Исследование течения около кругового цилиндра при наличии сильного отсоса через его поверхность Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XVII 1986 М3

УДК 532.526 : 533.694.71/72

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ СИЛЬНОГО ОТСОСА ЧЕРЕЗ ЕГО ПОВЕРХНОСТЬ

И. В. Егоров

В работе проведено теоретическое исследование вопроса о возможности устранения диффузии завихренности и ухода стартового вихря от вращающегося в потоке кругового цилиндра при изменении скорости его вращения.

В работе построено два приближения асимптотического решения задачи для больших значений числа Рейнольдса и показано, что циркуляция остается неопределенной в стационарной задаче. В нестационарной же постановке, т. е. при изменении скорости вращения цилиндра, циркуляция не изменяется. Аналогичное решение задачи проведено численно с помощью уравнений Навье—Стокса.

Рассмотрим поле течения около кругового цилиндра в покоящейся жидкости при его закрутке.

Пусть и и V — скорости в полярной системе координат, направленные по ф и г соответственно. Так как течение не зависит от угла ср, уравнения движения жидкости линейны и имеют следующий вид:

д(уг) _ п. дг

да . ди . иу __ / д2 и 1 ди и \ ^ ^

д( дг г \ дг2 г дг г2 /

Предположим, что в начальный момент времени жидкость покоилась, а затем мгновенно закрутим цилиндр с угловой скоростью £2.

При * -» оо получаем, что и -* ---Далее равномер-

но по всей поверхности цилиндра будем производить отсос с нормальной скоростью я„. В поле течения касательная скорость останется прежней, а нормальная будет Теперь мгновенно

изменим угловую скорость вращения цилиндра с на Я2. Решая уравнения (1) с начальными условиями и = и гра-

ничными и jr=a = Q2 а; и |/-.00 = v |г_ос = 0; v\r=a — vn, операционным методом, получим выражение для касательной скорости в виде:

И — д I (Оа — 1 у.

г г 2 тег

T + ioo Р<-1/ -^-(r-a) , tip _ Г— \

р J , — 1 —/?я. 2у JLA

. - I - Rm 2 ]/ JL а)

Х \ Q I l+Rn _ А— \ dP’

7—/СО '

где Rn = avn/v, G (a, р, z) есть вырожденная гипергеометрическая функция. Для простоты рассмотрим скорость и при некоторых целых значениях числа Rn.

При /?я = — 1 получим:

а2 / а \ Г (г — а

* = _ + (Q, - Ql} a (-) [ 1 - eri {-^Г

и при t •* ОО и = , т. е. при /?„ = —1 течение жидкости

перестраивается.

При Rn — —3 получаем

“ = 0.) а (-2.)' [, — ег, (-§^=)'

откуда следует предельное значение скорости при t-*-oо

й . I /-1 . / Л

и =------------1- (23 — 24) а —

г V г

При Rn — —5 и t -> 00

S, as 1 /0 . fa \4

- + (Q2- QjJa (—) .

и = •

Решение стационарной краевой задачи о вращении цилиндра в покоящейся жидкости с равномерным отсосом на поверхности можно выписать в виде:

„ __ ^*1 г ^2

V =

’ и— г + -1-Л,

Отсюда видно, что при |/?п|>2 подобрать константы С4 и С2 только из граничных условий не удается. Строго говоря, их можно определить только из решения нестационарной задачи. Используя теперь точные решения нестационарной задачи об изменении скорости вращения цилиндра при наличии отсоса через его поверхность, можно однозначно определить обе константы. Выпишем решение стационарной задачи при |#„|>2:

ц== + ._Й1)а г

Далее рассматривается задача об обтекании однородным потоком вязкой жидкости цилиндра, с поверхности которого приводится отсос со скоростью уПр- Предполагается, что отсос является сильным, т. е. безразмерная нормальная скорость на поверхности цилиндра ъп == г>пр/«оо по порядку величины много больше, чем 1?е~1/2, где

=.15?— — число Рейнольдса, Ие > 1. Хорошо известно, что при

таких значениях чисел vn обтекание цилиндра является безотрывным. В рассматриваемой задаче существуют два параметра ъп и Ие,

_ _1_

такие, что 1>|1/л|Же 2. Сначала исследуется стационарный случай течения. Как известно, обтекание цилиндра потоком идеальной жидкости описывается формулами:

Э1п (<р) ( 1 +

1

+

2 кг

Г

(2)

где Г — циркуляция, произвольная константа, ита<0. Цель дальнейшего асимптотического построения решения заключается в определении неизвестной константы Г. Для этого находится решение в вязкой пристеночной области. В работе [1] показано однозначное соответствие между циркуляцией и угловой скоростью вращения цилиндра без отсоса. В рассматриваемом случае из-за сильного отсоса основная ч$ст> завихренности находится в узкой пристеночной области с характерной толщиной Аг~ (Ке^п!)-1.

Введем параметр малости е= 1 /Ие и соответствующее для'вязкого пристеночного слоя растяжение г = —~ 1 . Представим компоненты скорости и давление в виде асимптотических рядов:

и — и? + ш) + О (е2); v = v0i + гг»} + О (г2);

р = р\ + *р\ + О (е2).

Подставляя эти разложения в уравнения Навье—Стокса, записанные в цилиндрической системе координат, и собирая члены одного порядка малости, получим уравнения для первого приближения:

диЧ

дг

дг2

ду°,

т^- = 0;

дг

-^- = 0, дг

и для второго приближения:

ду)

ди"

дер

ди°

ду

+

дг

да)

ди°

+ V0. —=----------------------1- V? -------::----------[- И? X»? =

^ ^ I А* II

др°1

дг

д<$

ди]

дг

+

дг

д2 к] дг2

йз и] дгг

ди°1

д~г

(3)

На поверхности цилиндра ставим условия прилипания: «9|__о=2; и])__о = 0, и соответствия нормальной скорости — скорости отсоса г>°|__о=г>л, =0. Решая уравнения первого при-

ближения с соответствующими граничными условиями на цилиндре

и условиями сращивания с невязким решением (2), получим следующие выражения:

= Qev*r+ (---— 2 sin <р) (1 — evnr)-, v°. = vn;

Циркуляция Г остается произвольной постоянной. Используем первое уравнение системы (3) для определения функции и):

V) = г(2со5у —г>„)+ 2с0!8<У (1 — е°"г).

Асимптотические разложения для скоростей и давления в эйлеров-ской невязкой области выглядят следующим образом:

и = и°е + ш\ + О (е2); V = + О (е2);

р = р°е + *р1 + О (в2).

Для определения и], VI введем функцию тока ^ такую, что «1 = -^-; VI =--------уравнений движения жидкости для

<)>! следует хорошо известное уравнение Дф! = 0, где Д — лапласиан. Используя граничные условия

= 0,

2 cos <р 1 Йф! = 0; Г-+СС

д<о Г = 1 Vn г df dr

при решении предыдущего уравнения, получим выражения для а1. V1:

*е> е

2 sin v _, 2 cos с

искомых функций и\, Vх:

Теперь можно найти второе .приближение для скорости и в вязкой пристеночной области. Решая второе уравнение системы <3) при условии, что и}|г=0 = 0 и, сращивая его с внешним разложением для и, получим:

и] = г ^2 sin f — -у-) + ^ 2s|/n <P j (1 — evnr) + \rB(9) + raD(<p)) ev*r,

где В(ср) и Z>(ф)—периодические функции переменной ф. Видно, что асимптотическое решение стационарной задачи об обтекании цилиндра с сильным отсосом позволяет существовать .произвольной постоянной циркуляций Г.

Рассмотрим теперь нестационарную Задачу в пристеночной области. Предположим, что в начальный момент времени происходит без-

циркуляционное обтекание: и9|_ =.— 2sin(«р)(1 — eVnT), где t=t/e. Затем мгновенно закрутим цилиндр с угловой скоростью 2. В пер-

вом приближении из уравнений Навье — Стокса для тангенциальной скорости получим:

ди°, ди? с»2«?

——= —=±-. (4>

д* л дг дг2 '

Данную задачу легко решить операционным методом. Проведя

прямое преобразование Лапласа, получим обыкновенное диффе-

00

ренциальное уравнение для функции и(р, г, ?) = §е~р*и\1, г, <?)(И:

О

д2 и да — л . / ч /1 V 7ч

— —=-ри = 2 вш (?) (I — <? » );

<?72 дг

с граничными условиями: и-_0=-^-, | и |/--»оо <С гДе £— положительная константа. Его решение есть:

Q

— ехр

2 sin <

Применяя к этому выражению обратное преобразование Лапласа, получим решение нестационарной задачи:

ио q(С е.............................[OriMry)

* V я \ . vl

dy —2 sin (9) (l — e n ).

\ J *+-%-

4

Устремляя время к бесконечности, выходим на стационарный режим:

u°i(r, <s) = QeVnr — 2sin(tp)(l — e"T).

В силу линейности уравнения (4) можно сказать, что если имеется произвольная постоянная Г в начальном условии, то при изменении скорости вращения цилиндра циркуляция не изменяется.

Для проверки асимптотического решения задачи проведено численное интегрирование уравнений Навье—Стокса. При больших значениях числа Рейнольдса вязкая область течения остается из-за сильного отсоса узкой и лежащей около поверхности тела, трудности интегрирования не возникают, если выбрать подходящую деформацию сетки. Уравнения движения решаются в переменных функции тока -ф и вихря скорости со аналогично тому, как это сделано в работе [I].

Решение ищется в независимых переменных I = и т] = ср/я. Значение £ = 0 соответствует поверхности цилиндра, a 5 = -^ In/?

внешней границе рассматриваемой области. При наличии отсоса через поверхность цилиндра <]> на теле выбирается в виде ']>|е=0=-= ®я1гт|. Значение вихря скорости на стенке определяется из соотношения:

тЛ— 8ф(А£, ц) —4>(2Д£, -л)—7ф(0, •»)) + 6rcASa . Q мt2\

где. Д£— шаг разностной сетки вдоль оси На внешней границе рассматриваемой Области ставятся условия безвихревого обтекания цилиндра идеальным потоком:

<01-**-, Л) = 0;

= -р “ тг 8Ш («7]) (е+ е~^)

е- — 2

и=

1п/?

При 1) = 0 и2 выполняются условия периодичности: «>(&, 0) = ш(|, 2);

0) = ф (6, 2) — 2куп, причем для функции тока учитывается расход жидкости через поверхность цилиндра.

При аппроксимации дифференциальных уравнений разностными использована неявная симметричная схема метода переменных направлений, что приводит к следующей системе алгебраических уравнений, исследуемой методом установления по времени:

п+-

1 | 52 (й”+ 2 .

1 -------------Ъ

где

5ф" 5(о 2

п+-

5тг)

(тсг 1

+

5о)п .

5г)

1 | 58со”+2 52<оп+1

1?е

5т)*

6т)

5£

+

5$

52

8т)2

5т)

со;

■Ф

6£2 61)2

53 со В£2

“г+1, j + ®/_1, ] — 2<оу Др

+ 0(Д^),

= ■■ м,'+1, у—1_!^ + 0(Де2).

»6 ■ 2Дг ^ 1 ’

На каждом временном слое система решается методом прогонки, при этом шаги по времени т и 4, вообще говоря, разные. При больших значениях числа Рейнольдса задача решается только в вязкой пристеночной области с использованием условий безвихревого обтекания цилиндра на внешней границе.

0,5-

Рис. 2

0,05

-К

-2-1 0 1 2 — • асимптотический метод о численныи расчет

2 и

Вязкое трение, действующее на цилиндр, вычисляется по формуле

2

Рис. 1

ч 8ш(ят)) ,

я<в(°» ч)—

о

Основная проверка асимптотического решения задачи с сильным отсосом проведена при значениях числа Рейнольдса в диапазоне 1?е= = 103-г-105. Для одного из этих значений Не=104 на рис. 1 приведены профили скорости, полученные численно и асимптотическим методом. Цилиндр вращается с угловой скоростью £2 = 1. Скорость отсоса на поверхности ьп = —0,1. На внешней границе, отстоящей от цилиндра радиуса 1 на Аг=10'"2, ставится условие идеального безвихревого обтекания с циркуляцией Г = 0.

Из рис. 1 видно, что профили скорости хорошо согласуются. Аналогичное согласование имеет место и для других чисел Ие. Это подтверждает основной результат работы. Путем изменения скорости

отсоса на поверхности цилиндра найдено, что при г'лкр = —5/^Ие численное решение разрушается, что определяет критическую скорость отсоса. Используя численные результаты, условие сильного отсоса можно записать в виде | г»,, | > б/У^Ие. На рис. 2 приведена зависимость сХТ от V,,. Из него видно, что при || > б/У^е функция схг^п) близка к прямой, соответствующей асимптотическому решению задачи.

1. Люлька В. А. Численное решение задачи о вращении цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, 17, № 2.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Физмат-гиз, 1978.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.—М.: Мир,

4. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.—М.: Мир, 1980.

5. О л дер Б., Фернбах С., Ротенберг. — М.: Вычисли-

тельные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967.

ЛИТЕРАТУРА

1973.

Рукопись поступила 14/1 1985 г.