Исследование устойчивости режима с полным использованием исходных реагентов с помощью случайных возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 66.10-503.4.001.57 С. И. Дуев

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЖИМА С ПОЛНЫМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСХОДНЫХ РЕАГЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Ключевая слова: реакторная система с рециклом, множественность стационарных состояний, устойчивость,

случайные возмущения.

Предложена математическая модель реактора идеального смешения с рециклом с учетом случайных возмущений. В жидкофазном политропическом реакторе протекает реакция А+ВO 2С. В качестве параметров, подвергающихся случайным возмущениям, рассматривались входные концентрации реагентов. При данной величине рецикла определена максимальная интенсивность белого шума, при котором возможен режим с полным использованием исходных реагентов А и В.

Key words: reactor system with recycle, statibility, multiplicity of steady states, stochastic disturbances.

Mathematical model of the continuous stirred tank reactor with recycle taking into account the stochastic disturbances is proposed. Reaction A + B O 2C takes place in polytropic liquid phase reactor. Maximum intensity white noise corresponding to given value of the recycle is defined for the regime with a complete use of basic reactants.

Известно, что при функционировании технологических процессов некоторые из режимных параметров могут флуктуировать вследствие случайных влияний. С учетом этого математическая модель процесса может быть представлена системой стохастических дифференциальных уравнений :

idp = A (x ; t)+ 5 (x; t)| (t) (1)

где ^(t) белый шум.

Для решения системы стохастических дифференциальных уравнений (1) используются различные стохастические интегралы. Наиболее употребительными являются симметризованный интеграл Ито и несимметризованный интеграл Стратановича [3]. Различные разностные схемы численного дифференцирования для этих случаев даны в работе [4]. Например, разностная формула Рунге - Кутта, соответствующая несимметризованному интегралу Стратановича имеет вид:

xi+1 = xi + (^ + k2 + k3 + k4)/6 + G(xi,ti)A^i , i=0,1,2, ... (2)

При решении на каждом шаге дифференцирования необходимо генерировать независимые нормально распределенные случайные числа Д ш - (д ш - = ^ i At ), (где At -

шаг дифференцирования) с нулевым средним и дисперсией (Дш-)2 = 5Д1,(здесь 5 -

интенсивность белого шума).

В настоящей работе аппарат стохастических дифференциальных уравнений был применен при исследовании режимов с полным использованием исходных и промежуточных реагентов в рециркуляционной системе реактор-блок разделения, для исследования континуумов стационарных состояний. Типичная структура рециркуляционной системы реактор- блок разделения представлена на рис.1.

г

Рис. 1 - Блок- схема рециркуляционной системы: 1 - реактор, 2 - блок разделения

При исследовании реактора идеального смешения в качестве параметров, подвергающихся случайным возмущениям можно рассматривать входные концентрации

- (о)

реагентов х :

х(0) = м|х(0 ^)]+ ),

(3)

где М х() () - среднее значение случайного процесса х(0)(1).

Тогда получим следующую систему стохастических дифференциальных уравнений, моделирующих реактор идеального смешения с рециклом:

ьх

V ^ = Є • м[х0 (1)]+ - Рх + г • х * +Об| (1)

(4)

Пусть в политропическом реакторе идеального смешения протекает реакция А+В ^ 2С, тогда математическая модель реактора идеального смешения в рециркуляционной системе с учетом возмущений концентраций исходных реагентов подаваемых в систему может быть представлен в следующем виде:

^СрР СТ=ССрТ<0)+V- ди(к1х1х2-к2 (і-х1 - х212 )+и(х - Т)-Рсррї+Г0рр^ Т

(5)

Сх1 2

V—1 = -Vk.1x.1x0 + Vk 0х2 + ЄМ С 112 23

Д0)

Рх 1 + г х* + О б 1^(1)

V

Сх

2

сИ

= ^^х^2 + Vk2x2 + ОМ

х

(0)

- Рх2 + г • х2 + Є б 2 ^ (1)

2

где Ср- удельная теплоемкость, Р- поток смеси, поступающий в реактор , О- поток смеси, поступающий в систему , Л Н- тепловой эффект реакции, г- поток смеси в рецикле , Т-температура смеси, Тх- температура хладоагента, 1- время, Ы- коэффициент теплопередачи, отнесенный к единице поверхности теплообмена, V- объем реактора, X; - концентрация 1-ого реагента (моль. доли)., р - плотность смеси

к; = Д| • ехр(^Е^), 1=1,2,

(6)

где А;- предъэкспоненциальный множитель, К;- константа скорости I стадии реакции, Е;-энергия активизации, К- газовая постоянная

Полагая, что в реагирующей смеси отсутствуют инертные вещества, и учитывая, что концентрации реагентов измеряется в мольных долях определим концентрацию продукта С:

хз = 1 - XI - Х2 (7)

Рассмотрим режим с полной рециркуляцией непрореагировавших реагентов А и В, при котором должны выполняться условия [7]:

Fxi = г* , і = 1,2 (8)

Учитывая, что в рецикле может так же присутствовать часть продукта С, в

рассматриваемом режиме должно выполняться следующее неравенство [8]:

г

X1+X2 < ^ (9)

С учетом соотношений (7,8) математическое описание реактора на режиме с полным использованием исходных реагентов А и В при случайных возмущениях можно записать так:

^1 _ \/ІХ V V , \/|х (л V V V , ПИлГч, (0)

V • —£ = ^^^2 + Vk2 (1- x1 - x2)2 + GМ[x1(0) ]+ 06^)

V • = -Vk1x1x2 + Vk2 (1- x1 - x2 )2 + Gм[x2(0) ]+ 06 2ЭД)

V•CpP£=GCpT(0) + V(--k2(1-x1 -^)2)+U(Tx -T)-FCppT+rCpP•T*

(10)

На этом режиме существует континуум стационарных состояний [7], в котором концентрации реагентов А и В (а следовательно и концентрация продукта С) могут принимать стационарные значения из области Q - интервала [х^тт,х^тах], i= 1,2,3. При этом

стационарное значение температуры в реакторе единственное.

Минимальная величина рецикла г,шП , при котором возможен рассматриваемый режим определяется из условия (9) при равенстве концентрации Х1 = Х2 :

rmin =

= 20

1- 2ж1

(11)

где Х1 находится решением системы трансцендентных уравнений, которые определяют стационарное состояние реактора.

Этот континуум стационарных состояний находится в лучшем случае на границе области устойчивости [7], а при возмущениях вследствие отклонений начальных значений концентраций изображающая точка системы стремится к одному из континуума стационарных состояний. Но так как режим с полным использованием исходных реагентов А и В возможен лишь в ограниченной области значений концентраций - О, то при возмущении параметров системы изображающая точка может выйти за пределы этой области, что приведет к срыву рассматриваемого режима [9]. В результате решения системы стохастических

дифференциальных уравнений (10) определялась область предельных значений

концентраций хі - О : ^^тХ^^], і= 1,2, такая что при интенсивности белого шума 8 <8 тЭх концентрации Xi, І=1,2 оставались в этой области. Вид континуума стационарных состояний

представлен на рис.2.

При расчетах была также выявлена зависимость между необходимой величиной рецикла Г, для заданной величины возмущений 8 , которая является возрастающей функцией.

Так при величине

интенсивности белого шума 8 = 81 =82 = 0,5, что составляет 12,5% от величины входного потока 0 изображающая точка системы остается в области допустимых значений О:0,1 моль/моль^<0,4моль/моль, І=1,2. Вид области допустимых значений О на плоскости Х1 Х2 представлен на рис.3.

Рис. 2 - Вид континуума стационарных состояний на плоскости Х1 Х2

0,5

X 2 min

X 2 max

0,5

X

1max

Рис. 3 - Вид области допустимых значений О на плоскости Х1 Х2

При 8 >0,5, при величине рецикла Г=4 моль/секизображающая точка системы выходит за пределы области О, в результате этого происходит срыв режима с полным использованием реагентов А и В.

При практической реализации режима целесообразно поддерживать величину рецикла близко к минимальной (в данном случае Гт^=3.1 моль/сек).Однако, в этом случаи амплитуда возмущения должна быть достаточно малой (например Г = 3,2 моль/сек., 8 тах=0,01, что составляет только 0,25% от величины входного потока О. Поэтому для поддержания режима с полным использованием исходных реагентов А и В необходимо использовать систему автоматического регулирования.

1. Steinez R., Chemiker Zeitung //Chemische Apparatur / R.Steinez, J.Thies - 1968, V.92. №18. - P.665-675.

2. Холоднов В.А. Математические моделирование и оптимизация химико-технологическихпроцеесов /

В.А. Холоднов и др. -С.П-б: Профессионал, 2003, - 480с.

3. Стратанович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления/ Р. Л. Стратанович - М.: Изд. МГУ,1966.

4. Никитин Н.Н. Автоматика и телемеханика /Н.Н.Никитин, С.В.Первачев, В.Д. Разевиг - 1975. - № 4.

5. Гафаров А.Х. Мониторинг вредных выбросов при сжигании природного газа предприятий по выработке тепловой энергии в районах РТ / А.Х.Гафаров, Л.И. Лаптева // Вестник Казан. технол. унта. - 2010. - № 1. - С.463 -467.

6. Суркова А.В. Аспекты экологических проблемы хромого дубления / А.В.Суркова и др. // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 6. - С.91 -94.

7. Бояринов А.И., Расчет параметров состояния реактора идеального смешения с рециклом для обратной реакции второго порядка / А.И. Бояринов, С.И. Дуев // Теор. основы. хим. технол. - 1995. -Т.29, № 4. - С.441-443.

8. Бояринов А.И. Множественность стационарных состояний в системе смесителя - реактор - узла рециркуляции/ А.И.Бояринов, С.И. Дуев. - 1980, Т.14, № 6, - С.903

9. Бояринов А.И. Рассчет устойчивости реактора идеального смешения с рециклом / А.И.Бояринов,

С.И.Дуев // Известия ВУЗов. - 1989. - Т.32, № 2. - С.92.

Литература

С.133.

© С. И. Дуев - д-р техн. наук, проф. каф. информатики и прикладной математики КГТУ, douev@mail.ru.