CC BY
37
Представляя его решение в виде/= Еехр(гф), получим уравнения для амплитуды (модуля) Е и фазы ф: (2рТ ' + фЕ у + 2^'Е = 0
t4 [F" - (р')2 F] + 2t3F' +
1 - - +121 q2l(l +1) +12 f1 - - +12
q ) \ q
l (l +1) f = 0.
(П2)
Первое уравнение для фазы интегрируется и дает ф' = const/F2t2, где значение константы определяется через значение модуля F(t = 0) = Fo (т.е. при r ^да): const = Fo2ql(l+1). Подставляя полученное решение во второе уравнение (П2), получим уравнение для F:
t4 F" + 2t3 F' +
1 -1 +12 q у
q2l(l +1) +12\ 1 - - +1
q
l (l + 1)F =
const
~F3"
( П3)
которое можно исследовать только численно. Результаты численного анализа этого уравнения показывают, что Е(0 слабо меняется на интервале 0 < t < 1 и выходит на постоянное значение при t ^ 1. Численную оценку вариации Е(^ при t ~ 1 можно получить, оценивая величину производной ёЕ/ёг на масштабах порядка гг Согласно расчетам ёЕ/ёг • га ~ 10-5 для Е0 = 1, Е0 = 0, д = 10-8, I = 2.
2
УДК 538.56:519.25
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА, ЙР
ИМЕЮЩЕГО В СВОЕЙ СТРУКТУРЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ИУ)!
ДИХОТОМИЧЕСКИЙ ШУМ С ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЩМ
ЭРЛАНГА ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПАРАМЕТРЫ, СВЯЗАННЫЕ ПРОПОРЦИЕЙ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
О. Л. Сироткин
«ОКБ Приборостроения», Саратов E-mail: [email protected]
Целью данной работы является исследование условий существования стационарных моментов случайного процесса, динамика которого описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка с флуктуациями одного из коэффициентов в виде немарковского дихотомического шума, имеющего произвольное время корреляции. Показано, что реализация стационарности моментов зависит от того, будут или нет параметры динамической системы и дихотомического шума связаны пропорцией золотого сечения. Ключевые слова: золотое сечение, распределение Эрланга, принцип двойственности, уравнения Колмогорова.
Investigating Stationary Conditions for Moments of Stochastic Process, Driven by Multiplicative Dichotomous Noise and Featuring Erlang First-order Distribution Function, Conditions Related by Golden Ratio
O. L. Sirotkin
Conditions for the existence of stationary moments of a stochastic process, satisfying a linear differential stochastic first-order equation, comprising a coefficient, subjected to non-Markov dichotomous noise fluctuations with an arbitrary correlation time, are investigated.
It is shown that the existence of stationary moments is related to the golden ratio tying the parameters of the dynamic system and dichotomous noise.
Key words: golden section, Erlang distribution, duality principle, Kolmogorov equations.
Введение
Поиск законов гармонии в исследуемых процессах составляет одну из интересных задач физики. Как правило, эта идея связана с понятием золотого сечения, т.е. числами 0,5(1 + V5) ~ 1,6180 или 0,5(^5 - 1) и 0,6180.
Р. Фейман обнаружил, что золотая пропорция даёт минимальное энергетическое состояние молекулы бутадиена [1]. В области термодинамики, цикл Карно, максимальное значение коэффициента полезного действия холодильной и тепловой машины одновременно равно 0,6180 [2]. В теории электрослабых взаимодействий есть отношения, совпадающие с золотым сечением [3].
В статистической физике [4] результатов подобного рода нет, что и послужило поводом для проведения данной работы.
1. Постановка задачи
Здесь будет рассматриваться, как наиболее часто встречающееся, простейшее линейное стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка в прямых производных с одним случайным коэффициентом. Уравнения такого рода можно найти в задачах статистической радиофизики [5], а также при исследовании процессов рождения и гибели (генерационно-реком-бинационные) частиц некоторого вида: молекулы в случае химических реакций, электроны, фотоны, бактерии в биологических популяциях [6]. Таким образом, решается модельная задача, которая имеет широкий спектр применений.
Принципиальным моментом данного исследования является представление случайного характера изменения коэффициента исходного уравнения в виде немарковского дихотомического шума, имеющего в своей структуре функцию распределения Эрланга и произвольное время корреляции. Как известно, телеграфный сигнал к гауссовским процессам не относится, что требует применения специальных методов решения поставленной здесь задачи. Далее будет сделана попытка объяснения выбора фактора случайности именно в такой форме с точки зрения привлечения понятия «двойственности», как причины, следствием которой является пропорция золотого сечения.
Одними из важнейших физических понятий являются «энергия» и «мощность». Исходя из этого, здесь, в частности, будет вычислено среднеквадратичное значение, которое определяет интенсивность и служит мерой средней мощности, несомой выборочной функцией исследуемого случайного процесса.
Цель состоит в том, чтобы получить замкнутые уравнения для моментов, решения которых будут иметь стационарный или нестационарный режим в зависимости от того, связаны или нет параметры нашей задачи пропорцией золотого сечения. В результате мы определим класс случайных процессов, встречающихся в прикладных исследованиях и содержащих указанную пропорцию.
2. Исходная модель стохастического процесса
Рассмотрим макроскопическую систему с динамикой развития согласно уравнению
■^Щ) = у 0 + а, N(0) = 0.
Для конкретности будем придерживаться обычной интерпретации этого уравнения. Согласно ей величина N(0 соответствует случайной численности заселённости некоторого состояния, у - параметр роста, т.е. разность между скоростями генерирования и рекомбинации частиц произвольной природы, а - интенсивность увеличения их числа за счет внешнего источника, иммиграция. Внешняя среда воздействует на систему через параметр у, который становится случайной функцией времени. Представим у ({) в виде двух слагаемых, т.е. у (0 = И + а1( Г), где И соответствует среднему состоянию параметра роста, 1( 0 - дихотомический шум, а1( {) описывает флуктуации у(t) относительно И с интенсивностью а. Очевидно, что если средняя скорость рекомбинации равна средней скорости генерирования - своеобразное динамическое равновесие когда параметр И = 0, изменение численности N( t) в детерминированном случае а = 0 происходит только за счёт иммиграции, т.е. параметра а.
Итак, приходим к уравнению
-^N(0 = -ИЩ^ + аЩ^Щ+а, (1)
где И = ¡л — X, л - интенсивность гибели, X - интенсивность рождаемости. Принимается л > Х,а > 0 .
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы определить безусловные плотности вероятности парного процесса (N(^1^)) и вычислить при их помощи второй момент N2(t).
3. Уравнения Колмогорова для безусловных плотностей вероятности парного процесса
1^)) и следующий из них второй момент №( ^) в марковском варианте 1(1)
Как известно, если I (t) является марковским процессом, эволюция которого описывается уравнениями для плотностей вероятности Q± (С) = Q(I(t) = }Е ± 1) вида ■й
, — (}+ (О = а20, - (0 - аг(2+ 00,
(2)
где а12 - средние частоты переходов между уровнями ,,±1", парный процесс t)) тоже марковский и его безусловные плотности вероятностей
Р±(х,0 = Р(Щ)е(х,х + dx); 1(^ = ± 1) подчиняются уравнениям [7, 8]
д д
— Р+(х, £) = - — {(а - (к- а)х)Р+(х, £)} - а1 Р+(х, £) + а2 Р_(х, £), дЬ дх
д д
— Р_(х, £) =--{(а - (к + а)х)Р_(х, £)} - а2Р_(х, £) + аЛР+(х, £) .
о£ ох
(3)
Структура системы (3) следующая. Процесс 10) флуктуирует независимо от N( {), поэтому изменение Р±(х, t) за время Аt обусловлено двумя отдельными причинами, которые в первом порядке по являются аддитивными. Таким образом, уравнения для Р±( х^) состоят из двух частей: первые слагаемые в правой части (3) описывают эволюцию N(t) при фиксированном значении I (t), а вторые и третьи отвечают за эволюцию I (0 согласно системе (2), с заменой Q± на Р±.
<1
Определим частные среднеквадратичные как
[м=/
х2 ■ Р±{х,Ь)йх. (4)
Следуя (4), умножим уравнения системы (3) на х и проинтегрируем результат в пределах [0,<ю). С учетом соотношений
, д д , х2—Р+ (х, О = —х2Р+ (х, г) - 2хР+ (х, О, дх ~ дх
, д д , х3—Р+ О, 0 = —х3Р+ О, 0 - ЗхР+ О,О дх - дх
получаем:
= 2ах+(£) — (2к — 2а + а^хДО + а2х2 (£),
(5)
В образах по Лапласу с параметром 5 и начальными условиями х2(0) = х2(0) = 0 из (5) находим
2а{з + (£) __2аа2
х:£0) = —77:7;— -х+О) +
Х_ (s);
/2(5)
— 2аа1 _ 2аО + Ь) _ (6) Х± ($) ^ ■ Х+ (х) Н----х_ (х) ,
/2М
где
d = а 2 + 2(И+а), /2( 5) = 52 + (а1 + а2 + 4И) 5 + 2а1( И + а) + + 2а2 (И — а) + 4(И2 — а2 ), Ь = а 1 + 2(И — а).
Интерес представляют не совместные вероятности для переменной состояния х и флуктуирующего параметра, а плотность вероятности только переменной состояния, т.е. Р(х, {). Очевидно, что
Р(х,0=Р+ (х,0 + Р—(х,0.
В этом случае, согласно (4) имеем:
х2^) = + х2(0 и из (6) находим
. 2а(з+^+2аа1 _, -
Х2(5) =-Ж- Х+(5) +
2а(Б+Ь)+2аа2_
(7)
+
/2 (5)
Далее необходимо вычислить первые моменты х+ (х).
4. Первые моменты х±(х) и условие их стационарности
Кроме того, что х+ (х) входят в выражение для х2(х) они представляют самостоятельный интерес, так как содержат пропорцию золотого сечения. Далее будет рассматриваться модель с симметричным телеграфным сигналом. Определив частные средние в виде
от
ЩГ(£) = J х - Р+ (х, €)йх-, ~х(р) — х^(£) + хТ(£) , о
из (3) находим:
_ _
— х+ (ь) — а ■ 0+ — (Л — а + аЛх+ВД + а2х_ (ь), I М
М _ _ _
— х_(£) = а ■ Q_ — (к + а + а2)х_(ь) + а1х+(£),
а2 а1 (8)
где Q+ = Q- = —■
а1 + а2 а1 + а2
При выводе (8), как и в случае системы (3), считалось, что
со от
Г й Г А. _
I — хР+(хД)йх - 0 , I — х2Р+(х, €)йх - О
] ах ] ах
о о
в силу быстрого убывания Р±(х^) при х = +да. В
образах по Лапласу с параметром 5 и начальными
условиями х7(0) = хТ(0) = 0 из (8) получаем
систему
(х + Ь)х7(5) — а2 • хТ(х) = а ■ s~1Q+ ,
—а1 ■ х+(х) + (х + с?)х_(х) = а ■ 5 1Q_ ,
(9)
где b = а1 + h — о; d = а2 + h + о.
Решение (9) при условии aj = а2 = а даёт частные
средние соответственно х (s):
_ a(s + 2 a + h.)
x(s) --^-,
s[s2 + 2{a + + a2(z2 + 1)]
где z = h-о'1. Стационарное значение первого момента существует, если по теореме Гурвица для многочленов второй степени 2(a + h) > 0, что всегда выполняется, и
z +2-z-1>0.
(10)
Когда а =2 1с, из (10) следует неравенство
г2 + г - 1 > 0. Положительный корень уравнения г2 + г — 1 = 0 есть г1 = 0,6180 - величина, обратная золотому сечению 1,6180. Если г = 0,62, то г2 + г — 1 > 0 -стационарный режим х есть. Если г = 0,6, то
г2 + г — 1 < 0 - стационарного режима х нет.
Таким образом, при условии И > 0,6180с полюса функции sx( s) расположены в левой части комплексной ^-плоскости, что позволяет найти стационарное значение первого момента:
_ - а(2а + К)
х = Нт 5 ■ ХСБ) — п „ п-—.
Пропорция золотого сечения содержится в знаменателе х .
5. Стационарное значение среднеквадратичного и условия его реализации с учётом выражений для частных средних )
После вычисления из системы (9) частных средних х± (х) и подстановки их в (7) промежуточные выкладки опускаем, находим замкнутое выражение для среднеквадратичного:
x2(s) =
а2 ■ [2s2 + 2(4a + 3h)s + 4ст2 ■ (z2 + 3 ^z + 2 ^ + 1)} ;[s2 + 2(a + 2h)s + 4ст2 (z2+^z- l)](s2 + 2(a + h)s + a2 [z2 + 2^z- l)]
Далее нас будут интересовать корни уравнений
52 + 2{а + 2К)в + 4ст2 {г2 + - 1) = 0,
з2 + 2{а + И^Б + а2 {г2 + - 1^ = 0 .
Очевидно, что стационарный режим среднеквадратичного реализуется, если эти корни имеют отрицательную действительную часть. По теореме Гурвица такой вариант существует при условиях а + 2И > 0 и а + И > 0, что всегда имеет место, и
9 а
z2 +-z- 1 > 0, а
1 а z +2-z - 1> 0. а
(11)
Пропорция золотого сечения следует из (11) при условии а = с. В этом случае имеем г2 + г — 1 > 0, г2 + 2г — 1 > 0. Первое неравенство выполняется, когда г > 0,6180. Положительный корень уравнения г2 + 2г — 1 = 0 есть г ~ 0,4142. Второе неравенство выполняется, когда г > 0,4142 и тем более при г > 0,6180. Таким образом, если а = с, стационарное значение х2({) существует при условии И > 0,6180с и имеет следующий вид:
-т . а2(г2 + 3г + 3)
х = Нш. 5 ' X _ .
а2(г2+г-1)-(г2 + 2г-1)
Пропорция золотого сечения содержится в знаменателе х2 .
6. Гипотеза двойственности и следующая из неё модель дихотомического шума
В данной статье, чтобы получить уравнение золотого сечения, принималось а = с или а = 2—1с. Эти допущения можно не делать, если изменить модель дихотомического шума.
Обратимся к связанной с золотым сечением концепции двойственности [9], понимая под этим присутствие в модели некоторой системы или процесса, состоящих из двух неразрывно связанных частей, которые взаимно определяют и дополняют друг друга. Поясним сказанное на примере цикла Карно [2]. Тепловые и холодильные машины можно считать двойственными, так как они переходят друг в друга при обращениях идеального цикла Карно. Максимальное значение коэффициента полезного действия холодильной и тепловой машины одновременно равно 0,6180. В нашем случае представление о двойственности определяется тем, что дихотомический шум имеет два состояния, т.е. ±1. Этого, однако, не достаточно и пришлось предполагать связь между параметрами а и с. Допустим, что два состояния остаются, но функция распределения времени жизни шума 1(t) в „ —1" задаётся согласно закону Эрланга первого порядка, а в ,,+1" остаётся экспоненциальное распределение, как для обычного марковского варианта. Корреляционная функция такого телеграфного сигнала осциллирует во
времени [10], и он, следовательно, относится к случайным процессам со скрытой периодичностью, т.е. состоит одновременно из двух частей - детерминированной и случайной. Известны и другие модели стохастических процессов, имеющих скрытую периодичность [11]. Гипотеза двойственности здесь выполняется.
Таким образом, далее мы принимаем, что = 1— ехр(—аО, = 1— ехр(—а^ — аt • ехр(—а^. С этими функциями распределения дихотомический шум относится к немарковским случайным процессам. Одним из приёмов их исследований является метод псевдофаз [12], при помощи которого в следующем разделе будут получены уравнения для плотностей вероятности парного процесса (N(0, ДО).
7. Кинетические уравнения для плотности вероятности парного процесса (N(1), 1(1)), имеющего в своей структуре дихотомический шум с функцией распределения Эрланга. Метод псевдофаз
Суть метода псевдофаз состоит в том, что функцию распределения можно считать распре-
делением суммы Е_(0 независимых случайных величин, каждая из которых распределена экспоненциально с параметром а. В нашей модели случайное время жизни процесса 1^) в состоянии „—1" складывается из двух времён (фаз). Из „+1" процесс переходит сначала в „—1,1" , затем в „—1,2" и после этого обратно в „+1" . Далее всё повторяется. Таким образом, состояние „—1" определяется как сумма двух состояний - вторые индексы у „—1". Соответственно для плотностей вероятности Q+(t) = Q(I(t) =1),
Q-U(t) = Q(I(t) = —1,1), Q-l,2(t) = Q(I(t) = —1,2)
имеем аналог системы (2): й
—д+с^-ад+со + ад-^со,
-а<2_1Д(0+а<2+(0, (13)
зг 0-1,2 (0 = -«0-1,2 + «0-1,1(0-
аЬ ' '
Теперь процесс 1(является марковским, поэтому структура системы (3) сохраняется и мы получаем следующие кинетические уравнения:
(Ъ — а)х)Р+ (х, 0} — аР+ (х, С) + аР_12 (х, £),
д д
д д г
= - (Л + а)х)Р.1Л(х,0} - аР_1Д(х,0 + аР+(х,0,
д д ,
= - —{(а - (Л + а)х)Р_1>2(х,0} - аР_1>2(*,0 + аР_1Д(х,0-
(14)
По смыслу метода псевдофаз плотность вероятности только переменной состояния х имеет вид
Р (х, t) = Р+ (х,t) + Р—1 Дх ,0 + Р—1 2(х,t). что позволяет определить моменты как суммы частных средних:
х^СО = х2(0 + *2_1Д(0 + ,
х(£) = х+(£) + х_1Д(£) + х_12(0 .
Собственно среднее и среднеквадратичное вычисляются из системы (14) по той же методике, что и в марковском варианте задачи. Подробно останавливаться на выводе и решении уравнений для ЩГ(0, х_1Д(0, х_12(0, и х+(С), х2_1Д(С), х2_12(С) мы здесь не будем, а перейдём сразу к конечным результатам - условиям существования стационарных моментов и
х2(£) по признакам Гурвица.
Отметим, что в случае функций распределения (12) процесс 1(^) не будет симметричным телеграфным сигналом. В стационарном режиме из (13) следует
0+=-; 0-= 0-1,1 + 0-1,2 = з ,
т.е. Q- > Q+
до.
и чётко проявляется двойственность
8. Стационарность моментов л(0 и л2( Г) парного процесса (N(0, 1(1)), имеющего в своей структуре дихотомический шум с распределением Эрланга
Уравнения для среднего и среднеквадратичного, которые следуют из системы (14), достаточно просто решаются при помощи преобразования Лапласа с параметром 5.
В случае начальных условий
х+(0) = ж_1Д(0) = ж_1,2(0) = О находим образ первого момента:
=
где
а(3х2 + (9а + 6Н + 2ст> + 30 + 2а)(И + а) + а(2к + За) - а2 + За2) Зх(53 + а^2 + а2х + а3)
а1 — За + Зк + а\ а2 — {К + а + и) [3(к + а) — а];
а3 — + а)3 + ст3
1г + а
■- 1
— а"
Далее, как и в марковской модели, нас будут интересовать корни многочлена, стоящего в знаменателе . По теореме Гурвица эти корни имеют отрицательную действительную часть, если
a1 = 3(а + И) + а > 0, a1a2 — а3 = 8(И + а + а) (а + И)2 + а3 > 0 , что всегда выполняется, и
а 3 = (И + а)3 + а3( г2 — г — 1) — а3 > 0, (15)
что дает г2 — г — 1 = —0,04 и знак а 3 зависит от величины аа х. В числах имеем:
а3~г3 +г2 - 2-1- {-) = 4,056 - .
свою очередь, неравенство
где г = (И + а)а х. В (15) выполняется, когда г2 — г — 1 = 0, так как (И + а )3> а3, что и даёт уравнение золотого сечения с решением г = 1, 6180. Никаких условий, связывающих при этом параметры а, а, И, здесь нет. В марковской модели такое условие было: а = 2—1 а. «Отстроимся» от г = 1,6180 к значению г = 1,62. В этом случае г2 — г — 1 > 0 и, так как (И + а)3 — а3 > 0, получаем а3 > 0 - стационарный режим есть. При других значениях г > 1,6180 будет г2 — г — 1 > 0, и, следовательно, а3 > 0. Реализация нестационарного режима здесь невозможна.
Теперь «отсроимся» к значению г = 1,6,
Так как ^/4,056 ~ 1,5948, то а3 > 0, если аа-1 < 1,5948.
Например, с И а-1 = 0,1 получаем аа-1 = = 1,6 — И а-1 = 1,5, соответственно (аа-1)3 = 3,375. В свою очередь, г3 + г2 — г — 1 = 4,056 и а3 > 0 , как это и должно быть. Нестационарный режим здесь возможен, если аа х > 1,5948. Допустим, что Иа-1 = 0,005. В этом случае аа— = 1,595 и соответственно (аа~х)3 = 4, 0577, но г3 + г2 — г — 1= = 4,056 - мы получаем а 3< 0, т.е. нестационарный режим. Когда г < 1, имеем г3 + г2 — г — 1 < 0 и а3< 0 при любых значениях аа— и Иа-1, соответствующих, конечно, условию (И + а)а-1 < 1.
Таким образом, только стационарность первого момента реализуется, если (И + а)а-1 > 1,6180.
Рассмотрим стационарность среднеквадратичного х2 {€) с начальными условиями 4(0) =^_1Д(0) =^_1>2(0).
Имеем в образах по Лапласу:
Зх^3 + + а25 + а3)(53 + Ь^ + Ь25 + Ь3) '
где ¥1(5),...,ф3 (5) полиномы второй степени по 5, не влияют, поэтому здесь приводятся только некоторые на стационарность среднеквадратичного которые из них:
^(5) = 52 + [3а + 4(И + а)]5 + 2[2(И + а) + а] •(И + а + а) +а2, Ф3 (5) = 52 + (3а + 2И)5 — (а - И - а)(И + 2а + а) + а2. Для нас интерес представляют коэффициенты Ьх, Ь2 , Ь3:
Ь1 = 3(2И + а) + 2а , Ь 2 = (2И + а)(6И + 3а + 4а)
4а2
Ь3 = (2 к + а)3 + 2а3
2К + а 2---4
— а
Как обычно, корни уравнения 53 + Ь5 + Ь28 + Ь3 = |г3 + 2(г2 — 2г — 4) — |ст3 > 0, (16) + Ь 3 = 0 имеют отрицательную действительную
Ь 3 = 8(2И + а )2 • (2И +
часть, если Ь1 > 0, Ь 1Ь2
+ а + 2а) + а3 > 0,что всегда выполняется,
где г = (2И + а)а-1. Неравенство (16) имеет место при условии г2 - 2г - 4 = 0 - получаем уравнение, положительным корнем которого
и
является удвоенное значение золотой пропорции, т.е. г ~ 3,2360 = 2-1,6180. Очевидно, что при г > 2-1,6180 будет г2 — 2г — 4 > 0 и, следовательно, Ь 3 > 0. Реализация нестационарного режима здесь невозможна.
«Отстроимся» к г = 3,2. Теперь 2-( г2 — 2г — 4) = —0,32 и знак Ь3 зависит от величины аа— 1 В числах имеем:
Ь3~г3 + 2-(г2-2г-4)- (-) = /а\3
= 32,448 - .
Так как ^/32,448 = 3,1895, то Ь3 > 0, если аа—1< 3,1895. Например, с 2Иа— 1 = 0,15 получаем аа— 1 = 3,05 и (аа—1)ъ = 28,372, что дает Ь 3 > 0 - стационарный режим есть. Рассмотрим возможность реализации нестационарного режима с г = 3,2 и аа— 1 > 3,1895. Допустим, что 2 Иа— 1 = 0,005. В этом случае аа— 1 = 3,195 и (аа—1)3 = 32,615. Так как 32,615 >32,448, то приходим к Ь3 < 0 - есть нестационарный режим.
Таким образом, только стационарность среднеквадратичного имеет место, если 2(И + а) а— 1 > 2-1,6180.
Условие отрицательности действительных частей корней уравнения 53 + а^52 + а2$ + а3= = 0 было получено ранее, когда рассматривался первый момент х(5).
9. Пропорция золотого сечения в стационарных моментах парного процесса (Щ( *), 1( *)) с параметром к = 0
Полученные в предыдущем разделе выражения для среднего и среднеквадратичного упрощаются в случае И = 0. Менее громоздкие вычисления позволяют найти пропорцию золотого сечения в моментах более высокого порядка, чем второй, что интересно с точки зрения установления общих законов гармонии процесса
(N(0,1(0).
Образ по Лапласу первого момента уже был вычислен и с И = 0 легко получаем х:
а(9г2 + Зг-1)
х = Нтя ■ х(<>) =
х->0
За(г2-г- 1)
(17)
где г = аа— 1 >1,6180.
Аналогично находим стационарное значение среднеквадратичного с И = 0:
а2(27г4 + 27г3 - г2 + 18г + 12)
х2 — Нт б ■ х2(б) —■ - . , - „
х^о ^ За2(г2 — г — 1)(г2 — 2г — 4)
(18)
где г = аа—1 > 2-1,6180.
Сравнивая выражения (17) и (18), можно заметить правило записи знаменателей. Число квадратных трёхчленов в круглых скобках определяется порядком момента. Каждый трёхчлен состоит из следующих слагаемых: первым всегда будет г2 с коэффициентом единица, второе есть г с коэффициентом, равным порядку момента, свободный член - квадрат этого порядка. Очерёдность смены знаков всегда одна: плюс, минус, минус. Следуя указанному мнемоническому правилу, запишем знаменатель х3:
(г2 — г — 1)(г2 — 2г — 4)(г2 — 3 г — 9). (19) Проверим этот результат непосредственным вы-
Умножим уравнения системы (14) на х3 и проинтегрируем по х в пределах [0,да).
В стационарном режиме после этих операций получаем:
(а — Зег)х3+1 — ах3_12 = Зах2+1;
(а + Зсг)х3
-1,1
^х3— 3ах2.
■1,1 :
(20)
числением
— а(27г6 + 54г5 + 109г4 + 118г3 + 191г2 + 42г
* = а3(г2 - г - 1)(г2 - 2г- 4)(г2 - Зг-9)
(а + 3<т)х3_12 — ах3_1Д = Зах2_12, где частные среднеквадратичные были определены ранее.
Собственно третий момент есть
х3 = х3+1 + х3_1Д + х3_1|2 , (21) и после решения системы (20) получаем:
(22)
Выражение (22) справедливо, конечно, при ус-
Моменты х4 , х5 и т.д. не определялись, но
ловии, что аа 1 > 3-1,6180 и его знаменатель из алгоритма вычисления х, х2 , совпадает с предполагаемой формой (19). знаменатель хп будет иметь вид
п
(г2 - г - 1) ■ ... ■ (г2 -пг- п2) = ^[(>2 -кг- к2),
к=±
следует, что
и, следовательно, в точке г = п • 1,6180 происходит перестройка нестационарных режимов изменения хп в стационарные.
Таким образом, моменты любого порядка связаны с пропорцией золотого сечения, в чём и проявляется гармоничность процесса (N(0, ДО). Примечательно, что эта пропорция встречается в различных разделах естественных наук и статистическая физика не является исключением.
Выводы
В рамках модельного стохастического дифференциального уравнения со случайным параметром показано, что через золотое сечение естественные системы приобретают стационарный режим существования, функциональную устойчивость.
Необходимым условием этого эффекта является концепция двойственности, согласно которой параметрические флуктуации, моделирующие воздействие внешней среды, представляются в виде дихотомического шума, имеющего в своей структуре две функции распределения: Эрланга первого порядка и типичной для марковских процессов показательно-степенной.
УДК 579.23:53.086:615.281
Методами атомно-силовой микроскопии (АСМ) показано изменение клеточной стенки Е.соИ под воздействием Цефазоли-на-АКОС. С использованием режимов прерывистого и непрерывного контакта установлено, что повреждающее действие антибиотика Цефазолин-АКОС отмечено через 30 мин экспозиции. Физические показатели позволяют получать более полную информацию о воздействии антибиотика на микроорганизмы.
Ключевые слова: АСМ, полуконтактный режим, контактный режим, микроорганизмы, антибактериальные препараты, шероховатость, сила адгезии, распределение латеральных характеристик, чувствительность.
Список литературы
1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике : в 9 т. ; пер. с англ. Т. 9. Квантовая механика II. М. : Мир, 1967. 260 с.
2. Попков В. В., Шипицин Е. В. Золотое сечение в цикле Карно // УФН. 2000. Т. 170. С. 1253-1255.
3. ВладимировЮ. С. Метафизика. М. : Бином, 2002. 534 с.
4. Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. М. : Наука, 1982. 606 с.
5. Ахманов С. Ф., Дьяков Ю. Е. Введение в статистическую физику и оптику. М. : Наука, 1981. 640 с.
6. Гардинер С., Криспин В. Стохастические методы в естественных науках. М. : Мир, 1986. 526 с.
7. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный приём сигналов. М. : Сов. радио, 1975. 704 с.
8. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М. : Мир, 1987. 397 с.
9. Попков В. В. Двойственность // Тектологический альманах. 2000. № 1. С. 4-67.
10. Сироткин О. Л. Особенности моментных функций осциллятора с параметрической нестабильностью, обусловленной дихотомическим шумом с эрлан-говскими функциями распределения // Изв. вузов. Радиофизика. 2009. Т. 52, № 11. С. 921-932.
11. Болотин В. В., Москвин В. Г. О параметрических резонансах в стохастических системах // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. № 4. С. 88-94.
12. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М. : Мир, 1971. 536 с.
Application of Atomic Force Microscopy for Detection of Influence of Antibiotic Upon the Microbial Cell (on the Model of E.coli and I Generation Cephalosporins)
P. S. Erokhin, D. V. Utkin, O. S. Kuznetsov, N. P. Konnov, N. A. Osina
Alteration of E.coli cell wall caused by Cefazolin-AKOS was observed atomic force microscopy (AFM).Using semi-contact and contact modes the damaging effect of the Cefazolin-AKOS antibiotic was shown after a 30 minutes exposure. The assessment of physical
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ АТОМНО-СИЛОВОЙ МИКРОСКОПИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ АНТИБАКТЕРИАЛЬНЫХ ПРЕПАРАТОВ НА МИКРОБНУЮ КЛЕТКУ (НА ПРИМЕРЕ E.COLI И ЦЕФАЛОСПОРИНОВ I ПОКОЛЕНИЯ)
П. С. Ерохин, Д. В. Уткин, О. С. Кузнецов, Н. П. Коннов, Н. А. Осина
Российский научно-исследовательский противочумный институт «Микроб», Саратов E-mail: [email protected]
