Исследование системы параллельного обслуживания кратных заявок простейшего потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(17)

УДК 519.872

Л. А. Жидкова, С.П. Моисеева ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КРАТНЫХ ЗАЯВОК ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА

В работе построена модель параллельного обслуживания заявок в системе массового обслуживания, состоящей из к блоков обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. Найдено аналитическое выражение для производящей функций многомерного распределения вероятностей состояний цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в нестационарном режиме. Проведены расчеты основных вероятностных характеристик.

Ключевые слова: немарковские системы с неограниченным числом обслуживающих приборов, пуассоновский поток кратных заявок. параллельное обслуживание, система массового обслуживания.

Параллельность процессов вычислений и обработки информации является одним из основных принципов, используемых при проектировании современных компьютерных сетей. Это позволяет достигать максимальной скорости в работе и существенной экономии времени. При оценке производительности первостепенное значение имеет продолжительность вычислительных процессов. Случайный характер процессов формирования, обработки и передачи данных обуславливает необходимость применения стохастических моделей, в качестве которых широко используются модели массового обслуживания. Использование аппарата теории массового обслуживания позволяет построить математические модели коммутационных сетей и провести теоретические исследования параметров функционирования реальной вычислительной системы [1, 2].

Одним из основных принципов при проектировании современных компьютерных сетей является параллельность процессов обработки информации. Поэтому анализ математических моделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания и общими входящими потоками имеет практическое значение [3 - 5].

1. СМО с параллельным обслуживанием к кратных заявок

Рассмотрим систему с к блоками обслуживания (рис. 1), каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход системы поступает простейший с параметром X поток к заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают к заявок.

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, вторая - во второй, третья - в третий, и так далее , к-я - в к-й блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется её обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами ць ц2,..., цк соответственно.

Состояние системы определим вектором {і1 , і2 , ... ,ік }, где ік - число заявок в к-м блоке. Тогда случайный процесс {і1(?), і2(0, ... , ік(0} изменения во времени состояний системы является к-мерной цепью Маркова.

Ц і

Ц і

Ц2

Ц2

Цк

Цк

Рис. і. СМО с параллельным обслуживанием к заявок

Обозначим

Р(Іі,І2 Ік,ї) = Р(') = Уі,*2 ^) = ./2>->4 (ї) = Ік}

распределение вероятностей состояний к-мерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени ї.

і.і. Система дифференциальных уравнений Колмогорова

Составим Дї-методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [4]. По формуле полной вероятности имеем

Р (( І2,..., Ік , ї + Дї ) = ( - Ш К1 - ІіДі^ К1 - І2Д 2 Дї )• ...‘і1 - Ік Д к )Х хР {( І2 ,..., Ік , ї ) + Р (і + 1 І2 ,..., Ік , ї )•(( + 1)‘ ДіДї +

+Р Л +1,..., .Ік, ї) ‘ (2 +1)‘ Д2Дї +.+ Р І2,..., Ік + 1ї МЛ +1)‘ Дк +

+ШР(( - 1,І2 - 1,..., Ік -1,ї) + о(Дї) , откуда получаем систему дифференциальных уравнений: дР (( І2,..., ]'к, і)

дї

- = -( + ІіЦі + І2 Д2 + ... + Ік Дк )Р )Іі, І2,..., Ік , ^) +

+ (Іі + і)діР (Л + і, 72,..., .ік ,ї ) + (і2 + і)д 2 Р Оі, І2 + і,..., І к, к )+ ...

... + (Л + і)дкР (Л, І2 ,..., Ік + і, ї) + ^Р Оі - і, Л - і,..., Ік - і, ї) . (і)

Определив производящую функцию к-мерного распределения Р (і, І2,..., ]к, І) в виде

ад ад ад

^ ((, ^2 ,..., Хк , ^ )= X X ... X Х1Іі Х2 І2... Хк1кР (( І2,..., іk, ї),

Іі=0 І2 =0 Ік =0

нетрудно показать, что она удовлетворяет уравнению

дР ( ^.^ Хк , ї) ді

+ (хі -0 Ці

дх1

+ (Х2 - 1)Ц

др ( ^..^ хк, ї) дхп

+ ...

... + (хк - 1)Цк

дР (x1, x2,..., Хк , ї)

дх

= Х(Х1 Х2 .. .хк - 1)р (x1, x2,..., Хк , ї ).

(2)

1.2. Вид производящей функции при нестационарном функционировании СМО

Поставим задачу нахождения производящей функции при нестационарном режиме функционирования рассматриваемой СМО, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка (2).

Для нахождения дополнительных условий воспользуемся тем фактом, что производящая функция нестационарного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе Ы|М|® определяется выражением [4]:

ад Г х 1

F(х, t) = V xiP(i, t) = exp (x - 1)t [■.

i=0 l V J

Тогда для производящих функций одномерных маргинальных распределений имеем

ад ад ад ад

Fс^д...1,t) = V V... V xiЛJ2 ^.^jk,t)=V xiJ1 P(jl,t) =

J 1=0j2=0 J k =0 Ji=0

= F (J1, t ) = exp j-^- (x - 1)t j .

F(1,x2,...,1,t) = exp<!— (x2 - 1)t

l V2

F(1,1,...,xk,t) = exp— (xk - 1)t

l Vk

F (1,1,..., t) = 1, F ( x2,...,0) = 1. (3)

Запишем систему уравнений (2) в частных производных первого порядка (2)

[4, 6]:

dt dx dx2 dxk dF

1 V1 (x1 -1) V2 (x2 -0 Vk (xk -1) X(x1 x2...xk - 1)F

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений перепишем в следующем виде:

dt dxx dx2 dxk

1 V1(x -1) V2(x2 -^ Vk(xk -1)

= dF/• {XF[(x - 1)-(x2 -1)•...• (xk -1) + (x2 - 1)-(x3 -1)•...• (xk -1) +...

... + (x1 -1)4x3 - 1)v..•(xk -1) +... + (x -1)•...• (xk-2 -1)-(xk -1) +

+(x - 1) •... • (xk-2 - 1)4xk-1 - 1) + (x - 1) + (x2 - 1) + ... + (xk - 1)]} .

Решая данную систему, получаем, что решение имеет вид

F ( x2 ,..., xk , t ) = Ф((( -1)e-¥ , (x2 -1К^,..., (xk-1)e^kt )х \X(x - 1) • (x2 -1)... •(xk - 1) ,

exp

М-1 +М2 + ••• + Mt

+ — (х2 - 1)-(х3 -!)••••• (хк -1) + —-(х1 - 1)-(хз -I)-...•(Хк - 1) +

М2 + Мз- + Мк М1 + Мз + ••• + Мк

+ X- (х! -1)- •••• (х,-2 -1)-(хк -1) +

М-1 +••• + Мк-2 +Мк

+ — • (х! -1)- •••• (хк-2 -1) • (хк-1 -1) + — (х1 -1) + — (х2 -1) + + — (хк -1)1 (4)

М1 + ••• + Мк -2 +Мк-1 М1 М2 Мк Г

где Ф(х1, хг,- • •, хк,) - произвольная дифференцируемая функция.

Учитывая дополнительные условия (3), имеем

^ (, х2,..., хк ,0) = Ф( -1, х2 -1,..., хк -1)ехр |——------2------).( к----- +

I М1 + М2 + ••• + Мк

+ —(х2 - 1) (х3 - Ц-...-(хк - 1) + —-(х1 - О- (х3 - 1)^... •(хк - 1) +

М2 +М3... + Мк М1 +М3 + ••• + Мк

+ —• (х! -1)- •••• (хк-2 -1)-(хк-1 -1) + —(х1 -1) + —(х2 -1) + , —( + -1)1 1

М1 +••• + Мк - 2 +Мк-1 М1 М2 Мк 1

Откуда

Ф(х, -1,х2 -1.....х, -1) = ехрЦх'( -1)(—2 --1> +

I V Ц1 + Ц2+... + Цк

+ —• (х2 -1)- (х3 -1)- •••• (хк -1) + —• (х1 -1)- (хз -1)- •••• (хк -1) +

М 2 +М-3--. + Мк М-1 +М3 + ••• + Мк

+ —• (х! -1)- •••• (хк-2 -1)-(хк-1 -1) + —(х1 -1) + —(х2 -1) + + — ( + -1)

■" М1 +... + Мк - 2 +Мк-1 М1 М2 Мк

Следовательно,

Ф((х1 - , (х2 - ,•••, (хк - 1 ) =

= ехР 1--------- --------(х1 - 1)(х2 - 1)...(хк - 1)Х

[ Ц1 + Ц2+... + Мк

- -(х2 - 1)(х3 - 1) •••• (к - 1)е-(Ц2+Цз+-+Цк > -

Ц 2+ Мз- + М к -

М-1 + Мз +... + Ц, -

Ц1 +••• + Ц к-2 + Цк

(х1 - 1)(хз -1)-•••• (х, - 1)е-(Ц1+Цз+-+Цк> -(х - 1)...( х,-2) (х, - 1)е-(Ц1+-+Цк-2+Цк > -

- — (х1 - 1)е М - — (х2 - 1)е М - ••• - — (хк - 1)е Цк‘ М1 М2 Цк

Подставляя полученное выражение в (4), получаем выражение для производящей функции Е(х1,х2,...,хк,/):

Е (Х^ х2,..., хк, Ї) = ехр

X

X

Мі + М-2 +... + М*

( - 1)(Х2 - 1)...{хк -1)(1 -е-(+М2+-+Мк>) +

М2 + Мз +... + Мк

X

(Х2 - 1)(Хз - 1) .... (к - 1)(і - е-(М2+Мз+-+Мк > ) +

Мі + Мз +... + М к

X

... +

Мі +... + Мк-2 +Мк

X

(Хі -1).(Хз -1).....(Хк - 1) (1 -е-(М1+Мз+-+Мк>) + ... (Хі - 1)...(Хк-2) (Хк - 1)(1 - Є-(М1 +-+Мк-2 +Мк ) +

М1 +... + Мк-2 +Мк-1

(Хі - 1)...( Хк-2) (Хк-і - 1)(1 - Є-(Мі +-+Мк - 2 +М к-1 > ) +

+^(х1 -1)(1 -е~М) +—(х2 -1)(1 -е^) +... + А(х,-1)(1 -е^)1 . (5)

М1 М2 Мк ')

Если в (5) / ^х>, то получим вид производящей функции для финального распределения вероятностей рассматриваемой системы.

Полученное выражение для производящей функции позволяет получить основные стационарные характеристики к-мерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме).

Математическое ожидание числа заявок в каждом блоке (подсистеме)

Мік =

5^ ( х1, х2,..., Хк)

дх.

=А

Х, =1 =

х2=і Мк

Хк=1

оік =-

Дисперсия числа заявок в каждом блоке (подсистеме)

Мк '

Коэффициент корреляции

Ц х ц 1

Мі + М }-

Заключение

В настоящей работе были построена математическая модель параллельного обслуживания кратных заявокв в идее СМО с к блоками обслуживания. Проведено исследование, а именно, получены выражение для производящей функций и основные вероятностные характеристики к-мерной цепи Маркова, характеризующие число заявок в каждом блоке (подсистеме).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 4-е изд., испр. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 400 с.

2. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования: пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильямс», 2003. 512 с.

3. Ивановская И.А., Моисеева С.П. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах // Сборник научных статей. Минск, 2010. Вып. 3. С. 123-128.

4. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: учеб. пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2004. 228 с.

5. Чечельницкий А.А., Кучеренко О.В. Стационарные характеристики параллельно функционирующих систем обслуживания с двумерным входным потоком // Сборник научных статей. Минск, 2009. Вып. 2. С. 262-268.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

Жидкова Любовь Александровна

Моисеева Светлана Петровна

Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 19 августа 2011 г.