Амплитудно-фазовое соотношение в контуре с нелинейной индуктивностью

Зуев Николай Григорьевич; Салай Инга Викторовна; Титаренко Александр Михайлович; Чередников Павел Ильич

УДК 621. 375.7

АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЕ СООТНОШЕНИЕ В КОНТУРЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

ЗУЕВ Н.Г, САЛАЙ И.В., ТИТАРЕНКО А.М., ЧЕРТДИИКОВ П.И.

Получены уравнения, которые позволяют исследовать зависимость фазы от амплитуды стационарных колебаний в первой и в высших областях параметрического возбуждения. Показано, что причиной возникновения зависимости фазы от амплитуды колебаний в нелинейно — параметрических системах является рас-строечный механизм.

Необходимость учитывать зависимость амплитуды колебаний от фазы отмечено в [1-2].

Цель настоящей работы — выяснить конкретный характер зависимости фазы стационарных колебаний от амплитуды сигнала накачки в нелинейной параметрической системе.

В качестве реальной нелинейной параметрической системы рассмотрим параметрический генератор с нелинейной индуктивностью, работа которого описывается следующими дифференциальными уравнениями:

d

swj—(B! + Bii) + iiRi = umsin(rat + ф);

d 1 г

< sw^j-(BI - Bii) + i2R2 + -J i2dt = 0;

. * lH C (1)

i1w1 + i2w2 = lHI;

_i1W1 - i2w 2 = lHII-

Здесь s — площадь сечения сердечников; l — длина средней линии магнитного поля в сердечнике; i1, i2, w1, w2 — соответственно токи и витки контуров накачки и резонансного; R1, R2 — активные сопротивления в цепи накачки и резонансной; C — емкость в резонансном контуре; BI, BII — мгновенные значения индукции магнитного поля в сердечниках; Um — амплитуда напряжения накачки;

ra , ф — круговая частота и фаза накачки; HI, HII — мгновенные значения напряженности магнитного поля в сердечниках.

Аппроксимируя нелинейную зависимость напряженности магнитного поля от индукции гиперболическим синусом H = a sh pB и вводя обозначения

x = P(Bi + Bii) , y = P(Bi - Bii) , т = rat, преобразуем систему (1) к виду

x + Y1 shAh^y = Um sin(i + ф);

- ,x.y d ( , x . у

y + Y 2ch2sh2+ Y Д ch2shI

1= 0. (2)

Здесь Y1

aPlR1 Uf

sw2ra ; n

PUn

; Y2

sw1ra

api

csw2 ra2 ;

apiR2

Y = sw 2ra ; X, y — первая и вторая производные

по безразмерному времени т = rat. Введение переменных x и у позволило учесть направление включения обмоток (x определяет напряжение на обмотках накачки, а у — на обмотках резонансного контура [3]).

Решение системы (2) будем искать в виде x = 2Bн sin т,

у = 2an(T)sinnT + 2bn(т)cos пт, (3)

(п = 1,2,3...),

где 2BH — безразмерная амплитуда сигнала накачки; дп(т),Ьп(т) — медленно меняющиеся функции

т. После подстановки (3) во второе уравнение системы (2) получаем укороченные уравнения для n -й зоны неустойчивости, в которых удержаны члены с модифицированными функциями Бесселя

Io(Bh), MBh) , 14n(Bh):

. (HD - EQ) ь (PE - GH)

an = (PD - GQ); n = (PD - GQ),

где P = yAs ; Q = -4n + yBs ;

H = 2n2an-y2s + nY C; D = y Bc ;

G = 4n + y Ac ; E = 2n2bn - y 2C - nY C.

Здесь S = 2£(- 1)mNmnSm ; C = 2£Nn,Cm ;

m=0 m=0

As = Z(- 1) m N mn A sm ; Ac = £ NmIAcm ;

m=0 m=0

B = Y(- 1)mN B • B = Y N B •

s ' mn sm ? c mn cm ?

m=0 m=0

N mn =(- 1) mn 12mn (Bн ) ;

Aso =(lo,a + І2,а )b + Y( A j T (j, a )

(4)

j=1

l2],b

Рис. 1. Фазовый портрет системы для второй зоны неустойчивости (жесткий режим возбуждения колебаний)

33

РИ, 1998, № 2

да / \

Asm = Т(m,a)l0,b -£(-1)1+m(I21-2,a + I21,a)*

% (i,b)+K-1)j 12 j ,ь {Qm-1

j=i

I ( ) +

2(m- j),a

+1

2(m- j+l),a

+Qm

I I , + I j 4

2(rn- j-1 ) 2(m- j ),a

+ I і \ + 2I j \ + I j s

2(m+ j-l),a 2(m+ j),a 2(m+ j+l),

построены фазовые портреты для ряда значений при фиксированной частоте накачки. Активное сопротивление R2 было взято равным 100 Ом для n=1 и 15 Ом для n=2. По координатам одного из двух устойчивых фокусов были найдены Bn и ф n :

Bn = 4an + ЬП ; Фn = arctg(bn / an).

Соответствующие зависимости для первой и второй зон неустойчивости приведены на рис. 2.

A c0 = 2I1,aI1,b +

Z(- j (j,a )Тз (j,b)

j = 1

да

Acm = 2I1,aT3 (m,b)-£(- 1)1+m [i

-1

2(1+m)+1,a

121-1,b +

2 (1+m)-3,a

Z(- 1)jT3 (j,a )T4 (j,b);

j=1

So = 11,aI 0,b +Z(- 1)jT3 (j,a )l 2 j ,b ;

j=1

да

Sm = T3 (m,a)lo,b +K-1)j 12 j,b T4 (j, a) -

j=1

да

-Z(- 1)1+m 121 -1,aT2 (1,b);

1=1

T1 (j,a) = I2j-2,a + 2I2j,a + I2j+2,a ;

T2 (1,b) = 12(1+m-1),b - 12(1+m),b ;

T3 (J,a) = I2j-1,a + I2j+1,a ;

T4 (j,a) = Qm I2(m-j)+1,a + Qmi2(m-j)-1,a + j)+1,a +

b- =1 mj (a n); Qm:

+ I2(m+ j)+1,a + I2(m+ j)-1,a;

J1, m > j;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

‘mj,a -mjV“n/’ (0, m< j.

В формулах для Asm,Acm,Sm предполагается

m > 0. КоэффициентыBsm, Bcm, Cm совпадают с точностью до взаимно-однозначной замены а на Ъ.

Уравнения (4) могут быть использованы для исследования переходных процессов и устойчивости колебаний в любой зоне параметрического возбуждения.

В качестве примера применения укороченных уравнений (4) на рис. 1 приведен фазовый портрет исследуемой системы с диссипацией энергии для второй зоны неустойчивости в случае жесткого режима возбуждения колебаний.

Следует отметить, что фазовые портреты для нечетных и четных зон неустойчивости имеют сходный характер, но повернуты относительно начала координат приблизительно на прямой угол при наличии активного сопротивления в резонансном контуре и в точности на п /2 — при его отсутствии.

С целью выяснить характер зависимости фазы от амплитуды стационарных колебаний для первых двух зон параметрического возбуждения (n = 1,2) в

установившемся режиме на плоскости (bn, an ) были

34

п/3 п/2 2п/3 5п/6 фп

Рис. 2. Амплитудно-фазовые зависимости для первой и второй зон неустойчивости

Их можно использовать при анализе нелинейных систем, в которых передача информации осуществляется фазовым методом. Аналогичный вид имеют кривые, если менять частоту накачки при

фиксированной BH. Это говорит о том, что в обоих случаях расстроечный механизм является общей причиной возникновения зависимости фазы от амплитуды колебаний в нелинейных параметрических системах.

Литература: 1. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., Рылов В.А. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов. радио, 1966. 334 с. 2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с. 3. Булгаков Б.М., Чередников П.И., Степанов В.П. Исследование параметрического усилителя-модулятора // Радиотехника и электрон. 1974. № 8. С. 1674-1680.

Поступила в редколлегию 22.04.98

Рецензент: д-р физ.-мат наук, проф. Нерух А.Г.

Зуев Николай Григорьевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ ХТУРЭ. Научные интересы: колебания в нелинейно-параметрических системах. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.

Салай Инга Викторовна, аспирантка кафедры КРЭС факультета ЭА ХТУРЭ. Научные интересы: аналитические и топологические методы исследования нелинейно-параметрических систем. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-43.

Титаренко Александр Михайлович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ ХТУРЭ. Научные интересы: теория нелинейных колебаний в высших зонах параметрического возбуждения. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.

Чередников Павел Ильич, канд. техн. наук, доцент кафедры КРЭС ХТУРЭ. Научные интересы: теория и практика параметрических зонных взаимодействий. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.40-93-43.

РИ, 1998, № 2

Текст научной работы на тему «Амплитудно-фазовое соотношение в контуре с нелинейной индуктивностью»