CC BY
0
УДК 517.956.223
DOI: 10.14529/mmph240303
БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА С ДВОЙНОЙ ИНВОЛЮЦИЕЙ
В.В. Карачик
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: [email protected]
Аннотация. Исследуются вопросы разрешимости нового класса краевых задач с нелокальными условиями Неймана для бигармонического уравнения в шаре. Нелокальные условия задаются в виде связи значений искомой функции в различных точках границы. При этом граничный оператор определяется с помощью матриц отображений типа инволюции. Доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемой задачи и найдено интегральное представление решения рассматриваемой задачи
Ключевые слова: нелокальная задача Неймана; бигармоническое уравнение; условия разрешимости; функция Грина.
Введение. Краевые задачи, заданные в виде связи значений искомой функции в различных точках области или границы, принято называть задачами типа Бицадзе-Самарского или нелокальными задачами. Задача такого типа впервые была исследована в работе [1], а более подробно возникновение таких задач при математическом моделировании некоторых процессов в плазме изложено в [2]. Методы решения и приложения нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского к прикладным задачам различных отраслей науки изложены в [3]. Нелокальные краевые задачи для различных дифференциальных уравнений исследованы в работах [4-8]. Отметим, что, наверное, впервые краевые задачи с преобразованными аргументами в двумерном случае были рассмотрены D. Przeworska-Rolewicz в [9]. Нелокальные краевые задачи c инволюциями в n -мерном случае были изучены в работах [10, 11]. В [12] исследовалась задача Неймана для бигармонического уравнения с простой инволюцией. В работах [13, 14] для нелокального уравнения Пуассона и нелокального бигармонического уравнения изучены основные краевые задачи с отображениями вида Sk, где S - ортогональная матрица. Настоящая работа является продолжением исследований, приведенных в работе [12] в случае двойной инволюции.
Пусть W = {xе Rn :| x |< 1} - единичный шар в Rn, n > 2 , а 3W = {xе Rn :| x |= 1} - единичная сфера. Пусть также Sj, S2 - две действительные коммутативные ортогональные n X n матрицы такие, что s;- = i, ; е N, i = 1,2, где l1, ¡2 е N и{0} . Обозначим I = ¡2l1 и рассмотрим последовательность действительных чисел a0,...,at at ,...,a2^_1,...,_щ_1,...,которую обозначаем через a . Если записать индекс суммирования i в форме i = (i2,i1) °i2l1 + i1, где ik = 0,1,...,¡k _ 1, где k = 1,2, тогда компоненты a могут быть записаны в виде
a(0,0),..., a(0,l1_1), a(1,0),..., a(1,l1 _1), —, a(l2 _2,l1 _1),..., a(l2 _1,l1 _1) .
Ясно, что если 0 < i < I, то тогда i1 = {i /11},i2 = [i /11 ], где [.] и {.} являются целыми и дробными частями числа соответственно. Далее последовательность а будем также рассматривать как вектор а = (a0,a^...,al_1).
Замечание 1. Очевидно, что | x |2 = (STSix,x) = (Six,Six) =| Sfx |2 . Поэтому верны утверждения x е W ^ Stx е W и y е ^ Sy е ЭН . Введем нелокальный оператор, образованный вектором а :
(¡2_Ц_1)
BaU(x) = Z a(-2,-1)U (S2S1-1 x) ,
(-2,-1 )=0
где xе ЭW. Отметим, что в работах [15, 16] исследовались собственные функции для оператора Лапласа с двойной и множественной инволюцией.
Рассмотрим в W следующую краевую задачу.
Задача Неймана. Найти функцию и(х) е С4 (О) п С2 (ЭО), удовлетворяющую бигармониче-скому уравнению
Д2и(х) = /(х), хеО (1)
и нелокальным граничным условиям
в —
а Эп
= М х), вс ^ эо Эп
= Н1 (х), х е ЭО , (2)
ЭО
где п - внешняя нормаль к единичной сфере ЭО .
Вспомогательные утверждения. Для изучения приведенной выше задачи (1), (2) нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения. Введем функцию
(¡2 -1,11-1)
у(х) = вяи( х) = £ а(12А)и($2 5? х), (3)
(,2,1)=0
где хеО или хеЭО , а суммирование ведется в порядке возрастания по индексу I = (¿2, ?1) ° ¿2 •¡1 + ?1 в следующем порядке
(0,0),...,(0,¡1 -1),(1,0),...,(1,¡1 -1),...,^ -2,¡1 -1),...,^ -1,¡1 -1).
Из равенства (3), учитывая, что З^2 = = I, легко заключить, что функции вида у(82,2З/1 х),
где j = 0,..., I -1, можно линейно выразить через функции и(З22 х). Если рассмотреть следующие векторы порядка I
и (х) = (и(З22 З1 х)У , V (х) = ( у(З22 Я? х) У , (4)
V 2 1 Л=0,...,1-1 V 2 1 Л=0,..,1-1
то эта зависимость имеет вид V(х) = ( а^ ^) ^ - ^ и(х) и ее можно представить в матричном виде
V (х) = Л^р (х), (5)
где Л(2) =( ai j) - соответствующая матрица порядка IXI. Нижний индекс у Л^ озна-
чает, что матрица порождается двумя коммутативными инверсиями З1,З2 . Из (3) следует (5). Верно и обратное, поскольку первая строка (5) и есть (3).
Для описания свойств матрицы Л(2) рассмотрим операцию сложения индексов коэффициентов матрицы в следующем смысле:
' © j = (¿2,¿1) © (j2, jl) ° ((¿2 + j2mod ¡2), (¿1 + ¿тоа ¡1)) , где (¿2,¿1) - это представление индекса i, как указано выше. Ясно, что © является коммутативной и ассоциативной операцией над iе {0,...,I-1} . Определим
I © j = (¿2 - j2mod ¡2, ¿1 - j1mod ¡1).
Например, если ¡1 = 2 , ¡2 = 3, то ©(2,1) = (1,1) или ©5 = 3 . Распространим операции © и © на все числа вида (¿2,¿1), полагая (¿2,¿1) ° (i2mod ¡2,i1mod ¡1) . Например, если ¡1 = 2, ¡2 = 3, то (1,-1) = (1,1) и (5, -3) = (2,1).
Теорема 1. [15, теорема 1]. Матрица Л(2) из равенства (5) может быть представлена как
Л(2) °(а,;),,j=0,^,1-1 =( а© )i,,=0,^,1-1. (6)
Линейная комбинация матриц вида (6) является матрицей вида (6).
Нам будут необходимы следующие следствия из этой теоремы.
Следствие 1. Матрица Л(2) однозначно определяется своей первой строкой а = (а0,...,а1-1).
Следствие 2. Матрица Л^ имеет структуру матрицы, состоящей из ¡2 X ¡2 квадратных блоков, каждый из которых является матрицей размера ¡1 X ¡1 и типа Л^ .
Если представить вектор a в виде векторов a = (a0,...,al?где a]2 = (a^ ,...,о(h+щто-
\ ] 2 +1)'l-
же вектор, и обозначить A(1)2) = A(1)(a h), тогда верно равенство
(1)^ J2'
А(2)(a) = A(i)(A((i0)), Af1,., a(I2 )) -
( A(0) A(i) A(l2_i) ^
A(i) A(i) •• • A(i)
A(l2 _1) A(0) A(l2 _2)
A(1) A(1) • • • A(1)
A(l) A(2) A(0) A(1) A(1) • • ' A(1) J
где блочная матрица повторяет структуру матрицы Л^ размера ¡2 X12.
Следствие 3. Транспонированная матрица А(?2)(а) имеет структуру матрицы Л(2) и, кроме
(2)
того, A(2)(a) = A(2)(c), где c = (a{_]2_Л)=0,., ,(/2_i,/1_i), а обе компоненты _j2 и _] берутся по mod 12 и mod /1 соответственно.
Теорема 2. [15, теорема 2]. Произведение матриц вида (6) является снова матрицей вида (6) и верно равенство A(2) (a) A(2) (d) = A(2) (d)A(2) (a).
Следующая теорема дает представление о собственных векторах и собственных значениях матриц вида A(2) из (6). Из [15, теорема 3] следует следующее утверждение.
Теорема 3. Собственные векторы матрицы A(2)(a) можно выбрать в виде
ek = е№2Д) = (ek^Ч^■ ■ ■ ,Ч_Ч ) , ek =(1, V• • • , 1к__1) ,
i2pkL i2pk2
где = е 1 - корень степени 11 из единицы, k1 = 0, . . . , l1 _ 1 и 1k2 = е 2 - корень степени
12 из единицы, k2 = 0, . . . , l2 _ 1.
Обозначим кk ° к],]] = Ik. Тогда из теоремы 3 вытекает следующее утверждение.
Следствие 4. Собственный вектор матрицы A(2)(a) с номером k = (k2, k1) = 0, . . . , I _ 1, где
k1 = 0, ,l1 _1, k2 = 0, ,l2 _1 можно представить в виде
= ( к])' . ,.°(1]2 l])' . . ......, (7)
e
к * к']=0,...,1-1 V к2 к1/(п,Л)=0, ..,(¡2-1,11-1) а собственное число, соответствующее этому собственному вектору, определяется из равенства
(¡2 -1,11 -1)
1_1
mk (a) = Z a]к k = Z
a,
1]21] = a • ek .
(]2,]1) k2 V'k1
(8)
}=0 (У2,л)=0
Замечание 2. Если положить = Б2 , то оператор Ва можно переписать в виде
i_1
Ва («)(х) = £ а^Ы ^X) .
У=0
Теорема 4. Пусть а • ек Ф 0 при к = 0, .. . ,I -1, где собственные вектора ек находятся из (7).
Тогда существует матрица обратная к матрице Л(2)(а) и она имеет вид
1
A(2)(a) = -Mdiag 1 (m>,• • • ,mi_1 )M,
(9)
где М = (е0, .. . ,е^_1). Матрица М является симметричной и ортогональной.
Доказательство. Поскольку ек - собственный вектор матрицы Л(2)(а), то верно равенство Л(2)(а)М = (т0е0, .. . , т1-1е1-1), и значит
A(2)(a)M diag 1 ^ • • • , mi_1 ) = (moeo, • • • , mi_1ei_1) diag (т-о1» • • • , m__1 ) = ( eo, • • • , ei_1 ) = M.
Отсюда следует, что
Л(2)(а)Мdiag(т-1,...,)М = ММ . Пусть еj = е(^) и ег- = е^ ^) - два разных столбца матрицы М, т. е. j Ф i . Тогда из (7), используя равенства 1 у 1 = 1 у и 1 ^ =1 ^, запишем
е7 ei = е(, 7^ • е^) = (17) 11) =
у (]2,11) V .72 -Л /(k2,k1)=0,_,(¡2--V ¿2 ¿1 /(^к^,...,^-Ц-1)
—1,/1 —1) _ _ (¡2 -1,¡1 -1) _ _ (¡2 -1,¡1 -1) ¡2 -1 1 -1
= У 1к21к11к21к1 = у (17 1 )к2 (171 )к1 = у 1к2 . 1к1 . = у 1к2 . у 1к1 .
72 Л ¿2 1 ^ 12 ¿2' у Л Ч' ¿—I ]2-¡2 Л -Ч ¿—I }2-¿2 Л-¿1
(к2,к1)=0 (к2,к1)=0 (к2,к1)=0 к2 =0 к1 =0
Пусть л2 - ¿2 Ф 0, тогда 1 у -г- Ф1, и по простому комбинаторному тождеству находим
J2 -j2
¿2 "I 1 .
j2-j2
У , =_i2"2- = 0.
^ 72-2 1 к2 =0 А72-¿2
Если же Л2 - ¿2 = 0, тогда 1 ^= 1, и значит, У ¡2 =10^ = ¡2. Поэтому
е^=У1 к г=ю л=;. (ю)
к=0 I1
Матрица М симметрична. Действительно, поскольку = X;22 и 171 = 11 , то
t
0,...,^ -ц-г
(J2,л )=0,.. .,(¿2-1,¿1 -1) (J2,Л )=0, ■ -,(¿2"1,ll"1)
Mt =(1Т211 )('2,'1)=0^-,(/2-1,11-1) =(1i22^ ) (/2,i1)=0,^,(l2-4-1)
= (1Л2Ч ) (-)=0^-,(l2-Щ-1) =(1Л )fJ_0 i-1 =M •
(Л2,Л1)=0,^,(/2-1,/1-1) ' ' '
Отсюда следует, что i -я строка матрицы M имеет вид ej. Это означает, что
MM = (e, • ej) = II.
v j 'i,j=0,...,l-1
Используя полученное равенство, можно записать
A(2)(a)-Mdiag-1 (^0,• • •,mi-1 )M =1II = I.
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть матрица A(2)(a) не особенная, тогда обратная к ней матрица имеет вид A-) (a) = A(2) (b), где
1 i-1 i Л
bj = 1 у—, j = 0,...,I-1. (11)
l k=0 mk
Доказательство. Пусть матрица A(2)(a) обратима, тогда ее собственные числа, находимые из (8), отличны от нуля, т. е. m-k ^ 0, и поэтому применима теорема 4. Обозначим элементы обратной матрицы как bi j =( A-1) (a)) при i, j = 0,..., l -1. Тогда по формуле (9), используя симметричность M , найдем
ч 1 1-1 л k 1 1-1 lk 1 1-1 i i- j 1 l-1 у j-i b¡,, = i(Mdiag-1 (m0.-.m,-1 )M j = lу^1-k = lУf-=1У^=lУ^.
l ¡,J l k=0 mk l k=0 mk l k=0 mk l k=0 mk Если воспользоваться обозначением (11), то имеем b¡ j = bjT_)j, где bj определяется из (11) .
Значит, по теореме 1 A(-21)(a) =(b]Qi) = A(2)(b). При i = 0 получаем первую строку
A(2)(b), что доказывает равенство (11) . Теорема доказана.
Следствие 5. Нетрудно видеть, что согласно (10) и (11)
1_11 ю к]
1_1 1 1 i
l_1 я 1
ь • ek = Z1 Z^ к k=ZCjrj Z к] kk = Z ]-¡p.
i=0 1 ]=0 M- ] ] =0 ^ ] 1 i=0 ]=0 M- ] n
Кроме того, вектор Ь можно найти по формуле Ь = — ц-М , где =(т-1 - . Будем
1 тт
71
считать, что а* = Ь .
Следствие 6. Если матрица Л(2) (а) не особенная, то собственные векторы матрицы Л-) (а)
равны ек, к = 0, .. . , I -1, а собственные значения имеют вид т-1 (а).
Задача Неймана. Сформулируем основной результат. Обозначим через G4(х,X) функцию
Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре [17] и Аы = £ п хкыХк .
Теорема 6. Пусть к0 е С2+е(Эй), к1 е С1+е(Эй), У е Сх(й) и а• е\ Ф0, с• е\ Ф0 при к = 0, .. . , I -1, где собственные векторы ек находятся из (7). Тогда решение задачи Неймана (1), (2) существует и единственно с точностью до константы при выполнении условия
т^) ^ *(Х) *(х) =1 х I2 -'У® * ■ (12)
Это решение можно представить в виде u(x) = [ v(tx) —, где
»0 t
v( x) =
1+|x|2
Ba*M. X) +
1_|x|
2
(x) _ Bj1(x) + — foG4(x,X)(A + 4) f (X)dX, (13)
1 ri\ •> o
"0 |3o= h0, v1 1эо = V
2 ' 2 2 юи
а функции £0 (х), V (х) - гармонические в й и такие, что у0
Доказательство. Воспользуемся теоремой 5. Из нее вытекает следующее утверждение. Лемма 1. Граничные условия (2) могут быть преобразованы к виду
Эы
дп
эо
= Ba*h0 (X), Э22 дп
= Bc*h1 (x), x е ЭО .
(14)
эо
Доказательство. В начале предыдущего раздела было установлено, что (3) о (5). Обозначим вектор Ь , находимый по вектору а из следствия 5, как Ь = а * . Тогда, в соответствии с обозначениями из (4),
V(х) = Лст(а)и(х) ^ и(х) = Л-1) (а)V(х) = Л(2}(Ь)У(х), откуда следует, что ы(х) = Вя*у(х) и значит, у(х) = Ваы(х) ^ ы(х) = Ва*у(х). Поэтому
Эи дп
эо
= B *B„ —
•л* a -л
дп
эо
= Ba*h0 (X), ^2
дп
= B„*B.
д2
эо
c* c -ч 2
дп
= Bc*h1 (x).
эо
Лемма доказана.
В соответствии с леммой 1 задача Неймана (1)-(2) сводится к задаче Неймана (1)-(14). Далее, как показано в [18, 19], задача Неймана (1)-(14) преобразуется к задаче Дирихле
А2у( х) = (А + 4) У (х), х ей , (15)
v| эо= Ba*h0 (x), ^
= Ba*h0 (x) + Bc*h1 (x), x е до:
(16)
эо
причем решение ы( х) задачи Неймана (1)-(14) существует, только если у(0) = 0 и это решение
/ ч ^ /
имеет вид ы(х) = I у(х— .
■"0 г
Лемма 2. Решение следующей нелокальной задачи Дирихле для уравнения Лапласа
Аы = 0, х ей, ы | Эй = Ва g (х), х е Эй (17)
записывается в виде ы(х) = Ваы(х), где ы(х) - решение обычной задачи Дирихле
и
Ди = 0,хеО, и\эо = g(х),хе ЭО. (18)
Доказательство. Обозначим ядро Пуассона задачи Дирихле (18) в шаре О как
Р( х, X) ^.
Ч|х-Х|п
С учетом замечания 1 имеем 187х - 87X |=| 87 (х - X) |=| З7'2З171 (х - X) |=| З71 (х - Х)|=| х - X |, а поэтому Р(87х,8'X) = Р(х,X). В силу [15, лемма 4.1] справедливо равенство
| g (87 X) dsx = | g(X) dsx . Тогда решение задачи (17) записывается в виде
ЭО ЭО
(¡2 -1,¡1-1) , , . и(х) = | P(x,X)Bag(X) dsx= У a(;2,il) | P(x,X)g(8;X) ds^ = ЭО (¿2,1 )=0 эо
(¡2-1,¡1-1) . . . . . (¿2-1,^1-1) , , . = У | Р(8;х,8"X)g(8.x) dsx= У a(;2,;l) | Р(8;х,X)g(X) dsx = Вяй(х). (¿2,г1)=0 эо (¿2,;1)=0 эо
Лемма доказана.
В силу [12, 20], поскольку Н0 е С2+е(Эй), Н1 е С1+г(Эй), /е Сч(О), то Ва*К0 е С2+е(Эй), ВС*И1 е Сч+6 (Эй), а значит, решение задачи Дирихле (15)-(16) можно представить в форме
у(х) = х) +^Л^(х)-1-Мх) +—ГОа(х,X)(Л + 4)/(X)dX , 2 2 юп ■1О
где У0(х), у1(х) - решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа при граничных условиях v0 |ЭО = Ва*К0 (х), у1 |ЭО = Ва*К0 (х) + ВС*И1 (х), а G4(х,X) - функция Грина задачи Дирихле для би-гармонического уравнения в шаре [17]. В силу леммы 2
У0 (х) = ВаЛ (х) , V (х) = Ва*У0 (х) + ВС*Т?1 (х) , где гармонические функцииу0(х), т?1(х) такие, что У0 |эо = К0, V |эО = Поэтому функция у(х) примет вид (13). Найдем значение у(0). Нетрудно видеть, что
(¡2 -1,1 -1)
^(0) = Ва*У0(х) = У а ^ | Р(0,X)К (X) dsx =
(¿2,1)=0 эо
= ^ I К0 (X) ^^-У-1)а *('2,;1) =^0^ | К (X) ^ =-7а— | К (X) ^ ,
Юп ЭО (¿2,1 )=0 Юп ЭО Мч0(а)Юп ЭО
поскольку по формуле (8) имеем
1-1 (¡2-1,1 -1) (¡2 -l,¡l -1) т0(а) = У а7^00 = У а(72,л)^ЭД = У а(72,71)
7=0 (72,71 )=0 (72,71 )=0
и по следствию 5 т0(а*) = Ь • е0 = 1/ т0(а). Кроме того, Л( Ва*£0) (0) = 0, поскольку гармоническая функция ЛВа*£0(х) не имеет в своем разложении в окрестности нуля свободного члена. Аналогично найдем значение V (0). Таким образом, находим
1 1 1 1 1 у(0)=1 ^^ к К (X) dsx - - —— Г \ (X) dsx +—Г «4(0, X)(Л+4) / (X) d X.
2 ^0 (а)®п X 2 Мс)Ч •'ЭО X Ч ЗО
В силу [12, лемма 3] справедливо равенство
|О «4(0, X)(Л+4)/(X) d X = |О (X) d X
¡о 4
и значит,
(
1 - 1 - ^I (1-
у(0) = 1
24
эо "0^эо К® ^ 1 у1-^2 )■ ' ® ' x) •
Поэтому условие разрешимости v(0) = 0 задачи (15), (16), а значит, и задачи (1), (2) принимает вид (12). Само решение записывается в виде и(x) = f v(tx) —, где функция v(x) находится
0t
из (13). Теорема доказана.
Литература
1. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185, № 4. - C. 739-740.
2. Самарский, А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16, № 11. - С. 1925-1935.
3. Skubachevskii, A.L. Nonclassical Boundary-Value Problems I / A.L. Skubachevskii // J. Math. Sci. - 2008. - Vol. 155. - P. 199-334.
4. Solvability and Volterra Property of Nonlocal Problems for Mixed Fractional-Order Diffusion-Wave Equation / N. Adil, A.S. Berdyshev, B.E. Eshmatov, Z.D. Baishemirov // Bound. Value Probl. -2023. - Vol. 2023. - Article number: 47.
5. Ashyralyyev, C. On the Stable Difference Scheme for Source Identification Nonlocal Elliptic Problem / C. Ashyralyyev // Math Meth Appl Sci. - 2023 - Vol. 46, Iss. 2. - P. 2488-2499.
6. Assanova, A.T. Solution of a nonlocal problem for hyperbolic equations with piecewise constant argument of generalized type / A.T. Assanova, R. Uteshova // Chaos, Solitons & Fractals. - 2022. -Vol. 165, Part 2. - p. 112816.
7. Zhou, L. Error Estimate of a High Accuracy Difference Scheme for Poisson Equation with two Integral Boundary Conditions / L. Zhou, H. Yu // Adv. Differ. Equ. - 2018. - Article number: 225.
8. Li, C. Uniqueness of a Nonlinear Integro-Differential Equation with Nonlocal Boundary Condition and Variable Coefficients / C. Li // Bound Value Probl. - 2023. - Vol. 2023. - Article number: 26.
9. Przeworska-Rolewicz, D. Some Boundary Value Problems with Transformed Argument / D. Przeworska-Rolewicz // Comment. Math. Helv. - 1974. - no. 17. - P. 451-457.
10. Karachik, V. Solvability of one Nonlocal Dirichlet Problem for the Poisson Equation / V. Kara-chik, B. Turmetov // Novi Sad J. Math. - 2020. - Vol. 50, no. 1. - P. 67-88.
11. Turmetov, B. Solvability of Nonlocal Dirichlet Problem for Generalized Helmholtz Equation in a Unit Ball / B. Turmetov, V. Karachik // Complex Var. Elliptic Equ. - 2023. - Vol. 68, no. 7. -P.1204-1218.
12. Турметов, Б.Х. Задача Неймана для нелокального бигармонического уравнения / Б.Х. Турметов, В.В. Карачик // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». -2022. - Т. 14, № 2.- С. 51-58.
13. Karachik, V.V. On the Solvability of the Main Boundary Value Problems for a Nonlocal Poisson Equation / V.V. Karachik, A.M. Sarsenbi, B.K. Turmetov // Turk. J. Math. - 2019. - Vol. 43. -P.1604-1625.
14. Turmetov, B. On a Boundary Value Problem for the Biharmonic Equation with Multiple Involution / B. Turmetov, V. Karachik // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, Iss. 17. - 2020.
15. Turmetov, B. Construction of Eigenfunctions to One Nonlocal Second-Order Differential Operator with Double Involution / B. Turmetov, V. Karachik // Axioms. - 2022. - Vol. 11, no. 10. - 543.
16. Turmetov, B. On Eigenfunctions and Eigenvalues of a Nonlocal Laplace Operator with Multiple Involution / B. Turmetov, V. Karachik // Symmetry. - 2021. - Vol. 13, no. 10. - 1781.
17. Karachik, V.V. On Green's Function of the Dirichlet Problem for the Polyharmonic Equation in the Ball / V.V. Karachik // Axioms. - 2023. - Vol. 12, no. 6. - 543.
18. Карачик, В.В. Достаточные условия разрешимости одного класса задач типа Неймана для полигармонического уравнения / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2021. - Т. 61, № 8. - С. 1295-1308.
19. Карачик, В В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре / В.В. Карачик // Сиб. журн. индустр. матем. - 2013. - Т. 16, № 4. - С. 61-74.
20. Карачик, В.В. Представление решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре через функцию Грина / В.В. Карачик // Челябинский физико-математический журнал. -2020. - Т. 5, № 4-1. - С. 391-399.
Поступила в редакцию 16 марта 2024 г.
Сведения об авторе
Карачик Валерий Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Математический анализ и методика преподавания математики», старший научный сотрудник, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, e-mail: [email protected].
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2024, vol. 16, no. 3, pp. 18-26
DOI: 10.14529/mmph 240303
THE BIHARMONIC NEUMANN PROBLEM WITH DOUBLE INVOLUTION
V.V. Karachik
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: [email protected]
Abstract. This paper studies the solvability of a new class of boundary value problems with nonlocal Neumann conditions for a biharmonic equation in a sphere. Non-local conditions are specified in the form of a connection between the values of the desired function at different points of the boundary. In this case, the boundary operator is determined using matrices of involution-type mappings. The theorem of existence the and uniqueness of the solution is proved and the integral representation of the solution to the problem under consideration is found.
Keywords: nonlocal Neumann problem; biharmonic equation; solvability conditions; Green's function.
References
1. Bitsadze A.V., Samarskii A.A. Some Elementary Generalizations of Linear Elliptic Boundary Value Problems. Dokl. Akad. NaukSSSR, 1969, Vol. 185, no. 4, pp. 739-740. (in Russ.).
2. Samarskii A.A. Some Problems of the Theory of Differential Equations. Differ. Uravn., 1980, Vol. 16, no. 11, pp. 1925-1935. (in Russ.).
3. Skubachevskii A.L. Nonclassical Boundary-Value Problems I. J. Math. Sci., 2008, Vol. 155, pp. 199-334. DOI: 10.1007/s10958-008-9218-9
4. Adil N., Berdyshev A.S., Eshmatov B.E., Baishemirov Z.D. Solvability and Volterra Property of Nonlocal Problems for Mixed Fractional-Order Diffusion-Wave Equation. Bound Value Probl., 2023, Vol. 2023, Article number: 47. DOI: 10.1186/s13661-023-01735-0
5. Ashyralyyev C. On the Stable Difference Scheme for Source Identification Nonlocal Elliptic Problem. Math Meth Appl Sci, 2023, Vol. 46, Iss. 2, pp. 2488-2499. DOI: 10.1002/mma.8656
6. Assanova A.T., Uteshova R. Solution of a Nonlocal Problem for Hyperbolic Equations with Piecewise Constant Argument of Generalized Type. Chaos, Solitons & Fractals, 2022, Vol. 165, Part 2, p. 112816. DOI: 10.1016/j.chaos.2022.112816
7. Zhou, L., Yu, H. Error Estimate of a High Accuracy Difference Scheme for Poisson Equation with Two Integral Boundary Conditions. Adv. Differ. Equ., 2018, Article number: 225.
8. Li C. Uniqueness of a Nonlinear Integro-Differential Equation with Nonlocal Boundary Condition and Variable Coefficients. Bound Value Probl., 2023, Vol. 2023, Article number: 26. DOI: 10.1186/s13661-023-01713-6
9. Przeworska-Rolewicz D. Some Boundary Value Problems with Transformed Argument. Comment. Math. Helv., 1974, no. 17, p. 451-457.
10. Karachik V., Turmetov B. Solvability of One Nonlocal Dirichlet Problem for the Poisson Equation. Novi Sad J. Math., 2020, Vol. 50, no. 1, pp. 67-88. DOI: 10.30755/NSJOM.08942
11. Turmetov B., Karachik V. Solvability of Nonlocal Dirichlet Problem for Generalized Helmholtz Equation in a Unit Ball. Complex Var. Elliptic Equ., 2023, Vol. 68, no. 7, pp. 1204-1218. DOI: 10.1080/17476933.2022.2040021
12. Turmetov B.Kh., Karachik V.V. Neumann Boundary Condition for a Nonlocal Biharmonic Equation. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematics. Mechanics. Physics", 2022, Vol. 14, no. 2, pp. 51-58. (in Russ.). DOI: 10.14529/mmph220205
13. Karachik V.V., Sarsenbi A.M., Turmetov B.K. On the Solvability of the Main Boundary Value Problems for a Nonlocal Poisson Equation. Turk. J. Math., 2019, Vol. 43, pp. 1604-1625. DOI: 10.3906/mat-1901-71
14. Turmetov B., Karachik V. On a Boundary Value Problem for the Biharmonic Equation with Multiple Involution. Mathematics, 2021, Vol. 9, Iss. 17, 2020. DOI: 10.3390/math9172020
15. Turmetov B., Karachik V. Construction of Eigenfunctions to One Nonlocal Second-Order Differential Operator with Double Involution. Axioms, 2022, Vol. 11, no. 10, 543. DOI: 10.3390/axioms11100543
16. Turmetov B., Karachik V. On Eigenfunctions and Eigenvalues of a Nonlocal Laplace Operator with Multiple Involution. Symmetry, 2021, Vol. 13, no. 10, 1781. DOI: 10.3390/sym13101781
17. Karachik V.V. On Green's Function of the Dirichlet Problem for the Polyharmonic Equation in the Ball. Axioms, 2023, Vol. 12, no. 6, p. 543. DOI: 10.3390/axioms12060543
18. Karachik, V.V. Sufficient Conditions for Solvability of One Class of Neumann-Type Problems for the Polyharmonic Equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2021, Vol. 61, no. 8, pp. 1276-1288. DOI: 10.1134/s0965542521040059
19. Karachik V.V. On Solvability Conditions for the Neumann Problem for a Polyharmonic Equation in the Unit Ball. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2014, Vol. 8, no. 1, pp. 63-75. DOI: 10.1134/S1990478914010074
20. Karachik V.V. Presentation of Solution of the Dirichlet Problem for Biharmonic Equation in the Unit Ball through the Green Function. Chelyab. Fiz.-Mat. Zh., 2020,Vol. 5, no. 4(1), pp. 391-399. (in Russ.).
Received March 16, 2024
Information about the author
Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics Department, Senior Staff Scientist, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, e-mail: [email protected].
