Свободные связанные колебания галопирования и подергивания в однородном поезде с учетом сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 625.282.01 1.1(088.8)

Ф. А. Доронин

Петербургский государственный университет путей сообщения

СВОБОДНЫЕ СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЛОПИРОВАНИЯ И ПОДЕРГИВАНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЕЗДЕ С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Рассматриваются свободные связанные колебания галопирования и подергивания экипажей однородного поезда с учётом вязкого сопротивления их относительному перемещению. Приведена система уравнений в частных производных, описывающих движение исследуемой континуальной системы, определены собственные частоты и формы колебаний. Построены хронограммы перемещений и продольных сил в заданных сечениях поезда, представлены распределения перемещений по длине поезда в фиксированный момент времени.

связанные колебания, однородный поезд, вязкое сопротивление, собственные частоты, собственные формы колебаний, продольные усилия.

Введение

В работе приведены исследования в линейной постановке малых свободных связанных колебаний галопирования и подёргивания вагонов в однородном поезде с учетом сопротивления движению (рис. 1).

Рис. 1

Все вагоны в поезде считаются симметричными, одинаковыми по массе и одинаково загруженными, масса локомотива предполагается равной массе вагона. Продольная податливость хребтовой балки вагона не учитывается, а упругие элементы автосцепок считаются подчиняющимися закону Гука. При этом учитывается вязкое сопротивление движению вагонов как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях.

4

1 Дифференциальные уравнения движения одиночного вагона

Составим дифференциальные уравнения движения одиночного вагона в вертикальной плоскости (рис. 2). За обобщённые координаты системы примем горизонтальное смещение хт. тележки и угол поворота фк. кузова i-го вагона (для симметричного вагона колебания подпрыгивания отделяются от других видов колебаний).

Примем следующие обозначения: тк =

= 77 500 кг,/ = 1,25106 кгм2 - масса и момент

’к ’

и инерции кузова i-го вагона относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа; тт = 4150 кг - масса тележки i-го вагона, с учетом масс двух колёсных пар; =

= 36,82 кгм2, R = 0,475 м - момент инерции и радиус круга катания колесной пары i-го вагона; с = 8 106 Н/м - суммарный коэффициент жёсткости рессорного комплекта тележки i-го вагона; Ьв = 3 105 Н с - суммарный коэффициент вязкого сопротивления демпферов тележки i-го вагона; точка С - центр тяжести кузова вагона. Остальные обозначения приведены на рис. 1 и 2.

Запишем уравнения Лагранжа II рода для рассматриваемой системы:

d f дТ 2 дТ дП, . d f дТ ^

— + 1- = 0; —

dt [я* У дхт- дхт, dt 1д(Р- у

дТ, дФ, дП, дф, дер, дф,

(1)

где T, П. и Ф. - кинетическая и потенциальная энергии, а также диссипа-

тивная функция Рэлея i-го вагона соответственно.

Кинетическая и потенциальная энергии i-го вагона записываются следующим образом [1]:

Т =

mKi + 2

m„

J 3

+ 2-^П-R2 у

x 2

^ +( J к- + mKih 2 )^фГ + mK-hxT ф i;

П. = 2 cl

2 ф

2 - mKigh y = (2clK2 - mK-gh)

Pi

2

(2)

(3)

Функция Рэлея имеет вид:

Ф- = 2 Vk-

2 ф-

(4)

5

Подставляя выражения (2), (3) и (4) в уравнения (1), приходим к дифференциальным уравнениям движения одиночного вагона:

+ 2

( J л

mTi + 2^Kf v R2 у

хт/ + mMi =0;

(5)

mKihXTi + (JKi + mKih2 )ф,‘ + 2bA<Vi + (2clli - mKigh)ф,‘ = 0

2 Дифференциальные уравнения движения однородного поезда с учетом вязкого сопротивления

Используя уравнения (5), перейдём к континуальной модели поезда (к системе с бесконечным числом степеней свободы, в которой все инерционные, жесткостные и диссипативные параметры равномерно распределены по длине поезда [2]).

Будем считать, что поезд представляет собой однородный, не совершенно упругий стержень 1, имеющий продольную жёсткость са и распределённую массу цт. Силы внутреннего трения в стержне считаем пропорциональными первой степени скорости деформации волокон стержня.

Этот стержень с помощью кинематических преобразователей связан с распределённой массой цк и распределённым моментом инерции цф кузовов экипажей, входящих в поезд (рис. 3).

Рис. 3

Обобщённые координаты хт = f(x,t) и ф = f2(x,t) являются функциями двух переменных - координаты х, характеризующей положение поперечного сечения поезда вдоль его длины, и времени t. 6

6

Дифференциальные уравнения свободных связанных колебаний галопирования и подёргивания однородного поезда с учетом вязкого сопротивления как континуальной системы имеют вид:

I ч д хт , д ф

(Цк + Цт Ht2L +

dt dt

д3 xT д 2 хт

г---V-Са----2 = 0

дtдx 2 дх 2

, д2 хт / ,2\ д 2ф дф

h^K~~2~ + (Цф+Цкh )'д^Г + Рв д' + Соснф = 0

(6)

где

Ц т =

2п

L

mT + 2 jKn

T R2

2п

п

n = 50 - число вагонов в поезде; c

; L = n ■ 1в - длина поезда; Цк = ~^тк; цф = LJк; TL

2 хТ

■; Т = 2 106 Н - усилие, необходимое

для полного сжатия поглощающего аппарата автосцепки; /в = 14,73 м - длина /-го вагона; хп = 0,12 м - длина хода поглощающего аппарата автосцепки;

сосн =—( с1к - ткёи); Рв = п 2ЬЛ; Ь = 0,4у[Ст~ [3]; вг = 2106 Нс/м - ко-

эффициент, характеризующий внутреннее трение в стержне.

Решать систему (6) дифференциальных уравнений в частных производных будем методом Фурье (методом разделения переменных) в виде:

Хт = X(х) •Tx(t); ф = X(х) -Тф (t), (7)

где X (х) - некоторая функция координаты х, характеризующая форму колебаний и удовлетворяющая граничным условиям; Тх (t) и Тф (t) - функции времени.

Подставляя выражения (7) в уравнения (6), получаем:

(Цк + Цт ) • X(х) • -Тх + h • Цк • X(х) • Тф - са • X• (х) • Тх - вг • X• (х) - Тх, = 0; (8)

h-Цк • X(х) • Тх + (Цф + Цкh2)• X(х) • Тф+Рн • X(х) • Тф+ сосн •X(х) • Тф= 0 (9)

В этих уравнениях штрихами обозначены производные по пространственной координате х, а точками - по времени t.

Функцию X (х) представим в виде суммы:

X (х) = A sin(Xx) + B cos(Xx),

где А, В и X - некоторые постоянные.

Поскольку принята расчетная схема поезда в виде стержня со свободными концами (продольная сила на этих концах должна быть равна нулю), граничные условия задачи имеют вид: 7

7

X'(0) = 0; X'(L) = 0.

Учитывая первое условие, получаем:

A = 0 и X(х) = Bcos(Ax). (10)

Применение второго граничного условия приводит к уравнению погонных частот

BX sin(XL) = 0. Уравнение (11) имеет очевидные корни:

Xj = j, J = 0, 1, 2,

L

поэтому функция X (х) принимает вид:

(11)

(12)

X J (х) = B cos

f j п ^ —х

V L J

Подставляя выражение (10) в уравнения (8) и (9), находим:

cos(Xjx) [(цк + цт) ■ тх + h^K ■ ТФ + саХ2 • Тх + ргX2 ■ Тх ] = 0

cos(Xjx) [h^K ■ fx + (цф + Цкh2 ) ■ + Рв ■ Тф + Сосн ■ ТФ ] = 0

В результате получаем систему обыкновенных однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

(цк + Цт ) ■ Тх + h^K ■ Тф + caX2 ■ Тх + РгX]■ ■ Тх = 0

h^K ■ Тх + (цф + Цкh2 ) ■ Тф + Рв ■ Тф + Сосн ■ Тф = 0

(13)

Уравнения (13) перепишем в виде:

а11 ■ Тх + а12 ■ Тф + b11( J) ■ Тх + C11( J) ■ Тх = 0

а21 ■ Тх + а22 ■ Тф + b22 ■ Тф + C22 ■ Тф = 0

(14)

где ап = ^^ a12=a21=^; а22=+М2; КШ = РЛ2; bn = Рв; си() = са^2;

С22 Сосн'

8

В матричной форме:

A-T + B( j) • T + C( j) • T = 0,

где

A =

a

ii

a

i2

V a21

a

- матрица инерции; B( j) =

22 J

фициентов диссипации; C( J) =

cii( J) 0

r bii( J) 0

0

0

J22

- матрица коэф-

- матрица жесткости; T =

"22 J

f T Л

1 x

T V Ф J

вектор-столбец неизвестных функций времени.

Систему (14) дифференциальных уравнений второго порядка запишем в нормальной форме (как систему дифференциальных уравнений первого порядка):

q = G (J) • q, (15)

где G (J)

ности 4x4); O

O

A-i • C(j)

E

-A-i • B(j)

- блочная матрица перехода (размер-

Г 0 0 ^ 0 0

E

i 0^ V0 i j

T 1 x

T

; q=

V V

- вектор-столбец фазовых ко-

ординат.

Перейдем к главным нормальным координатам системы. Для этого необходимо построить преобразующую матрицу R (j), приводящую матрицу G (j) системы (15) к некоторой подобной ей матрице P (j), имеющей блочнодиагональный вид:

P(j) = R(j)~х • G(j) • R(j).

На главной диагонали этой матрицы в общем случае расположены блоки размерностью 2x2, элементами которых являются действительные и мнимые части собственных чисел матрицы G (j).

Таким образом, структура матрицы P (j) зависит от собственных значений ю (j) матрицы G (j), которые в среде MathCAD определяются при помощи стандартной процедуры:

ш (j) = eigenvals [G (j)].

В рассматриваемом случае вектор-столбец собственных чисел имеет следующий вид (собственные значения системы представляют собой пары различных комплексно-сопряженных чисел):

9

W (Л

5

' n( j )x + к (j X i'

n(j)i - к( j)ii n( j )2 + к (j )2 i vn( j)2 - к(j)2 iу

здесь w(j)p «(j)2 - коэффициенты затухания; k(j)p k(J)2 - собственные временные частоты колебаний.

Из значений ю (j) посредством использования небольших программ можно выделить вектор-столбцы коэффициентов затухания n (j) и собственных частот k (j):

n( J)

fori e 1...2

П ^ Rе[ю(j)*,2i-i]; k(j) n

fori e 1..2

*i ^ 1ш[ю(j)k,2i_i].

к

На рис. 4 представлены графики зависимостей коэффициентов затухания и(Д а на рис. 5 - частот k(j) от номера j формы колебаний.

Расчеты показывают, что в случае, если вг = 0, графики зависимостей коэффициентов затухания от номера формы колебаний принимают вид, представленный на рис. 6.

10 -50

nn (j)1 -110

™ (j)2 -170

-230 -290

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

kk 01 kk ©2

j

j

Рис. 4

Рис. 5

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

j

Рис. 6

10

Преобразующая матрица R(j) формируется из элементов матрицы M(j собственных векторов исходной матрицы G(j).

Определяем матрицу M(j):

M (j) = eigenvecs [G (j)],

элементы которой в общем случае являются комплексными числами.

Столбцы преобразующей матрицы R(j) составляем из вещественных и мнимых частей собственных векторов матрицы G(j) при помощи программы:

R( j)

fori е 1...2 fork е 1...4

Rk,2i-1 ^ Re[M( j)k,2i-1 ]. Rk,2i ^ Im[M(j)k,2i-i]

R

Теперь система дифференциальных уравнений (15) может быть записана в главных координатах

п 0, j) = R (j)-1 • q(t, j) (16)

в следующем виде:

л 0, y) = RCO • n 0, y)- (17)

Решение системы уравнений (17) при принятых допущениях записывается следующим образом:

П(t,j) =

^i(t, j) N

n 1(t , j)

n2(t»j )

Oi 2(t»j), V

е” [ci( j )cos (( (j\t) + C2( j )sin (( (j\t)]

enn [-Ci(j)sin(((j)it) + C2(j)cos(((j)it)]

e” [сз( j)cos((( j)2t) + C4( j)sin ((( j)2t)]

e”2t [-C3(j)sin(((j)2t) + C4(j)c0s(((j)2t)]

(18)

где C1 j), C2 (j), C3 (j) и С4 (j) - постоянные интегрирования, определяемые

из начальных условий.

Подставляя в равенства (18) время t = 0, находим

П(0, j)

^Л1(0, j) N Г Q( j) ^

“Л i(0, j) Q( j )

П2(0, j ) Q( j)

v1! 2(0, j ), V q( j) J

(19)

11

Из соотношения (16) получаем:

fTx (t, j )Л

q(t, j) =

= R (j) • n(t, j) =

R( j )■

тф (t, j)

(t > j ) v ^Ф (t ’ j).

r en(j)1 2[q(j)cos(k(j)11) + c2(j)sin(k(j\t)] en (J )l 2 [-ci(j) sin (k (j )it) + C2(j) cos (k (j )it)]

e”(J)22 ^ ( j) cos (k( j)21) + c4 ( j) sin (к( j)22)] en(J)22 ^_c3( j)sin(k( j)22) + c4( j)cos(k( j)22)]

С учетом этого результата выражения для фазовых координат исходной системы записываются в виде:

xT = Y cos

j=1

ф = Y cos

j=1

n

хт = Y cos

J=1

n

ф = Y cos

J=1

f jn ^ —x

V L J

f jn ^ —x L

Tx (t>j) = Y cos

J=1

тф (t,j) = Ycos

f jn ^ —x

V L J

f jn ^ —x L

V ^ J J=1 V ^ J

f i^rr \ n f jn Л

Jn —x

L j

Tx(t> j ) = Ycos

J=1 V

L

x

J

J Л

x

L

J

Tp(t>j) = Ycos

j=1 V

J Л

x

L

q1(t,j); q2(t>j); ъ(2 >j);

q4(t>j)-

J

(20)

(21)

(22)

(23)

Предположим, что в начальный момент времени t = 0 известны распределения вдоль стержня перемещений хт, углов поворота ф сечений поезда, их линейных xT и угловых скоростей ю. Пусть эти распределения заданы уравнениями

x

лi2=o = fx(x); ф|2=0 = /ф(x); xT|2=о = fv(x); ф12=0 = /«,(x)-

Подставляя в выражения (20) - (23) время t = 0, с учетом (19) получаем:

fx(x) = Ycos

j=1

^ jn ^ x

L

J

Y R1,m ( J)nm (0, J)

m=1

Ycos i-x |[Ru(J)c1(J) + Rw(j)c2(J) + Rw(j)c,(J) + Ды(J)c4(J)

J=1 VL J

12

/(x) = Z C0s

—x L

j=1 V ^ J _m=1

Z R2,m (j)Пт (0, j)

Z C0S X II R2,1(j )C1( j) + R2,2(j )C2( j) + R2,3 (j )C3( j) + R2,4 (j )C4(j )

j=1 V

L

f(x) = Z C0S

J=1

J л

— X

V L J

Z R2m (J)Пт (0, J)

m=1

Z C0S x || R3,1(J)C1(J) + R3,2 (J)C2 (J) + R3,3 (J)C3 (J) + R3,4 (J)C4 (J)

j=1 V

L

Л (X) = Z C0S

J=1

---X

V L J

Z R4,m (J)Пт (0, J)

m=1

= ZC0S ^X ||R4,1(J)C|(J) + R4,2(J)C2(J) + R4,3(J)C3(J) + R4,4(J)C,(J)

j=1 V L J

Используя свойство ортогональности собственных функций (10), приходим к системе алгебраических уравнений:

Ux ( j ) = R1,1( j )C1( j ) + R1,2( j )C2( j ) + R1,3( j )C3( j ) + R1,4( j )C4( j );

Up ( j ) = R2,1( j )C1( j ) + R2,2( j )C2( j ) + R2,3( j )C3( j ) + R2,4( j )C4( j X U z ( j ) = R3,1( j )C1( j ) + R3,2( j )C2(j ) + R3,3( j )C3( j ) + R3,4( j )C4( j X u (j) = R4,1(j)C1(j) + R4,2 (j)C2 (j) + R4,3 (j)C3 (j) + R4,4 (j)C4 (jX

2

L

где ux (j) = yj fX(X)C0S

( j ) = L j f ( X)C0S

On ^

— X V L J

On ^

— X V L J

2

L

dx; Up(j) = - j /(x)C0S L

X

2

dx; (j) = ^ j У»(x)C0S

V L

0 v ^ ^ 0

Эту систему запишем в матричной форме:

jn --X

L j

dx:

dx.

u( j) = R (j) ■ Const(j),

(24)

13

где u(j) =

грирования.

' Ux ( j ) " Г Q( J) ^

um ( j ) C2( j )

; Const ( j ) =

Uv ( j ) C3( J )

l(J)X l C4(J)J

- вектор-столбец постоянных инте-

Из уравнения (24) определяем искомые постоянные интегрирования:

Const( j) = R (j)-1 ■u( j).

После определения постоянных интегрирования появляется возможность построить графики изменения главных фазовых координат в зависимости от времени.

На рис. 7-9 представлены хронограммы первой главной координаты n(t, j)1 (на рис. 7 - для j = 2; на рис. 8 - для j = 10; на рис. 9 - для j = 15), а на рис. 10-12 - хронограммы координаты Tx = q (t, j)1 (на рис. 10 - для j = 2; на рис. 11 - для j = 10; на рис. 12 - для j = 15) для различных форм колебаний.

На рис. 13-15 показаны хронограммы обобщенной координаты хт в фиксированных сечениях поезда (на рис. 13 - в сечении x = 0,1L, на рис. 14 -в сечении x = 0,5L, на рис. 15 - в сечении x = 0,9L).

t

Рис. 7

Рис. 10

oft 10),

2.5

7.5

10

Рис. 8

0

Рис. 11

oft 15)1

2.5

7.5

10

Рис. 9

0

qft 15)i

1х10-3

5Х10-4

0

-5Х10-4

-1х10-3

(/hr

p ДЛ/

0 2.5 5 7.5 10

t

Рис. 12

14

t

Рис. 13 Рис. 14

0.03

0.02

0.01

xt (0.9-L,t) 0

-0.01 -0.02 -0.03

0 20 40 60 80 100

t

Рис. 15

На рис. 16 изображено распределение продольных перемещений сечений поезда вдоль его длины в фиксированные моменты времени (т2 = 0,53 с, т3 = 0,707 с).

xt(x,i2)

xt(x,i3)

0 100 200 300 400 500 600 700

x

Рис. 16

Продольные усилия N(x, t) в сечениях поезда можно определить по формуле:

N (х, t) = с

С Р

а =—- пУ j sin

дх L j=1

j Л

—x

V L J

q(t,j )i5

где p - количество членов ряда.

На рис. 17-19 представлены хронограммы продольных сил N(x, t) в фиксированных сечениях поезда (на рис. 17 - в сечении x = 0,1L, на рис. 18 -в сечении x = 0,5L, на рис. 19 - в сечении x = 0,9L).

15

5х104

3х104

2.5х104

N (0.1-L,t) 0

-2.5х104

-5х104

0 25 50 75 100

t

Рис. 17

1.5 х 104 N (0.5-L,t) 0

—1.5 х 104

-3х104 1-------^^^-----------------------1

0 25 50 75 100

t

Рис. 18

Рис. 19

Выводы

1. Движения поперечных сечений однородного поезда при принятых значениях параметров представляют собой затухающие колебания.

2. Спектр частот содержит два множества собственных частот свободных колебаний поезда и два множества коэффициентов затухания. В области парциальной частоты свободных колебаний галопирования вагона наблюдается сгущение спектра частот колебаний поезда.

3. Критическое значения коэффициента вг, характеризующего внутреннее трение в стержне (для принятых значений параметров), составляет вгкр = 11106 Нс/м (для колебаний галопирования - ввкр = 1,9 106 Нс).

Библиографический список

1. Исследование связанных свободных колебаний галопирования и подергивания в однородном поезде / Ф. А. Доронин // Бюллетень результатов научных исследований. -2012. - № 4 (3). - С. 120-130.

2. Теория колебаний в транспортной механике : учеб. пособие / В. С. Доев, Ф. А. Доронин, А. В. Индейкин. - М. : Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте, 2012. - 352 с.

3. Динамика вагона / С. В. Вершинский, В. Н. Данилов, И. И. Челноков. - М. : Транспорт, 1972. - 304 с.

© Доронин Ф. А., 2013

16