Исследование устойчивости реактора с рециклом на режиме с полным использованием исходных реагентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.10 - 503.4.001.57

С. И. Дуев, С. М. Чернявский

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКТОРА С РЕЦИКЛОМ НА РЕЖИМЕ

С ПОЛНЫМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСХОДНЫХ РЕАГЕНТОВ

Ключевые слова: реактор с рециклом, множественность стационарных состояний, устойчивость реакторных систем с

рециклом.

Рассматривается рециркуляционная система, состоящая из реактора и блока разделения. Проведен анализ устойчивости реактора на режиме с полным использованием исходных реагентов. В качестве примера исследована устойчивость реактора идеального смешения, в котором протекает реакция А + В ^ 2С .

Keywords: reactor with recycle, multiplicity of steady states, stability of reactor systems.

The recycle system reactor - separation unit is considered. Analysis of stability of the reactor on the regime with full using of basic reactants is done. As an example, the stability of continuous stirred take reactor is when the reaction A + B ^ 2C takes place.

Введение

Создание крупнотоннажных производств, специфика процессов, применяемых в химической и нефтехимической промышленности, в которых остатки производства, в частности, непрореагировав-шие исходные и промежуточные продукты реакции становятся источником загрязнения окружающей среды, требуют разработки производств с безотходной технологией.

В связи с этим возникает актуальная задача создания технологических процессов с максимальным использованием исходного сырья и промежуточных продуктов реакции, что необходимо и для увеличения производительности промышленных установок и для сведения к минимуму отходов производства. Одним из эффективных путей решения этой проблемы является технологическое решение процесса с рециркуляцией непрореагировавших продуктов реакции [1].

Блок-схема рециркуляционной системы реактор-блок разделения представлена на рис. 1.

(Зх1

F

G реажтор блок разделения G

^твых:

Рис. 1 - Блок-схема рециркуляционной системы реактор-блок разделения

Здесь, в - количество смеси, поступающей в систему в единицу времени, Б-количество смеси поступающей в реактор в единицу времени, х -вектор концентраций в реакторе (со значком «0» - на входе в систему, со значком «*» - в рецикле, со значком «вых» - на выходе системы). Для стабилизации потоков в системе должно выполняться равенство Г = /Г+ С. Однако наличие обратной связи обуславливает появление качественно новых свойств системы - возможности существования континуума стационарных состояний на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов [2-4].

Изучение этого явления необходимо для успешного решения задач оптимизации и управления.

В первую очередь необходимо исследовать устойчивость континуумных стационарных состояний.

Математическая модель системы реактор идеального смешения - блок разделения

В стационарном состоянии математическая модель реактора идеального смешения в рециркуляционной системе имеет следующий вид:

dX

V— = Gx + Vw - Fx + Rx* dt

(1)

dT

= ОрТ(0) + и(Гх -Т) + -РсррТ+ЯорРТ , Х* = Х((),Т(()

т* =%тт(<)

где № - вектор скоростей образования реагентов, - тепловой эффект реакции, Ср -теплоёмкость смеси (принимается равной во всех потоках); V-объем реактора, Тх - температура хладогента, и -коэффициент теплопередачи, отнесенный к единице

поверхности теплообмена, Т -температура в реак-(0) *

торе,Т( ),Т - температура на входе в реактор и рецикле, соответственно. П и пТ вектор-функция и функция, определяющие режимы функционирования блока разделения.

На режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов должны выполняться следующие условия: [2]

1. полная рециркуляция непрореагировавших исходных и промежуточных реагентов

Fx¡ = Rx*¡, / = 1,../ (2)

где I - число исходных и промежуточных реагентов

2. подача исходных реагентов в систему строго в стехиометрическом соотношении.

С учетом этого математическую модель реактора идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов можно записать так: [2]

vdx = A' if - Gj

dt { M

где X = (хь...хг) - вектор, компонентами которого является концентрации исходных и промежуточных реагентов, А - матрица, состоящая из I строк матрицы стехиометрических коэффициентов А, Г -

вектор скоростей элементарных стадий реакций,

I — вектор столбец размерности равной числу элементарных стадий реакции с элементами равными единице для прямых стадий и нулю для обратных стадий реакции, а скаляр М вычисляется следующим образом:

М = -1А I,

(4)

где 1 — вектор-строка размерности I, равной числу исходных и промежуточных реагентов с элементами равными единице.

Перепишем систему уравнений по компонентам:

VdxL = у А (г -I ), I = 1,..х

а * 1 м 1

(5)

1=1

Для исследования устойчивости по первому приближению система уравнений (5) линеаризуется в окрестности нулевых значений аргумента:

Яу

= В X,

(6)

где у = х - х - вектор отклонений вектора х от

стационарного состояния .

Элементы матрицы

В (в1к,I = 1 ,...£, к = 1,...т +1) определяются следующим образом:

в = 1 / в11 = у / А1

1=1

в1т = ~

1

У 1=7" хт

— у —1,

в21 = _

У 1=1

1

V

^ Г 1 = 1 ^ г1

2—А>21-,..........в2т =77 2—А:

1=1

х1

= 1 7А Г1

1=1

у "21' х у 1=1 хт

(7)

д!

дхт

= 1 V л дГ1 = 1 V л

= у 4 А дx1,..........вт = V 4 А

1=1 1 1=1

= 1 V л дг1

+1 = V 4 АЧ Т ■

где т - число исходных, промежуточных и конечных продуктов реакции.

Используя матрицу Якоби J(p х (т +1)):

J =

' р Т

(8)

где р - число элементарных стадий реакции.

Тогда матрицу В можно представить так:

В' = — А * J. V

Если в матрице А имеется (£ - в) зависимых строк, то и в матрице В будет также (£ - в) зависимых строк и ее ранг также будет равен в - рангу матрицы А.

Матрица В является подматрицей, состоящей из £ строк матрицы В(т +1) х (т +1) , которая получается в результате линеаризации системы уравнений (1).

Первые £ строк матрицы В состоят из элементов матрицы В , а элементы последующих строк определяются следующим образом: дwi Р дх1 Я дш: в1 =----!- + -

дх1

э/,т+1

V дх1 V дх1

дw¡ + Я дш:

дТ V дТ '

I = £ + 1,...т; \ = 1,...т, I = £ + 1,...т, дQw 1 Я дшТ

т+1,1

3т+1,т+1

дх] Срр V дх I 1 дQw

,1 = 1,...т.

(10)

(11)

С

рр

дТ

Рср + и + я дшТ

CpрV V дТ

Поскольку ранг матрицы В равен 5, то ранг матрицы В будет равен: (5 + т - £), так как у нее будет £ - 5 зависимых строк. Тогда характеристический полином для линеаризованной системы уравнений (1).

В -ЯЕ\ = 0

(12)

будет иметь (£ - 5) нулевых корней. Это означает,

что стационарное состояние системы не имеет асимптотической устойчивости и может в лучшем случае быть лишь на границе области устойчивости [5].

Поэтому можно сделать следующий вывод: если в реакторе существует бесконечное множество (континуум) стационарных состояний, то они не могут быть асимптотически устойчивыми. В лучшем случае они могут находиться только на границе области устойчивости.

Рассмотрим пример исследования устойчивости исследуемого режима с полным использование исходных реагентов.

В реакторе идеального смешения приводится реакция второго порядка А + В ^ 2С.

Математическая модель изотермического реактора идеального смешения запишется в следующем виде: Нх

VdX^ = -к^Г + вх<0) - Ях< + Ях' (13)

Я < < <

г1У

VdX^ = -V + вх'0) - Рх2 + Ях'2 Я 222

х

в

в 2, т

Г

Г

х

х

т

Г

Г

2

2

2

х

х

т

Г

р

р

х

х

т

где V - объем реактора, г-скорость реакции, х(0)(/ = 1,2) - входные концентрации реагентов А, В, х,(1 = 1,2) - концентрации реагентов А и В, в режиме / =1,2. Для простоты исследования полагаем, что концентрации реагентов измеряются в мольных долях. Тогда концентрация конечного продукта может быть определена так:

Хз — 1 — Xi — X 2 .

(14)

На режиме с полным использованием исходных реагентов А и В должны выполняться следующие условия [2]:

1. Fx¡ = Rxj, / = 1,2. (15)

2. Х((0) = x 20) = 0,5. (16)

Тогда система уравнений (13) примет следующий вид:

Vdx1 = О - кУг, (17)

dt 2

.. dx 2 О ...

V—- =--V.

dt 2

так как уравнения совпадают, то на этом режиме будет существовать континуум стационарных состояний.

Матрица запишется В так:

B* —

-кдг -кдг

дх1 dx2 -кдг - к дг

дх2

(18)

дХ1 ^2

Характеристический полином (12) для исследуемой системы будет иметь вид:

(

кдг

дх1

V

+ А

кдг

дх2

\

+ А

-(к >

2 дг дг дх1 дх2

— 0. (19)

Отсюда, после элементарных преобразований получим следующее характеристическое уравнение:

(

А

(

А - к

дг дг

+

дх1 дх.

— 0.

(20)

2 ))

Один из корней характеристического уравнения всегда равен нулю {Л = 0), поэтому стационарные состояния могут находиться в лучшем случае на границе области устойчивости.

Заключение

Факт нахождения континуума стационарных состояний на границе области устойчивости означает, что каждая точка этого континуума находится в нейтральном положении равновесия.

При возмущении параметров изображающая точка системы строится к одному из стационарных состояний в континууме. В результате этого может произойти дрейф концентраций и выход изображающей точки за пределы допустимой облас-

ти, которая определяется стационарным решением и условием существования режима.

R

i—1

(21)

Для случая реакции второго порядка А + В ^ 2С, эта область показана на рис.2. Она огра-

ничена условием Xi + Х2 <

R F'

Ж. р

Рис. 2 - Вид континуума стационарных состояний на плоскости Х1Х2 (кривая аЬ)для реакции А + В ^ 2С

При выходе концентраций Х1 и Х2 за пределы этой области происходит срыв режима с полным использованием исходных реагентов. Поэтому для поддержания этого режима необходимо использовать систему автоматического регулирования соотношения реагентов в исходном сырье по разности концентраций на выходе реактора.

Литература

1. Кафаров, В.В. Принципы создания безотходных химических производств / В.В.Кафаров //М.: Химия - 1982 -288с.

2. Бояринов, А.И. Множественность стационарных состояний в системе: смеситель - реактор - узел разделения /А.И.Бояринов, С.И.Дуев // Теоретические основы химической технологии - 1980 - №6 - Т.14 - С.903

3. Дуев, С.И. Расчет режимов с полным использованием исходных реагентов в рециркуляционной системе «реактор - блок разделения» // Вестник Казанского технологического университета, 2013 - №6 - С.167-169

4. Дуев, С.И. Расчет стационарных состояний реактора в рециркуляционной системе «реактор - блок разделения» // Вестник Казанского технологического университета, 2012 - №16 - С.130-132.

5. Гелиг, А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А. Гелиг, Г. Леонов, В. Якубович. М.: Наука - 1978 - 400 с.

© С. И. Дуев - д-р техн. наук проф. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected]; С. М. Чернявский - д-р техн. наук, проф. каф. математики КНИТУ-КАИ.

© S. I. Duev - doctor, professor of department of applied mathematics, KNRTU, [email protected]; S. M. Chernavskii - doctor, professor of department of mathematics, KNRTU - KAI.