Исследование возможности формирования гипергеометрических лазерных пучков методами дифракционной оптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

= ФИЗИКА

УДК 535.42

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ МЕТОДАМИ ДИФРАКЦИОННОЙ ОПТИКИ

© 2008 С.А. Балалаев1, С.Н. Хонина2, Р.В. Скиданов2

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара

Проведено компьютерное моделирование распространения ограниченных гипергеометрических пучков. Исследованы возможности формирования гипергеометрических пучков методами дифракционной оптики. Выполнено сравнение экспериментальных результатов с численными.

Введение

Формирование гипергеометрических (ГГ) мод, описанных недавно в работе [1], с помощью средств дифракционной оптики не простая задача. Во-первых, эти моды, аналогично модам Бесселя, являются бесконечными и при их реализации неизбежно ограничение апертурой. Во-вторых, амплитуда ГГ-мод во входной плоскости (при z=0) имеет особенность в нуле (неограниченно возрастает при г = 0), таким образом, необходимо также вырезание центральной области.

В [2] показано, что при достаточно большом внешнем радиусе кольцевой апертуры распределение интенсивности формируемого ограниченного гипергеометрического пучка отличается от распределения аналитической моды на 5-12% вплоть до некоторого расстояния, определяемого радиусом апертуры и параметром моды у.

Однако при реализации методами дифракционной оптики и кодировании комплексной функции пропускания в чисто фазовую ГГ-мод возникают сложности из-за резкого спада амплитуды - периферийная часть прописывается очень плохо даже при большом числе уровней квантования. Поэтому в данной работе используется метод Лезема [3], игнорирующий амплитудную информацию при кодировании и рассмотрены различные типы пучков, освещающие полученный фазовый дифракционный элемент (ДОЭ).

В этом случае формируемые пучки потеряют свои модовые свойства, но сохранят винтовую фазовую сингулярность. Обобщение ГГ-мод с добавлением гауссовой составляю-

щей рассмотрено в работе [4], где вводится понятие ГГ-пучков, энергия которых ограничена. Такие пучки имеют определенные преимущества и могут использоваться в задачах оптического микроманипулирования [5].

Изготовление ДОЭ с полутоновым рельефом довольно сложно, поэтому также рассматриваются два варианта бинарного кодирования, основанные на добавлении линейной несущей частоты.

В работе проведены численные и натурные эксперименты, выполнено их сравнение.

Оценка искажений ГГ-мод при их реализации

В [1] получено аналитическое решение параксиального волнового уравнения, названное ГГ-модами:

¡у-1

1 ( 2г Х^Г

Е~(гф2} = 1

ехр

т , 14

--(П - IV + 1)

4

кг■2 22

ГГ + ¡У +1 |х

(1)

, п +1 - ¡у Iкг2 ,

1 —, п +1;— I ехрО^

где (г, ф) - полярные координаты в плоскости на расстоянии г от входной, к=2р/Х -волновое число, X - длина волны, Г(х) -гамма функция; Е (а,Ъ;х) - вырожденная (или конфлюэнтная) гипергеометрическая функция [6].

При z=0 выражение (1) принимает следующий вид:

X

2

Е„,у (Г,<) =

1

2лг

ехр['у 1п (г )]х ехр('пр). (2)

При формировании поля (2) во входной плоскости необходимо ограничить его кольцевой диафрагмой с радиусами R1 и R2 ^ < R2), где кольцо радиуса R1 вырезает центральную область с особенностью при г = 0 (рис. 1).

В [2] показано, что при достаточно большом внешнем радиусе кольцевой апертуры распределение интенсивности формируемого ограниченного гипергеометрического пучка отличается от распределения аналитической моды на 5-12% вплоть до некоторого расстояния, определяемого радиусом апертуры и параметром моды у.

Однако даже ограниченное распределение амплитуды (2) сложно формировать методами дифракционной оптики. Амплитудно-фазовые оптические элементы являются неэффективными, а при кодировании комплексной функции пропускания в чисто фазовую из-за резкого спада амплитуды ГГ-мод возникают сложности - периферийная часть прописывается очень плохо даже при большом числе уровней квантования.

Поэтому в данной работе экспоненциальная амплитуда заменяется гауссовым пучком:

Е„Аг,р) = ехР

ехр [¡у1п (г )]х ехр('пр) (3)

Fn (р,в, z) = — ехр(7П0)ехр(7&г)ехр z

2 z

:] Р(г)

ехр

(¡кг

V 2z у

J^ кгр Ыг

(5)

где ч - радиус гауссового пучка, либо просто используется киноформ [3] с игнорированием амплитудной информации:

Е„,у (г, р) = ехр [¡у 1п (г )]х ехр('пр) . (4)

Функция (4) представляет собой логарифмический аксикон.

На рис. 1 показаны радиальные сечения амплитуды во входной плоскости ^=0) для выражений (2)-(4): R1 = 0,1 мм, R2 = 1 мм, ч = 0,5 мм.

Моделировать распространение параксиальных ГГ-пучков можно с помощью преобразования Ханкеля п-го порядка:

где J (г) - функция Бесселя первого рода п-го

Рис. 1. Радиальное сечение амплитуды во входной плоскости для амплитудно-фазового (АФ, толстая светлая линия), гауссово-фазового (ГФ, мелкопунктирная линия) и чисто фазового (Ф, толстая черная линия) ГГ-пучка

порядка, Р(г) - радиальная составляющая соответственно пучка (2), (3) или (4).

На рис. 2 показаны радиальные сечения интенсивности в плоскостях z = 20 мм (а), z = 100 мм (б), z = 200 мм (в), z = 400 мм (г) для различных пучков: (п, у) = (4, -10), длина волны ^=633 нм.

В табл. 1 приведены среднеквадратичные отклонения рассмотренных пучков от идеального распределения ГГ-моды (1).

Как видно из табл. 1 и рис. 2, значения погрешности при замене экспоненциальной амплитуды гауссовой получаются значительно меньше, чем при плоской. Однако начиная с некоторого расстояния, несмотря на существенные значения погрешности, при освещении плоским пучком получается структура, более близкая идеальной (основной вклад в отклонение вносит меньший радиус основного кольца и уменьшение интенсивности периферийных колец). В обоих случаях формируется хорошо выраженное центральное кольцо. То есть, на практике вместо сложного кодирования можно использовать киноформ, представляющий собой логарифмический аксикон (4) и осветить его либо гауссовым пучком, либо плоским. Обобщение ГГ-мод с добавлением гауссовой составляющей рассмотрено в работе [4], где вводится понятие ГГ-пучков, энергия которых ограничена.

На рис. 3 показано распространение ГГ-пучка с параметрами (п,у)=(7,10), сформированного киноформом, фаза которого приведена при z=0. Хорошо видно, что такой пучок уже не является модой, так как его поперечная картина меняется на различных расстояниях, однако данный пучок является

I

1

0

г, мм

2

г

X

2

(а)

(в)

(г)

Рис. 2. Радиальные сечения интенсивности в плоскостях z = 20 мм (а), z = 100 мм (б), z = 200 мм (в), z = 400 мм (г) для различных пучков ГГ-пучков (п, дд) = (4, -10): идеальная ГГ-мода (1) - широко-пунктирная линия, ограниченный АФ пучок (2) - толстая светлая линия, логарифмический аксикон с гауссаовой амплитудой (3) -мелко-пунктирная линия, логарифмический аксикон с плоской амплитудой (4) - толстая черная линия

Таблица 1. Среднеквадратичные отклонения рассмотренных пучков от идеального распределения ГГ-моды (1)

Расстояние, ъ

20 мм

100 мм

200 мм

400 мм

Ограниченный амплитудно-фазовый (2)

3,4%

7,8%

14,1%

30,4%

Гауссово-фазовый (3)

10,9%

20,0%

19,9%

34,3%

Чисто фазовый (4)

72,5%

42,3%

30,0%

42,1%

О

R=1 тт, ъ=0

7=100 тт

7=300 тт

7=500 тт

7=1000 тт

Рис. 3. Инвертированное распределение интенсивности гипергеометрического пучка с параметрами (п, у)=(7,10), сформированного киноформом с полутоновой фазой при освещении его плоским пучком

вихревым, т.к. содержит в себе угловую фазовую сингулярность. Такие пучки могут вполне успешно использоваться в задачах оптического микроманипулирования [5].

Численное моделирование формирования ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ

Изготовление ДОЭ с полутоновым рельефом также довольно сложно, поэтому далее рассматриваются два варианта бинарного кодирования.

Если рассмотреть суперпозицию комплексно-сопряженных функций (4), то в результате получится действительное распределение, т.е. с бинарной фазой. При этом, чтобы каждый из пучков формировался отдельно, в частности, распространялись под некоторым углом к оптической оси, необходимо добавить каждому из них фазово-линей-ную составляющую:

Ъп у (г, ф) = ехр/ у 1п г+¡пф+¡сх)+

+ехр- ¡у 1п г - ¡пф - ¡сх) = со^у 1п г + пф+сх)' (6)

где с - пропорционально углу, под которым пучки будут распространяться.

Чисто фазовый ДОЭ из (6) можно получить двумя способами: методом киноформа, проигнорировав косинусное распределение амплитуды, или кодированием этой амплитуды в фазу, например, методом локального фазового скачка [7]

На рис. 4 показаны результаты моделирования действия полутонового и двух бинарных ДОЭ при освещении их плоским пучком

радиусом 1 мм. При бинаризации дополнением комплексно-сопряженной функции половина энергии уходит на формирование дополнительного пучка, однако иногда это бывает полезным, например, при синтезе многопорядковых фильтров, предназначенных для оптического анализа световых полей [8].

Интересно, что интенсивность Фурье-образов ГГ пучков и их комплексных сопряжений одинакова, хотя при распространении в свободном пространстве они имеют совершенно различный вид: кольцо для отрицательных значений параметра у имеет значительно меньший радиус.

На рис. 4 хорошо видны паразитные дифракционные порядки для случая бинарного киноформа, однако, они имеются и в распределении, формируемом бинарным ДОЭ с закодированной амплитудой. Только они отброшены дальше от полезных дифракционных порядков в связи с более высокой частотой кодирования этой амплитуды (рис. 5).

Очевидно, что бинарный ДОЭ с кодированной амплитудой будет иметь меньшую эффективность, но, в принципе, должен обеспечивать меньшую погрешность формирования пучков. Однако численные исследования показали, что выигрыш этот незначительный и не всегда имеет место.

На рис. 6 и 7 приведены радиальные сечения ГГ-пучка с параметрами (п,у)=(7,10) и (п,у)=(-7, -10), соответственно, на различных расстояниях, сформированные полутоновым ДОЭ, бинарным с кодированием амплитуды и бинарным киноформом при освещении их

Фаза ДОЭ

Бинарная с кодированием амплитуды

Бинарная методом киноформа

Z=200 тт

Z=ю

Рис. 4. Фазовые функции ДОЭ (левый столбец) и инвертированные распределения интенсивности на расстоянии z=200 mm от ДОЭ (средний столбец) и в фокальной плоскости линзы (правый столбец)

плоским пучком радиусом 2.5 мм. Как видно из рисунков, пучок с отрицательным параметром у имеет меньший радиус кольца и большее значение интенсивности. Также видно, что интенсивность в основном кольце ГГ-пуч-ка, сформированного с помощью бинарного ДОЭ с кодированием амплитуды, почти в 2 раза ниже, чем для бинарного киноформа.

В табл. 2 приведены значения радиального среднеквадратичного отклонения:

где ЦТ) - интенсивность радиального сечения пучка, сформированного полутоновым кино-формом, 1(г) - интенсивность радиального сечения пучка, полученная либо с помощью бинарного киноформа, либо с помощью бинарного ДОЭ с кодированной амплитудой.

А также радиально-взвешенного среднеквадратичного отклонения:

5. =

Х[ 1о(г) -1 (г)]:

г< Я_

11о2(г )

у/2

& =

X г[Iо(г) -1(г)]

г< Я_

X г1 о2(г)

V/2

(8)

(7)

Из табл. 2 можно сделать вывод о том, что погрешность формирования ГГ-пучков с

О ■ • у 1 О с

о о © о

О О ©

(а)

(Ь)

Рис. 5. Инвертированное распределение интенсивности, формируемое бинарным ДОЭ с кодированной амплитудой и бинарным киноформом (б) на расстоянии z=300 mm

1,5

0,5

0,5

/.....\ =»- -

(а)

(Ъ)

Рис. 6. Радиальные сечения ГГ-пучка с параметрами (п,у)=(7,10) на расстоянии z=2000 мм и z=3000 мм (Ь), сформированные полутоновым ДОЭ (черная толстая линия), бинарным киноформом (светлая толстая линия) и бинарным ДОЭ с кодированием амплитуды (мелко-пунктирная линия) при радиусе освещающего пучка 2,5 мм

3,75 2,5 1,25 0

ш ..............л/-- у ^

2,5

1,25

/

\ \ Г\ ^уСЧ-

0

1

2

3

4 0

1

2

3

4

(а) (Ъ)

Рис. 7. Радиальные сечения ГГ пучка с параметрами (п,у)=( --7, --10) на расстоянии z=2000 мм и z=3000 мм (Ь), сформированные полутоновым ДОЭ (черная толстая линия), бинарным киноформом (светлая толстая линия) и бинарным ДОЭ с кодированием амплитуды (мелко-пунктирная линия) при радиусе освещающего пучка 2.5 мм

помощью бинарных ДОЭ по сравнению с полутоновым невелика. И при этом кодирование с учетом амплитуды не дает особого выигрыша по сравнению с методом киноформа, даже иногда проигрывает.

Экспериментальное формирование ГГ-пучков с помощью фазовых ДОЭ

Описанные в предыдущем разделе ДОЭ были изготовлены с использованием элект-

0

0

0

2

3

4

5

6

7

5

0

Таблица 2. Значения радиального и взвешенно-радиального среднеквадратичного отклонения интенсивности пучков, формируемых бинарными ДОЭ от интенсивности пучков, формируемых полутоновым ДОЭ

при освещении плоским ограниченным пучком

ГГ пучок с параметрами (п,у)=(7,10)

z, мм Бинарный киноформ Бинарный ДОЭ с кодированной амплитудой

8„ % 8„, % 8„ % 8„, %

2000 3,1 5,1 2,2 3,7

2500 2,4 4,5 3,4 6,0

3000 1,7 3,6 1,5 3,1

ГГ пучок с параметрами (n,y)=(-7,-10)

2000 6,6 7,4 6,9 7,8

2500 4,4 4,5 5,0 5,1

3000 1,0 1,3 1,9 2,2

ронной литографии в Университете Йоенсуу (Финляндия). Размер ДОЭ 5 x 5 mm-2, микрорельеф выполнялся с шагом h=10 mmm для длины волны ^=532 nm.

На рис. 8 приведены изображения микрорельефа элементов, полученные с помощью электронного интерферометра the Newview 5000 Zygo со 100- и 400-кратным увеличением.

В табл. 3 приведены характеристики качества изготовленных ДОЭ

К сожалению, погрешность изготовления многоуровневого микрорельефа состоит не только в вариациях высоты, но и в нелинейном характере наклона "винтовых" лопастей, как это хорошо видно на рис. 8а. Общая погрешность изготовления полутонового микрорельефа составила более 40%, что связано с трудностями изготовления таких рельефов. В результате с помощью полуто-

нового ДОЭ вообще не удается сформировать кольцо, характерное для ГГ- пучков.

На рис. 9 приведены результаты моделирования для фазы, измеренной по изготовленному рельефу, и экспериментально полученные картины. А на рис. 10 сравнение результатов моделирования для идеального и реально измеренного рельефа при освещении его различными типами пучков. Видно, что винтовая сингулярность в пучке отсутствует.

Результаты для бинарных оптических элементов получились гораздо лучше. На рис. 11 приведены результаты экспериментального формирования ГГ пучков с помощью бинарных ДОЭ. На рис. 11b хорошо видны дополнительные (паразитные) порядки, возникающие из-за бинарного кодирования. В случае с кодированием амплитуды (рис. 11а) эти порядки отброшены значительно дальше от полезной области.

Рис. 8. Микрорельеф полутонового (256-уровневый) киноформа (100х увеличение), (Ь) бинарного ДОЭ с кодированием амплитуды (100х увеличение) и (с) бинарного киноформа (400х увеличение)

Таблица 3. Характеристики качества изготовленных ДОЭ

Оптимальная высота микрорельефа для Х=532 nm Измеренная высота микрорельефа Погрешность по высоте микрорельефа

Полутоновой киноформ 1120.4 nm 1050-1070 nm 6,3%

Бинарный ДОЭ с кодированной амплитудой 578.3 nm 570-580 nm 1,4%

Бинарный киноформ 578.3 nm 572-583 nm 1%

(а)

(Ъ)

Рис. 9. Инвертированное распределение интенсивности ГГ пучка с параметрами (п,^)=(7,10), сформированное с помощью полутонового киноформа на расстоянии 1000 мм: (а) моделирование, (Ь) эксперимент

Идеальный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 2 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 1 мм

Рис. 10. Инвертированное распределение интенсивности ГГ пучка с параметрами (п,^)=(7,10), сформированное с помощью идеального и измеренного полутонового киноформа на расстоянии 500 мм

при освещении различными типами пучков

Рис. 11. Экспериментальное распределение интенсивности, формируемое при освещении плоским пучком бинарного ДОЭ с кодированной амплитудой (а) и бинарного киноформом (б) на расстоянии z=3000 mm

Идеальный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 2 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 1 мм

Рис. 12. Инвертированное распределение интенсивности пары ГГ-пучков с параметрами (п,у): (-7,-10) и (7,10), сформированное с помощью идеального и измеренного бинарного ДОЭ с кодированием амплитуды на расстоянии 500 мм при освещении различными типами пучков.

Рис. 13. Инвертированное распределение интенсивности пары ГГ-пучков с параметрами (п,у): (-7,-10) и (7,10), сформированное с помощью идеального и измеренного бинарного киноформа на расстоянии 500 мм

при освещении различными типами пучков

Идеальный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый плоским пучком с радиусом 2.5 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 2 мм

Изготовленный полутоновой микрорельеф, освещаемый гауссовым пучком с радиусом перетяжки 1 мм

5 %

18,5

17,4

19,8

На рис. 12 и 13, соответственно, приведены показаны сравнительные результаты моделирования для идеальных и реально измеренных бинарных рельефов при освещении их различными типами пучков. Видно хорошее согласование, особенно для бинарного киноформа.

Оценка экспериментальных результатов

Как видно из рис. 11 экспериментальные данные сильно зашумлены, а также искаже-

ны наложением паразитных дифракционных порядков. Чтобы оценить отличие от теоретических результатов формировалось радиальное сечение для каждого из пучков с использованием процедуры усреднения полученных экспериментальных данных. Шаги этой процедуры приведены ниже:

1. Выделение области, содержащей распределение интенсивности только одного из ГГ-пучков.

2. Вычисление центра пучка в первом приближении по формулам:

ЦI (х, у) \dxdy ЦI (х, у) уйхйу

хс =■

ЦI (х, y)dxdy с ЦI (х, y)dxdy (9)

1 2л

I(Г) = 2л ^1' ^^

(10)

3. Вычисление усредненных координат локальных максимумов (соответствующих первому кольцу) и коррекция координат центра с учетом этой информации:

6. Увеличение контрастности интенсивности по формуле:

I (г )

[I(г)]. (11)

I (г) =

тт

0<г<Л

хс =

Хтах 1 + хтах 2

2

, Ус =

У тах 1 ^ У тах 2 2

4. Перевод распределения интенсивности в полярную систему координат Дг, j).

5. Формирование радиального сечения с помощью формулы:

7. Нормализация по уровню интенсивности, рассчитанная по формуле:

I (г)

(12)

I (г) =

тах

0<г<Д

[I(г)].

Сравнение экспериментальных картин на расстоянии 3000 мм от плоскости ДОЭ

Тип

Эксперимент для бинарного киноформа

Моделирование для идеального бинарного киноформа

Моделирование для идеального многоуровневого киноформа

Радиальная интенсивность

0,5

0 1 2 3 4 5 6

0,5

0 1 2 3 4 5 6

0,5

2D интенсивность

Размер области 12x12 мм 400x400 отсчетов

О

Размер области 12x12 мм 256x256 отсчетов

О

Размер области 12x12 мм 512x512 отсчетов

Рис. 14. Сравнение экспериментальных и численных результатов при освещении бинарного киноформа плоским пучком: 2D распределения интенсивности и их усредненные радиальные сечения для моды (п,у)=(7,10)

1

0

2

3

4

5

6

(диаметром 5 мм) с численными, полученных для ГГ-пучка с параметрами (п, /)=(7,10) при освещении бинарного киноформа плоским пучком, приведено на рис. 14.

Отклонение экспериментального усредненного радиального сечения для бинарного киноформа от численно предсказанного составило 5г = 14,5% и = 28,2%. Примерно такое же отклонение было получено при сравнении экспериментальных данных с результатами моделирования действия многоуровневого киноформа - 5г = 14,9% и 5^ = 29,1%. Что еще раз подтверждает эквивалентность в данном случае полутонового и бинарного оптических элементов по точности формирования пучков. На рис. 15 приведены аналогичные результаты для ГГ-пучка с параметрами (п, /)=(-7,-10). Значения СКО для бинарного киноформа данной моды с эксперементально полученными данными составили 5 = 25,7% и 5 = 30,0.

г 5 w 5

Из рис. 14 и 15 видно, что основной вклад в погрешность вносят периферийные кольца - их интенсивность при экспериментальном формировании оказывается существенно выше, чем при моделировании.

Заключение

В работе проведено исследование формирования ГГ пучков с использованием различных типов ДОЭ.

Показано, что бинарные элементы, при потере эффективности (которая однако компенсируется, если имеется целесообразность формирования дополнительного сопряженного пучка) обеспечивают точность формирования пучков, сравнимую с многоуровневыми элементами. В связи со сложностью изготовления многоуровневых элементов это делает их конкурентоспособными для определенного круга задач.

Также показано, что кодирование с учетом амплитуды при использовании несущей пространственной частоты в суперпозиции комплексно-сопряженных функций, является избыточным. В этом случае улучшение точности очень незначительно по сравнению с дополнительной потерей эффективности.

Рассмотренная аподизация амплитудной информации гауссовым освещающим пучком дает преимущества перед плоским пучком только до некоторого расстояния, на более дальних

Тип

Эксперимент для бинарного киноформа

Мо делирование для бинарного киноформа

Радиальная интенсивность

0,5

0 1 2 3 4 5 6

0,5

2D интенсивность

Размер области 12x12 мм 400x400 отсчетов

О

Размер области 12x12 мм 256x256 отсчетов

Рис. 15. Сравнение экспериментальных и численных результатов при освещении бинарного киноформа плоским пучком: 2D распределения интенсивности и их усредненные радиальные сечения для моды (л, ^=(-7,-10)

0

1

2

3

4

5

6

расстояниях использование плоского пучка позволяет лучше сохранить структуру.

Сравнение экспериментальных результатов с численными показало существенное среднеквадратичное отклонение интенсивности формируемых пучков от идеальных, однако хорошо выраженная кольцевая структура при этом сохраняется и основной вклад в погрешность вносят затухающие периферийные кольца.

Благодарности

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российско-Американской программы "Фундаментальные исследования и высшее образование" (грант CRDF RUX0-014-Sa-06) и грантов РФФИ №№ 07-07-97600, 08-07-99007, а также при поддержке "Фонда содействия отечественной науке".

Авторы выражают благодарность группе Я. Турунена (Физический факультет Университета Йоенсуу, Финляндия) за изготовление и предоставление для проведения экспериментов дифракционных оптических элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kotlyar VV, Skidanov R.V, Khonina S.N., andSoifer V.A. Hypergeometric modes. Opt.

Lett. 32, 742-744 (2007)

2. Балалаев С.А., Хонина С.Н. Сравнение свойств гипергеометрических мод и мод Бесселя // Компьютерная оптика. 2007. № 31(4).

3. Lesem L.B., Hirsh P.M., Jordan J.A. The kinoform: a new wavefront recon-struction device // IBM J. Res. Develop. 1969. V.13. N.3.

4. Kotlyar V.V., Kovalev A.A. Family of hypergeomet-ric laser beams // J. Opt. Soc. Am. 2008. A 25.

5. Скиданов Р.В., Хонина С.Н., Морозов А.А, Котляр В.В. Расчет силы, действующей на сферический микрообъект в гипергеометрических пучках // Компьютерная оптика. 2008. № 32(1).

6. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана. М.: Наука, 1979.

7. Kotlyar VV, Khonina S.N., Melekhin A.S., Soifer V.A. Fractional encoding method for spatial filters computation // Asian Journal of Physics. 1999. № 8 (3).

8. Khonina S.N., Skidanov R.V., Kotlyar V.V., Jefimovs K., Turunen J. Phase diffractive filter to analyze an output step-index fiber beam // Optical Memory and Neural Networks (Allerton Press). 2003. №12(4).

EXAMINATION OF POSSIBILITY TO FORM HYPERGEOMETRIC LASER BEAMS BY MEANS OF DIFFRACTIVE OPTICS

© 2008 S.A. Balalaev1, S.N. Khonina2, R.V. Skidanov2

1 Samara State Aerospace University 2 Image Processing Systems Institute of Russian Academy of Sciences, Samara

A numerical simulation of bounded hypergeometric laser beams propagation is conducted. We discussed the possibility of hypergeometric beams generation by means of diffractive optics. A comparative analysis of experimental and numerical results is accomplish.