Исследование устойчивости колебаний нелинейной системы в высших зонах параметрического возбуждения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.375.7

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В ВЫСШИХ ЗОНАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

ЧЕРЕДНИКОВП.И.,ПОДГАЙКО О.И.

При переходе к безразмерному времени, используя аппроксимацию нелинейной характеристики намагничивания Н = f (B) в виде: Н = ashfiB , где а, Р — коэффициенты аппроксимации; B, H— мгновенные значения магнитной индукции и напряженности магнитного поля в сердечнике, уравнение, описывающее процессы в системе, будет иметь вид [1]:

d x у x y

у + у 2—(ch — sh—) +у ^ch-sh — dx 2 2 2 2

= U о + Un sin n(x +ф),

(1)

Описываются соотношения для исследования устойчивости колебаний нелинейной системы в высших зонах параметрического возбуждения. Приводятся результаты исследования устойчивости колебаний в индуктивной параметрической системе с потерями при полигармоническом внешнем воздействии с постоянной составляющей и гармоническом характере изменения параметра. Показывается возможность использования критериев Раусса - Гурвица для анализа систем в высших зонах неустойчивости колебаний и связь энергетических запасов системы с режимами колебательного процесса.

В последнее время возрос интерес к существенно нелинейным параметрическим системам (НПС), взаимодействия в которых проходят в режиме высших зон неустойчивости колебаний. Исследование переходных процессов и устойчивости колебаний в нелинейной системе при параметрическом возбуждении позволяет оценить ее амплитудные и частотные характеристики. Изучение данного вопроса приобретает особое значение при рассмотрении состояния системы в высших зонах неустойчивости, когда колебания системы возникают в более узких частотных интервалах, и система становится более чувствительной к АЧХ внешнего воздействия. Анализ переходных процессов и устойчивости колебаний наглядно представляет связь между начальными условиями воздействия и отклика системы в виде периодических колебаний. Найти решение нелинейного дифференциального уравнения, описывающего процессы в НПС при произвольных начальных условиях, невозможно, за исключением частных случаев. Рассмотрение переходных процессов и вопросов устойчивости колебаний в НПС в высших зонах неустойчивости имеет значительный научный и практический интерес для создания новых методов взаимодействий и широкого круга функциональных многостабильных преобразователей.

Цель данной статьи — показать возможность использования критериев Раусса - Гурвица для анализа систем в высших зонах неустойчивости колебаний и раскрыть связь энергетических запасов системы с режимами колебательного процесса.

Исследуем устойчивость колебаний в индуктивной параметрической системе, параметрическом генераторе, с потерями при полигармоническом внешнем воздействии с постоянной составляющей и гармоническом характере изменения параметра.

a,p/R2 ар/

где У2 =---г2; У з =---x = 2BH cos т ;

SWfa SW2 ю2Є

п — номер зоны неустойчивости. Здесь S и l — сечение и длина средней магнитной линии сердечников; W2 — число витков в резонансной цепи; R2 — активное сопротивление резонансной цепи; C— емкость резонансной цепи; w — частота воздействия; Be — амплитудное значение индукции поля возбуждения.

Исследуем устойчивость колебаний исходного нелинейного дифференциального уравнения. Для этого будем искать его решение в виде:

у = 2Во + 2an (т) sin nx + 2b n (т) cos nx,

где В0 — постоянная составляющая; an(t), bn(t) — медленно меняющиеся функции.

Дважды продифференцируем данное решение:

у = (4nan - 2n bn )cos nx- (2n an + 4nbn )sin nx .

Подставим решение и полученное соотношение в исходное уравнение (1), разложив гиперболические функции в ряд Фурье, коэффициентами которого являются модифицированные функции Бесселя:

x у

ch 2 sh 2 = shBoIо (Bh )Iо (an)Ц (bn) +

+2chBo I о ( Bh ) 11 (an) I о (bn) sin nx +

+2chBoIо (Bh )Iо (an)11 (bn )cos nx; x у і

ch 2sh 2 J = (anIо (an )Iо (bn ) +

+ 2bnIо (BH )11 (an )11 (bn ) _

-2nIо (Bh )Iо (an)Ii (bn ))chBo sin nx +

+ (2anIо (BH )I1(an )I1(bn ) + о (BH )Iо (an )Iо (bn ) +

+ 2nIо (Bh )I1 (an)Iо (bn))chBo cos nx.

С учетом медленности изменения функций an(t) и bn(t) пренебрегаем малыми второго порядка. Получаем приближенные формулы для синусной и косинусной составляющих — укороченные нели-

12

РИ, 2001, № 1

нейные уравнения относительно производных ап и Ьп для n-й зоны неустойчивости колебаний системы:

п 1

ап = 2bn -2У2chB010(BH )10(Ьп)11(ап ) -

1 1 (2)

-—у3chBo 10(Bh ) 10(ап)І1 (Ьп) + — ип sinпфп;

• п 1

Ьп =-2ап - 2У 2chB010(BH )10 (ап )11(Ьп ) +

+ З1 У 3chB010 (BH )11(ап ) 10 (Ьп ) "Т- ип c0s пфп 2п 4п

(3)

С помощью полученных формул можно исследовать устойчивость системы в произвольной зоне неустойчивости.

Устойчивость периодического решения для полученных выражений можно найти из критерия Раусса- Гурвица. Рассмотрим малые отклонения xn и hn от амплитуд ао и b0 n-й гармоники. Определим, когда эти отклонения с увеличением времени будут стремиться к нулю. Из уравнений (2) и (3), опуская члены степени выше первой относительно xn и hn, получим для n-й зоны неустойчивости

(А(а, Ь) = ап, B(a,b) = Ьп}:

-dr = а1^п + а2йп; 2^ = Ь1^п + Ь2Цп, (4)

а1 =

( dA л

\ 2ап J

= -тУ210 (BH ) 10(Ьп ) 10 (ап )chB0

ап=а0п 4

- — У 310 (BH )11 (ап ) 11 (Ьп )chB0; 2п

а2 =

r dA л

V 2Ьп у

п1

= - - — У 310 (BH )10 (ап )10 (Ьп )chB0 -ап =а0п 2 4п

- 2 У 210 (BH ) 11(ап )7 (Ьп )chB0;

bi =

dB (

2а J ап =а0п ьп=ь0п

п1

~Т+~ГУ 310 (BH ) 10 (ап )10 (Ьп )chB0

2 4п

- \ У 210 (BH ) 11 (ап ) 11 (Ьп )chB0;

b2 - I db I _ _ 7 Y 210(BH ) 10 (ап )10 (Ьп )chB0 +

db ) ап=а0п 4

+ 21 У 310 (BH ) 11 (ап )7 (Ьп )chB0 •

2п

Характеристическое уравнение для системы (4) имеет вид:

X2 - (аі + b2)X + а^2 - а2b1 = 0 .

Если действительные части корней этого уравнения отрицательны, то отклонения xn и hn с течением времени стремятся к нулю. В этом случае достаточные условия устойчивости имеют вид:

Рп = -а!1 - b2 >0, дп = а^^^ - а2^ >0. (5)

Подставив значения а{,а2 и b1, b2 в уравнения (5), получим критерии устойчивости:

Рп = 2 у 2chB010 (BH )10 (ап ) 10 (Ьп ) > 0;

дп ~ + chB010 (BH )(г

16п

2 12ч

2 13 + ^У2)Х Х

2

1

х x(( 10(ап) 1 0(Ьп))2 - 4(11(ап)1#п))2) -

- -2пу 2chB010 (Bh ) 11 (ап) 11 (Ьп ) > 0.

Условие Pn >0 выполняется всегда. Необходимо выполнение условия qn >0, которое определяется непосредственно параметрами системы и внешнего воздействия.

На рис. 1 приведены первые четыре (I-IV) области устойчивых и неустойчивых (заштрихованная зона) решений, полученных из выражений (5). Сплошная кривая соответствует системе без потерь, кривые 1-3 рассчитаны с учетом активных потерь соответственно для R2= 5, 15 и 25 Ом. По оси абсцисс отложен коэффициент, зависящий от интенсивности воздействия на систему и определяющий глубину модуляции параметра, по оси ординат - коэффициент, характеризующий расстройку системы. При R2= 25 Ом области неустойчивости ограничиваются сверху, а при R2= 30 Ом - зоны неустойчивости сужаются в точку, которая соответствует устойчивому режиму колебаний и максимуму поступления энергии в нелинейную систему.

Рис. 1. Области колебаний системы при различных потерях

Анализ переходных процессов в системе, описываемой уравнением (1), заключается в рассмотрении его решения, которое с течением времени становится периодическим. Применим метод Пуанкаре, используя (2) и (3), и перейдем к интегральным кривым:

РИ, 2001, № 1

13

^ = (Пbn -\у210(БН)І0(ЬпЩап)екБ0 -

bn 22

~Е у310(БН )10(ап )1 l(bn )chB0 + ~Т Un sin пфn )/

n l

/(--an - - У 2 І0(БН )I0(an )11(an )chB0 +

У3^0(БН ) 11(an ) 10(bn ) “УUn cosn9n • 2n 4n

(6)

Поскольку ^7n и bn не являются функциями времени, то возможно построение с помощью метода изоклин, Льенера и т.д. интегральных кривых на плоскости a, b. Периодические решения

(2) и (3) соответствуют особым точкам уравнения (6), когда a=b=0.

На рис. 2 представлен первый квадрант фазового портрета исследуемой нелинейной диссипативной системы во второй зоне неустойчивости колебаний. Введение активных потерь в систему приводит к деформации ее фазового портрета. Все особые точки типа фокус соответствуют устойчивому режиму колебаний системы с определенными фазами, что отвечает условию ее энергетических затрат. Радиус-векторы получающихся фокусов поворачиваются на один и тот же угол против часовой стрелки, а радиус-векторы особых точек типа седло поворачиваются по часовой стрелке. Разнотипные особые точки, при увеличении затухания в системе, сближаются друг с другом и при некотором критическом значении потерь сливаются, что соответствует срыву колебаний в системе. При этом остается всего одна особая точка типа устойчивого фокуса в начале координат, колебания в которой отсутствуют.

Рис. 2. Фазовый портрет существенно нелинейной системы

Исследования показали, что фазовый портрет параметрической системы несет информацию о степени ее нелинейности. Угол поворота особых точек фазового портрета системы тем больше, чем меньше степень ее нелинейности. В слабонелинейной системе колебания срываются при меньших потерях по сравнению с сильнонелинейной. Это означает, что слабонелинейная система более чувствительна к величине потерь и, соответственно, колебания высших зон неустойчивости возбуждаются в ней в более узком интервале изменения затухания. Следовательно, при переходе к зоне неустойчивости более

14

высокого порядка система становится более чувствительной к величине потерь. Введение потерь способствует переходу от одного устойчивого состояния системы к другому.

Метод фазовой плоскости позволяет качественно оценить переходные процессы в системе, что существенно при исследовании оптимальных режимов возбуждения и начальных условий колебаний. Одним из важнейших энергетических показателей колебательной системы является запас потенциальной энергии, обусловленный наличием параметрических взаимодействий в системе. Величина энергетических запасов определяет устойчивость колебательного процесса в системе при ее расстройке.

В общем виде для консервативной индуктивной системы, согласно уравнению (1):

У + 2Sy + ^2 f (t) = 0 ,

y x 2 где f (t)=sh — ch —; Г

2

oPl 1 Ш0

SWl<s?C ю2 LC ю2

— квадрат расстройки системы.

Почленно умножим это уравнение на скорость изменения параметра у и проинтегрируем по времени. Получим выражение для всей энергии колебательной системы Е0:

"У^ + 25у + ^2 J f (t)dt = const = E0 . (7)

(7) представляет собой уравнение фазовой траектории и устанавливает зависимость между у и у , в котором второе слагаемое определяет диссипативные свойства системы, третье — колебательные.

Рассмотрим третий член уравнения (7), опуская произвольную постоянную интегрирования. Потенциальная энергия колебательной системы Еп:

Еп = {£ 2 shychxdydt = 2^ 2 chXchy п J 22 dt 22'

Полученное выражение равно потенциальной энергии нелинейной системы и раскрывает характер влияния интенсивности воздействия и амплитуды колебаний в системе на ее энергетические запасы, которые будут определяться характером взаимодействий в системе — f (t). Данное выражение показывает, что в то время, как переменные x и у, а вместе с ними и производная у , колеблются с частотой w, колебания энергии в системе происходят с удвоенной частотой 2ю, что является классическим условием параметрического возбуждения.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Отсутствие колебаний в системе у ^0 (ch 2 = 0): Еп = 2^2 ch 2,

энергетические запасы системы определяются непосредственно ее свойствами и интенсивностью воздействия.

2. Наличие стационарного режима колебаний в системе: Еп = 2^2 ch Xch 2,

РИ, 2001, № 1

потенциальная энергия определяется характером взаимодействий в системе.

3. Отсутствие воздействия и наличие затухающих колебаний х^ 0 (ch— = 1): Еп = 2^2ch2,

энергозапасы определяются амплитудными характеристиками колебательного процесса.

Для количественной оценки потенциальной энергии параметрической системы воспользуемся разложением в ряд гиперболического косинуса ch:

ch y=i+zi+/ + /+

2! 4! 6!

где y=Ymsin ю t — функция гармонического характера при условии возбуждения в системе синусоидальных колебаний.

Чтобы достичь требуемой точности анализа физических процессов для слабонелинейной системы, можно ограничиться в разложении гиперболической функции первыми двумя членами ряда, для существеннонелинейной - тремя и более слагаемыми, число которых возрастает с увеличением рассматриваемой зоны неустойчивости.

Подстановка в выражение для потенциальной энергии соответствующего разложения по переменной у для слабонелинейной системы приводит к выра-

rii x г2 і x

c ch— 2 c ch— 4

жению: ЕП = 2^2ch — +--2 — +----2 —,

П 2 2 2 48 4

согласно которому максимум потенциальной энергии системы расположен в точке у = 0.

Рис. 3. Энергетическая диаграмма и фазовый портрет системы

При рассмотрении поведения системы на фазовой плоскости выявляется связь энергетических запасов системы с ее фазовыми траекториями. Из (7) сразу можно получить уравнение фазового портрета нелинейной системы:

что весьма наглядно, если представить потенциальную энергию как функцию у. В верхней части рис. 3 построен график потенциальной энергии НПС, а в нижней (в том же масштабе оси у) соответствующий фазовый портрет колебаний. Очевидно, что максимумы потенциальной энергии соответствуют особым точкам типа седло, минимумы — типа фокус.

С физической точки зрения в особой точке типа седло даже незначительное возмущение вызывает движение из непосредственной окрестности неустойчивого положения равновесия, так как фазовые траектории в окрестности особой точки являются гиперболообразными кривыми, асимптотами которых служат ветви сепаратрисы. Все прямые ниже прямой А соответствуют фазовым траекториям типа фокус. Прямая А — граничный случай, так как она касается кривой Еп в точке максимума. Движения, соответствующие траекториям выше прямой А, уже не будут колебательными. Следовательно, по фазовому портрету можно установить характер положения зон устойчивых и неустойчивых колебаний и тип движения нелинейной системы.

Применение критерия Раусса-Гурвица для анализа устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в параметрической системе, позволяет достаточно легко исследовать устойчивость ее колебаний на любой гармонике. Увеличение потерь в системе приводит к ограничению области неустойчивости сверху, а срыв колебаний соответствует сужению в точку. При переходе к зоне неустойчивости более высокого порядка нелинейная система становится более чувствительной к потерям, а колебания высших зон возбуждаются в более узком интервале изменения затухания. Изменение диссипативных свойств способствует переходу от одного устойчивого состояния системы к другому. Увеличение степени нелинейности системы и введение потерь приводит к деформации ее фазового портрета — повороту радиус-векторов и сближению особых точек.

Уравнение фазовой траектории устанавливает связь энергетических запасов нелинейной системы с положением зон устойчивых колебаний и характером параметрических взаимодействий. Даже незначительное возмущение вызывает движение системы из непосредственной окрестности неустойчивого положения равновесия.

Литература: 1. Расчет и проектирование параметрических систем на высших гармониках: Учеб. пособие / Чередников П.И. Харьков: ХПИ, 1980. 98с.

Поступила в редколлегию 04.11.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.

Чередников Павел Ильич, канд. техн. наук, доцент кафедры ПЭЭА ХТУРЭ. Научные интересы: теория и практика параметрических зонных взаимодействий. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-43.

У = V = у2(Е0 - 2Sy - 22,2 ch — ch —)

= ZlEo -Sy -E,2ch — ch —, ЛІ 2 2 2

Подгайко Олег Иванович, ассистент кафедры ПЭЭА ХТУРЭ. Научные интересы: исследование параметрических взаимодействий в нелинейных системах. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-43.

РИ, 2001, № 1

15