Распределение вероятностей времени достижения заданного уровня энергетическим функционалом для дихотомического случайного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MS С 60G50

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВРЕМЕНИ ДОСТИЖЕНИЯ

ЗАДАННОГО УРОВНЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ФУНКЦИОНАЛОМ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

М.И. Абрамова, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе рассматривается задача о распределении вероятностей Q(t, E) для времени достижения f(E) заданного vpoвня E энергетическим функционалом e(t; £) в случае, когда «интенсивность» £(t) = de(t; £)/dt является дихотомическим случайным процессом. Для плотности q(t,E) = dQ(x,t)/dt находится интегральное представление, выражаемое в терминах специальных функций.

Ключевые слова: время достижения, дихотомический процесс, марковский процесс, плотность распределения, энергетический функционал.

1. Дихотомический случайный процесс. Математическая модель процесса накопления энергии

Определение 1. Дихотомическим процессом (£(t); t > 0) с неотрицательными значениями будем называть марковский, стационарный случайный процесс, траектории £(t) которого принимают, с вероятностью единица, два значения {0,a}, a > 0.

Рассмотрим стандартный дихотомический процесс (Z(t); t £ R), траектории которого принимают значения {0,1} и вероятность каждого из них равна 1/2. Такой процесс называется телеграфным [1]. Тогда траектории £(t) = a((t), а функционал e(t; £) от случайных траекторий ((t), представляющий математическую модель процесса накопления энергии, определяется формулой

t

l(t; aC) = a/«s)i1-1)

0

и вероятностью входа в процесс [2] Рг{((0) = j}, j £ {0,1} Так как процесс (£(t); t > 0) - марковский, то оп полностью определяется соответствующим ему уравнением Колмогорова для условных вероятностей перехода

Pij(t) = Pr{C(t) = j|C(s) = i} , i,j £ {0,1}

(1.2)

Эти вероятности представляются 2 х 2-матрицей, зависящей от параметра Следовательно, это уравнение является дифференциальным уравнением дня матриц-фупкции,

^ргз(г) = и(?р-р)гз(г), и>о, (1.3)

где Р - стохастическая 0,1-матрнца,

Р = (11)- (1-4)

Так как, по определению вероятностей р^ (¿), имеет место

Рг3 (0) = 5ц , (1.5)

то, на основании (1.4), получаем

1 /1 + 1 Р-2иг\

рф) = (ехР(/4[У - ?])) = - _ , , (1.6)

i 2 V 1 - e-2vt 1 + e-1 0'

1

1 \0 1

Из формулы (1.6), используя условие стационарности процесса <Z(t); t E М), получаем одноточечное распределение вероятностей pi(t) = P{Z(t) = i}, i = 0,1 процесса < C(t); t E Mb

Pi(t) = lim pij(t - s) = - . (1.7)

2

Телеграфный процесс <Z(t); t > 0) является частным случаем т.н. однородной марковской цепи с непрерывным временем. Точки изменения траекторий таких случайных процессов образуют пуассоновский поток |3|. В рассматриваемом случае, этот пуассо-новский поток имеет плотность и.

Поставим задачу о вычислении распределения вероятностей дня единственного с вероятностью единица случайного момента времени f(E) достижения заданного уровня E функционалом e(t; £), который рассматривается как случайный процесс на М+ с траекториями (1.1). Это время определяется интегралом

т(Е) = у 9 I Е - ^ | ¿г

О \ 0

где 9(х) = {1,х > 0; 0,х < 0} - функция Хевисайда.

Решение задачи основывается па методе Каца-Фейпмапа-Дыпкипа вычисления математических ожиданий, связанных с однородными аддитивными функционалами от траекторий марковских процессов |4|, |5|, Возможность применения этого метода, дня решения поставленной задачи, вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1. Двухкомпонентный случайный процесс (( ((£),£(Ь; | )); Ь > 0) является марковским.

□ Действительно, для любого фиксированного момента Ь0 условное распределение вероятностей Рг{ ((¿) = г, С (¿; | ) < х | С (з),£ (в; | ); 5 < ¿0} значений двухкомпонентного процесса (( С(¿), £(¿; | )); Ь > 0) при Ь > ¿0 при условии фиксации его траектории до момента ¿0, совпадает с условной вероятностью Рг{ С(¿) = г, £ (¿; | ) < х | С(¿0) = г0, £(¿0; | ) = е0}. Это следует, во-первых, из того, что марковским является процесс (С(¿); Ь € М), и, следовательно, он обладает указанным свойством,

Рг{С(¿) = г | С(5),5 < ¿0} = Рг{С(¿) = г | с(¿0) = *0} .

Во-вторых, ввиду формулы связи значений процесса (£(¿; | ); Ь > 0) при Ь > ¿0 с его значениями до момента Ь = Ь0, выполняется

г

£(Ь;|) = «У С (в) ^ + С0, С С) = £0.

го

Тогда, па основании этих форму.::, имеем

Рг{ С(Ь) = г,С(Ь; |) < х | ( (в; |); в < М =

Рг<( С (Ь) = г,« J С (в; I) ^ + £0 < х | С (в; |); в < ^

го

= Рг <( ((Ь) = г, « У С (в) + £0 < х | С (£0) = ¿0, £I) = £0 }> =

го

Рг { С(Ь) = г,« У с (в) ^ + £ I) < х | с = г0, £ С) = £0

го

= Рг {( (Ь) = г, с(Ь; |) < х | ( = ¿0,с |) = £0} • ■

Марковость процесса (( ((Ь), с(Ь; | )); Ь > 0) даёт возможность построить эволюционное уравнение для его частного распределения первого порядка

Д(х,Ь) = Рг{£(Ь; |) <х,( (Ь) = г} • (1.8)

В свою очередь, определив функции РДх,Ь), г = 0,1, посредством решения системы уравнений можно найти распределение вероятностей для случайной величины С(Е), так как, очевидно, что

Е) = Рг{С(Е) < Ь} = Рг{£(Ь; |) > Е} = 1 - ^ Е) ,

¿€{0,1}

и, следовательно,

В ведём вероятности

л

¿€{0,1}

дг(х,г) = Рг{ё(г; |) > х,с(г) = г}.

(1.9)

(1.10)

Эти вероятности определены при всех х € К+. Так как ё(0; £) = 0 с вероятностью единица, то, ввиду (1.7), Qг(0,г) = рДг) = 1/2 при г € К+. Принимая во внимание то, что функция Q¿(x,г), согласно определению (1.10), является невозрастающей, получим

Qг(x,г)

± - Рг{ё(*; I) < ж, <(*) = г} = ± - Рг(х, г) , г = 0,1 Q(г, х)=£ Qг(х, г) = 1 - ^ рг(х, г).

Следовательно,

¿=0,1

3(г,х)

¿=0,1

¿г

(1.11) (1-12)

(1.13)

¿=0,1

Вывод уравнения для функции Qi(x,г) основан на стандартном рассуждении, применимом к процессам, построенным на основе пуассоновского потока [6]. Пусть Гп -событие, состоящее в том, что на интервале [г, г + А) находится ровно п точек изменения процесса (£(г); г € К). Тогда, так как эти точки составляют пуассоновский поток, то

п!

По формуле полной вероятности, па основе исчерпывающей совокупности несовместимых событий Гга, имеем разложение

Рг{ё(г + А; £) > х, ё (г + А) = з} = в-^АРг{ё (г; £) > х, с (г) = з | Г0} +

+Рг{ё (г + А; ё) > х, ё(г + А) = з , Г1} + о(^А), (1.14)

где при записи первого слагаемого мы воспользовались тождеством

Рг{ё (г + А; ё) > х, ё (г + А) = з, Г0} = Рг{ё(г + А; £) > х, ё (г + А) = з |Г0}Рг{Г0} .

Заметим, что

Рг{ё (г; ё) > х, ё (г) = з | Г0} = Qj (х - аз А, г).

(1.15)

Рассмотрим второе слагаемое. Введём случайную величину ё € [г,г + А), значением которой является та единственная точка изменения процесса (£(в); 5 € К), которая находится на полуинтервале [г, г + А) при реализации события Г^ Пусть N € N. Согласно

формуле полной вероятности относительно полного набора попарно несовместимых случайных событий (s G [t + (k - 1)A/N, t + kA/N ), Г1} k = ) таких, что имеет место

N

Г1 = U(s G [t + (k - 1)A/N,t + kA/N), Г1} , k=i

справедливо разложение

N

Pr(S (t + A; S) > x, S (t + A) = j, Г1} = J] Pr(S G [t + (k - 1)A/N, t + kA/N ), Tjx

k=i

xPr(S (t + A; S) > x,S(t + A) = j|S G [t + (k - 1)A/N,t + kA/N), Г1} .

Переходя в этом равенстве к пределу N ^ оо, получаем

Pr(S(t + A; S) > x, С (t + A) = j, Г1} =

i+A

= y Pr(S(t + A; S) > x,S(t + A) = j|s = s, r1}dPr(S < s, Г1} . (1.16)

i

Так как условная плотность распределения единственной точки нуассоповского потока, находящейся в (t,t + A], имеет вид 1/A [7] и Рг(Г1} = vAe-vA, то

s — t

Pr{§ < s,ri} = Pr{§ < s|ri}Pr{ri} = -Д- (vAe-"A) . Тогда, из (1.16) следует

Pr(S(t + A; S) > x, С (t + A) = j, Г1} =

i+A

= ve-vA ^ Pr(S(t + A; S) > x, S (t + A) = j |s = s, rjds . (1.17)

i

Условная вероятность в подынтегральном выражении, ввиду того, что S (t) = 1 - j при С (t + A) = jH

S (t + A; f) = s (t; S) + ai * 'j = 0 = S(t; |) + a[j A + (1 - 2j)(S - t)] ,

- (s -1) ,j = 1;

преобразуется следующим образом

Pr(S(t + A; S) > x, С (t + A) = j|S = s, Г1} = = Pr(S(t; S) > x - a[jA + (1 - 2j)(s - t)],( (t) = 1 - j|S = s, Г1} =

1 Понятие случайной величины s имеет смысл только при реализации события Г1

= Рг{5(£; |) > х - а[,Д + (1 - 2,)(з - £)], ((£) = 1 - ,} =

= ^(х - а[7Д + (1 - 2,)(в - *)],в) (1.18)

Мы учли, что, при 5 > £ с вероятностью единица, условная вероятность становится безусловной. Таким образом, согласно (1.14),(1.15),(1.17),(1.18), вероятность О,(х,£+Д) с точностью до членов о(^Д) может быть представлена в виде

О,(х,£ + Д) = (х - а,Д,£) +

А

+ ив-иА J (х - а[7Д + (1 - 2,>],* + з)^ + о(^Д). (1.19)

о

Заметим, что вероятность О, (х, £), в силу своего определения, является невозрастаю-щей функцией от х, непрерывной слева (Р,(х,£) - непрерывна справа). Следовательно, эта функция наверняка является почти всюду дифференцируемой по х. Представим равенство (1.19) в виде

Д-1 [О,(х,£ + Д) - О,(х, £)] = Д-1 [О,(х - а,Д,£) - О,(х,£)] +

А

+Д-1(е-^А - 1) О,(х - а,Д, £) + (х - а,Д + (1 - 2,+ + о(1)

о

и, в точках дифференцируемости по х функции О, (х, £), перейдём к пределу Д — 0. Так как

А

Аш Д-^ О1-,(х - а,Д + (1 - 2,)з], з + = О1-,-(х, £), о

х

уравнение для вероятности О,(х, £), справедливое для почти всех х € М,

О,(х,£) = (х,£) + V [О1-,(х,£) - О,(х,£)] , , € {0,1}, (1.20)

где точкой обозначена производная по штрихом - производная по х. Следовательно, вероятности О,(х,£), , = 0,1 являются его слабым решением.

Для того чтобы вычислить вероятности О,(х,£), на основе уравнения (1.20), необходимо найти его решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, которые выделяют эти вероятности из всей совокупности решений. Так как мы будем решать уравнение (1.19) на полуоси М+ по переменной х, то в качестве таких условий выберем граничные значения вероятностей при х = 0 и их начальные значения при £ = 0. Во-первых, согласно (1.10),

О,(0,£) = 1/2 , г = 0,1 , £ € М+ . (1.21)

Во-вторых, так как £(0; £) = 0, то

Щж, 0) = Рг{£(0; £) > ж,<(0) = г} = 0 , г = 0,1, ж> 0 . (1.22)

Таким образом, мы убеждаемся, что справедлива

Теорема 2. Частное распределение вероятностей первого порядка Д(ж, ¿), г € {0,1}, ж € М+ случайного процесса ((((¿),£(¿;£ )); Ь > 0) определяется вероятностями так, что Д(ж,Ь) = 1/2 — ^^(ж,Ь), г € {0,1} ж € где функции = Рг{£ (¿; £ ) >

ж, £(¿) = г} г = 0,1 удовлетворяют уравнению (1.20) и условиям (1.21), (1.22).

2. Решение эволюционного уравнения

Уравнение (1.20) является двухкомнонентным, т.е. представляет систему двух уравнений при значениях 3 = 0,1. С целью решения задачи Коши для уравнения (1.20) с начальными условиями (1.21), введём Лаплас-образы функций Qj•(ж, ¿), 3 € {0,1} по переменной ж,

те

Qj (М) = У e-kxQj (ж,^ж, з € {0,1} , Ие к> 0 . (2.1)

о

Так как, согласно (1.21),

те

У е-кх^ (ж,^ж = —1/2 + kQj (к,Ь), 3 € {0,1} , И,е к> 0 , (2.2)

о

то из (1.20) следует

Qj (М) = —аз [к<?j(к,Ь) — 1/2] + V 1--(к,Ь) — Qj (к,Ь)] , 3 €{0,1} . (2.3)

Представим это уравнение в векторпо-матричпой форме

где матрица А имеет вид

Ч^иН—-О- (25>

Необходимое решение этого уравнения должно удовлетворять, согласно (1.21), нулевому начальному условию.

Матриц-функция и(Ь) = ехр(ЬА), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и(Ь) = Аи(Ь) и начальному уеловию и(0) = ( ^ | = 1, имеет вид

и(Ь) = ехр(—¿(V + ак/2))

+ "Л

ш(к) \ V —ак/2у

(2.6)

где

и(к) = (V2 + (ак/2)2)1/2 .

Это легко устанавливается дифференцированием по £ с учётом тождества

(2.7)

ак/2 V \ /ак/2 V

V -ак/2у у V -ак/2

^2(к)1.

Решение двухкомпопептпого дифференциального уравнения (2.4), удовлетворяющее нулевому начальному условию, представляется в форме

0 о

01

(М)

^ Ге^ - Л Л"1 '0

(М).

(2.8)

Легко проверить, что А 1 ' 0 ^ = (ак) 1

-(ак) 1 ( 1 ), поэтому, на основании (2.8) и (2.6),

О о <31

(М) = -

(2к)-1(ВД - 1)

(М)

= (2к)

-1

V

1 -1 _

еЬ ш(к)£ + (V + ак/2) еЬ ш(к)£ + (V - ак/2)

еЬ ш(к)£ ш(к)

эь ш(к)£ ш(к)

(2.9)

В результате, находим, что

«(£, к) = Оо(М) + О 1(М) = к-1 ( 1 - в-^+^/2)

V

с1ю;(к)£ Н--—вЬи^кН

ш(к)

(2.10)

С другой стороны, из определения (2.1), следует, что к) = / х)^х , Яе к >

о

0

зовапия Лапласа, имеем

1

гоо+й

О'!/..г) — /

1

гоо+й

= _ / ( 1 _

2тгг У -

с1ю;(к)£ Н--—вЬи^кН

ш(к)

——¿к к

(2.11)

при сколь угодно малом 5 > 0. В подынтегральном выражении нет точек ветвления по к, так как эта функция чётна по ш(к), т.е. зависит от ш2(к) = V2 + (ак/2)2. Ввиду интегрального представления 0-функции Хевисайда

гоо+й 1 Г

2Й У = -

1

1

формула (2.10) записывается в виде

гоо+й

О(£,х) = 0(х) -

2пг

ехр [к (х - а£/2)]

еЬ ш(к)£

V

ш(к)

эь ш(к)£

т ■ <2-12>

Таким образом, доказана

Теорема 3. Вероятность О(£,х) = Рг{е (£; £) > х} достижения за. время £ уровня х функционалом 5 (£; £) от траекторий дихотомического процесса (£(£); £ € М) определяется формулой (2.11), где ш(к) = (V2 + (ак/2)2)1/2. Замечание 1. Согласно (2.9), имеет место

01(М) = (2к)-1 ( 1 - е-(^/2)

еЬ ш(к)£ + (V - ак/2)

эь ш(к)£ ш(к)

и, ПОЭТОМУ,

1 е-^ = 2 "

гоо+й

е

еЬ ш(к)£ + (V - ак/2)

эь ш(к)£ ш(к)

^к т

(2.13)

3. Вычисление плотности распределения

Найдём, используя формулу (2.12), интегральное представление для плотности распределения Е), Эта плотность, согласно веденным обозначениям, определяется производной

я№) = = ^ д). (3.1)

з

Дня получения искомого интегрального представления, изменим выражение в правой части формулы (3.1) так, чтобы она содержала только вероятность О1(х,£). Это достигается сложением обоих уравнений (1.20) при , = 0,1,

01(х,£) + Оо(х,£) = -аО1(х,£) , д

д(1,х) = -а—д^х^). (3.2)

Подставляя в правую часть этого равенства интегральное представление (2.13) при х=Е

гоо+й

аЦ Е) = а— — [ ек{Е-1а/'2) ; 4тг гдЕ У

Так как интеграл сходится условно, то в этой формуле, после вычисления нроизвод-Е

обобщёппая функция.

еЬ ш(к)£ + (V - ак/2)

эь ш(к)£ ш(к)

^к Т

(3.3)

Таким образом, доказана

Лемма 1. Плотность распределения q(t, E) случайного времени достижения уровня E функционалом ё(t; £ ), от траекторий дихотомического процесса (£(t); t G М) определяется формулой (3.3).

Очевидно, что время E/a является минимальным временем, за которое может быть достигнут уровень E функционалом ё(t; £ ), Для этого нужно, чтобы в момент времени t = 0 имело место ((0) = 1 и у траекторий процесса ( ((t); t G М) на отрезке [0,E/a] не имелось точек изменения. Вероятность такого события равна [exp(-vE/a)]/2, Поэтому, вероятность Q(t, E) должна содержать слагаемое 0(t — E/a)[exp(-vE/a)]/2, Тогда, плотность q(t, E) распределения случайного времени ё(E) содержит 6 - функционную особенность 6(t — E/a)[exp(—vE/a)]/2. Наличие этой особенности осложняет вычисление плотности q(t,E), так как, в этом случае, интеграл, который получается при формальном выполнении операции дифференцирования в формуле (3.3), не существует,

t

ким образом, при вычислении этого интеграла, возникает задача выделения указанной 6

Введём в рассмотрение модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков

те

ад = Е7^)2и) ' (;3-5)

п=0 ^ ''

те 1 / г \2п+1

= ■ №6) п=0 ^ '

Очевидно, что 10(г) = ^(г), что следует непосредственно из рядов (3.5) и (3.6), определяющих эти функции. Кроме того, функции 10(г) и II (г) связаны тождеством [8]

II(г) + г-111(г) = Ь(г) , г € С . (3.7)

Лемма 2. Обобщённая функция

Я*(и,з) = (ф) + 6{з)е~8 + ^Цм^))) (3-8)

по в € К над основным пространством ограниченных непрерывных функций на К (¿(в) - обобщённая функция Дирака) является плотностью распределения вероятностей при любом значении параметра и > 0.

□ Функции 10(г), ^(^положительны при г > 0, то

-2е~и/2 > 0

при и, в > 0, Коэффицнент е-и/2 > 0 при ¿(в) также положителен. Следовательно, обобщённая функция д*(и,в) неотрицательна (неотрицательным является интеграл от

произведения её па любую неотрицательную ограниченную непрерывную функцию). Проверим, что она нормирована на единицу. Проинтегрируем функцию д*(и,з) по з от 0 до то. Используя (3.5), имеем

оо

2п

о

V—!— (~уг 1 "~8-п

^ (/г!)2 42

п=о ^ '

п п=о

1 / и\п

п! \2

3«/2

Точно также получаем

оо _

I У 23 п=о

п!(п + 1)!

и /из

2^ V V 2

2п+1

£

п=о

1 / и\п+1

п\(п+ 1)! \2/

о о

/ = ^

п=о

1 / и\п+1

(?г + 1)! 427

еи/2 _ 1.

Интегрируя плотность (3.8) от 0 до то, с использованием полученных формул, имеем

д*(и, в^в = -

1 + е"в 10 —

из

;-е-и/2 [1 + еи/2 + еи/2 - 1] = 1, что указывает на нормнрованность плотности д*(и,з),

о

/ д*(и, =1. ■

(3.9)

Введём в рассмотрение функцию

А*(и, в) = Яе j ехр[г — sz^]dz

-г,.г€С+

где С+ = {г € С : |г| = 1, Яег > 0}. Тогда справедлива Лемма 3. Имеет место формула

А* (и, в) = II •

(3.10)

(3.11)

о

о

1

о

□ Дважды дифференцируя функцию D*(u, s) по u получим

i

д2 Г _ _

—— DJu, s) = — Re / л 2 exp[—-¿sz] expfiuz l]dz . du2 J

_i,zec+

Выполняя интегрирование но частям, находим, согласно (3.10),

i

д2 _ f _

■7—s) = Re(iu) 1 / exp[—-¿szld (expfiuz 11) = du2 J

_i,zec+

i

s / s

= Re(iu)_1(ei_it - eit_i) + - Re / expf-zsz] exp[mz_1]o!z = - L>*(u, s).

uu _i,zec+

Таким образом, функция D*(u,s) удовлетворяет дифференциальному уравнению

д2 s

—D*(u1s)--D*(u1s) =0. (3.12)

du2 u

Кроме того,

i

£>*(0, s) = Re J exp[-zsc]ifc = Re^(es - e~s) = 0 , (3.13)

_i,zec+

i n/2

= —Im J z—1 exp[—?'sz](iz = —Re J exp {—iselip^ dp> =—тг. _i,zec+ _n/2

(3.14)

В справедливости последнего равенства можно убедиться следующим образом. Дифференцирование (dD*(u, s)/du)u=0 по параметру s даёт

п/2 i

— ( —DAu, s) I = Re г / e^exp (—isetip) dip = Re / exp(—isz) dz = 0 .

ds Vdu Ju=o J J

_n/2 —i

Тогда, ввиду независимости (dD*(u, s)/du)u=0 от s, вычисление этой постоянной сводится к нахождению значения интеграла в (3.14) при s = 0.

Итак, вычисление функции D*(u,s) сводится к решению дифференциального уравнения (3.12) второго порядка с начальным условием (3.14) при учёте её ограниченности но и. Замена аргумента л = у/4us в дифференциальном уравнении и введение повой функции X(z) по формуле D*(u, s) = zX(z) сводит это уравнение к модифицированному уравнению Бесселя,

d2 1 d f 1 \

+ T^W " О + 3 - 0. (3-1Ч

общее решение которого нредставимо в виде линейной комбинации модифицированных функций Бесселя первого и второго рода, имеющих порядок единица. Эти функции обозначаются соответственно Ii(z) и K^(z) (функция Макдональда), где функция Ii(z) определяется формулой (3.5). Тогда,

X(z) = Ai(z) + BKi(z) , (3.16)

где A,B - произвольные постоянные. Для нахождения нужного решения уравнения (3.12), существенно только то, что для функции Ki(z) справедлива асимптотическая формула

Ki(s) = Ii(z)ln(j) + - + O(z), z —> 0 . (3.17)

Функция D*(u,s), на основании (3.16), может быть представлена в виде

D*(u,s) = z (Ai(z) + BKi(z)) .

Из условия (3.13) и свойства (3.17) заключаем, что B = 0, так как z = 0 при u = 0 и li(0) = 0,

D*(0,s) = B lim zKi(z) = B.

z—

В связи с тем, что dz2/du = 4s и I^z) = z/2 + o(z2) при z ^ 0, из (3.14) следует

d Л A ( dz2 \

и, поэтому, A = —n/2s, Тогда

D*(u, s) = - zli(z) = -vr^Ii {2у/Щ . ■

Следствие. Имеет место следующее представление для плотности q*(u,s),

s) = ± е-<2 (б(8) - ^ е"* (l + 2-^j D.(u/2, s)) . (3.18)

□ Для вычисления действия оператора

QB*(u, s) =(l + 2-^J D*(u/2, s) положим z = \j2us и представим, на основании (3.11),

п

D*(u/2,s) = - —zli(z).

Так как d/du = (s/z)d/dz, то

dD*(u/2,s) , .

где мы воспользовались тождеством (3.7). Следовательно,

QD(u, s) = —п

Ii (v^üs) + Io (v^üs)

Подстановка этого выражения в определение (3.8) плотности в) даёт нам формулу (3.18). ■

Определим функцию

= г-1 (¿^ + гл) ехр[—ехр[г^(и/2)г-л] , (3.19)

Следующая лемма является ключевой при выделении ¿-особенности из плотности ж).

Лемма 4. Функция

м

D**(u,s) = lim Re > А

Ua)-a(u, s, z)dz , u> 0

(3.20)

A=±1

iM,zec+(M)

С+(М) = {г € С : |г| = М}, является обобщённой функцией над основным пространством, состоящим из непрерывных ограниченных функций на К. Она. равна

£>„(и,в) = пф), (3.21)

где ¿(в) - обобщённая функция Дирака.

□ Выражение (3.20) состоит из предельных значений интегралов

м

^т;Л(и,з)= J г-техр [¿зАгл] ехр [—¿Аиг-л/2]

гМ,г€С+(М)

четырёх типов, представляемых значениями т = 0, А = 1; т = 1, А = ±1 т = 2, А = — 1. Рассмотрим вклады каждого из них при М — то, Для интеграла при т =2 при переходе к интегрированию в полярных координатах г = Мег^, оде ^ изменяется от п/2 до 0, получаем оценку

м

¿M,zec+(M)

z exp[—is/z] exp[iuz/2]dz

n/2

п

< М-1 / ехр [(s/M — uM/2) sin(/?]d(/? <

I

(3.22)

и, следовательно, этот интеграл не даёт вклад в D**(u, s) при M — оо, так как u > 0.

Для оценки вклада интегралов s), А = ±1 при M — о, выделим произволь-

ный сектор с argz £ [0, е], 0 < е < п/2, Интеграл по дуге C+(M) вне этого сектора

равномерно стремится к нулю при Л = ±1, ввиду оценки, аналогичной той, что приведена выше,

м в1е

z 1 exp [¿sAzA] exp [-¿Au/2

iM,zec+(M)

<

n/2

< / exp [-Л(sMx - u/2Mx) sin ip] d<p < - e) exp [-A (sMÄ - u/2Mx)}

при A = ±1 Последнее выражение стремится к нулю при M ^ то, так как u, s > 0. Оставшийся интеграл по дуге с arg z £ [0, е] оценивается следующим образом

м

z 1 exp [¿sAzA] exp [-¿Au/2

MeiE,z€C+(M)

<

< /exp [-A(sMA - u/2MA) sin d^ < е exp[e max{s,u/2}/M]

и, ввиду произвольности е > 0, получаем, что, действительно, интегралы с т = 1 не дают вклада в в) при М ^ то и обоих значениях Л = ±1.

Рассмотрим, наконец, интеграл с т = 0, который преобразуем следующим образом

м мм

J ехр[г(вг—= J ехр[гзг^г + J ехр[гзг] (ехр[—ш/2г] — 1) =

гМ,.г€С+(М) гМ гМ,.г€С+(М)

= (гв)-1 (е"М — е-*М) + (гв)-1 (е"М [ехр(—ш/2М) — 1] — в-*М [ехр(—и/2М) — 1]) —

M

, dz

- {т/2) у ехр[г(вс - г/,/2л)]—, (3.23)

гМ,г€С+(М)

где в первой строке, ввиду аналитичности подингегралыюй функции, мы не указываем путь интегрирования в нервом интеграле справа, а второй интеграл, стоящий справа, преобразуется по частям. Так как последний интеграл в правой части формулы (3.23), согласно (3.22), оценивается сверху числом п/2М, то формула (3.23) приводит к следующему асимптотическому при М ^ то значению рассматриваемого интеграла

M

exp[i(sz - u/2z)]dz - (is)-1eisM , M ^ то .

(3.24)

¿M,zec+(M)

Заметим, что в терминах обобщённых функций над основным пространством, которое состоит из непрерывных ограниченных на R функций, имеют место равенства

M те

1 1 f 1 г

— lim sin sM = — lim / cos sydy = — / cos sydy = ö(s).

ns M^те П M^те J 2П J

0 -те

Поэтому, из определения (3.20) и (3.24) следует (3.21), так как

D„(u,s) = 2 lim Re(is)-1eisM = 2 lim s-1 sin sM = 2n£(s). ■

M^те M^те

Введём функцию

/dz

(ifji + zA) exp [~isfjizx] exp [iußz~x /2] —1 , (3.25)

где C(M) - контур в комплексной плоскости z, состоящий из дуги единичной окружности при изменении угла от п/2 до 0 и луча [1, M], Im (z) = 0.

Лемма 5. Для функции D(u, s) = lim Re D(u, s; M) справедлива формула

M ^те

D(u,s) = 2(n£(s) - QD*(u,s)) . (3.26)

□ Выполним следующее преобразование входящих в (3.25) интегралов, используя

C(M)

тегрирования не пересекает точку z = 0, в которой подынтегральные выражения имеют существенную особенность. При А^ = ^интегрирование по контуру C(M) заменим на интегрирование по отрезку на оси Re (z) = 0, M > 0 от точки i до точки iM и, далее, по дуге окружности радиуса M с изменением arg z от п/2 до 0. Для интегралов в (3.24) с А^ = 1 аналогичное преобразование состоит в деформации контура интегрирования C(M) в контур, состоящий го дуги единичной окружности с изменением arg z от п/2 до —п/2, затем, из отрезка на оси Re (z) = 0 от точ к и — i до точ ки —iM и, наконец, из дуги окружности радиуса M с изменением arg z от — п/2 до 0,2) Описанное преобразование интегралов в формуле (3.25) выражается следующим образом,

D(u,s; M) = Y^ А

А=±1

( -i -iM M \

j + j + j Ua,a(m,s,z) dz

\i,z€C+ —i,Re (z)=0 -iM,z€C+(M) J

2Такой выбор деформации контура С(М) продиктован тем, что подынтегральное выражение, при |г| ^ то, экспоненциально стремится к нулю в нижней полуплоскости при совпадающих значениях А, а при несовпадающих их значениях стремится к нулю в верхней полуплоскости комплексного г. Это обеспечивает выполнение, для этих интегралов условия Жордана и. поэтому, интегралы по дугам полуокружности С + (М) исчезают при М ^ то.

/ гМ

Е Л !

!__1_ 1 V

Л=±1

М \

иЛ;-Л(м, в, г)

(3.27)

\г,Ке(.г)=0 гМ,г€С+(М) )

Сгруппируем интегралы в формуле (3.27) иным образом

-г

М) = ^ Л / +

Л=±1

г,г€С+

Л=±1 /

М

+ ^ Л У [Ул-л(и, +

\гМ,г€С+(М) гМ

М /

-гМ,.г€С+(М) -гМ

\

иЛ;Л(м, в,

+

/ \ /

Л / иЛ)-Л(м, в, + ^^ Л / иЛ)Л(м, в,

Л=±1

г,Яе (г)=0 Л ±1 -г,Яе(г)=0

= Д(1)(м,в) + Д(2)(м,з; М) + Д(3)(м,з; М), (3.28)

где в последней строке введены обозначения для выражений в соответствующих строках, согласно порядку их записи. Рассмотрим вклады этих групп слагаемых по отдельности.

Начнём с последней группы. Сделаем замену переменной г ^ — г в интегралах второй суммы этой группы. Ввиду (—г)Л = — гЛ при Л = ±1, выполняется

иЛ,-Л(и, в, —г) = —г-1 (—¿Л + (—г)Л) ехр[гвЛ(—г)Л] ехр[—гЛ(и/2)(—г)-Л] =

= —г-1 (—¿Л — гЛ) ехр[—гзЛгЛ] ехр[гЛ(и/2)г-Л] =

= г-1 (¿Л + гЛ) ехр[—гзЛгЛ] ехр[гЛ(и/2)г-Л] = иЛ)Л(м, в, г).

Следовательно, при таком преобразовании, вторая сумма преобразуется в первую сумму выражения и, в; М), взятую с обратным знаком. Поэтому последняя группа интегралов в (3.28) даёт нулевой вклад, В(3)(и, в; М) = 0.

Рассмотрим далее иптеграны второй группы. Пары интегралов при каждом фик-Л

чепия. В самом деле, в этом убеждаемся, сделав замену переменной интегрирования г ^ г' = г* во втором интеграле, заключённом в скобки и приняв во внимание, что

иЛ,-Л(и, в, г*) = (г*)-1 (—гЛ + (г*)Л) ехр [гвЛ(г*)Л] ехр [—гЛи(г*)-Л/2] = = (г-1 (¿Л + гЛ) ехр [—гвЛгЛ] ехр [¿Лиг-Л/2])* = [иЛ)Л(м, в, г)]* ,

и, поэтому,

-М -М

У иЛ)-Л(и, в, = J иЛ)-Л(м,в, (г')*)(^г')* =

гМ,г€С+(М) -гМ,г€С+(М)

M

[Ua,a(u, s, z')]*(dz')* =

-¿M,zec+(M)

M

UA,A(u, s, z')dz'

-¿M,zec+(M)

Следовательно, группу интегралов D(2)( u, s; M) можно представить в виде

M

D(2)(u,s; M) = 2 Ate J Ua,-a(u, s, z)dz.

A=±1 ¿M,zec+(M) Переходя к пределу M — то, получаем

D(2)(u,s) = lim D2(u,s; M) = 2D„(u,s).

M ^^

Тогда, на основании Леммы 4,

D(2)(u, s) = 2пф)

(3.29)

(3.30)

Первая группа интегралов в (3.28) преобразуется следующим образом. Введём функ-

цию

Da(u, s)

dz

J z exp[—-¿sA^ ]ехр[шАс_ /2]—.

-i,zec+

Выразим рассматриваемую группу интегралов в терминах этой функции

(3.31)

D(1)(u,s)=J^ A UA,A(u,s,z)dz = A / (iA+zA)exp (-isAzA + iAuz-A/2)

dz

A=±1

i,zec+

A=±1

i,zec

A=±1

+

d

J] А (s) + 2—Dä(m,s)

(3.32)

Интеграл DA(u,s) обладает свойством

D-a(u,s) = -Da(u, s), в котором легко убедиться, переходя к интегрированию по ^ = arg z, z =

п/2

Da(u, s) = i J eiA^ exp[-isAeiA^]exp[rnAe-iA72]d^.

-n/2

A

ADa(u, s) = 2ReD1(u,s),

A=±1

t

z

£>(1)(и, в) = — 2Яе ^£>1 (и, в) + 2-^-Щи, з)^ = = -2 в) + 2^£>,(и/2, ^ = -2СШ,(и, в).

где мы воспользовались определением (3.10). Отсюда и из форму.:: (3.28),(3.30) вместе

с равенством и, в) = 0, мы приходим к выводу о справедливости формулы (3.26). ■

Теорема 4. Плотность распределения д(ж,£) определяется формулой д(1 + х/а, х) = [5+

+е~1/1вЦ) (Ч (2ил/х1/а^ + у/х/аЬ II иу/хЬ/а)^ . (3.33)

□ Заметим, что вероятность ж) = Рг{е (£; £ ) > ж} равна нулю при £ < ж/а, так как не существует траекторий случайного процесса ( £(£); £ € К), для которых реализуется случайное время Г(ж) < ж/а. Кроме того, для £ > ж/а, вероятность ж) > е-га/«/2 > о, Поэтому, функция распределения ф(£,ж) и, следовательно, её плотность д(£,ж) пропорциональны — ж/а).

На основании Леммы 5 и Следствия Леммы 3, используя формулы (3,18) и (3,26), находим, что справедлива формула

= (3.34)

4п

для любого 5 > 0, где функция определяется (3.25). Рассмотрим сумму инте-

гралов

м

£ А/ (А + -но)ехр Н8" (" + х

А,^=±1 о

х ехр

г/л(и/'2) (у - XVV2 - 1 + ¿о) <к). (3.35)

Малые смещения +г0 переменной интегрирования V в подкоренных выражениях в комплексной плоскости производятся с цолыо однозначного выбора ветви квадратного корпя в подиптегралыюм выражении. Эта ветвь выбирается таким образом, чтобы значения квадратного корпя у/у'2 — 1 было положительным при у2 > 1. При этом разрез па комплексной плоскости V проходит по отрезку [—1,1] действительной оси.

Произведём замену переменной интегрирования z = v + у/у'2 — 1 + Ю, дня которой z~1 = у — у/у'2 — 1 + г0, у = (л2 + 1)/2с, ¿V = [(л2 — \)/'2z2} dz в интегралах этой суммы так, что интегралы но у от точки 1 до М перейдут в интегралы но л но тому же отрезку, а интегралы но у от 0 до 1, когда z = у + \/ — | 1 — у'2| + г0 = у + г \/\у'2 — 11, | л |2 = 1, перейдут в интегралы по г по дуге С+ от точки г до точки 1. В результате такой замены, рассматриваемая сумма интегралов превращается в сумму интегралов, стоящую в

правой части формулы (3.25), которая определяет функцию в; М), Поэтому, сумма (3.35) равна указанной функции,

М

£>(и,в; М)= £ /

Л,М=±1 0

1 + + , ехр

л/г'2 - 1 + гО

-гз^ I V

+ Ал/г'2 - 1 + гО

х

х ехр щ(и/2) уи — Ал/г;2 — 1 + йь . Заменим переменные суммирования в правой части равенства Л^ ^ Л

М

-гв (¿ш + Ал/г'2 — 1 + гО

(3.36)

£>(и,в; М)= £ J

Л>м=±1 0

1+ Д(* + Н, ) ехр

х ехр

л/г'2 - 1 + гО

г (и/2) (¿ш - А^г'2 - 1 + гО

х

¿V

(3.37)

и выполним суммирование по Это достигается заменой переменной интегрирования V ^ — V в интеграле со значением ^ = — 1, 3) При этом интеграл с указанным значением

^ переходит в интеграл со значением ц = 1, но по полуоси V € (—то, 0]. Сумма по ^

)

-М

М) =

Е

Л=±1

-М

Л(г + V) 1 + = I ехр

л/г'2 - 1 + г0 '

—гв V

+ Ал/г'2 - 1 + гО

х

г(и/2) (у - Ал/г'2 - 1 + ¿о)

¿V

х ехр

или, после преобразования подиптеграньпого выражения,

М

£>(и, в; М) = [ ехр[гг'(г/:/2 - в)] (1 + , Л(?' + ^ | х

\__11

(3.38)

Л=±1

-М

х ехр

л/г'2 - 1 + гО

—г\(и/2 + в)^г'2 - 1 + гО

¿V

3Заметим, что в интеграле по отрезку [1, М] смещение пути интегрирования на ¿0 можно опустить, так как разрез нами проведен по положительной полуоси и на отрицательной оси квадратный корень определён однозначно.

4Заметим, что каждое из слагаемых в подынтегральном выражении в (3.38) ведёт себя различным образом при V ^ то и V ^ —то. В одном случае стремится к нулю и, тем самым, даёт сходящееся выражение на соответствующем пределе интегрирования, а в другом случае приводит к расходимости интеграла. Поэтому, при исследовании характера этой расходимости, удобно представить его в виде

суммы

м м

-М 0

м

-М

= 2 ехр[ги(и/2 - в)] (сое [(и/2 + в) л/у'2 - 1 + гО

-М

«V — 1

вт

(и/2 + в) л/г'2 - 1 + гО

¿и

л/г'2 - 1 + гО

Используя это интегральное представление, па основании формулы (3.34), получаем

-М

а Ли, з — и/ 2) =- Ит / ехр [г г' (и — з)1 ( сое

2п М/ у

-М

1 — то

вт

5 л/г'2 — 1 + гО

5 л/г'2 — 1 + гО

¿и

(3.39)

л/г'2 - 1 + гО

для ^ € (—то). Здесь предел понимается в слабом смысле. Он определяет обобщённую функцию над пространством ограниченных непрерывных функций, которая содержит ¿-функционную особенность. Заметим, что в этой формуле смещение г0 можно опустить, так как оба слагаемых в подингегралыюм представлении являются чётными функциями относительно л/г'2 — 1 + гО и, поэтому, па самом деле, точки ветвления в подингегралыюм выражении отсутствуют. Опустив эти смещения, перейдём в интегральном представлении (3.39) к интегрированию по оси {у = то + 0; V € К},

гМ+0

(и, 5—и/2) =- Ит / ехр [у (и—в)] ( сЬ в \/у2 + 1

2пг М/

-гМ+0

1 — У 1

+ . У эЬ

в л/У2 + 1 ¿У

д

гМ+0

— дИт- / ехр[у(н-в)](сЬ вл/^ТТ

е 5 д

-гМ+0 гоо+0

/ ехр [у (и — в)] ( сЬ 5 л/у2 + 1

1-У

вЬ

; \/у2 + 1

У

1-У

ч/у^+т

вЬ

(3.40)

У

2пг ди о

-го +0

где производная от интеграла в бесконечных пределах, понимаемого как слабый предел при М ^ то, является производной от обобщённой функции, которая определяется этим пределом. Выразим плотность распределения в переменных в = ^ и и = д(-)/ди = (а/2^)д(-)/дх. В результате, после замены переменной инте-

грирования 2^у/а ^ у, представим плотность в следующем виде

(2га/а, V (£ — х/а)) = а

4пг дх

г-о +0

У ехр [У(х — «¿/2)](сЬ[^ш(у)]

-го +0

V — ау/2

4 '

-вЬ [¿а;(у)]

^(у) / у

^у

(3.41)

где мы воспользовались формулой (2.7),

u(y) = (v2 + (ay/2)2)1/2 .

Сравнивая правую часть формулы (3.41) с правой частью формулы (3.3) при x = Ей t > — 0 где плотность q(x,t) отлична от нуля, находим, что

q(t, x) = vq* (2vx/a, v (t — x/a)) .

Подставив явное выражение (3.8) плотности q*(u, s) и учитывая v5(vt) = ¿(t), получаем, при указанных выражениях u и s, формулу (3.33). ■

Литература

1. К.ляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах / М.: Наука, 1980.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. T.I / М.: Наука, 1971. 664 с.

3. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьёв А.Д. Математические методы в теории надёжности / М.: Наука, 1965.

4. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике / М.: Мир, 1965.

5. Дынкин Е.Б. Функционалы от траекторий марковских случайных процессов /7 Докл.АН СССР. 1955. Вып. 104, №5. С.691-694.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2 / М.: Мир, 1984. 715 с.

7. Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей / М.: Наука, 1969.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / М.: Наука, 1971.

PROBABILITY DISTRIBUTION OF FIST PASSAGE TIME

OF ENERGY FUNCTIONAL ON DICHOTOMIC RANDOM PROCESS TRAJECTORIES

M.I. Abramova, Yu.P. Virchenko

Belgorod National Research University, e-mail: abramova [email protected]

Abstract. Probability distribution Q(t, E) of random first passage time t(E) of level E attainment of energy functional e(t; £) is studied. Specified problem is investigated when the intensity £(i) = de(t; ()/dt is the dichotomic ^^^^^m process. For the density q(t,E) = dQ(x,t)/dt, the integral representation is found in terms of special functions.

Key words: instant of level attainment, dichotomic process, first passage time problem, integral approximation, markovian process, probability distribution density, energy functional.