Исследование свойств ограниченных гипергеометрических лазерных пучков Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОГРАНИЧЕННЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ

С.Н. Хонина12, С.А. Балалаев2 1 Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Проведено компьютерное моделирование распространения ограниченных обобщенных гипергеометрических пучков. Исследованы возможности формирования гипергеометрических пучков методами дифракционной оптики. Выполнено сравнение с ограниченными гипергеометрическими модами.

Ключевые слова: обобщенный гипергеометрический пучок, гипергеометрическая мода, дифракционный оптический элемент.

Введение

Новый тип световых мод - гипергеометрические (ГГ) моды недавно был представлен в работе [1]. ГГ-моды, как и моды Бесселя, обладают бесконечной энергией, следовательно, на практике их можно сформировать только приближенно и на конечном расстоянии.

Обобщение этих мод с добавлением гауссовой составляющей рассмотрено в работах [2-3]. Таким образом вводится понятие ГГ-пучков [3], энергия которых ограничена, но сами пучки теряют модо-вые свойства, сохраняя винтовую фазовую сингулярность.

Пучки с винтовой фазовой сингулярностью часто используют для передачи орбитального углового момента микрочастицам при оптическом манипулировании [4-7]. При этом, как правило, используются классические моды Гаусса-Лагерра, Бесселевы моды и чистые оптические вихри. Трехпараметрическое семейство ГГ-пучков [3] в отличие от указанных мод имеет больше параметров, позволяющих варьировать распределение интенсивности пучка в соответствии с нуждами микроманипулирования [8].

В данной работе проведено исследование возможности формирования гипергеометрических пучков методами дифракционной оптики. Также проведено сравнение их с ограниченными апертурой ГГ-модами.

1. Обобщенные гипергеометрические пучки

Обобщенные гипергеометрические лазерные пучки (ОГГ-пучки), рассмотренные в работе [3], представляют собой трехпараметрическое семейство функций. Они являются обобщением гипергеометрических мод [1] и двухпараметрических гипергеометрических пучков [9].

ОГГ-пучки имеют во входной плоскости (-=0) следующий вид:

1 ( г

Е;,п,т (Г Ф) =—I И еХР

2п V w

х ехр| /у 1п—+ /пф

I w

( ^ ^ "2а2

где (г,ф) - полярные координаты входной плоскости, w и у - действительные параметры логарифмического аксикона, с - радиус перетяжки гауссова пучка, п - целый порядок спиральной фазовой сингулярности (топологический заряд), т - целое число.

Комплексная амплитуда (1) описывает световое поле с бесконечной энергией и с особенностью при г = 0 и т < 0. Однако при распространении в любой другой поперечной плоскости на расстоянии z от входной плоскости комплексная амплитуда уже не будет иметь особенности и будет конечной.

Преобразование Френеля от комплексной амплитуды (1) имеет следующий вид [3]:

- ( - ^а^ 2ПП! I

Е„т (Р,0, -) = ^ (Л

V ^ У

С , V к ар

-\Z2qz

ехр

2 -

+ /Пб

х 1 F1

п + т + 2 + /'у 2

п +1, -

Г| П + т + 2 +/У |х (2)

( кар ^

\flqz

где (р, 9) - полярные координаты в плоскости на расстоянии - от входной, к=2п/к - волновое число, X - длина волны, = ка2, ! = (1 - ¿¿„ /-)1/2; Г(х) - гамма функция; 1F1(a,b;x) - вырожденная (или конфлю-энтная) гипергеометрическая функция [10]:

! F1(a, Ь, х) =

Г(Ь)

Г(а)Г(Ь - а)

| Г-1(1 - t)b-a-1exp(xt)d t. (3)

Выражение (3) может также быть записано в виде ряда Тейлора (функция Куммера):

! ^(а, Ь, х) = ^

(a)тхт

(b)mm!,

(4)

где (а)т=а(а+1)(а+2)...(а+т-1) - символ Похгамме-ра, (а)0=1.

В выражениях (2) и (3) используется гамма функция для вещественного аргумента:

Г( х) = | Г1 е-dt.

(5)

х

0

т=0

т

х

При у=0 и m=0 во входной плоскости будет поле:

E0n0(r' Ф) = 7Т exP 2п

Г ^ Л "2а2

exp (in ф),

(6)

распространение которого описано как дифракция гауссового пучка на спиральной фазовой пластинке [11, 12].

При ст^-да (гауссовый пучок заменяется плоской волной) из (6) получаются оптические чистые вихри, описанные в [13].

При m= -1 и ст^-да во входной плоскости будет поле:

ЕУп-1(—Ф) = ^| — I ехР| iУ1п — + тф], (7)

формирующее ГГ-моды [1].

2. Реализация ГГ-мод

В [1] получено аналитическое решение параксиального волнового уравнения, названное ГГ-модами:

/у-1

к'пф,2)=2ШЙ2 х

х exp

i% г 14

4 (n - iY + 1)

( kr2_ 2 z

Г| n+iy^+l |х , (8)

(

х 1 Fi

n +1 - iY , ikr2 . -2-, n +1; —— | ехр(шф),

принимающее при z=0 вид (7).

Формирование ГГ-мод с помощью средств дифракционной оптики непростая задача. Во-первых, эти моды, аналогично модам Бесселя, являются бесконечными и при их реализации неизбежно ограничение апертурой.

I 0,8 0,6 0,4 0,2

Л

Лл

\\ \А/\ АЛА/

а) 0

0,2

0,4

0,6

Во-вторых, амплитуда ГГ-мод при 2=0 имеет особенность в нуле (неограниченно возрастает при г = 0), таким образом, необходимо также вырезание центральной области.

Поэтому на практике, чтобы сформировать ГГ-моду, световое поле (1) следует ограничить кольцевой диафрагмой с радиусами и R2 О < R2), как показано на рис. 1.

I

г, тт

Рис. 1. Ограничение кольцевой апертурой радиального распределения интенсивности ГГ-моды во входной плоскости

Однако такое ограничение апертуры начального поля при некоторых параметрах приводит к заметным искажениям ГГ-моды. На рис. 2 показан вид радиального распределения интенсивности поля (7), прошедшего расстояние z =100 мм и его ограниченного апертурой аналога.

При следующих параметрах расчета: Х=532 нм, Rl = 0,05 мм, R2 = 1 мм, м =1 мм, число отсчетов N = 512; параметры ГГ-моды: п = 4, у = -10, среднеквадратичное отклонение точной интенсивности, полученной на основе ур. (2), от рассчитанной с учетом ограниченной апертуры на расстоянии 2 = 100 мм составляет 4,1%, а на расстоянии 2 = 200 мм - 11,8%.

I 0,8 0,6 0,4 0,2

0,8 р,мм б) 0

0,2

0,4

0,6

0,8 р, мм

Рис. 2. Радиальное распределение интенсивности ГГ-моды (у, п): (-10, 4) при г = 100 мм (а) и г = 200 мм (б): аналитический вид ГГ-моды (точечная кривая) и рассчитанный после ограничения апертурой (сплошная кривая)

Таким образом, с ростом расстояния погрешность увеличивается. Это связано с тем, что аналогично ограниченным Бесселевым пучкам ограниченные ГГ-моды сохраняют свои модовые свойства до некоторого расстояния [14].

3. Определение зависимости сохранения модовых свойств

В [1] было показано, что это расстояние пропорционально следующей величине:

R

шах ctg (y/R )• Из этой формулы (8) следует, что при 2Y

(9)

(10)

О =

тах " п(2п +1)

расстояние (9) принимает бесконечное значение. Однако это не так и пучок все равно теряет свои мо-довые свойства, начиная с некоторого расстояния.

Данный раздел посвящен эмпирическому определению этой зависимости от параметров лазерного излучения, оптического элемента и модовых параметров.

Моделировать распространение светового поля (7) для конечной апертуры можно, используя преобразование Ханкеля п-го порядка:

к

Еп (р, 8, -) = — ехр(/п 8) ехр (/к-) ехр

2

(/V ^ 2 -

<| Р(г)ехр

(/кг2 ^

2-

J„

кгр

(11)

г^,

где Зп(т) - функция Бесселя первого рода п-го порядка, Р(г) - радиальная составляющая поля (7).

Параметры расчета были выбраны следующие: Я2 = 4 мм, число точек дискретизации 1024.

Сравнение полученных распределений интенсивности на расстоянии - = 1000 мм при различных значениях параметра у приведено на рис. 3, а для различных значений параметра п - на рис. 4.

Для приведенных параметров отличие аналитического решения от численного для радиального сечения интенсивности не превышает 4,5%.

Рис. 3. Радиальное сечение интенсивности для ГГ - мод (у, п): а) (-10,4) и б) (10,4) на расстоянии вдоль оси распространения - = 1000 мм (точечная линия - аналитическое решение,

сплошная - преобразование Ханкеля)

Рис. 4. ГГ-моды (у, п): (3, -7) и (3, 7) на расстоянии вдоль оси распространения - = 1000 мм а) радиальное сечение интенсивности (точечная линия - аналитическое решение,

преобразование Ханкеля), б) инвертированное распределение интенсивности, в) распределение фазы для моды (3, -7), г) распределение фазы для моды (3, 7)

сплошная

На рис. 3 и 4 хорошо видна зависимость радиуса центрального кольца в поперечном сечении пучка от модовых параметров у и п. При этом важен как модуль, так и знак параметра у: Как видно из рис. 3, изменение знака существенно влияет на радиус основного кольца пучка. В то время как знак номера винтовой фазовой сингулярности п влияет лишь на ориентацию спирального рисунка фазы, распределение интенсивности при этом совершенно не меняется.

В работе [15] было сделано предположение, что зависимость расстояния сохранения модовых свойств имеет характер, аналогичный Бесселевым модам:

кЯ„

(12)

Однако серия численных экспериментов показала, что поведение ГГ-мод также зависит от знака параметра у.

На рисунках 5-8 показаны графики расстояния -с, до которого в поперечной картине интенсивности пучка сохраняется хорошо выраженное центральное кольцо (в частности, периферийные кольца имеют интенсивность ниже, чем у центрального кольца) в зависимости от различных значений исследуемых параметров. Сохранение четко выраженного первого кольца представляет особый интерес в задачах оптического микроманипулирования [8], и данный критерий можно использовать для оценки сохранения структуры пучка, даже если среднеквадратичная погрешность существенна.

х

-

0

- ~

тах

У

гс,мм 6000 5000 4000 3000 2000 1000

0

/

У У У

У .

/

__... — _______________

и —- -ГТ-^ ...................

0,5

1,0

Яг, мм

Рис. 5. Зависимость 1тса от радиуса апертуры R2

для ГГ-моды (у п): (-5,4) -сплошная линия, (-7,4) -пунктирная линия, (-10,4) - точечная линия

Рис. 6. Зависимость 1тса от радиуса апертуры R2

для ГГ-моды (у, п): (5,4) -сплошная линия, (7,4) -пунктирная линия, (10,4) - точечная линия

Рис. 8. Зависимость 1С от номера сингулярности п

Из графиков 5 и 6 легко видеть квадратичную зависимость гс от радиуса апертуры R2 и обратную степенную от |у|.

Причем характер зависимости для отрицательных и положительных значений параметра у сильно отличается. График на рис. 7 демонстрирует линейную зависимость от волнового числа ^ а рис. 8 показывает, что зависимости от номера сингулярности п фактически не имеется.

На основании приведенных выше рассуждений и подбора параметров по имеющимся данным была получена следующая формула для расстояния сохранения явно выраженного центрального кольца (при R2 <1,5 мм):

\с1Ж22/\ у|а' , у > 0, |с2£Я22/|уГ2, у < 0,

(13)

где а! и 0,5, с и 0,25, а2 и 2,3, с2 и 25.

Любопытно отметить, что пучки с отрицательными, но небольшими по абсолютному значению параметрами у существенно дольше сохраняют свои модовые свойства.

По формуле (13) расстояние сохранения центрального кольца ограниченной ГГ-моды из раздела 2 (длина волны Х=532 нм, R2 = 1 мм, п = 4, у = -10) составляет ~ 1500 мм, в то время как по формуле (12) расстояние сохранения модовых свойств несколько меньше гтах ~ 1180 мм.

Таким образом, несмотря на то, что уже при 1=200 мм погрешность составила около 12%, четко выраженное центральное кольцо сохраняется гораздо дольше.

На рис. 9 показано распространение ГГ-мод (длина волны Х=532 нм, R2 = 4 мм, п = 4, у = ±10) с противоположными знаками параметра у, выполненное с помощью преобразования Ханкеля. Чтобы основное кольцо входило в поле зрения, радиус рассчитываемой картины Ro увеличивался по мере увеличения расстояния г.

Как видно из рисунка 8, оценка (13) здесь дает неправильный результат: для у = -10 получается ~ 24000 мм, на самом же деле структура уже разрушена при г = 20000 мм, для у = 10 получается ~ 15000 мм, на самом же деле центральное кольцо все еще достаточно выражено при г = 20000 мм.

Видимо, при значениях радиуса R2 > 1,5 мм зависимость становится несколько иная, чем полученная в (13).

Интересно отметить динамику изменений ГГ-мод с противоположными знаками параметра у. В зоне дифракции Френеля центральные кольца пучков имеют значительно различающийся диаметр - меньший для отрицательного у. Затем, при распространении их поперечные сечения становятся все более схожими, пока в дальней зоне не будут совершенно идентичными по распределению интенсивности.

гс ~

Рис. 7. Зависимость 1С от волнового числа k

Фокальная плоскость

у=-10, п=4

у=10, п=4

Рис. 9. Сравнение распространения ГГ-мод с противоположными знаками параметра у

-=5000 мм, Я0=8 мм

-=20000 мм, Я0=16 мм

-=100000 мм, Я0=64 мм

4. Сравнение дифракционных свойств ограниченных ГГ-мод и ОГГ-пучков

Как следует из раздела 1, ГГ-моды являются частным случаем ОГГ-пучков при т= -1 и а^-да (см. формулу (7)). Однако при формировании ГГ-мод неизбежно приходится сталкиваться с их ограниченными аналогами. В частности, в разделах 2 и 3 было рассмотрено ограничение поперечно бесконечного входного поля апертурой. В этом разделе проводится сравнение такого ограничения с наложением гауссовой функции, т.е. с ОГГ-пучком при т= -1 и а=сош1

На рис. 10 приведено сравнение распространения ОГГ-пучков и ограниченных ГГ-мод. Параметры расчетов такие же, как в разделе 3, радиус гауссово-го пучка а выбран так, чтобы размеры основного кольца пучков совпадали на расстоянии -=1000 мм.

Как видно из двух первых строк рис. 10, несмотря на существенные значения среднеквадратичного отклонения ограниченной ГГ-моды от ее аналитического вида, структура пучка сохраняется вплоть до -=10000 мм, что составляет 1250 входных апертур. При этом ОГГ-пучок с аналогичными параметрами разрушается значительно быстрее - уже при

z=2000 мм, что составляет 250 входных апертур. Согласование численных результатов с теоретическими для ОГГ-пучков очень хорошее - погрешность не выше 2%.

На рис. 11 показано более подробно сравнение динамики изменения радиального сечения ограниченной ГГ-моды и ОГГ-пучка на расстояниях от z=500 мм до z=2000 мм.

z=1000 мм z=2000 мм z=5000 мм z=10000 мм

ГГ-мода (у, п): (-10, 4)

,а ь; 3 т и ан О о И| О

Пр. Ханкеля, ф. (11) о о @ ш

5, % 16,2 18,8 33,4

ОГГ-пучок (у, n,m)

о) .ф, ,а ь; 3 т и ан О • п

Пр. Ханкеля, ф. (11) о • □

5, % 1,6 0,3 0,15

Рис 10. Сравнение распространения ОГГ-пучков и ГГ-мод: аналитические и численные результаты

Из рисунка 11 хорошо видно, что ГГ-моды даже в случае ограничения апертурой значительно дольше сохраняют свою структуру, чем ОГГ-пучки.

Однако в отличие от ГГ-мод ОГГ-пучки имеют на один параметр больше, что дает больше свободы при формировании различных типов сингулярных пучков.

А л

т WVvw AAAA/WW ДЛЛЛЛпп г ---

а) О 1

р, мм

Л

№ А л

V ЛЛ/у tfWw гАаааа^

б) О 1

р, мм

А

1

\

!

J \ ч \/ \ / \Лл,

в) 0 1 2 3 р, мм

Рис. 11. Радиальное сечение интенсивности для ГГ - моды (у п)=(-10,4) (точечная линия - аналитическое решение, пунктирная - преобразование Ханкеля) и ОГГ-пучка (у п,т) = (-10, 4, -1) (сплошная линия) на расстоянии вдоль оси распространения - = 500 мм (а), - = 1000 мм (б), - = 2000 мм (в)

На рис. 12 показаны примеры ОГГ-пучков с различными значениями параметра т на расстоянии - = 1000 мм: (у, п, т)=(-10, 4, -2), (-10, 4, -1), (-10, 4, 0), (-10, 4, 2).

\ ■

: / : / / ■ /Л J Чш ^ :

• Чш : 1Я ■ !Щ ■if

Ч / V VS- s

0 0,5 1,0 1,5 р, мм

Рис. 12. Радиальное сечение интенсивности для ОГГ-пучка на расстоянии вдоль оси распространения - = 100мм для (у, п,т): (-10, 4, -2) - сплошная линия, (-10, 4, -1) - штрих-пунктирная линия, (-10, 4, 0) -пунктирная линия, (-10, 4, -2) - точечная линия

Из рис. 12 видно, что с увеличением значения параметра т энергия пучка все больше концентрируется в центральной части (рост центрального кольца не совсем корректно отражает динамику

этой концентрации, так как входное поле по энергии не нормировалось).

Заключение В заключении кратко сформулируем полученные результаты.

• Показана возможность аппроксимации ГГ-мод их ограниченными аналогами с точностью 5-12% до некоторого расстояния.

• Получена аналитическая формула при небольших значениях входной апертуры для оценки расстояния, на котором сохраняется четко выраженное центральное кольцо моды.

• Отмечено, что ГГ-моды, имеющие противоположные знаки параметра у, имеют различные диаметры центральных колец в зоне дифракции Френеля, которые, однако, в дальней зоне дифракции становятся совершенно одинаковыми.

• Обобщенные ГГ-пучки, согласованные с параметрами ГГ-мод, сохраняют свою структуру на значительно меньшем расстоянии. Однако дополнительный параметр m позволяет варьировать концентрацию энергии таких пучков в центральной части.

Благодарн ости Работа выполнена при частичной финансовой поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06), грантов РФФИ №№ 07-07-97600, 08-07-99007 и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9).

Литература

1. Kotlyar V.V., "Hypergeometric modes,"/ V.V. Kotlyar [and other]// Opt. Lett. 32, p.742-744 (2007)

2. Karimi E., "Hypergeometric-Gaussian modes," / E. Karimi,// Opt. Lett. 32, 3053-3055 (2007)

3. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A 25, 262-270 (2008)

4. He, H. Optical particle trapping with higher order doughnut beams produced using high efficiency computer generated phase holograms / H. He, N. R. Heckenberg, H. Rubinsztein-Dunlop // J. Mod. Opt. 1995. V. 42, No. 1. P. 217-223.

5. Gahagan, K. T. Optical vortex trapping of particles / K. T. Gahagan, G. A. Swartzlander // Opt. Letters. 1996. V. 21, No. 11. P. 827-829.

6. Arlt, J. Optical micromanipulation using a Bessel light beams / J. Arlt [and other] // Opt. Comm. 2001. V. 197. P. 239-245.

7. Khonina, S.N. Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements, / S.N. Khonina [and other] //Journal of Modern optics, 51(14), P.2167-2184 (2004)

8. Скиданов, Р.В. Расчет силы, действующей на сферический микрообъект в гипергеометрических пучках / Р.В. Скиданов [и другие] // Компьютерная оптика, 32(1), С.39-44 (2008)

9. Ковалев, А.А. Параксиальные гипергеометрические лазерные пучки с особенностью в центре перетяжки,/ А.А. Ковалев [и другие] // Компьютерная оптика, 31(1), С.9-13 (2007)

10. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана // - М.: Наука, 1979.

11. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices / D. Rozas, C. T. Law, G. A. Swartzlander //J. Opt. Soc. Am. B 14, P.3054-3065 (1997)

12. Kotlyar, V. V. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase

plate / V. V. Kotlyar [and other] // J. Opt. Soc. Am. A 22, 849-861 (2005)

13. Котляр, В.В. Оптические чистые вихри и гипергеометрические моды, / В.В. Котляр [и другие] //Компьютерная оптика, 27, С.21-28 (2005)

14. Балалаев, С.А. Сравнение свойств гипергеометрических мод и мод Бесселя, / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина //Компьютерная оптика, 31(4), С.23-28 (2007)

15. Балалаев, С.А. Расчет гипергеометрических мод / С.А. Балалаев, С.Н. Хонина, В.В. Котляр // Известия Самарского научного центра РАН, 9(3), С.584-591 (2007).