Исследование устойчивоподобных свойств «Частичного» положения равновесия нелинейной динамической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.422.324

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОПОДОБНЫХ СВОЙСТВ «ЧАСТИЧНОГО» ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ*

А. В. Щенников

На основе принципа включения (расширение фазового пространства нелинейной динамической системы с последующим его сужением) проводятся исследования устойчи-воподобных свойств (УПС) «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных динамической системы, задаваемой в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь под УПС движений понимаются различные виды устойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим нелинейные динамические системы

¿х

¿Ь ¿у

¿Ь

= /1 (Ь, х),

= А (ь, у) ,

(1)

(2)

йх(1) йх(2)

/(1) (/, Х(1), Х(2) ) , (1.1)

= /1(2) (/,х(1), х(2)), (1.2)

где п-мерный вектор х(0 определяет фазовое состояние системы (1), а п -мерный вектор у (О определяет фазовое состояние системы (2), причем п < п. В дальнейшем будем пользоваться преобразованиями [1, с. 495]

у = Ух, х = иу, иУ = Е, (3)

где V — постоянная матрица размерности п х п, ранг которой равен числу ее столбцов (моник-матрица); и — также постоянная матрица размерности п х п, ранг которой равен числу ее строк (эпик-матрица); Е — единичная матрица размерности п х п.

Суть принципа включения [1—4] состоит в построении расширенной системы (пусть это будет система (2)) и в определении условий, при выполнении которых УПС движений системы (1) будут следовать из соответствующих свойств движений системы (2). Основное условие при «переходе» к расширенной системе (2) заключается в том, чтобы положение равновесия системы (1) при линейном преобразовании (3) переходило в состояние равновесия у = уе системы (2), т. е. чтобы уе = Vxe являлось положением равновесия системы (2).

Представим далее системы (1) и (2) в следующих формах:

^ = /2(1) (ьУ(1), У(2)), (2.1)

^ = /22) (*,У(1), У(2)). (2.2) Здесь

х(1) = (..., Хк)т, х(2) = (*к+1, ..., х„)Т,

У(1) = (Уl, Ук)т У(2) = (Уъ+ъ Уп)7,

х = í(х(1)(х(2)Т, у = ((у(1)(у(2)'

/(1) _ (/(1) /(2) = (/(2) / 11 _ (/11 , ■■■' /1к ) > 11 = (/и+1> ■■■' /1

/!ч = (/211...../IГ, /Я _ (.....& Г■

верхний индекс Т означает транспонирование. Устойчивость относительно фазовых переменных Х1, ..., хк (У1, ..., Ук) в дальнейшем будем обозначать х(1) (у(1)) — устойчивость.

© Щенников А. В., 2012

* Полное содержание данной работы было изложено на XL Огаревских чтениях (8 декабря 2011 г., г. Саранск).

194 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

Будем считать, что системы (1) и (2) ((1.1), (1.2); (2.1), (2.2)) заданы соответственно в областях

W = {t, A x(2) t e J+, x« VI x(2) < œj

W2 = {t, y(1) y(2) t e J+, y(1) VI y(2) < œ

где и ^2 — положительные постоянные вещественные числа, а норма вектора евклидова, /+ = {Ь : Ь > 0}. Следует отметить, что нормы вектора и матрицы согласованы. Пусть правые части систем (1) и (2), равно как и систем (1.1), (1.2) и (2.1), (2.2), являются непрерывными соответственно в областях П1 и П2 и удовлетворяют там условию единственности решения задачи Коши, а также решения системы (1.1), (1.2) ((2.1),

(2.2)) х(2) (у(2)) — продолжимы (это означает, что каждое решение х (Ь, х0) (у (Ь, уд)) определено при всех Ь > £д > 0,

для которых Х(1) < Ну |у(1) || < ^2 )).

Здесь введены определения устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической устойчивости, эквиасимптотической устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, равномерной асимптотической устойчивости в целом, экспоненциальной и степенной устойчивости «частичного» положения систем (1.1)—(1.2) и (2.1)—(2.2). Найдены условия, при выполнении которых удается расширить фазовое пространство исходной нелинейной динамической системы и исследовать УПС «частичного» положения равновесия нелинейной динамической системы.

На примере нелинейной системы X =

где А — постоянная п х п матрица, det А ф 0,

х(т) = (х[\ ..., х£) , т = 3, 5, ... проведены

исследования УПС «частичного» положения равновесия. Показано на примере конкретной системы, когда возможно исследование УПС «частичного» положения равновесия только с использованием принципа включения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шильяк Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами / под ред. В. М. Матро-сова и С. В. Савастюка. М. : Мир, 1994. 576 с.

2. Ikeda M. Generalized decompositions and stability of nonlinear systems / M Ikeda, D. D. Siljak // Proceedings of the 18th Allerton Conference. Monticello. 1980. IL. P. 726 734.

3. Ikeda M. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems / M. Ikeda, D. D. Siljak // Large Scale Systems. 1980. Vol. 1. 29. P. 29 38.

4. Ikeda M. An inclusion principle for dynamic systems / M. Ikeda , D. D. Siljak , D. E. White // IEEE Transactions. 1984. AC 29. P. 244 249.

Поступила 13.02.2012.

Серия «Физико-математические науки»

195