ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

И.Л. Покровский, канд. физ.-мат. наук, доцент

Д.А. Мартынов, магистр

К.М. Зубарев, старший преподаватель

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (Россия, г. Москва)

DOI:10.24412/2500-1000-2024-11-4-177-185

Аннотация. В данной работе рассматривается решение спектральной краевой задачи с нелокальными граничными условиями специального вида. Авторы предлагают численный методы нахождения собственных значений и соответствующих собственных функций. Исследуется зависимость собственных значений и собственных функций от вещественного параметра. Представленные результаты демонстрируют применимость заданных граничных условий для решения задачи максимизации разности между первыми двумя собственными значениями и может быть предложена, которая может найти применение в исследовании явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, численных методах, при исследовании разностных схем, а также электромагнитной задаче дифракции на проводящих тонких экранах.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые задачи, нелокальные граничные условия, собственные значения, собственные функции.

Собственные значения и собственные функции - это важнейшие понятия в линейной алгебре и математическом анализе. Они играют ключевую роль в решении многих задач, связанных с линейными операторами и дифференциальными уравнениями. На основе этих понятий в различных областях науки и техники строится множество конструкций, встречающихся при моделировании реальных физических процессов.

С помощью собственных значений и собственных функций можно определить поведение системы во времени и прогнозировать ее будущее состояние. Многие соотношения, которые связаны с линейными операторами, значительно упрощаются в системе координат, построенной в базисе из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора, или же спектр оператора, характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат.

Краевые задачи на собственные значения для оператора Лапласа с классическими граничными условиями хорошо изучены и подробно описаны во многих учебниках и пособиях. Но некоторые свойства собственных

значений, существенные для приложений, не удается получить, оставаясь в рамках традиционных граничных условий I, II и III рода. Среди прочих, к ним относится задача о максимизации разности между первым и вторым собственными значениями, возникающая в квантовой термодинамике, поставленная Виктором Павловичем Масловым во время исследования явлений сверхтекучести и сверхпроводимости [1, 2], а также возникающая в численных методах, при исследовании разностных схем [3], а также электромагнитной задаче дифракции [4, 5] на проводящих тонких экранах в постановке, описанной в [6]. Исследование асимптотики решений соответствующих операторов [7] играет важную роль в решении таких проблем, как теория самосогласованного поля в квантовой и классической статистике, сверхтекучесть и сверхпроводимость [8], квантование солитонов [9], квантовая теория поля в сильных внешних полях. К этим задачам может быть применен подход, связанный с подбором граничных условий специального типа [10].

Материалы и методы исследования. В данной статье будет рассмотрено решение система уравнений следующего вида

-y (x) - Ay(x) = 0,x e (a,b); < -y (a) - r2(ay(a) + Py(b))a = 0; (1)

y (b) - r2(ay(a) + py(b))p = 0,

где у(х) - неизвестная функция, Я -спектральный параметр, Г - вещественный параметр, а, Р - заданные постоянные.

Необходимо найти собственные значения Я задачи (1) и соответствующие им собственные функции. Определить характер их изменения при изменении параметра Г .

В рамках работы используются пары значений (а,Р). (3,4),(-3,4). Задача решается

на промежутке а = 0, Ь = 1.

Рассмотрим решение задачи в общем виде. Существуют три случая: Я > 0,Я = 0,Я < 0 .

При значениях Я > 0 решение задачи (1) имеет вид:

у( х) = А $т(4Ях) + В соб(\[Ях) , (2)

где А, В - произвольные числа, далее будем полагать А2 + В2 Ф 0 .

Тогда краевые условия задачи (1), с учетом подстановки а = 0, Ь = 1, примут вид:

А{-4Я - арг2 8т(тЦ)) - Вг 2(а + Рсоя(у/А))а = 0; < А(4Ясо8(4Я) - р2г28т(Л)) + (3)

+В(-^т(4!) - г2(а + Рсоз(Л)))Р = 0.

Найдем детерминант матрицы системы (3). Также проверим, чтобы выполнялось условие совместности, то есть равенство нулю детерминанта матрицы данной системы, получаем следующее уравнение для поиска собственных значений исходной задачи:

4Я(2а/г2 + (а2 + р2)г 2со8(4Я) + л/Я б{п(у[Я)) = 0. (4)

В случае Я = 0 уравнение для поиска значения параметра Г, соответствующего нулевому Я примет вид

(Р + а)2 г2 = 0. (5)

В случае Я < 0 рассуждая аналогично случаю Я > 0 , приходим к уравнению, решение которого определяет отрицательные собственные значения:

4-Я(2аРг2 + (а2 + Р2 )г 2сН(уГЯ) -4-Я8к(уГЯ)) = 0. (6)

Результаты и их обсуждение. Рассмотрим решение задачи для а(+). Подставим значения (3, 4) и а = 0, Ь = 1 в задачу (1), а также уравнения (4) и (6), получим:

-у (x) - Лу(x) = 0, x е (0,1); - у (0) - г 2(3 у(0) + 4 у(1))3 = 0; У(1) - г2(3у(0) + 4у(1))4 = 0,

!(24 + 25cos(y/I)) = -Vl sin(Vl), (24 + 25ch(V-A)) = yf-Xsh(yf-X).

Найдем первые три собственных значения Я при различных значениях параметра Г. При увеличении значения параметра Г происходит уменьшение первого собственного

(7)

(8) (9)

малых

значения. При

г2 Я^ 0,Я2^^2, Я^ 4ж2.

На рисунке 1 представлены графики Я при различных значениях параметра Г для данной задачи.

Рис. 1. Значения Я при различных г для задачи а(+)

г

2

г

Произведем нормировку таким образом, чтобы собственные функции удовлетворяли

выражению А2 + В2 = 1. Полученные собственные функции для каждого собственного

значения представлены на рисунках 2,3,4 благодаря выполненной ранее нормировке, все они будут лежать в пределах полосы от -1 до 1.

02 0.4 0.6 0.8 1

х

г=0.0001 -г=0.001 г=0.01 -г=0.1 -г=0.5 -г=1 -г=5 -г=10

г=100

Рис. 2. Графики собственных функций при Ях и различных Г для задачи а(+)

1.5

1.5 J

- г=0.0001 -г=0.001 г=0.01 -г=0.1 -г=0.5-г=1 -г=5-г=10

— г=100

Рис. 3. Графики собственных функций при Я и различных Г для задачи а(+)

Рис. 4. Графики собственных функций при Я, и различных Г для задачи а(+)

Далее приведено решение задачи в случае в задачу (1), а также уравнения (4) и (6), полу-а(-). Подставим значения (-3, 4) и а = 0, Ь = 1 чим:

-y (x) - Ay(x) = 0,x e (0,1); - y (0) + r 2(-3 y(0) + 4 y(1))3 = 0; y (1) - r2(-3y(0) + 4y(1))4 = 0,

'■(-24 + 25cos(y[A)) = -4Asm(4A), (-24 + 25ch(J-A)) = 4-Ash(4-A).

(10)

(11) (12)

Найдем первые три собственных значения Я при различных значениях параметра Г. При увеличении значения параметра Г происходит уменьшение первого собственного значения. При малых

Г2 Я ^ 0,Я ^ ж2,-Я 4я2. Также отме-

тим, что при росте Г второе собственное значение стремится к нулю.

На рисунке 5 представлены графики Я при различных значениях параметра Г для данной задачи.

r

2

r

-2-

-б-

Рис. 5. Значения Я при различных г для задачи а(-)

Первая собственная функция прижимается к осям координат при больших значениях и переходит в прямую на близких к нулевым. Это поведение аналогично прошлому случаю, второе семейство собственных функций пре-

терпевает характерные изменения, третья практически не меняется, только сдвигается по оси абсцисс. Графики полученных собственных функций представлены на рисунках 6, 7, 8.

Рис. 6. Графики собственных функций при Я и различных Г для задачи а(-)

Рис. 7. Графики собственных функций при Я и различных Г для задачи а(-)

Рис. 8. Графики собственных функций при Я и различных Г для задачи а(-)

Все первые собственные значения при любых значениях параметра Г получились отрицательными. Перепишем формулу (9) в виде

z =

г2(Fch(z) - G) sh( z)

(13)

где F = a2 + /32, G = 2a(5. Пренебрегае

м

слагаемым с отрицательным знаком в экспоненте ввиду того, что собственные значения неограниченно убывают. Делим числитель и

знаменатель (13) на sh(z), учитывая описанное допущение, получаем:

z = r2(F - —).

ez

(14)

Избавляемся от слагаемого, содержащего О, как в предыдущем случае. Далее, подставляя вместо г исходное собственное зна-

чение, получаем следующую асимптотическую оценку для первого собственного значения:

A < -r4 F2

(15)

Можно определить линейный функционал и получить оценку для первого собственного значения сверху. В обоих случаях отрицательным может быть только первое собствен-

ное число, все последующие значения положительны. Для задачи (1) оценка, соответственно, равна:

A- (rp) <

— f

UhU2

1 +

1

-r2Uh[3

(16)

r2 □ V/гП2

По результатам вычислений, спектр значений сверху ограничен нулем, что не противоречит асимптотической оценке при неограниченном уменьшении параметра Г . Собственное значение неограниченно возрастает, а Е является постоянной величиной, следовательно, вещественный параметр Г должен быть неограниченно велик. По мере роста значения параметра Г практические оценки все ближе к теоретическим, но при этом всегда остаются меньше них. От знака параметра а данный результат не зависит, в обоих случаях зависимость сохраняется. Следовательно, можно

Библиографический список

1. Маслов В.П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование. - М.: Институт компьютерных исследований, 2001.

2. Маслов В.П. О зависимости критерия сверхтекучести от радиуса капилляра // Теоретическая и математическая физика. - 2005. - Т. 143, № 3. - С. 307-327.

3. Гулин А.В. Границы устойчивости разностных схем в подпространствах // Прикладная математика и информатика : труды факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова / Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова. Том № 43. - М.: ООО «МАКС Пресс», 2013. - С. 5-14.

4. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Зубарев К.М. Моделирование нелинейных диэлектрических свойств композитов на основе метода асимптотической гомогенизации // Математическое моделирование и численные методы. - 2020. - № 2(26). - С. 26-45. - Б01 10.18698/2309-36842020-2-2645.

5. Димитриенко Ю.И., Зубарев К.М., Крылов А.В. Применение метода асимптотического осреднения для линейной задачи пьезоупругости // Дневник науки. - 2022. - № 12(72). -БОТ 10.51691/2541-8327 2022 12 28.

утверждать, что построенные оценки корректны и применимы при заданных нелокальных граничных условиях. Вырождение в вертикальные прямые, как и переходы через линейную функцию от синусов и косинусам к гиперболическим аналогам, не зависит от конкретных значений и разницы между ними. При обнулении любого из параметров а и Р, как частный случай исследованных задач, мы приходим к классическим задачам с локальными граничными условиями.

6. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции. - М.: Изд. предприятие ред. журн. «Радиотехника», 1996. - 176 с.

7. Chernyshev V.L., Hilberdink T.W., Nazaikinskii V.E. Asymptotics of the Number of Restricted Partitions // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2020. - Vol. 27, № 4. - P. 456-468. -DOI 10.1134/S1061920820040056.

8. Жаворонков Ю.А., Комарова М.В., Молотков Ю.Г., Налимов М.Ю., Хонконен Ю. Критическая динамика фазового перехода в сверхтекучее состояние // Теоретическая и математическая физика. - 2019. - Т. 200, № 2. - С. 361-377. - DOI 10.4213/tmf9674.

9. Камчатнов А. М. Асимптотическая теория солитонов, порождаемых из интенсивного волнового импульса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2023. - Т. 164, № 5. -С. 847-862. - DOI 10.31857/S0044451023110159.

10. Покровский И.Л. О задаче на собственные значения для оператора Лапласа с нелокальными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 10. - С. 13911398. - DOI 10.1134/S0374064118100072.

INVESTIGATION OF EIGENFUNCTIONS OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH

NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS

I.L. Pokrovski, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

D.A. Martynov, Master

K.M. Zubarev, Senior Lecturer

Bauman Moscow State Technical University

(Russia, Moscow)

Abstract. In this paper, we consider the solution of a spectral boundary value problem with nonlocal boundary conditions of a special kind. The authors propose numerical methods for finding eigenvalues and corresponding eigenfunctions. The dependence of eigenvalues and eigenfunctions on a real parameter is investigated. The presented results demonstrate the applicability of the given boundary conditions to solve the problem of maximizing the difference between the first two eigenvalues and can be proposed, which can be used in the study of the phenomena of superfluidity and superconductivity, numerical methods, in the study of difference circuits, as well as the electromagnetic diffraction problem on conductive thin screens.

Keywords: differential equations, boundary value problems, nonlocal boundary conditions, eigenvalues, eigenfunctions.