CC BY
31
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2151-2153
2151
УДК 531.36
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ СУБСПУТНИКА-ГИРОСТАТА НА СТЕРЖНЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
© 2011 г. А.П. Евдокименко
Специализированный учебно-научный центр Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова
Поступила в редакцию 24.08.2011
Рассматриваются вопросы существования, устойчивости и ветвления установившихся движений орбитальной связки двух твердых тел. Предполагается, что первое тело движется равномерно по круговой кепле-ровой орбите, а второе тело (субспутник) представляет собой симметричный гиростат с ротором на оси симметрии, связанный с первым телом посредством стержня и сферических шарниров. Найдены однопараметрические семейства установившихся движений и исследована устойчивость некоторых из них.
Ключевые слова: орбитальная связка, гиростат, установившиеся движения, устойчивость.
Исследованию динамики космических систем связанных точек и тел посвящено большое количество работ. Предложены различные модели орбитальной связки двух и более тел, как расчетные, так и допускающие возможность аналитического исследования [1]. Рассматриваемая механическая система является частным случаем системы из [2], но дополнительная симметрия приводит к существованию установившихся движений, невозможных в общем случае.
Постановка задачи
Рассмотрим механическую систему, состоящую из пары твердых тел, связанных между собой невесомым и недеформируемым стержнем с помощью двух точечных сферических шарниров, в центральном поле тяготения. Пусть одно из тел движется по круговой кеплеровой орбите, не возмущаемой движением второго тела, которое динамически симметрично и несет ротор с осью вращения, совпадающей с осью динамической симметрии тела. Предполагается, что ротор вращается с постоянной относительно второго тела угловой скоростью.
Предположим, что точка А крепления стержня к первому телу движется по круговой кепле-ровой орбите радиуса Я вокруг притягивающего центра N и обозначим через ^ модуль орбитальной угловой скорости. Введем орбитальную систему координат, единичные векторы которой а, в, 7 направим соответственно по касательной к орбите точки А, по нормали к плоскости орбиты и по радиусу-вектору точки А. Пусть В — точка
крепления стержня к гиростату, будем предполагать, что она находится на оси симметрии гиростата. Обозначим через а расстояние от точки В до центра масс гиростата, пусть длина стержня АВ равна I, единичный направляющий вектор стержня обозначим через р (рис. 1).
Рис. 1
Введем связанную с гиростатом систему ко -ординат Ох 1х2х3, начало которой находится в центре масс гиростата О, а оси направлены вдоль главных осей инерции гиростата. В дальнейшем все векторные величины будем рассматривать в этой системе координат. Обозначим через г радиус-вектор центра масс гиростата в абсолютном пространстве, 5 — направляющий единичный вектор оси симметрии гиростата, т — масса, / — тензор инерции гиростата, / = &а§(А, А, С), где А Ф С. Будем предполагать, что выполнено неравенство I + а << Я, и в выражении для гравитационного потенциала и отбросим члены порядка выше третьего по величине (I + a)/Я.
Уравнения движения гиростата допускают пять первых интегралов, которые выражают обобщенный закон сохранения энергии, закон сохранения проекции вектора кинетического момента гиростата на ось симметрии (этот интеграл существует только для симметричного гиростата), а также ортонормированность системы векторов в и у . Также на всех движениях должно выполняться уравнение связи, выражающее единичность модуля направляющего вектора стержня р.
Установившиеся движения
Согласно [3], установившиеся движения гиростата отвечают точкам экстремума интеграла энергии при фиксированных уровнях остальных интегралов (и уравнения связи). В [4] показано, что непосредственно из получающейся системы уравнений легко найти два простейших семейства установившихся движений, для которых ось симметрии гиростата ортогональна плоскости орбиты точки А, а стержень либо также ортогонален плоскости орбиты, либо расположен так, что центр масс гиростата движется по той же орбите, что и точка А; для всех рассматриваемых семейств гиростат вращается вокруг своей оси с произвольной угловой скоростью. Было обнаружено изменение степени неустойчивости найденных решений при изменении угловой скорости вращения ротора и длины стержня.
Также было показано, что шесть уравнений из полученной системы можно представить в виде
М ^ р)(рг, уг, рг )Т = ° i = 1Д
где М — 3x3 матрица, элементы которой зависят от параметров системы и координат векторов. Это означает, что для нетривиальных установившихся движений (для которых не все координаты векторов с индексами 1 и 2 равны нулю) необходимо, чтобы ранг матрицы М был меньше трех.
В [4] было проведено исследование случаев, когда ранг матрицы М равен 1 и в ней есть хотя бы одна нулевая строка. При этом были найдены еще три семейства установившихся движений и исследована устойчивость одного из них.
Дальнейший разбор различных случаев вырождения матрицы М позволил найти еще два семейства установившихся движений. В случае, когда гк М = 1, было найдено семейство установившихся движений, для которого стержень рас-
полагается в плоскости векторов в и ], а ось симметрии гиростата образует с этой плоскостью ненулевой угол. В случае, когда rkM = 2, было найдено семейство установившихся движений, для которого и стержень, и ось симметрии гиростата располагаются вне плоскости векторов в и у.
Устойчивость установившихся движений
Проведено исследование устойчивости решений, найденных в [4]. Если обозначить r = C/A, то семейство установившихся движений, для ко -торого центр масс гиростата движется по той же орбите, что и точка A, а ось симметрии наклонена на некоторый угол в плоскости векторов в и Y, имеет степень неустойчивости 3 при r > 4/3, 2 - при 4/3 > r > 1 и 1 - при 1 > г.
Степень неустойчивости семейства установившихся движений, для которого стержень ортогонален плоскости орбиты, а ось симметрии гиростата наклонена в плоскости, ортогональной радиусу-вектору точки A, зависит от отношения длин l/a и кинетического момента ротора, т.е. не только от величины его угловой скорости, но и от направления вращения. При одном направлении вращения ротора степень неустойчивости семейства будет меняться от 1 до 3 при изменении длины стержня, а при противоположном — всегда оставаться равной трем. Критические значения длины стержня, при которых происходит изменение степени неустойчивости, не приводятся из-за своей громоздкости.
Устойчивость остальных найденных установившихся движений будет исследована в дальнейшем.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00292.
Список литературы
1. Алпатов А.П. и др. Динамика космических систем с тросовыми и шарнирными соединениями. Москва—Ижевск: НИЦ «РХД», 2007. 560 с.
2. Burov A.A. On collinear relative equilibrium of tethered gyrostat in a central Newtonian field. Wien: Institut Mechanik, Technische Universitat, 1996. 32 p.
3. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.
4. Евдокименко А.П. Об установившихся движениях гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // ПММ. 2005. Т. 69, №2. С. 219—225.
INVESTIGATION OF STEADY MOTIONS OF A SUBSATELTJTE-GYROSTAT SUSPENDED WITH A ROD IN A CENTRAL NEWTONIAN FIELD
A.E Yevdokimenko
The issues of existence, stability and bifurcation of steady motions of two bodies in space joined with a tether are considered. The first body is assumed to move uniformly along circular Keplerian orbit and the second one is a symmetric gyrostat carrying a rotor on its axis of symmetry. The gyrostat is assumed to be secured to the first body by a rod with two spherical hinges. One-parametric families of steady motions of the system are found, their stability and bifurcations are investigated.
Keywords: tethered satellite, gyrostat, steady motions, stability.
