CC BY
51
осями равен cos ух = cos Р[ cos Р"х + cos Р'у cos Р"у + cos P'z cos P"z.
Все перечисленные соотношения введены в электронную таблицу, представленную на рис.2. В центральной части таблицы расположены координаты окклюзионных точек антагонирующих зубов и основные параметры, характеризующие окклюзионные треугольники и положение функциональных осей. В правой части таблицы расположены вспомогательные величины, которые могут быть использованы при необходимости. Перевычисление таблицы осуществляется автоматически при замене координат.
_| | --. )u ■ г i *•— t«** - - . г _ л i
J J J j J .1; 7А * Д - / ti'lllIU«'"
- Ь - * - ': fllillR^j X LB _ • Д" A' |
а с 0 E 0 H J "sit 1 L M H a
2 >г*-*«и Г** **г-я* M4II
j р. ->x Л,- ЦЯ. lltfin 4X>
i Pi пл ¡> T n 61- rowj- <t,t!Q "»tV •0,(1?*
J РЭ ИД TfJ li- -6b CI- li.ttl 300,1!» -O.OTI -0,1«
В ' .1« 19,50 lt? 7,®
f Wr'»1»-» ч M" ЩИ
11 Vrn. ->•*>. J (,-ц И.4» IMP „Р «■J5"
и H»,MJ it- не .lift /I* ИМ
13
16 •i.l-i *> З.ОЙ tain^ ! К (аж /ж*
п ■> 19Д1 I> J*a •S6S cdrtnf" o,icr »Mi* -аръ
1В РЭ •3* 15,« j3" 459 il" -BJM О 17,«3 сиш. -0,979 aas
л л "ТГтГ'1 T* t* еле
I tee/зб
г.. ЦК tf 91 £31
:t
■ ("Пи. ,1" КС tw
Л
X
31
V
л ' Г
Рис. 2. Вид электронной таблицы
Таким образом, предлагаемый алгоритм определения пространственного положения функциональных осей антагонирую-щих зубов включает применение клинических и биометрических методов определения окклюзионных контактов, их пространственных координат в сочетании с математическими расчетами и использованием компьютерной программы. Данный алгоритм позволяет на этапах диагностики и лечения планировать и конструировать искусственную окклюзионную поверхность несъёмных ортопедических конструкций с наперед заданным пространственным расположением окклюзионных контактов.
Литература
1. Хватова, В.А. Клиническая гнатология / В. А. Хватова.-М.: ОАО «Издательство «Медицина», 2005.- 296 с.
2. Миликевич, В.Ю. Профилактика осложнений при дефектах коронок жевательных зубов и зубных рядов / В.Ю. Миликевич // Дис. ... доктора мед. наук.- Волгоград, 1984.- 401 с.
3. Жуленёв, Е.П. Воспроизведение межосевых взаимоотношений боковых зубов при конструировании искусственной окк-люзионной поверхности в несъёмных зубных протезах / Жуленёв Е.П., Миликевич В.Ю., Шемонаев В.И. //Стоматология для всех», №3(4), 1998.- С.50-53.
4. Гросс М. Нормализация окклюзии / Гросс М., Мэтьюс Дж.,: Пер. с англ.- М.: Медицина, 1986. - 287 с.
5. Копейкин, В.Н. Клинико-экспериментальное обоснование ортопедических методов лечения пародонтоза // Дис. . доктора мед. наук. - Москва, 1979. - 349 с.
6. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.Корн, Т. Корн.- М.: Наука, 1970.-720 с.
7. Klineberg, I. Occlusion and clinical practice - Edinburg, "Wright" / I. Klineberg, R. Jagger.- 2004. - P. 200.
CLINICO-MATHEMATICAL ALGORYTHM OF TOOTH AXIS CONSTRUCTION
A.V. MASHKOV, V.V. CHERNISHEV, V.I. SHEMONAEV
Volgograd State Medical University, Chair of Prosthetic Dentistry Volgograd State Technical University, Chair of Engineering Mechanics
The complex method of biomedical, clinical and mathematical techniques and calculations made it possible to work out an algorithm of functional tooth axis construction. The obtained data and mathematical models contributed to effective artificial occlusal tooth surface construction so, that the occlusal load vector was directed along the abutment tooth axis.
Key words: tooth axis, occlusal tooth surface, characteristic contact points.
УДК 612.13:537.8
ИССЛЕДОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ КРОВИ НА ОСНОВЕ ЕЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Г.В. КУЗНЕЦОВ*
В данной статье рассматривается стационарное турбулентное движение крови, линии тока, скорости которого являются винтовыми линиями. При этом рассматривается нормальная конгруэнция линий к плоскому распределению в трехмерном евклидовом пространстве. Ключевые слова: турбулентное движение крови, бляшки, винтовые линии, соосные цилиндры, плоское распределение, интегральные линии вектора скорости крови.
Моделирование турбулентного движения крови предполагает использование не простого математического аппарата и чем точнее получаемая модель, тем от большего числа параметров она зависит. Используя геометрические характеристики такого движения крови, можно получить модель, зависящую от небольшого числа параметров, которые позволяют давать представление о линиях, по которым движется кровь.
Турбулентное движение в норме характерно для сердца и при выбросе крови из сердца. Однако турбулентность в сосудистой системе является патологией и встает задача о ее раннем обнаружении. Возникает турбулентность в местах образования бляшек и других изменений в сосуде, отражаясь от которых образуется обратный поток крови, который носит турбулентный характер и частицы крови движутся по винтовым линиям. Изучение данного вида движения крови проводится аналогично более ранним работам [1-3].
Пусть вектор скорости крови имеет направление вектора e3 в трехмерном евклидовом пространстве, то для ротора векторного поля будем иметь:
roteA = p3e1 + q3e2 — (q2 + p1)e3.
Векторное поле e1 будет голономным тогда и только тогда, когда (e1,rotei) = p3 = 0. Но p3 = Л2 ^ 0. Значит, векторное поле e1 не голономное.
Ве кторн ое поле e2 будет голономным тогда и только тогда, когда (e2, rote2) = q3 = 0. Но q3 = л1 = 0. Тем самым, векторное поле e2 является голономным.
Аналогично, векторное поле e3 будет голономным тогда и только тогда, когда (e3, rote3) = —(q2 + pj = 0. Это возможно в случае, когда Л21 — Л12 = 0. Как следует из последнего равенства, распределение А2 будет вполне интегрируемым, а, в данном случае, рассматривается плоское распределение. Значит, векторное поле e3 не будет голономным.
Получаем, что векторное поле e2 ортогонально цилиндрам, на которых лежат интегральные линии векторного поля e3, представляющие собой винтовые линии.
Рассмотрим обратную задачу, то есть интегральные линии векторного поля e3 являются винтовыми линиями, которые лежат на соосных цилиндрах. Так как полная кривизна векторного поля e3 Kt не равна нулю, то оно не допускает семейства ортогональных поверхностей, и линии кривизны такого поля будут мнимыми.
Запишем уравнение для координат точек одной из винтовых линий: x = pcosp, у = psinp, z = bp (1)
Касательным вектором к винтовой линии является вектор e3 , но винтовая линия имеет уравнения вида (1) в прямоугольной
системе координат (O,i, j,k) с началом в точке О, лежащей на оси всех цилиндров.
Касательный вектор к винтовой линии, заданной уравнением (1) имеет координаты: A( xp > yv > zv) = A(—y> x>b).
Тогда единичный вектор этого поля a будет иметь следующие координаты:
* Филиал ВЗФЭИ в г. Туле, кафедра математики и информатики, г. Тула,
ул. Оружейная, 1а
a(-
Jp2 + Ъ2' 477b1' p+b
Рассмотрим вектор A, коллинеарный a ■
_(4Л
A
0
4
V A3 У
= Xa
Рассмотрим вектор:
P {(ay, az, a), (az, a*, a), (a*, ay, a)},
где круглыми скобками обозначены смешанные произведения соответствующих векторов.
P = Л~3 {(AyAzA), (AzAxA), (AxAyA)}.
Далее, вычислим величину неголономности поля A :
(A,rotA) = (A, 7(A3y - A2z) + j A - A3*)+k(A* - 4y)) =
= (A, b2yi- b2xj + 2k) = -2by2 - 2bx2 + 2b = 2b - 2bp2
Найдем rota:
r A 2Ъ y rota = rot(—) -
2b 3
Тогда (arota) =
x jptb vp2 + ъ2 4рг7ъ2 2(Ъ - Ъ У)
(2)
р2 + Ъ2
Направление йх, ортогональное полю а, будет асимптотическим, если нормальная кривизна этого поля в направлении йх равна нулю. Нормальную кривизну поля д определим как отношение (йа,йх) к (йх)2. Тем самым, асимптотическое направление йх ортогонально йа, а также йх ортогонально а. Отсюда получаем, что йх коллинеарно направлению [а йа] и асимптотическое направление определяется из векторного уравнения [а, йа] = /йх, где / е Я.
Уравнения для определения асимптотических линий в координатном виде имеют следующий вид:
#2 й#3 -#3й#2 — и йх
#зй#1 -#й#з = ийУ #й#2 - #2й# = Цйг,
где положено, что а(#1, #2, #3).
Координаты вектора а выразим через р и ф:
# = -рътф = рсоър = Ъ
рь' 2 47+Ъ2' ъ рь'
С учетом последних равенств, уравнения асимптотических линий перепишутся следующим образом:
(рсоъфйЪ - Ъй(рсоаф)) — (р2 + Ъ2)ий(рсоъф) (3)
(рътфйЪ - Ъй(ратф)) — (р2 + Ъ2)ий(ратф)
р2йф — (р2 + Ъ2)исЪ
Для нахождения условия существования асимптотических направлений, используем такую систему координат, что в точке М0 будем иметь §2= 0, §3= 1. Отсюда получаем, что в точке М0 система уравнений для определения асимптотического направления имеет вид:
-(#2х + и)йх -#2уйУ = 0
#1хйх + (#1 у -и)йу — 0
Последняя система будет иметь решение тогда и только тогда, когда
-(#2х +/) -#2у #1х #1 у -и
Следовательно, коэффициент // определяется из квадратного уравнения:
= 0'
P - (Йy - Йx И + (ЙхЙy - Й уЙx ) = 0
Далее получим:
(a, r0ta) = Й x - Й , К = ^ y - Й УЙ X ■
Тогда уравнение для определения ц примет вид:
р2 + (a, rot a) р + К = 0 ■
Корни последнего уравнения будут находиться следующим образом:
-(a, rota) (a, rota)2 - 4 к (4)
2
Pi,2 ="
Введем обозначение: -4KJ = (a,rota)1 -4K. Тогда асимптотическое направление существует тогда и только тогда, когда K < 0. При этом Kj назовем полной кривизной первого рода.
Отсюда можно сделать вывод: существуют два асимптотических направления, ортогональные векторному полю a, если K p 0. В случае Kj = 0 существует либо одно асимптотическое направление, либо все направления, ортогональные вектору a , асимптотические.
Коэффициент ц может принимать следующие значения:
= 1(2(b'p2 - b) - 2bУ ) = bxp2 - b - b' p2 = -b
Mj = 2 p2 + b2 p2 + b2' = p2 + b2 "p2 + b2' = 1(2(b'p2 - b) 2b'p2 ) = b'p2 - b + b'p2 = 2b'p2 - b
^ = 2( p2 + b2 +~pr+¥) = p2 + b2 = p2 + b2 ■ = = -b
Пусть • 2 . Тогда система (3) примет вид:
Из первых двух уравнений системы (5) получаем, что db = 0. С учетом (1), получаем: dz = Ъйф и p2dp = -b2dp, то есть р = const. Поэтому эта асимптотическая лежит на цилиндре р = const и является винтовой линией. Семейство таких винтовых линий с заданным семейством винтовых линий образует на цилиндре регулярную ортогональную сеть.
Пусть теперь р = р2 =
2Ъ р2 - Ъ
■ Система (3) примет вид:
p2 + b2
pcospüb - bd(pcos^) = (2b'p2 - b)d(pcos^)
p sin q)db - bd(p sin (p) = (2b 'p2 - b)d(p sin (p)
p2dp = (2b V - b)dz. После приведения подобных, последняя система примет
вид: pcospdb = 2b'p1 d (pcosp)
psinpdb = 2b p2d (psinp) (6)
p2dp = (2b 'p2 - b)dz. После преобразований будем иметь:
dp poospsinp+p cos2 pdp=dp- pcospénpp-fp sin2 pdp
pldp = 0 dp = 0.
Из третьего уравнения системы (6) при K ф 0 получаем, что dz = 0.
Отсюда можно заключить, что асимптотические линии второго семейства - лучи, проведенные из оси цилиндров и параллельные плоскости OXY.
Последние свойства были получены в предположении, когда b ф 0. Но нас больше интересует случай, когда b = 0. Тогда
Pi =Иг-
-Ъ
и первые два уравнения системы (3) выполняются
р2 + Ъ2
тождественно. Третье уравнение этой системы принимает вид: p2dty = —bdz. Это уравнение отражает тот факт, что асимптотическое направление ортогонально полю a. Причем, любое направление, ортогональное полю a, является асимптотическим, то есть распределение д2, ортогональное полю a, является плоским.
Имеем винтовые линии, располагающиеся на соосных цилиндрах, которые бесконечное число раз обвиваются вокруг соответствующего цилиндра. При этом с каждым витком любая из винтовых линий поднимается на высоту 2пЪ. Если Ъ = const, то есть не зависит от р2, то любое направление, ортогональное вектору, являющимся касательным к любой винтовой линии, будет асимптотическим. Это будет выполняться в любой точке, где расположено семейство винтовых линий. Тем самым, в данной области будет определено распределение, все направления которого являются асимптотическими. Заданное распределение является плоским. Полученный результат сформулируем в виде следующего вывода: распределение Д2 в евклидовом пространстве Еъ является плоским тогда и только тогда, когда линии нормальной конгруэнции к нему будут винтовыми линиями, которые с каждым витком поднимаются на одну и ту же постоянную высоту.
Используем приведенную выше теорию для изучения геометрии линий тока крови, когда кровь движется турбулентно и линии тока являются винтовыми линиями.
При ламинарном движении крови по сосуду распределение скоростей по сечению сосуда носит параболический профиль. В случае турбулентного течения профиль распределения скоростей становится практически вертикальным. Ввиду этого средняя скорость движения крови оказывается почти постоянной по всему сечению сосуда и только в незначительном слое около стенок сосуда, благодаря прилипанию, скорость начинает уменьшаться. Профиль скоростей выглядит следующим образом:
Рис. Профиль скоростей при турбулентном движении крови.
В данном случае считаем, что скорость крови по абсолютной величине постоянна при данном турбулентном движении, при котором линии тока представляют собой винтовые линии, лежащие на цилиндрах, не зависит от радиуса цилиндра, по которому движется рассматриваемая частица крови или на котором расположена соответствующая винтовая линия.
В формулах (1) в качестве Ъ возьмем модуль вектора скорости V. Тогда полная кривизна векторного поля скорости крови будет иметь вид:
К =
-v(p2v' - v) v2 (р2 + v2)2 = (Р + V2)2'
(7)
так как v = 0 ввиду наложенного выше условия о постоянстве модуля скорости v.
Величина неголономности вектора скорости крови v вычисляется следующим образом: (v rotv) = 2v ■
' 2v (8)
(ез, rote3) = —--
p + v
Ввиду того, что v ф 0 во всем рассматриваемом участке сосуда, то из формулы (8) следует, что поле вектора ез будет него-лономным и для него не существует семейства поверхностей таких, что в каждой точке вектор поля направлен по нормали к поверхности семейства, проходящей через эту точку. Значит, данное векторное поле будет ортогонально распределению д2, которое не является голономным ■
Направление смещения dx, принадлежащее распределению Д2 и ортогональное векторному полю е3 , будет асимптотическим,
если нормальная кривизна этого поля в направлении dx равна нулю. Отсюда следует, что асимптотическое направление определяется из векторного уравнения: [e3 de3] = /dx где / g R.
Аналогично тому, как это делалось несколько выше, находится уравнение, из которого определяется ц:
/ + (ft, roto)/ + K = 0 (9)
Корни уравнения (9) находятся следующим образом:
—(ез, rot ез) ± J (S3, rot S3)2 — 4 K (10)
л, =-2-
Из формул (9) и (10) легко видно, что (е3 rote3 )2 — 4K = 0, то есть ц=ц2. Тогда, с учетом того, что
[е3 de3] =/dx, любое направление, ортогональное полю S3 и
принадлежащее распределению Д2, является асимптотическим, то есть распределение Д2 будет плоским.
Теорема. Если турбулентное движение крови имеет в качестве линий тока винтовые линии, то данные винтовые линии ортогональны плоскому распределению, тем самым турбулентному движению крови в участке сосуда, линии тока которого представляют собой винтовые линии, соответствует плоское распределение и наоборот.
Замечание. Здесь нужно помнить, что не зависимо от радиуса цилиндра, на котором лежит винтовая линия, частица крови будет подниматься на постоянную высоту.
Заключение. Изучение турбулентного движения крови, основывающееся на геометрии интегральных линий векторного поля скорости крови, можно проводить, основываясь не только на геометрии поверхностей, но и на геометрии распределений, а также на геометрии нормальной конгруэнции линий к распределению. Такой подход, во многом, позволяет облегчить задачу рассмотрения такого сложного движения крови как турбулентное, которое имеет место в сердце, при выбросе крови из сердца, в местах разветвления сосудов, при патологических изменениях в сосудах, а также в тех случаях, когда число Рейнольдса по каким-либо причинам превышает критическое значение.
Литература
1. Кузнецов, Г.В. Моделирование гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями / Г.В. Кузнецов, А.А. Яшин//ВНМТ.- 1998.- Т.5, № 34.- С. 32-34.
2. Кузнецов, Г.В. Моделирование движения крови с завихрениями в случае наличия поверхностей полной энергии / Г.В. Кузнецов// ВНМТ.- Т.7, № 3-4.- С. 49-50.
3. Кузнецов, Г.В. Математическая гемодинамика: Монография / Г.В. Кузнецов, А. А. Яшин / НИИ НМТ, 2002.- 280 с.
STUDYING THE TURBULENCE OF BLOOD FLOW
ON THE BASIS OF ITS STRUCTURAL CHARACTERISTICS
G.V. KUZNETSOV
All-Russia Correspondence Financial and Economic Institute, Chair of Mathematics and Information Science
The article highlights the stationary whirl of blood flow, lines of flow, the velocities of which being screw lines. Normal congruence of lines to flat distribution in three-dimensional Euclidean space is considered.
Key words: turbulence of blood flow, plaques, screw lines, coaxial cylinders, flat distribution, integrated lines of blood velocity vector.
УДК 577.125:591.436:612.391
КОМПОНЕНТЫ СФИНГОМИЕЛИНОВОГО ЦИКЛА И АКТИВНОСТЬ НЕЙТРАЛЬНОЙ СФИНГОМИЕЛИНАЗЫ ПЕЧЕНИ КРЫС НА РАЗЛИЧНЫХ ФАЗАХ ГОЛОДАНИЯ
П.Г.БУРОВ, Д.И.КУЗЬМЕНКО, В.Ю.СЕРЕБРОВ*
Статья посвящена исследованию динамики голодания крыс без ограничения доступа к питьевой воде. Изучались содержание основных компонентов сфингомиелинового цикла, активность его ключе-
ГОУ ВПО Сибирский государственный медицинский университет Мин-здравсоцразвития России, 634050, Россия, г. Томск, ул. Московский тракт, 2
