Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 531.36 А. А. Косое

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

1. Введение. Рассмотрим сингулярную линейную систему дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя малыми параметрами при старших производных

£аА3х+еА2х + А!х + А0х = 0, хеВ,71, (1)

где е > 0 - малый параметр; а > 1; Аг = {0,1,2,3}, - постоянные п х п-матрицы с вещественными элементами. Если пренебрегать в (1) только меньшим из малых параметров, положив формально еа = 0, е ф 0, то получим систему вида

еА2х + Ахх 4- А0х = 0, х е Яп. (2)

Замена времени £ = ту/е сводит (2) к системе с большим параметром

. ¿Рх , , (¿с . _ , 1

которую В. И. Зубов рассматривал в качестве линейного приближения для уравнений движения гироскопических систем [1]. Поэтому свойства решений системы (2) могут быть установлены на основе доказанных в [1] теорем о свойствах решений системы (3).

Теорема 1 (теорема 6.1 из [1]). Каждому отличному от нуля простому корню А^о уравнения

<1* (А2\ + А1) = 0 (4)

отвечает решение системы (2), представимое в виде

я(*) = С,ехр(^), (5)

\ = = + + (6)

О* = С, (е) = С & + Сце + ..., (7)

при этом ряды (6), (7) по целым степеням малого параметра сходятся при всех достаточно малых е > 0.

Теорема 2 (теорема 6.2 из [1]). Каждому простому корню /¿¿о уравнения

АеЬ (А1ц + Ао) = 0 (8)

I А. А. Косов, 2005

отвечает решение системы (2), представимое в виде

#(£) = Б* ехр ,

АЧ = = № + + • • •, В{ = В^е) = До 4- + .. -,

(9) (10) (И)

при этом ряды (10), (11) по целым степеням малого параметра сходятся при всех достаточно малых е > 0.

Эти две теоремы устанавливают аналитическую природу решений системы (2) в случае простых корней характеристических уравнений. Для случая кратных корней в [1] выявлено, что разложения, аналогичные формулам (6), (7), (10), (11), будут рядами по дробным степеням малого параметра. Из найденной структуры решений вытекает утверждение, позволяющее при достаточно малых значениях параметра е > 0 декомпозировать задачу анализа устойчивости системы (2) размерности 2п на две аналогичные задачи размерности п каждая.

Теорема 3 (теорема 7.1 из [1]). Если нулевые решения и = 0 и у = 0 систем

асимптотически устойчивы по Ляпунову} то существует £о > 0 такое, что при всех 0 < € < £о нулевое решение х = х = 0 системы (2) также будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

В прикладных задачах параметр е является не бесконечно малым, а принимает конечные положительные значения. Поэтому для приложений представляет интерес получение оценки фигурирующей в формулировке теоремы 3 верхней границы £о для допустимых значений малого параметра е. Ниже будет дано доказательство теоремы 3, содержащее конструктивную процедуру оценки верхней границы е0.

Поскольку система (1) «мало отличается» от системы (2), переходя в нее при еа = 0, т. е. при отбрасывании «сверхмалого» параметра, то можно ожидать, что для нее могут быть получены аналоги теорем 1-3, позволяющие установить аналитическую природу решений и декомпозировать задачу анализа устойчивости одной системы размерности 3п на несколько аналогичных задач меньшей размерности каждая. Основная цель данной статьи и состоит в обосновании возможности исследования устойчивости системы (1) на основе декомпозиции. При этом доказательство также содержит конструктивную процедуру оценки верхней границы допустимых значений малого параметра.

2. Декомпозиция системы второго порядка. Приведем доказательство теоремы 3, основанное на построении векторной функции Ляпунова [2].

Введением новых переменных у = ж, и = х Н- еА^1А2Х система (2) приводится к

Из асимптотической устойчивости систем (12) и (13) следует существование квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих оценкам

й = -А11А$и, V = -А^Аху

(12) (13)

виду

й = -Аг 1А0и - еА11АоА1 гА2ь V = -е^А^Аои + (А^1АОА11А2 -

(14)

а1|Н|2^^(«)<а2|М|2, \\gcad ^ а3|М|, Ъ < (15)

(12)

AIMI2<Va(«KAIMI2, HeradViHKAlHl, (16)

где aij ¿ = {1,2,3,4},- положительные постоянные.

С учетом (15) и (16) для двухкомпонентной вектор-функции Ляпунова col (Vi(u),V2(v)) получаем оценку производной в силу системы (14)

Va! Pi

ey/otiPi \ VPГ е )

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения соответствующей системы сравнения [2] записываются в виде

gift. оаРА

аю^ИГlAoA[lA2\\ + а3р3\\А^А0\\ • АоА?Л2\\

с ^ с _ __UIPIUAPA_____7ч

При выполнении (17) на основании теоремы сравнения [2] будет асимптотически устойчивым и нулевое решение системы (2). Теорема 3 доказана.

Таким образом, для установления асимптотической устойчивости системы (2) размерности 2п нужно решить матричные уравнения Ляпунова для систем (12) и (13) размерности п, получить для квадратичных функций Ляпунова оценки (15) и (16) и вычислить допустимую границу значений малого параметра по формуле (17). Если же характеристическое уравнение хотя бы одной из систем (12), (13) будет иметь корень с положительной вещественной частью, то из теорем 1 и 2 немедленно следует неустойчивость системы (2) при всех достаточно малых значениях параметра е.

3. Декомпозиция сингулярной системы третьего порядка. Следующие теоремы устанавливают аналитическую природу решений системы (1) и возможность исследования ее устойчивости на основе декомпозиции на три подсистемы.

Теорема 4. При а > 2 каждому отличному от нуля простому корню А^о уравнения (4) соответствует решение системы (1) вида (5), где

А, = А, (е) = А,0 + Хце + \$еа~2 + ..., (18)

Сй = С^е) = С}о + Сде + С^еа~2 +... (19)

представляют собой ряды по целым степеням е и еа~2, сходящиеся при всех достаточно малых е > 0.

Теорема 5. При а > 0 каждому простому корню цю уравнения (8) соответствует решение системы (1) вида (9), где

= = № + + + • • •»

В{ = В{(е) = В{ о + Вне + вЦ)еа + ...

представляют собой ряды по целым степеням е и еа, сходящиеся при всех достаточно малых е > 0.

Теорема 6. При а > 2 каждому отличному от нуля простому корню що уравнения с1е1 (Агг] + А2) = 0 соответствует решение системы (1) вида

x(t) = Dk exp

{ Vkt\

где

Vk

= m(e) = то + r¡kíe2a-3 + T)$ea~2 + ...,

Бк = Бк{е) = Бк0 + Ок1е2а~3 + Б^£а~2 + ...

представляют собой ряды по целым степеням £2а~3 и еа~2, сходящиеся при всех достаточно малых е > 0.

Теорема 7. Если а > 2 и нулевые решения и = 0, V = 0 и ии = 0 соответственно систем (12), (13) г* системы

w = — Ао А2 го

(20)

асимптотически устойчивы по Ляпунову, то существует £о > 0 такое, что при всех 0 < е < ео нулевое решение х = х = х = 0 системы (1) также будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство теоремы 4. Сделаем замену времени < = ет, тогда система (1) запишется следующим образом:

„ о , d3x t d?x . dx 6 А3—+А2—+Ах—+еАох = 0. ard dr¿ dr

(21)

Будем искать решение уравнения (21) в стандартной форме х(т) = еХтС, тогда для определения числа А и вектора С € Яп получаям систему уравнений

(е°-2Л3А3 + А2 А2 + Аг Х + еА0)С = 0.

(22)

Для того чтобы существовал ненулевой вектор С, удовлетворяющий уравнению (22), число А должно быть корнем алгебраического уравнения

Д(А,е,ев-2) = det (е°-2Л3А3 + Л2А2 + ^А + еЛ0) = 0.

(23)

Обозначим через Ajo корни уравнения (4). Поскольку функция Д(А,£,£а 2) является полиномом от своих аргументов, то для ее производной по А справедливо равенство

ад д\

= ^[АЧЫА)],

здесь Д21 (А) = det (А2Х + А\). Поэтому для каждого простого ненулевого корня Ajo уравнения (4) имеем

Д(А,£,е°-2) _

А = Ajo

: = 0,

-0,

ад

ЗА

= е«-2 = о = n\yA21(Xj0) + Xj0—A2i(\)

£

А = Ajo

_ dA31(A)

— Гу

A=Ajo

j0 dX

?É0.

X=Xjo

Таким образом, выполнены все условия теоремы о неявной функции (см., например, [3, с. 166]), на основании которой решение Аj уравнения (23) представимо в виде ряда

(18) по степеням е и еа~2, сходящегося при всех достаточно малых е > 0. В качестве вектора удовлетворяющего уравнению (22), следует взять [1] алгебраические дополнения к какой-либо строке матрицы системы (22), не обращающиеся одновременно в нуль. Тогда компоненты вектора С^ = Cj(£^ еа~2) будут представлены в виде рядов (19), сходящихся по крайней мере в той же области, что и ряды (18), т. е. при всех достаточно малых е > 0.

Возвращаясь теперь вновь к времени получаем для решения уравнения (1) искомое представление (5). Теорема 4 доказана.

Доказательства теорем 5 и 6 проводятся аналогичным образом.

Доказательство теоремы 7. Введем новые переменные

i'x |

и = х + eAi1 А2х -Ъ eaAi1A3x v = x + ea-1A21A3x (24)

W = X

После подстановки (24) в (1) получим систему дифференциальных уравнений

(25)

" -А^Ао еА^АоА^

Р =

-А^А0 eA^AoA^Ai 0

-е^А^Ао -£-1А21А1+А21А0А];1А2 еа~2 А2х А^1 А3

-e-Mj^o ¿-'^АоА^Аг-е-'^А! e^A^AiA^Aa-e^A^Ai

Из асимптотической устойчивости подсистем (12), (13) и (20) следует существование квадратичных функций Ляпунова Vi (и), V2(v), V3(w), удовлетворяющих оценкам (15), (16) и

7iIHI2^^W^72|HI2, ||grad УвМК-ЫИ» V8(u,)| ¿-ъУз- (26)

I (20)

С учетом (15), (16) и (26) для трехкомпонентной вектор-функции Ляпунова col (Vi(ii), V2{v), V3(w)) получаем оценку производной, в силу системы (25),

Здесь использованы обозначения 612 = \\A~i1 А^А^1 А2\\ , 621 = Ц^^оЦ, 622 =

\\А?АоА?А2\\, Ь23_= М^АгА^АзЦ Ь31 = Ц^ЛоИ, Ь® = Н^^Г^аП, =

^А^АгЦ Ь33 = \\А31АхА21А3\\, матричная норма соответствует векторной норме из оценок (15), (16), (26).

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы сравнения [2], соответствующей оценкам (27), записываются в виде неравенств Севастьянова-Котелянского для (3x3) матрицы

«3^12

О

с-д Тзбз!

Л—а4

у/йгЪ

Условие положительности главного минора размера (2 х 2) для матрицы Мз (е) приведет вновь к неравенству (17). Выписывая главные члены определителя матрицы Мз(в), получаем

При а > 2 первое отрицательное слагаемое гарантирует отрицательность определителя (1е1 Мз(е) при всех достаточно малых е > 0, е < ео. Причем пороговое значение ео строится конструктивно, на основе операций над матрицами размера не выше пхп. Для этого нужно решить матричные уравнения Ляпунова для систем (12), (13) и (20), получить для квадратичных функций Ляпунова оценки (15), (16) и (26), выписать (3 х 3) матрицу Мз(е) и по ней численно определить максимальное значение бо > 0 такое, что в интервале (0,£о) еще выполняются неравенства Севастьянова-Котелянского для этой матрицы. Из асимптотической устойчивости нулевого решения системы сравнения на основании теоремы сравнения [2] вытекает аналогичное свойство в системе (1). Теорема доказана.

Таким образом, задача анализа устойчивости системы (1) размерности 3п декомпозируется на 3 аналогичные задачи для систем (12), (13), (20) размерности п каждая. Если матрицы А1,А2,Аз невырождены и изолированные подсистемы (12), (13), (20) асимптотически устойчивы, то для каждой из них решается матричное уравнение Ляпунова и строится квадратичная функция Ляпунова с соответствующими оценками (15), (16), (26). При этом верхняя граница во > 0 допустимых величин малого параметра оценивается конструктивно как предельное значение параметра е > 0, при котором трехмерная система сравнения остается асимптотически устойчивой.

Если же хотя бы одно из характеристических уравнений систем (12), (13), (20) имеет корень с положительной вещественной частью, то из теорем 4-6 немедленно следует неустойчивость системы (1) при всех достаточно малых е > 0.

4. Заключение. Отметим два момента.

Во-первых, в условиях теоремы 7 предельное значение параметра £тах > 0, при котором еще сохраняется асимптотическая устойчивость системы (1), может быть найдено прямым применением критерия Гурвица (или его эквивалентов) непосредственно к данной системе. Однако при этом придется работать с матрицей размерности Зп х Зп. В случае высокой размерности такой подход может оказаться нереализуемым на практике. Конструктивный подход на основе декомпозиции на п-мерные системы и построения вектор-функций Ляпунова, содержащийся в доказательствах теорем 3 и 7, как обычно и бывает при использовании второго метода Ляпунова, опирается только

с^ М3(б) = —е °а4/?474 + £

д_а аз/9з7зб12б2174 с-2 04/7373623632

<*!&! 0171

на достаточные условия асимптотической устойчивости и поэтому приведет к заведомо заниженным оценкам £о < £тах- Но, как отмечено в [4, с. 199], для широкого класса систем, моделирующих динамику гироскопических приборов, условия критериев асимптотической устойчивости выполняются со значительным превышением, т. е. для реальных значений входящего в систему малого параметра, как правило, оказывается справедливым неравенство е « етах, тем самым получение даже грубой заниженной оценки £q < £max предложенным методом может оказаться вполне достаточным для обоснованного вывода об устойчивости, а определение точной границы етах становится необязательным. Таким образом, разработанный подход, учитывающий специфику присутствия в системе малых параметров, может оказаться полезным при анализе устойчивости систем (1) высокой размерности.

Во-вторых, если система (1) является линейным приближением нелинейной системы, то все выводы об устойчивости, вытекающие из теорем 4-7, переносятся на нелинейную систему стандартным образом [1] на основе теорем Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. При этом построенные при доказательстве тебрем 3 и 7 вектор-функции Ляпунова могут использоваться [2] для получения количественных оценок динамики нелинейной системы, например для оценки области притяжения [1].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы №19 Президиума РАН (проект № 2) и ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники» (проект Xs 2005-ИТ-12.1.002).

Summary

Kosov A. A. Stability analysis of singular systems by the method of Lyapunov's vector functions.

The conditions of asymptotic stability for singular systems based on the method of Lyapunov's vector functions are obtained.

Литература

1. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

2. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 380 с.

3. Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 232 с.

4. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

Статья поступила в редакцию 13 октября 2005 г.