CC BY
10УДК 004.432.2
Технические науки
Ильичев В. Ю., к.т.н., доцент кафедры «Тепловые двигатели и гидромашины» Калужский филиал ФГОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский
университет), г. Калуга, Россия Жукова Ю. М.к.т.н., доцент кафедры «Экология и промышленная безопасность», Калужский филиал ФГОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет), г. Калуга, Россия
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЦЕНТРИФУГИ, ФОРМИРУЮЩЕЙ ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ ЯЗЫКА
PYTHON
Аннотация: Статья посвящена описанию исследований, ставящих своей целью разработку методики расчёта основных параметров центрифуги с полым ротором, внутри которого при вращении формируется параболическая поверхность жидкости. Данные исследования включают в себя вывод основных расчётных зависимостей и разработку программ на языке Python, позволяющих строить форму параболоида и описать его свойства при любых исходных геометрических и режимных параметрах ротора центрифуги.
Ключевые слова: гидравлика, центрифуга, параболоид вращения, библиотеки языка Python, 3D-модель.
Annotation: The article is devoted to the description of studies aimed at developing a method for calculating the main parameters of a centrifuge with a hollow rotor, inside which a parabolic surface of a liquid is formed during rotation. These studies include the conclusion of the main calculation dependencies and the development of Python programs that allow you to build the shape of a paraboloid
and describe its properties at any initial geometric and mode parameters of the centrifuge rotor.
Keywords: hydraulics, centrifuge, rotation paraboloid, Python language libraries, 3D model.
Введение
При высоких скоростях вращения полого цилиндрического ротора, заполненного жидкостью, внутри него формируется свободная поверхность, называемая параболоидом вращения [8]. При изменении скорости вращения параболоид меняет свою форму, также изменяется и высота столба жидкости в роторе. На использовании данного эффекта основаны некоторые распространённые в промышленности агрегаты, такие как сепараторы, центрифуги, дозаторы [5]. Однако, не существует наглядного современного средства, позволяющего исследовать форму параболоида вращения при любых заданных исходных геометрических и режимных параметрах работы таких агрегатов.
Цель осуществлённых исследований состояла в том, чтобы выяснить зависимость формы параболоида не только от скорости вращения ротора, но и от его размеров. Для быстрого осуществления такого расчёта, и демонстрации эффекта одновременного влияния различных факторов на форму параболоида, необходимо автоматизировать процесс путём использования современных программных средств [10]. Наиболее универсальным и легко применяемым, и к тому же свободно распространяемым языком программирования высокого уровня, имеющим в своём арсенале все необходимые для достижения поставленной цели инструменты, является язык Python [3]. Кроме указанных преимуществ, разработанные в рамках описываемой работы программные коды можно использовать в практических методиках расчёта роторных машин, в которых возникает параболоид вращения (для простоты в дальнейшем будем называть все такие агрегаты центрифугами).
Так как озвученная цель является достаточно масштабной, было решено разбить её на следующие этапы, в рамках каждого из которых решается определённая законченная задача:
1. вывод формул, описывающих координаты точек, формирующих сечение параболоида вращения плоскостью;
2. исследование влияния отдельных конструктивно-режимных параметров центрифуги на положение самой нижней точки (фокуса) параболоида;
3. создание программы, изображающей 3D-модель параболоида при разных исходных параметрах.
По результатам работы должны быть сформулированы конкретные полезные для практического использования методики выводы.
Методы и материалы
Допустим, что ротор полой цилиндрической центрифуги занимает вертикальное положение. Тогда очевидно, что параболоид вращения жидкости внутри ротора является фигурой, симметричной относительно оси. Поэтому, для однозначного описания его формы достаточно составить и решить уравнение равновесия поверхности жидкости в любом сечении параболоида вертикальной плоскостью [7]. Обозначим оси такого сечения у (ось вращения) и г (ось, проходящая по линии радиуса сечения ротора, проходящего через ось вращения). Составленная схема для вывода формул приведена на рис. 1.
г
Рис. 1. Схема вывода формул для параболоида вращения
На рисунке представлены силы, действующие на «частичку» жидкости на
гу
поверхности параболоида: центробежная сила, равная тга (где т - масса частицы в кг, ю - угловая частота её вращения в рад/с) и сила тяжести, равная mg (где g - ускорение свободного падения). Во всех последующих выкладках принято, что угловая скорость вращения частицы равна скорости вращения ротора центрифуги, что для жидкости, обладающей достаточной вязкостью (например, вода, органическое и синтетическое масла) является в рассматриваемом приближении верным утверждением, которое подтверждается множеством практических расчётов прочих гидравлических систем [9].
Форма параболоида образуется за счёт действия на частичку изменяющегося по значению и направлению вектора суммарной силы Е на разных расстояниях от оси вращения г (рис. 1). При этом угол а наклона касательной к параболоиду (перпендикулярной к силе Е) равен следующей производной (по определению):
йу тга га а = — = -
йг mg g
Проинтегрировав полученное равенство, можно получить искомую зависимость у(г):
2 2 2 Г ГШ г а „
у = ] — = с' g 2g
где С - постоянная интегрирования, которую можно найти из граничных условий: при г=0 у=у0, тогда из формулы для у получим С=у0.
Тогда зависимость у(г) будет выглядеть следующим образом:
2 2 г а
У = Уо . 2 g
Изменяя расстояние расположения частички жидкости внутри ротора относительно оси от г=0 до г=Я (где Я - наружный радиус), по выведенной
формуле можно построить сам получающийся параболоид вращения. Однако, в последней формуле есть неизвестное слагаемое у0, которое можно взять из источника [11]:
Уо = H -
rW
4 g
Окончательно получим
У = H -
г>2 2 2 2
R W Г W
4 g 2 g
Таким образом, первая задача, поставленная в исследовании, выполнена: по выведенной формуле можно вычислить форму параболоида вращения y=f(r) для любых заданных геометрических (H, R) и режимного параметра ю.
На следующем этапе была создана программа для исследования зависимости положения нижней точки параболоида у0 от частоты вращения ротора ю. Данная программа состоит из следующих частей:
1. подключение графической библиотеки matplotlib.pyplot [2; 4], позволяющей создавать качественные двухмерные графики;
2. присвоение значений переменным, обозначающим исходные данные -размеры ротора центрифуги, полностью заполненного жидкостью - высоты и радиуса H, R;
3. создание пустых массивов, в которые затем будут последовательно заноситься изменяющиеся значения ю и у0 с целью построения графических зависимостей уо=Дю);
4. применение функций вывода на экран графика у=(ю).
Ещё одна созданная на языке Python программа предназначена для вывода на экран трёхмерного изображения параболоида при любых исходных значениях H, R, ю на основе последней полученной формулы. В данной программе использованы средства создания и вывода на экран 3D-графики, основанные на функциях библиотеки mpl_toolkits.mplot3d, уже применённой в предыдущих работах автора [1]. Программа последовательно производит вычисление координат цилиндрической поверхности ротора, а также
параболической поверхности жидкости и вывод их в графическом виде на экран.
Примеры расчёта
Приведём результаты расчёта с помощью первой созданной программы изменения положения самой нижней точки (фокуса) параболоида у0=/(ю) при следующих исходных данных: Я=0.07 м, И=1 м, ю=0...100 рад/с. При таких параметрах получается зависимость, отображающая все характерные особенности перемещения фокуса параболоида при изменении угловой частоты вращения ротора (рис. 2).
Уо, м 1.о-
о.а -
О.б -0.4 -0.2 -0.0 --0.2 -
О 20 40 60 80 100
СО, рад/с
Рис. 2. Полученная с помощью программы зависимость положения самой нижней точки параболоида от угловой частоты вращения ротора
Естественно, что при отсутствии вращения (ю=0) поверхность жидкости является гладкой и совпадает с верхней кромкой полого ротора центрифуги, поэтому параболоида не существует (у0=И). По мере увеличения частоты вращения ротора нижняя точка параболоида начинает перемещаться вниз (что заметно по рис. 2 начиная с ю-10 рад/с) и с увеличением ю стремится всё ниже к дну центрифуги, которого фокус параболоида достигает при угловой частоте вращения ротора, примерно равной 90 рад/с. При дальнейшем увеличении ю
параметр у0 становится меньше нуля, что означает искривление нижней поверхности параболоида вращения и невозможности построение его границы по выведенным выше формулам. Отсюда можно сделать вывод, что первую расчётную программу целесообразно использовать для выявления ограничений, при которых возможно построение теоретически верного профиля параболоида вращения жидкости в центрифуге.
На рис. 3 приведено полученное с помощью второй разработанной программы на Python трёхмерное изображение вращающегося параболоида при угловой скорости ю=50 рад/с.
0.04
0.06
Рис. 3. Положение вращающегося параболоида в роторе центрифуги
В данном случае получен очень интересный результат: верхняя поверхность параболоида достигает практически высоты 4 м, то есть за счёт того, что свободный объём параболоида вытесняет из цилиндра большой объём жидкости, создаётся напор равный около 3 м, то есть такое простое
центробежное устройство вполне можно использовать как гидравлический безлопастной насос, перекачивающий небольшие расходы жидкости (так как его диаметр всё же невелик) [6]. Нижняя точка параболоида на рисунке 3 полностью соответствует её положению на рисунке 2 (y0 примерно равно 0.7 м), также изображённый радиус ротора равен 0.07 м (согласно исходным данным для расчёта примера), что подтверждает правильность расчётов с помощью второй программы.
Заключение
Таким образом, поставленная цель работы полностью выполнена, так же, как и все три задачи, на которые она была условно разбита.
Приведены теоретические выкладки, с помощью которых выведены основные расчётные формулы. Продемонстрированы широкие возможности языка программирования Python для проведения комплексного исследования характеристик параболоида вращения. Полученные формулы, а также разработанные коды программ могут быть использованы как для учебных целей, так и для дальнейшей более детальной проработки идеи использования простой центрифуги, внутри ротора которой при вращении образуется вращающаяся параболическая поверхность, для перекачивания жидкостей в любых отраслях народного хозяйства.
Выполненная работа является продолжением цикла работ автора по использованию программных библиотек свободно распространяемого языка программирования Python в промышленных разработках с внедрением наиболее современных и доступных подходов к решению широкого круга научно-исследовательских задач. Идеи, изложенные в исследовании, могут быть использованы всеми желающими для дальнейшей доработки и совершенствования.
Библиографический список:
1. Ганков М.С., Ильичев В.Ю. Разработка программ на языке Python для графической интерпретации точечных отображений. // Научное обозрение. Технические науки. 2021. № 3. С. 15-20.
2. Ильичев В.Ю. Программа для вычисления площади фигуры сложной конфигурации разными способами. // Системный администратор. 2021. № 12 (218-219). С. 134-137.
3. Ильичев В.Ю. Создание параметрических конечно-элементных трехмерных объектов с использованием функций Python. // Системный администратор. 2021. № 5 (222). С. 82-85.
4. Ильичев В.Ю. Формирование облаков слов с помощью языка Python для визуализации основных понятий текста. // Системный администратор. 2021. № 4 (221). С. 90-92.
5. Ильичев В.Ю., Гринин А.С. Основы проектирования экобиозащитных систем. Учеб. пособие для студентов вузов / В. Ю. Ильичев, А. С. Гринин. Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 207 с.
6. Кича Г.П., Молоков Н.С., Надежкин А.В. Выбор индекса производительности центробежного сепаратора для комбинированных маслоочистительных комплексов судовых тронковых дизелей. // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2020. № 4 (45). С. 45-57.
7. Конон П.Н., Кулаго А.Е., Сицко Г.Н., Конон Н.П. Экспериментальное и теоретическое исследование поведения слоя жидкости на вращающемся диске. // Теоретическая и прикладная механика. Национальный технический университет. Минск, 2016. С. 87-94.
8. Кумицкий Б.М., Саврасова Н.А., Лихачев Е.Р. Гидродинамическая модель осесимметричного истечения идеальной жидкости из донного отверстия резервуара формы параболоида вращения. // Вестник Дагестанского государственного университета. 2019. Т. 34. № 1. С. 15-23.
9. Лямасов А.К., Орахелашвили Б.М. Исследование гидромашин МГЭС: центробежный насос и гидродинамическая передача. // Вестник Уфимского
государственного авиационного технического университета. 2013. Т. 17. № 3 (56). С. 189-193.
10. Островко Д.О., Зимина Л.В. Сравнительная характеристика языков программирования Python и C++. // Формирование цифровой инфраструктуры предприятий: теоретические и прикладные аспекты. 2020. С. 38-46.
11. Параболоид вращения формула и рисунок. Свойства параболоида вращения. [Электронный ресурс]. URL: https://shkolyariki.ru/geografiya/paraboloid-vrashcheniya-formula-i-risunok-svoistva-paraboloida-vrashcheniya.html (Дата обращения 01.08.2021).
