Исследование сходимости решения уравнений Фредгольма в упругопластических задачах механики разрушения Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

10 7 5 1 2 /А

5 2,5 А /

/ \

' \

40 45 є"Єр 55 £л є,%

Р и с. 4. Ниспадающая ветвь, продолженная аппроксимацией

Р и с. 5. Кривые упрочнения при растяжении отожженного алюминия с диаметром зерна = 150 мкм или температуре +22 °С с учетом частичного разрушения материала

испытаний плоских образцов), определяем пластические константы разрушения E**, E*,

W**, W*.

На отрезке времени, когда / е [/**; /*], появляется еще одна эффективная характеристика: ширина ref = r - rtr, где r — текущая половина ширины пластины; rtr — половина ширины трещины. При / = /** имеем ref = r** = r, а при / = /* — ref = 0 .

Соответственно эффективная площадь поперечного сечения пластины принимает значение: Fef = 1 • 2 • ref = 1 • 2 • (r - .

Сделаем перерасчет кривой упрочнения относительно эффективной площади: так как

P

Fef ® 0, а напряжение течения вычисляется по формуле s5 = —, то при данном деформи-

Fef

рующем усилии P напряжение течения s5 будет не уменьшаться, а увеличиваться. Соответственно получаем график представленный на рис. 5 (или рис. 1, в).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. И., Козлова О. В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. — Владивосток: Дальнаука, 2005. — 159 с.

2. Пластические константы разрушения: Учеб. пособие / О. В. Козлова, А. П. Наумкин, А. И. Хромов, С. А. Шам-рай. — Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2005. — 52 с.

Поступила 5.07.2006 г.

УДК 539.3 С. Л. Степанов

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Рассматриваются вопросы разрешимости и сходимости решения неоднородных уравнений Фред-гольма второго рода с логарифмическим ядром, возникающих в задачах механики разрушения при моделировании пластических эффектов у вершин трещин с использованием подходов теории жесткопластического тела.

Для плоского напряженного состояния известно модельное представление пластических областей у вершин трещины как узких, вытянутых вдоль линии трещины зон, в которых действуют постоянные напряжения, равные пределу текучести р(х) = а8. Такое модельное представление называется моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла или КРТ-моделью (КРТ — критическое раскрытие трещины). Использование в задачах механики разрушения для сквозных и несквозных трещин (царапин) некоторых решений теории жесткопластического тела приводит к граничным условиям, в которых в пластических зонах и на контуре трещины вместо известного распределения напряжений р(х) = а(х) задается связь между напряжениями в пластических зонах и на берегах трещины и смещениями этих берегов в виде:

p(x) = A (1 - В • v(x)), (1)

где v (x) — смещения, А и В — некоторые постоянные, определяемые геометрическими параметрами задачи, механическими характеристиками материала и критериями разрушения (см. [1]).

В свою очередь при использовании уравнения (1) в качестве граничных условий на контуре трещины и в пластических зонах —с < x < с или на его части a < x < b, соответствующая

краевая задача сводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма относительно

смещений:

1 С

v(x) — 1— f v(X)r(c, x,X)dX = f (x), Ixl < с. (2)

h J

— С

Значение параметра с, характеризующего длину пластических зон, определяется из условия плавного смыкания их берегов: v '(с) = 0.

В уравнении (2) правая часть f (x) является известной функцией внешней нагрузки, геометрических параметров трещины и механических характеристик материала, h — толщина материала. Параметр 1 зависит от модуля упругости и предела текучести материала, а также от предельных значений выбранного критерия разрушения, 1 = 1(A, В). В нашем случае использования схемы жесткопластического течения таким критерием является относительная объемная плотность энергии диссипации, получаемой частицей материала при пересечении ею линии скольжения, введенная в [2]. Имеющиеся экспериментальные результаты позволяют сделать вывод о том, что для большинства металлических материалов величина 1 находится в переделах 0,002 ... 0,003.

Ядро Г(с, x, X) уравнения (2) определяется в виде

G(c, x, X) = С^^Щ1 (3)

с — xX — у(с — x )(с —X ) и имеет логарифмическую особенность при X —— x .

При решении интегральных уравнений вида (2) с ядрами, имеющими слабую особенность, основными вопросами являются разрешимость этих неоднородных уравнений и сходимость их решения.

Согласно первой теореме Фредгольма, уравнение (2) имеет решение при любой правой части f (x), поскольку соответствующее однородное уравнение не имеет решений, отличных от тривиального нулевого. Действительно, равенство нулю правой части в (2) означает отсутствие нагрузок, действующих на контур трещины и в пластических зонах, что сразу же позволяет сделать вывод о справедливости для однородного уравнения тождества v(x) ° 0.

Таким образом, решение уравнения (2) можно представить в виде ряда (см., например, [3,4])

v(x) = v0 (x) + 1 v1 (x) + 12v2(x)+.... (4)

и оценить его сходимость. Ряд (4) можно записать в другой форме:

¥ /Л \П с

v(x) = f (x) + £ - J Г„ (с, x, X)f (X)dX, |x| < с . (5)

1 Vh 0 —с

Здесь Гn (с, x, X) — n—ное итерированное ядро по отношению к исходному. Оно определяется следующим реккурентным соотношением:

с

Г1 (с,x,X) = r(,x,X); Гп (с,x,X) = J Гп—1 (с,x,х)Г(с,t,X)dt. (6)

—с

В [3] доказывается следующая теорема: если ядро Г (с, x, X) нормируемо при всех значениях

x из области изменения этой переменной —с < x < с, т. е. если

с

2

J

Г(с,x,X) dX< C , (7)

где С — ограниченная величина, то ряд (5), а равно и (4), равномерно сходится при всех значениях 1 / И , лежащих внутри интервала

— с

J J |r(c,x,X)2 dXdx .

(8)

Таким образом, для сходимости решения уравнения (2) необходимо показать, что условие (7) выполняется для ядра, определяемого формулой (3). Имеем

с2 - х^ + \](с2 - X2)(с2 - X2)

J(x )= J

ln-

С2 - xX~tJ(с2 - x2)(с2-X2)

Сделав замену переменных t = x/c; j = X/c, представим J (x) следующим образом:

d X,

x < С .

(9)

J (t) = С J

-1

ln

1 - tj + y CN j - CN 1

1 - j--/ (1 -,2 )(1 -j)

d j = c J |Г(1, t, j) - |Г(1,t, j)d j .

(10)

-1

Используя в (10) интегрирование по частям и проводя необходимые преобразования, для J (*) получим следующее выражение:

1 d ф

J(t) = (j-1)Г2(1,t, j) + W1 -12 J Г(1,t, j)

2

-1 лА -ф

Здесь первое слагаемое является регулярной функцией, поскольку

1|ш(ф-*)Г2 ((ф) = 1,т Г2(1;',ф) = -4^ 1,ш (ф-')ГЩ*-ф) = 0

ф®* ф '* 1 '' 2

(11)

j®t

j-t

j®t

л/Т-1

Во втором слагаемом интеграл приводится к виду d j = 1

Jr(1, t, j)

Vw2

j

(j-1)- Г(1,t, j) + 2уі1 -12 arcsin jj-

J

j

(j-1 )-Г(1, t, j) + 2лД -12 arcsin jj d j

3/2

(12)

Легко видеть, что в этом выражении первое слагаемое является регулярной функцией и, соответственно, подынтегральное выражение второго слагаемого также регулярно при j® t, поэтому вычисление интеграла в (12) не вызывает затруднений.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о нормируемости ядра Г(c, x, X) с нормой С:

C = max J (t),

которую можно определить по формулам (11), (12). Отсюда следует сходимость решения уравнения Фредгольма в виде ряда (5). В свою очередь условие сходимости запишется следующим образом:

1

—; B = cJ(t) = c h B w

1 1

J J |Г(1,t, j) djdt

-1 -1

(13)

Таким образом, установлена разрешимость неоднородного уравнения Фредгольма второго рода с логарифмическим ядром, доказана сходимость его решения и определено условие сходимости в упругопластических задачах механики разрушения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Быковцев Г И., Лукашев Л. Г., Степанов С. Л. Об одной модели разрушения в идеальных упругопластических средах // Проблемы прочности, 1982. — № 3. — С. 72-75.

2. Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 181 с.

3. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 304 с.

4. Партон В. З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука, 1977. — 311 с.

Поступила 7.11.2006 г.