержня без дефекта. В окрестности расположения «дефектов упругости» или поперечного сечения производная Эu/Эx имеет весьма большие значения и соответственно возникают большие локальные напряжения.

4. Если имеются несколько дефектов, то при высоких частотах наблюдается своеобразное разделение колебаний различных участков стержня, ограниченных точками положения дефектов.

5. Наибольшие расхождения между теорией и экспериментом имеются в случае множественных «дефектов поперечного сечения». Как правило, экспериментально наблюдаются мульти-плеты продольных колебаний и одновременно возбуждаются поперечные и крутильные колебания. Это объясняется тем, что при таких дефектах нарушается симметрия колеблющегося стержня.

INVESTIGATION OF THE INFLUENCE OF DEFECTS ON THE NATURAL FREQUENCY SPECTRUM

AND VIBRATION SHAPES OF RODS

L.D. Akulenko, S.V Nesterov

The eigenfrequencies and shapes of longitudinal vibrations of rods that have defects of various kinds (inertial, geometric, stiffness, etc.) are studied with the aim of detecting these defects. This study is based on the direct Sturm-Liouville problem and an accelerated convergence method for obtaining a high-accuracy solution to it. Numerous computational (numerical-analytical) and physical experiments are analyzed for defects of various types, places of their localization, and vibration modes. On the basis of this analysis, an effective criterion for detecting a damaged state was introduced. Qualitative features of the defects and the possibilities for identifying them on the basis of solving the inverse problem were established. It was shown that the vibrations become substantially more complex for several defects. The solution of the inverse problem by means of conventional methods is complicated.

Keywords: straight rod, defect, natural frequencies, vibration shapes, resonant technique, dynamic weighing.