Исследование устойчивости колебаний вагонного генератора, шарнирно закрепленного на раме тележки, с использованием карт показателей Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Исследование устойчивости колебаний вагонного генератора, шарнирно закрепленного на раме тележки, с использованием карт показателей Ляпунова

Булавин Ю.П. (bulaviny@yandex.ru ) Ростовский государственный университет путей сообщения

Одним из направлений совершенствования рефрижераторного подвижного состава является применение генератора с приводом от оси колесной пары, способных обеспечить энергоснабжение холодильного оборудования взамен дизель-генераторной установки, отказ от которой значительно снизит эксплуатационные расходы на обслуживание рефрижераторного вагона [1, 2].

На рефрижераторном подвижном составе, в отличие от пассажирского, не существует приводов от оси колесной пары, позволяющих осуществить передачу необходимой мощности, и генераторов с соответствующей системой подвешивания.

В то же время ведутся работы по совершенствованию привода генератора пассажирского вагона, вращение которого осуществляется с помощью клиноременной передачи [3, 4, 5]. Одним из вариантов конструкции, предлагаемой в [3, 5], является текстропный привод от средней части оси с шарнирной системой подвешивания генератора (рис. 1).

3

2 1

1 - генератор; 2 - шарнирное крепление; 3 - рама тележки; 4 - ведущий шкив Рис. 1. Шарнирная подвеска генератора

4

Такая конструкция может найти применение при проектировании рефрижераторного подвижного состава нового поколения. Для того чтобы ускорить разработку системы подвешивания генератора на раме тележки рефрижераторного вагона и избежать создания большого числа опытных экземпляров, необходимо выполнить математическое моделирование ее работы во время движения вагона. Это, в конечном итоге, позволит определить рациональные параметры данной конструкции.

В данной работе создана математическая модель системы подвешивания генератора. В качестве критерия, определяющего благоприятные режимы работы системы подвешивания, принята устойчивость решений дифференциальных уравнений математической модели исследуемой механической системы. Неустойчивость решения означает, что колебания генератора будут протекать с увеличивающейся амплитудой. Значительные ускорения генератора приведут к росту нагрузок на элементы конструкции, что отрицательно скажется на его надежности.

Для нахождения областей неустойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами применены два метода: основанный на анализе уравнения Матье и диаграммы Айнса-Стретта, и метод, заключающийся в построении карты показателей Ляпунова. Для того чтобы количественно оценить амплитуду колебаний генератора при тех же параметрах, при которых определялась устойчивость, найдены значения среднеквадратического отклонения амплитуды колебаний генератора.

Как видно из рис. 1, генератор (1) может совершать угловые колебания вокруг шарнира (2). Кроме того, рама тележки (3) также совершает колебания во время движения вагона. Расчетную схему для исследования колебаний генератора на раме тележки представим, как показано на рис. 2. Силы, действующие на центр масс генератора, показаны на рис. 3.

3

1 -генератор с массой т; 2 -натяжное устройство ремней с эквивалентной жесткостью с1; 3 - ремни с эквивалентной жесткостью с2; 4 - рама тележки; 5 - подвес генератора с эквивалентной длиной Ь; р - угол отклонения генератора от вертикали; А - вертикальное ускорение точки подвеса генератора

Рис. 2. Расчетная схема генератора на шарнирном подвесе

А

А

¥1, Е2 - силы упругости действующие, со стороны натяжного устройства и ременной передачи; - сила тяжести.

Рис. 3. Силы, действующие на центр масс генератора

Дифференциальное уравнение, описывающее движение центра масс генератора, можно получить, основываясь на принципе Даламбера. В данном случае наиболее простым будет уравнение моментов относительно оси подвеса генератора. Для его вывода необходимо получить выражения углов /л14 , которые зависят от угла наклона центра масс генератора к вертикали р, положения оси натяжного устройства относительно горизонтали и шкивов друг относительно друга. Рассмотрим геометрические соотношения, возникающие во время движения (колебаний) генератора, что позволит определить (рис. 4). На рис. 4 представлен случай, когда генератор отклонен от положения равновесия в сторону увеличения р Положением равновесия в данном случае называется такой угол рсоти на который отклонится генератор при достижении требуемого значения силы натяжения ремней.

(с^ - угол, соответствующий положению равновесия генератора; а - угол наклона ременной передачи к горизонтали при равновесии; в - угол наклона ременной передачи к горизонтали в положении, когда генератор отклонен на угол рсот+ Р; у0 О - межосевое расстояние в положении равновесия (Б); х0, у0,х1, у1 - координаты центра масс генератора

Рис. 4. Расчетная схема к определению углов во время движения генератора и ременной передачи

Выразим координаты центра масс генератора в зависимости от q:

x0 = L sin qConSt, Jo = L cos qconst,

xi = L sin(qconst + q), j = L cos(qconst + q) •

Найдем угол Д

в = arctg

rDH - h л

где h - расстояние от точки 2 до точки (x1s y1), h = y0 - y1. DH = Ssina; S1 = S cosa- (x1 - x0). Тогда

в = arctg

S sin a + L cos(qconst + q) - L cos q

const

S cosa - L sinOco„st + q) + L sin (Pconst У

Найдем у.

Y=n-q-qCOnst •

Следовательно: Мз = q + qconst - arctg

S sin a+L cos(qconst + q)- L cos qc

(1)

Scosa- Lsinqconst + q) + Lsinqconst J

Геометрические соотношения при движении центра масс генератора и натяжного устройства несколько отличаются от рассмотренных выше. Натяжное устройство крепится к корпусу генератора, который имеет заданный размер, следовательно точка крепления будет на определенном расстоянии от центра масс генератора. В этом заключается основное отличие от схемы на рис. 4. На рис. 5 представлена расчетная схема к определению углов во время движения генератора и натяжного устройства.

(Pconst - угол соответствующий положению равновесия генератора; а - угол наклона натяжного устройства к горизонтали в положении равновесия; в - угол наклона натяжного устройства к горизонтали в положении, когда генератор отклонен на угол <const+ <; y0 D - длина натяжного устройства в положении равновесия (S); x0, y0,x1, y1 - координаты центра масс генератора

Рис. 5. Расчетная схема к определению углов во время движения генератора и натяжного устройства

Выразим положение точки крепления натяжного устройства к генератору в зависимости от <:

Х0 = (L + l)sin <const + r C0S <const ,

У0 = (L + l)C0S <PconSt + r sin <PconSt ,

x1 = (L + l)sin(<const + < + r C0s(<const + < , У1 = (L + l )Cos(<const +< + r sin(<const + < .

Следовательно

в = arctg

Г S sina + (L + l) Cos(<const +< - (L + l)C0S <const - r sin <const +

+r sin(<const + <_

S Cosa - (L + l )sin(<const + < + (L + l )sin <Pconst + r C0S<const --r COs(<const + <

Найдем углы ¡¡2:

п

Mi = j-Y-e

п

Ml = j - ((Pconst + <P)>

где у = ■

п

f í <Pconst + <P + arctg

V

\\

V

(L +1)

JJ

Уравнение, описывающее колебания генератора согласно рис. 3, запишем следующим образом:

mlL (р + mL(g + A)cos¡2 + (L +1)F1 cos¡ix - LF2 cos¡3 = 0, (3)

где Fj, F2 - силы упругости натяжного устройства и ремней.

Ускорение рамы тележки, на которой подвешен генератор, в общем случае имеет сложный колебательный характер. Ограничимся представлением ускорения в виде периодической функции А= a-cos(rot), где а - амплитуда ускорений.

Будем считать колебания малыми, так как система подвешивания реализована таким образом, что движение генератора по конструктивно ограничено.

Выявим влияние угла р на в для ременной передачи и для натяжного устройства.

Угол в для ременной передачи определен в (1). Разложим аргумент (1) в ряд по , и отбрасывая малые величины старших порядков, получим

-L sin Рconst + tgaL cos Pc

в = arctg

tga+

S cosa

-(p

Выявим влияние угла р на в для натяжного устройства, разложив (2) в ряд по р, и отбрасывая малые величины старших порядков:

в = arctg

t , -(L + l)sin <PconSt + r C0S <PconSt - tga [-(L + l) C0S <const + r sin <PconSt ] tga +--—--<

S Cosa

Анализ полученных выражений для углов в позволяет сделать вывод о малом влиянии < на их величину, поэтому в дальнейшем будем считать, что в не зависит от < и равно а (такое допущение, как показывают численные расчеты, может внести погрешность около 2 % для интересующего нас интервала изменения <=± 100).

Выразим ¥\ согласно рис. 5, учитывая предварительное сжатие пружины натяжного устройства: ^ = + с А^,

т ' 0

где г1 - предварительное сжатие пружины натяжного устройства;

с1 - жесткость пружины натяжного устройства;

А^- изменение длины пружины натяжного устройства.

Найдем изменение длины пружины натяжного устройства:

AS1 = S

S

X1

ооб в

Здесь

AS = S -

^ = Б соБа — (Ь +1^т«^ + « - г с05(<сот{ + « +

+(Ь +1) $т«со^) + г с0$«со^) .

Тогда, учитывая в, получим следующее выражение:

Б с°8а - (Ь +1(«сот< + « - г + « + +(Ь +1 )$т(«со^) + г с0*(«^)

С0Б

Г S sin а + (L + l) Cos(<const + <Р) - (L + l) C0S <Рс Л

const

arctg

r sin <const + r sin(<const + <

S C0sa - (L + l)sin(<const + <) + (L + l)sin <const + + r C0s <const - r C0s(<const + <

Fi = F10 + ci

S

S cosa - (L + I)sin((const + P) - r cos(Pmnst + P) +

+(L +1)sin( Pconst) +r cos( Pconst)

соб

arctg

const

S sin a + (L +1)cos(pconst + р) - (L +1)cos р

-r sin Peon* + r sin(Peon* + P)_

S cosa - (L + I)sin(Pcos + P) + (L + I)sin Pcon* + + r cos Peon* - r cos(Peon* + P)

Выразим Г2 согласно рис. 4, учитывая предварительное натяжение ремней:

Р2 = ^ - С2 Д52 , г0

где г2 - предварительное натяжение ремней; с2 - жесткость ремней;

Д52- изменение длины ремней (межосевого расстояния ременной передачи).

Найдем изменение длины ремней (межосевого расстояния ременной передачи):

AS2 = S

JXi

соб в

Здесь

^ = 5с^а - Ь Бт(РсОШ< + р) + Ь БШ(РсОШ<) .

Тогда, учитывая Р, получим следующее выражение: 5 СЮБ« - Ь БШ((соШ + () + Ь БШ(РсоШ )

AS2 = S -

соб

arctg

S sina + L cos( Pconst + P ) - L cos Pa

S cosa - L sin( Pconst + P ) + L sin P

const J

F = F0 1 2 1 2

c

S

S cosa - L sin(PconSt + P) + L sin(Pconst )

соб

arctg

S sina + L cos(Pconst + P) - L cos Pc

S cosa - L sin( Pconst + P ) + L sin P

const J

Найдем собственную частоту колебаний генератора, при условии отсутствия колебаний тележки (4=0). Это позволит определить резонансную частоту колебаний при силовом возмущении.

Уравнение (3) при подстановке в него выражения для силы упругости и углов Ци, становится очень громоздким и трудным для анализа. Поэтому разложим слагаемые (3) в ряд по р, отбросив слагаемые высшего порядка. Тогда получим:

mLgcos ц = mLgsmрcoшt + т^рсо$рс

const '

(4)

(L +1)F1 cos j = (L +1)F1° cos

( t + arctg

r const ©

L +1

-в

+

+

-(L +1 )F10 sin

(const + arctg-

+

(L +1 )c1

L +1

L cos ( -(Const ) + +1 cos (1 - (const )--r sin ( + (const )

-в

+

СОБ

(const + arctg

L +1

в

(

LF2 cos J = L F2 cos (-(const +в2 ) +

+ [L F2 sin (-(const + в2 )-L c2cos ( - (const )cos ((const +в2 )] (

(5)

(6)

Здесь а1 - угол наклона натяжного устройства к горизонтали; а2 - угол наклона оси ременной передачи к горизонтали.

Подставим (4), (5), (6) в (3). Слагаемые в полученных выражениях, не содержащие р, при подстановке в (3) в сумме равны нулю, поэтому могут быть исключены из уравнения. Учитывая это, и обозначив множители при р в (4), (5), (6) соответственно как Я], Я2, найдем выражение для собственной частоты колебаний генератора:

1 R1 + R2 + R3

2п

mL

Полученное выражение (7) позволяет рассчитать резонансную частоту колебаний генератора, на которой возможен значительный рост амплитуды колебаний при воздействии внешнего возмущения.

Рассмотрим колебания генератора с учетом возмущений со стороны тележки. Если принять угол (pcOnst=0, получим уравнение (3), которое содержит периодический коэффициент А и представляет собой дифференциальное уравнение второй степени с периодически меняющимся коэффициентом вида:

q + col (1 + 2 ¡и cos cot) q = 0, которое в литературе получило название уравнения Матье [6, 7, 8, 9, 10].

Приведем (3) к форме уравнения Матье. Тогда

r

c

л + 1

L mL

(L +1 )F0

Sin

-arctg

L +1

+ в

+

+ (L +1)c1 (Lcosa +1cosa - rsina )cos -LF20 sin в2 - iLc2 cosa2 cos в2

-arctg

L +1

+ в

и

и

a

2L С

Согласно [6] области неустойчивости уравнения Матье на плоскости параметров ¡и, с примыкают к частотам

c

С p

(р=1,2,...).

Таким образом, зная значение с0, можно определить, устойчива ли

динамическая система, соответствующая уравнению Матье. Следует отметить, что величина с0 эквивалентна собственной частоте колебаний уравнения (3) при равенстве нулю параметрического воздействия (а соб(С ) =0).

Определим границы области неустойчивости для уравнения (3) при принятых допущениях, воспользовавшись методикой [6].

Зададимся следующими значениями параметров конструкции системы

7 1

подвешивания и генератора: в = 30^, в2 = 30^, ^ = 0,24 м, Г1° = 2773 Н, К,0 = 3500 Н, а = 150 кН/м, с2 = 250 кН/м, т = 200 кг, g = 9,8 м/с2, а = — п,

30

1

а2 = 30^, I = 0,024 м, г = 0,216 м, которые близки к параметрам в

конструкции пассажирского вагона.

Результаты расчета представлены на рис. 6.

ю/2п, Гц

12-

10-

8-

I 1 1 1 1 I I I 1 I I 1 1 1 1 I I 1 1 I I I 1 1 1

2 4 6 8 10

2

a' м/с

Рис. 6. Области неустойчивости уравнения (3) Как следует из рис. 6, области неустойчивости решения уравнения (3) при (Рсот1=0 находятся на частотах около 3, 4, 6 и 12 Гц.

Найденные зоны неустойчивости на основе анализа уравнения Матье были получены, исходя из (?сои^=0, что на практике может не выполняться. Поэтому необходимо исследовать устойчивость колебаний генератора при (сОи^0. Однако, привести уравнение (3) к уравнению Матье в этом случае значительно сложнее.

Для выявления зон неустойчивости систем дифференциальных уравнений можно использовать численные расчеты, например, основанные на методе матриц перехода [6]. Следует отметить, что некоторые аналитические методы, а также численный метод матриц перехода, несколько ограничивают возможности анализа систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, налагая ограничения, заключающиеся в необходимости равенства частот параметрического возбуждения во всех уравнениях, входящих в систему.

Способом, который избавлен от указанного ограничения, может стать численный метод нахождения показателей Ляпунова, в основе которого лежит алгоритм Бенеттина [11, 12, 13].

Для получения диаграммы, аналогичной представленной на рис. 6, расчет показателей Ляпунова необходимо провести для каждой комбинации значений амплитуды и частоты колебаний рамы тележки. Результаты таких

7 1 7

расчетов при следующих параметрах в = —п, в2 = , Рсоп^ = 99^ ,

L=0,24 м, = 2773 Н, = 3500 Н, с1 = 150 кН/м, с2 = 250 кН/м, т = 200 кг, 2 7 1

g=9,8 м/с , а1 = —п, а2 = —п, 1=0,024 м, г =0,216 м, представлены на рис. 7.

ю/2п, Гц

П

0.02

0.015

0.01

0.005

9 10

а, м/с2

-0.005

1-0.01

-0.015

1-0.02

7

Рис. 7. Показатели Ляпунова уравнения (3) при рсош{ = —п (линии уровня)

Представленные данные допускают следующую интерпретацию. Положительные значения показателя Ляпунова соответствуют неустойчивому движению системы. Как видно, данные на рис. 7 качественно совпадают с данными на рис. 6.

Найденные зоны неустойчивости позволяют определить качественное поведение системы, однако ничего не говорят о количественных соотношениях. Найдем среднеквадратическое значение амплитуды колебаний а генератора при тех же параметрах, при которых найдены зоны неустойчивости его движения. Это позволит определить, во сколько раз возрастает амплитуда колебаний генератора за определенное время (10 с). Начальное отклонение генератора р(0) = 20.

/2п, Гц

0 20

Рис. 8. Среднеквадратическое отклонение амплитуды колебаний

7

генерат°ра при усоШ = —я

Как видно, в зоне неустойчивости колебания возрастают в несколько раз, что говорит об опасности зон неустойчивости с точки зрения надежности работы генератора.

Выводы:

1. Примененный способ анализа устойчивости колебаний параметрических систем, основанный на расчете показателей Ляпунова, в целом дает результаты, близкие к полученным на основе диаграммы Айнса-Стретта. Можно признать, что данный метод пригоден для выявления областей неустойчивости системы. Важно, что метод носит универсальный характер, и его можно применять для определения зон неустойчивости

систем уравнений с переменными коэффициентами, имеющими разные частоты.

2. Разработанная математическая модель позволяет определить рациональные параметры системы подвешивания генератора на шарнирном подвесе, которые позволят избежать возникновения параметрического резонанса, и тем самым уменьшить вероятность возникновения значительных нагрузок в подвеске. Частоты колебаний рамы тележки, которые входят в соотношение для определения зон параметрического резонанса, можно получить как результат математического моделирования колебаний вагона при движении по случайным неровностям пути [2] или определить экспериментально [14].

Литература

1. Коковихин А.В., Петрушин А.Д., Ворон О.А., Ю.П. Смачный Ю.П. Перспективы развития изотермических вагонов // Железнодорожный транспорт. - М., 2001. №5. - с. 53 - 56.

2. Волков И.В., Булавин Ю.П. Обобщенная математическая модель колебаний в вертикальной продольной плоскости динамической системы «кузов вагона-тележка-подвагонный генератор» // Вестник РГУПС. - Ростов-на-Дону: РГУПС, 2002. № 3.

3. Самошкин С. Л., Доронин И.С., Чернышев А. А. Приводы генераторов индивидуальных систем энергоснабжения вагонов локомотивной тяги: Обзор. -М.: ЦНИИТЭИтяжмаш, 1986.

4. Терешкин Л.В. Приводы генераторов пассажирских вагонов. -М.: Транспорт, 1990.

5. Самошкин С. Л. Повышение тягово-энергетических показателей приводов вагонных генераторов пассажирских вагонов // Тяжелое машиностроение. -М., 1997. №6. - с. 14 - 17.

6. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти тт. / Под ред. В.Н.Челомея. -М.: Машиностроение, 1980. Т. 1.

7. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний. -М.: Высш. школа, 2001.

8. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966.

9. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука, 1971.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.

11. Малинецкий Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. -М.: Едиториал УРСС, 2002.

12. ЛихтенбергА., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -Череповец: Меркурий - ПРЕСС, 2000.

13. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). - М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2001.

14. Волков И.В., Костюков А.В., Булавин Ю.П. Экспериментальное исследование динамических характеристик тележки вагона // «Актуальные проблемы развития транспорта России: стратегические, региональные, технические». Тр. междунар. науч. конф., посвященной 75-летию РГУПС (сентябрь 2004 г.). - Ростов-на-Дону: РГУПС, 2004.