ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВИТИЯ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.046.5 DOI: 10.22227/1997-0935.2021.5.587-607

Исследование развития моделей случайных величин в расчетах надежности строительных конструкций при неполной статистической информации

А.А. Соловьева, С.А. Соловьев

Вологодский государственный университет (ВоГУ); г. Вологда, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Изучены подходы к моделированию случайных величин в задачах расчетов надежности элементов строительных конструкций при неполной (ограниченной) статистической информации. Задачи исследования — постановка проблемы вероятностного расчета надежности строительных конструкций при неполной статистической информации, развитие подходов к созданию моделей случайных величин в рамках этой проблемы, а также оценка текущего состояния вопроса и некоторых перспектив развития на ближайшие годы.

Материалы и методы. Основная модель случайной величины — р-блок (probability box), представляющий собой область возможных функций распределений вероятностей случайной величины, сформированную двумя граничными функциями распределения вероятностей. Рассмотрены р-блоки, построенные на основе теории нечетких множеств, теории вероятностей, границ Колмогорова - Смирнова и др.

Результаты. Использование рассмотренных подходов проиллюстрировано на числовых примерах построения р-блоков по одним и тем же статистическим данным. Р-блок на основе теории вероятностей позволяет достаточно точно смоделировать случайную величину, однако требуется наличие априорной информации о виде функции распределения. Р-блок на основе теории возможностей можно применять даже при наличии крайне малого числа статистических данных, но также необходимо аккуратно подходить к вопросу назначения уровня среза (риска). Р-блоки на основе неравенства П.Л. Чебышева и статистики Колмогорова - Смирнова дают возможность эффективно моде- ^ ? лировать случайные величины вне зависимости от вида вероятностного распределения. Однако в ряде задач такие t о подходы могут дать слишком неинформативную оценку для принятия решений. з Н

Выводы. Выбор вероятностной модели случайной величины для дальнейшего расчета надежности элементов С к

строительных конструкций будет зависеть от количества и типа полученной статистической информации о случай- G М

ной величине. Для отдельных случаев, например статистической информации в виде подмножества интервалов, S ^

могут быть использованы специальные подходы, основанные на теории свидетельств Демпстера - Шефера. Пер- С ^

спективным и актуальным направлением развития вероятностных моделей случайных величин и методов анализа M I

надежности строительных конструкций при неполной статистической информации представляются численные ме- о S

тоды моделирования с использованием суррогатных моделей (кригинг, байесовские сети, интервальные предикторы h z

и др.) и нейросетевых алгоритмов. J 9

U7

о

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: надежность, вероятность отказа, случайная величина, теория нечетких множеств, теория случайных множеств, р-блоки, безопасность, неточные вероятности l з

о w

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Соловьева А.А., Соловьев С.А. Исследование развития моделей случайных величин в рас- CP

четах надежности строительных конструкций при неполной статистической информации // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. ° n

Вып. 5. С. 587-607. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.5.587-607 s w

2 S

A research into the development of models of random variables as part a 0 of the structural reliability analysis performed in the absence of

statistical information t (

_

--r n

Anastasia A. Soloveva, Sergey A. Solovev • )

Vologda State University (VSU); Vologda, Russian Federation v •

H

ABSTRACT

Introduction. The scientific review article addresses the approaches to the modeling of random variables performed as

a *

part of the structural reliability analysis of elements provided that some statistical information missing (limited). The objec- . 00

tives of the research include the statement of the problem of the probabilistic structural reliability analysis subject to incom- — E

plete statistical data, the study of the development of approaches to the generation of models of random variables within — y

the framework of this problem, as well as the assessment of the current state of affairs in this field and some development § K

prospects for the coming years. 5 5

Materials and methods. The principal model of a random variable, considered in the article, represents a p-box (pro- 2 2

bability box) model. A p-box is an area of possible functions of distributed probabilities of a random variable generated 2 2

by the two boundary functions of the probability distribution. The article addresses p-boxes generated using the fuzzy set 1 1 theory, the probability theory, Kolmogorov-Smirnov boundaries, etc.

© А.А. Соловьева, С.А. Соловьев, 2021

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

Results. The approaches, considered in the article, are illustrated by the numerical examples of p-boxes that use the same statistical data. P-boxes, based on the probability theory, allow to accurately simulate a random variable; however, a priori information about the type of the distribution function is needed. P-boxes, based on the possibility theory, can be used even if an extremely small amount of statistical data is available, and it is also necessary to carefully address the issue of assigning the cutoff (risk) level. P-boxes based on the Chebyshev inequality and the Kolmogorov-Smirnov statistics allow to effectively simulate random variables regardless of the type of the probability distribution. However, these approaches may generate an assessment that is too uninformative for decisions to be made in a number of tasks.

Conclusions. The choice of a probabilistic model of a random variable for the further reliability analysis of structural elements will depend on the amount and type of statistical data obtained about the random variable. In particular cases, if the statistical information represents a subset of intervals, special approaches based on the Dempster-Shafer theory can be used. A promising and relevant method that underlies both the development of probabilistic models of random variables and the analysis of structural reliability in case of missing statistical information encompasses the employment of numerical modeling methods that employ surrogate models (kriging, Bayesian networks, interval predictors, etc.) and neural network algorithms.

KEYWORDS: reliability, failure probability, random variable, fuzzy set theory, random set theory, p-boxes, safety, imprecise probabilities

FOR CITATION: Soloveva A.A., Solovev S.A. A research into the development of models of random variables as part of the structural reliability analysis performed in the absence of some statistical information. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(5):587-607. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.5.587-607 (rus.).

N N

о о

tv N

in «та

К <D U 3

> (Л

с и

to <0

<0 ф

¡1

<D <u

о ё

---' "t^

о

О у

8 «

z ■ i от * от E

E о

CL О

^ с

ю о

s «

о E

CO ^

от от

■s

il

О tn

ВВЕДЕНИЕ

«Вероятность — самое важное понятие в современной науке. Особенно потому, что никто не имеет ни малейшего представления о том, что оно означает» (Бертран Рассел, 1929) [1].

Развитие вероятностных подходов к оценке механической (конструкционной) безопасности несущих элементов строительных конструкций зданий и сооружений является актуальной научной задачей в свете требований Федерального закона РФ № 384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» и Межгосударственного стандарта ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований». В статье [2] подчеркивается, что «с развитием цифровых технологий, с возрастающими возможностями численных расчетов появляется острая необходимость в развитии стохастических подходов в строительстве на базе математической статистики, теории вероятности, теории надежности и других дисциплин». В работе [3] указывается, что моделирование работы строительных конструкций связано с оценкой неопределенностей различного рода, которые могут быть учтены путем использования методов теории надежности и вероятностного проектирования. «Вероятностные методы, используемые при оценке надежности конструкций, зданий и сооружений, являются наиболее обоснованными, отражающими природу случайного характера поведения конструкции», — констатируют авторы исследования [4].

Как отмечает доктор технических наук, профессор А.Г. Тамразян: «Для проектирования конструкций с учетом требований обеспечения их прочности, устойчивости, долговечности принцип безопасности может быть реализован в максимальной мере только при условии дальнейшего развития следующих фундаментальных вопросов:

1. Представление прочности и нагрузок в виде случайных величин и случайных процессов; вероятностная природа коэффициентов надежности; виды

отказов конструкций; вероятность отказа как многомерный интеграл по области отказа; характеристика безопасности.

2. Методы оценки надежности конструкций; характеристики и функции случайных величин; распределение максимумов многих случайных величин; вероятность редких событий; анализ случайных процессов; теория выбросов; нестационарные случайные процессы.

3. Нормирование надежности конструкций с экономическими, неэкономическими и смешанными типами ответственности; оценка неэкономических потерь; определение риска; оптимальный и норматив уровень надежности; вероятностная оптимизация конструкций» [5].

Так, п. 4.6. СП 63.13330.2018 уже содержит возможность расчета конструкций по заданному уровню надежности путем вероятностного анализа: «Расчет бетонных и железобетонных конструкций можно производить по заданному значению надежности на основе полного вероятностного расчета при наличии достаточных данных об изменчивости основных факторов, входящих в расчетные зависимости». Однако с практической и методической точек зрения данный момент еще не до конца проработан.

Одной из наиболее важных задач в рамках расчета строительных конструкций на надежность является подбор и обоснование вероятностных моделей случайных величин. Эту задачу на практике значительно осложняет неопределенность данных, полученная в результате недостатка статистической информации. В публикации [6] обозначено, что «неопределенность — это неотъемлемое свойство, которое широко существует в инженерных конструкциях. Неопределенность представляет собой геометрические размеры, свойства материала, внешние нагрузки и условия эксплуатации и т.д. [7]. Эти неопределенности, если их игнорировать, могут привести к низкой надежности инженерных сооружений и даже катастрофическим последствиям. В связи с этим неопределенность привлекла широкое внимание в по-

следние десятилетия [8]. Для решения этих проблем была разработана теория надежности строительных конструкций». Исследование проблемы неопределенностей в вероятностных моделях для описания случайных величин являлось и является темой для дискуссий ученых и инженеров [9, 10].

Хотя источников неопределенности может быть много, в контексте моделирования случайных величин традиционно выделяют два типа неопределенностей: алеаторная и эпистемологическая неопределенности.

Слово «алеаторный» происходит от латинского alea, что означает «жребий, игральная кость». Алеаторная неопределенность возникает из-за стохастической природы окружающей среды, неоднородности материалов, флуктуаций во времени, вариаций в пространстве или других различий. Таким образом, алеаторная неопределенность — это неопределенность, которая является внутренней случайностью явления. Иногда алеаторную неопределенность называют «неопределенность I типа» или «неснижаемая неопределенность».

Слово «эпистемологический» происходит от греческого елют^дп (эпистема), что означает «знание». Эпистемологическая неопределенность — это неопределенность, которая, как предполагается, вызвана недостатком знаний (или данных). Это также неуверенность, которая возникает из-за научного невежества, неопределенности измерений, наблюдаемости, цензурирования данных или другого недостатка знаний. Эпистемологическую неопределенность называют также «неопределенность II типа» или «редуцируемая (снижаемая) неопределенность», так как она, в отличие от алеаторной неопределенности, как правило, может быть уменьшена дополнительными эмпирическими усилиями: испытаниями, измерениями, наблюдениями и др.

Выбор типа неопределенности для случайной величины зависит от типа решаемой задачи по оценке надежности. Например, рассмотрим прочность бетона как случайную величину: если анализировать прочность бетона в существующей железобетонной конструкции, то неопределенность относится к категории эпистемологической, поскольку она может быть уменьшена путем увеличения количества контрольных образцов бетона. Конечно, тестирование может включать случайные ошибки измерения, особенно если используются регрессионные модели в неразрушающих методах контроля прочности. Эта неопределенность также должна быть классифицирована как эпистемологическая, если есть возможность исследовать альтернативные методы контроля прочности [9].

С другой стороны, неопределенность в прочности бетона в контексте проектируемого здания следует отнести к категории алеаторной, если не будет попыток сделать более детальное моделирование, связанное, например, с контролем производства бе-

тона. До тех пор, пока здание не будет фактически построено, никакие испытания не уменьшат изменчивость и неопределенность, присущую прочности бетона будущего здания. Как отмечено в труде [11], характер алеаторной неопределенности «трансформируется» в эпистемологическую неопределенность по мере реализации здания.

Таким образом, можно считать, что алеаторная неопределенность моделируется функцией распределения вероятностей случайной величины на базе инструментов теории вероятностей и математической статистики. Однако при ограниченной или некачественной статистической информации описание алеа-торной природы объекта становится затруднительным, и для учета этого недостатка требуются модели эпистемологической неопределенности. Комбинация двух типов неопределенностей дает достоверную модель случайной величины для дальнейших расчетов надежности строительных конструкций.

В работе [12] предлагается другая классификация неопределенностей при анализе надежности — неопределенность данных и неопределенность расчетной модели.

Произвольность в выборе закона распределения вероятностей случайных величин и чувствительность «хвостов» вероятностных распределений в области малых вероятностей привели к необходимости ввода рекомендаций, стандартизирующих законы и функции распределения вероятностей для случайных величин, входящих в математические модели нагрузки и несущей способности [13].

Моделирование алеаторной неопределенности — задача теории вероятностей и математической статистики, а моделирование эпистемологической неопределенности (недостаток статистических данных, субъективность экспертных оценок и т.д.) — предметная область таких наук, как теория нечетких множеств, теория свидетельств Демпстера - Шефе-ра и др. Как отмечено в исследовании [14], традиционный подход к анализу надежности строительных конструкций требует наличия полной статистической информации о видах распределений вероятностей случайных величин. Однако при решении практических задач зачастую не удается получить такую информацию в связи с ограниченной по объему статистической выборкой данных, вследствие ограниченности времени на проведение испытаний, высокой стоимости отдельных испытаний, невозможности получить большое количество контрольных образцов из индивидуальных элементов и т.д. Даже небольшая неточность или субъективность в выборе функции распределения вероятностей случайной величины может привести к большим ошибкам в анализе надежности строительных конструкций [15].

Только в отдельных специальных задачах можно рассматривать вероятность события как относительную частоту физического появления события в длин-

< п i kK

G Г

0 со § СО

1 2 y 1

J со

u-

^ I § °

o

=¡ (

oi

о §

Е w

§ 2

n 0

2 6

r 6

t (

Cc §

ф )

Í!

! о

о» в

■ г

s □

s У с о

! ! ««

О О 10 10

сч N о о сч N

in «та ¡г ai

U 3 > (Л С И 2

U «в

«о ф

¡1

ф ф

О ё —■

о

о У

8 «

Z ■ ^ от

от IE

Е о

CL ° ^ с

ю о

S ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

«г?

О (П

ной серии независимых повторении неизменного эксперимента, в котором событие может произойти [9]. В области надежности и структурной безопасности строительных конструкций несколько очень важных источников неопределенности не проявляют такого повторяющегося поведения при одинаковых обстоятельствах. Интерпретация стабильной долгосрочной частоты появления события как абсолютной вероятности в физическом смысле «подлежит утопии» [9] в контексте расчета строительных конструкций на надежность. Следовательно, полезность концепции вероятности должна основываться на другом рациональном основании. Тем не менее интерпретация математической вероятности, как относительной частоты, имеет решающее значение для ее полезности в качестве средства выражения степени убежденности относительно наступления события. Чтобы сделать вероятностную модель подлежащей прагматическому тесту фальсификации (согласно концепции Матерона [16], основанной на идее Поппера [17]), необходимо, чтобы некоторый тип относительного частотного поведения был связан с вероятностной моделью. Подробное обсуждение философии этого вопроса объективности дано в работе Дитлевсена и Мадсена [18].

В работе [9] рассматривается проблема влияния объема выборки на вероятность отказа или индекс надежности. В качестве оценки математического ожидания зачастую используется среднее арифметическое значение выборки в расчетах надежности [19, 20]. С ростом объема выборки происходит изменение выборочного среднего арифметического значения случайной величины. На рис. 1 приведены графики зависимостей результата моделирования [9], отражающие влияние объема выборки статистических данных о случайной величине на результат расчета надежности.

Как видно из рис. 1, недостаток статистической информации и принятие субъективных статистически необоснованных решений приводит к оши-

ita. 2,9 -

20

40 60 n

80

100

бочным результатам расчета надежности в виде индекса надежности или вероятности отказа. Для решения этой проблемы необходима разработка методов оценки и анализа надежности строительных конструкций, учитывающих неопределенность и ограниченность статистической информации.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Класс задач в рамках теории надежности строительных конструкций, в которых следует использовать специальные подходы для создания статистических моделей случайных величин с учетом эпистемологической неопределенности, называется методами расчета надежности при ограниченной (неполной) статистической информации.

В исследовании [21] Ферсон выделяет 8 классов расчетных ситуаций, когда необходимо использовать специальные методы расчета надежности при неполной статистической информации:

• неточные (например, интервальные) оценки параметров распределений случайных величин;

• неточная информация или отсутствие информации о корреляционной зависимости случайных величин в математических моделях предельных состояний;

• неопределенность методов и средств измерений;

• цензурирование данных измерений;

• малый размер выборочной совокупности статистических данных;

• низкое качество исходных статистических данных;

• неопределенность математической модели;

• нестационарность (непостоянность функций распределения вероятностей).

В настоящей работе предлагается рассмотреть историю развития и сравнительный анализ методов моделирования случайных величин в задачах вероят-

0,0025

0,002

0,0015 -

0,001

20

40

60

80

100

Рис. 1. Графики влияния числа испытаний на индекс надежности в и вероятность отказа pf при использовании выборочных оценок параметров распределений

Fig. 1. Graphs illustrating the influence of the number of tests on reliability index в and failure probability pf if sample estimates of distribution parameters are used

0

0

n

ностного расчета надежности строительных конструкций при неполной статистической информации.

Одним из самых распространенных подходов к моделированию эпистемологической неопределенности при анализе надежности и риска строительных конструкций служит представление функции распределения вероятностей не в виде точной функции, а в виде области, ограниченной нижней и верхней граничными функциями распределения вероятностей, внутри которой располагается действительная (но наперед неизвестная) функция распределения вероятностей. Такая область получила название p-блок (p-box, probability box).

Подходы к расчету надежности на основе р-блоков позволяют получить интервальную (менее информативную) оценку надежности элементов строительных конструкций, но статистически более достоверную и обоснованную. К тому же, принятие решений может быть осуществлено по нижней границе интервала в случае больших вероятностей безотказной работы. Чем точнее и качественнее статистическая информация, тем уже границы р-блока и ближе границы интервала, характеризующего надежность.

Идея моделирования распределения вероятностей случайной величины в виде области, сформированной граничными функциями распределения, окончательно сформирована несколькими независимыми исследованиями [22, 23], хотя теоретические предпосылки для них были опубликованы ранее [24]. Для большей наглядности научной обзорной статьи рассмотренные модели будем сравнивать на общем примере случайной величины: сгенерируем в программе PTC MathCAD восемь значений случайной величины с параметрами: математическое ожидание mx = 300 МПа и стандартное отклонение Sx = 15 МПа. Предположим, что эти значения являются результатом численного эксперимента по оценке прочности стали несущего элемента строительной конструкции. Так, по результатам генерации данных были получены следующие значения X = {303,58; 289,73; 275,78; 321,17; 314,57; 282,66; 302,16; 325,46} МПа [25].

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Интервальная оценка параметров вероятностных распределений. Известно, что при анализе выборочной совокупности статистических данных мы можем получить лишь оценки статистических параметров их генеральной совокупности в виде доверительных интервалов: для математического ожидания тх Е тх ] и для стандартного отклонения SXE. Sx], где тх и тх — нижняя и верхняя доверительные границы для математического ожидания; Sx и Sx — нижняя и верхняя доверительные границы для среднеква-дратического отклонения. Ширина (размах) этих интервалов будет зависеть от уровня доверительной вероятности и числа испытаний/измерений.

Для практических задач строительной отрасли может потребоваться нерационально большое число испытаний/измерений для того, чтобы получить доверительный интервал с небольшим размахом, который можно было бы заменить точной оценкой статистического параметра. Например, по результатам вышеуказанных сведений [25], доверительная оценка для математического ожидания составит

; [288; 315

_ МПа, для среднеквадратического отклонения БХЕ. 3,38; 30,4б] МПа.

На рис. 2 приведены все возможные варианты графиков функций нормального распределения по граничным значениям вышеуказанных параметров, а также F£mp(x) — эмпирическая функция распределения вероятностей и Еха'(х) — функция нормального распределения вероятностей при параметрах генерации данных (реальная функция). Тогда, в соответствии с определением р-блока, можно сформировать следующие граничные функции распределения вероятностей для данного р-блока:

Fx (x) =

Fx (x) =

Fnorm (mX, Sx ),

j-rnorm l с \

F (mX, SX), если x > mX, Fnorm ((, SX), если x < mx; (mx, Sx ),

F

если x > mx,

где F"orm — функция нормального распределения вероятностей.

Из рис. 2 видно, что реальная ¥ха1(Х) (но наперед неизвестная в практических задачах) функция распределения вероятностей попадает в область, формируемую граничными функциями распределения вероятностей р-блока °х (х) и Ох (х). Однако для использования данной модели случайной! величины необходимо знать параметрическую функцию распределения вероятностей в качестве априорной

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

288; 3,38 Fx (x)

if X4 315; 30,46 Fx (x)

288; 30,46 1 FA*) J

V 315; 3,38 \Fx (x)

x, МПа

250

_Г F

300 350 x,MPa

'(х) ...... ; < v I

315; 3,38

Fx(x)

Fx(x) mFAx)

< П

£8

G Г

o со

0 S

1 z

y 1 J S

U-

^ I о

z 3 o

=! ( о

CO CO

Q)

Рис. 2. Р-блок, построенный по интервальным границам параметров нормального распределения Fig. 2. A p-box based on the interval boundaries of parameters of normal distribution

i\j со о

z§ > §6 c я

h о

С 9

z )

ii

® о

0 в

■ T

s □

s У с о

1 i Ultt

2 2 О О 2 2

0

( x ) *** F r

сч N о о сч N

in in К Ol U 3 > (Л С И

m «в <Ö ф

¡1

ф ф

О ё

---' "t^

о

о У

8 «

Z ■ ^

ОТ 13 от iE

Е о

CL ° ^ с

ю о

s ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

2 3

iE 3s

О tn

информации или подтверждать ее с помощью критериев согласия, например, критерия Шапиро - Уилка. Обоснование параметрической функции распределения вероятностей может потребовать ни один десяток испытаний контрольных образцов, что ограничивает область применения данного р-блока в практических задачах анализа надежности строительных конструкций.

Подробная информация о формировании р-бло-ков данного типа и примеры расчета надежности строительных конструкций с моделированием случайных величин такими р-блоками рассмотрены в исследованиях [26-29].

Теория нечетких множеств и теория возможностей. Нечеткие множества и теория нечетких множеств были предложены математиком Лотфи Заде в 1965 г. [30]. Классическое понятие множества было расширено путем допущения, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечеткого

множества К) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только 0 или 1. Функция принадлежности отражает, насколько элемент м> универсального множества ^ принадлежит нечеткому множеству К. Более подробную информацию о нечетких множествах и функциях принадлежности можно найти в работе [31].

Используя основные идеи теории нечетких множеств, для моделирования неопределенности были предложены меры или функции возможности [32]. Теория возможностей получила дальнейшее развитие в работах Д. Дюбуа и А. Прада [33]. В расчетах надежности элементов строительных конструкций применяется функция распределения возможностей, обозначаемая, например, для нечеткой переменной X: пх (х). Функция распределения возможностей пх (х) по всем признакам имеет свойства, аналогичные функции принадлежности (х) некоторого множества или нечеткого числа. Однако это не означает, что понятия нечеткого множества и распределения возможностей являются одинаковыми. В литературе довольно часто путают понятия функции принадлежности и функции распределения возможностей нечеткой переменной и нечеткого множества [31]. Хотя в большинстве случаев такое «неточное» использование понятий не приводит к грубым ошибкам, следует четко различать перечисленные выше понятия. Равенство пх(х) = (х) в большей степени аналогично равенству между функцией правдоподобия и условной вероятностью в теории вероятностей. Запись пх (х) является сокращенной записью для пх (X = х | К), так как данная функция оценивает возможность равенства X = х при условии, что известно только нечеткое утверждение «Х есть К». Функция принадлежности (х) оценивает степень совместимости точной информации X = х с нечетким утверждением «Х есть К». Другими словами, нечеткая переменная и функция распределения возможностей характери-

зуют событие, а нечеткое множество — плохо определенное понятие, связанное с событием.

В исследовании [34] рассматривается подход к построению функций принадлежности прочности бетона на основе анализа экспериментальных данных. Аналогично в работе [35] изучаются различные варианты построения функции принадлежности нечеткого множества в контексте различных повреждений железобетонных плит перекрытий.

В труде [31] отмечается, что унимодальную функцию распределения возможностей пх(х) можно представить в виде р-блока следующим образом:

Г0,

F (х) =

F (х) =

х < х0, 1 - пх (х), х > х0,

пX (х), х < х0;

1, х > хо,

где х0 — точка максимума функции распределения возможностей.

Полученный р-блок имеет важное свойство: существует такая точка что ^(х) = 0 и ^ (х) = 1. Это означает, что р-блок содержит такое значение х0, что два распределения вероятностей, «действующие» в различных областях вещественной оси, разделяются этим значением.

Использование положений теории возможностей и теории нечетких множеств для анализа надежности элементов строительных конструкций получило распространение с 80-х годов прошлого века. Одной из первых работ в данном направлении стала публикация Н. Шираиши и Х. Фурута [36]. Приблизительно в это же время вышла статья про анализ надежности элемента под сейсмической нагрузкой при рассмотрении параметров нагрузки и прочности в виде нечетких переменных [37].

В дальнейшем данные идеи получили развитие в разных подходах к оценке надежности различных типов строительных конструкций [38-41]. В Российской Федерации приложение теории нечетких множеств и теории возможностей для расчета надежности элементов строительных и машиностроительных конструкций описано в работах профессора В.С. Уткина [42-46]. В качестве функции распределения возможностей в этих работах используется функция пх(х) с аналитическим видом:

п X (x) = exp

где а = 0,5(Хшах + ), bx = 0,5

(X - X )

V шах min /

V- Ina

X и X — максимальное и минимальное значе-

max mm

ния в подмножестве X (в выборке); а — уровень среза (риска), значением которого задаются.

В 2000 годы сформировались инженерные методики расчета надежности элементов строительных конструкций с использованием теории нечетких

множеств и теории возможностей [47-50]. В исследовании [51] приводится сравнение вероятностного анализа большого количества экспериментальных данных характеристик прочности каменной кладки стены с анализом на основе теории нечетких множеств с использованием вышеописанной функции распределения возможностей. Отмечается, что при малых объемах выборки могут быть получены надежные решения нечетких задач оценки качества. Сравнительными расчетами с применением статистического метода и метода теории возможностей показано, что при ограниченной информации о контролируемых параметрах достаточно малой выборки для надежного определения параметров нормального распределения и вероятности дефекта.

В работе [52] разработан метод диагностики технического состояния конструкций зданий и сооружений с использованием методов теории нечетких множеств и обобщенной формулы Байеса. В исследовании [53] создана экспертная система для оценки технического состояния железобетонных конструкций по результатам визуального осмотра на базе пакета Fuzzy Logic Toolbox в среде MatLab, которая позволяет определить класс технического состояния конструкции на основе шести имеющихся фак-

Уровень среза — 0,05 Cutoff level — 0.05

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

F(x) 0

I /г

Г / i I

// x)

я— /

торов: повреждения бетона, снижающие защитные свойства по отношению к арматуре (карбонизация); образование продольных трещин в защитном слое бетона вдоль сжатых стержней; образование продольных трещин в защитном слое бетона вдоль растянутых стержней; глубина коррозии арматуры; образование нормальных, наклонных трещин и прогибы (перемещения). В труде [54] рассматриваются проблемы математического моделирования организации строительного производства с использованием теории нечетких множеств. Приводятся примеры применения теории нечетких множеств в задачах оптимального распределения количества рабочих, моделирования размытости при оценке возможности бетонирования в условиях пониженных и повышенных температур и др.

Теория возможностей и теория нечетких множеств для моделирования случайных или неточных (размытых) величин рассмотрены также в ряде других задач строительной отрасли [55].

Широкое применение теория нечетких множеств и теория возможностей получили в области расчета надежности гидротехнических сооружений [56-58].

Как видно из рис. 3, уровень риска (среза) а существенно влияет на границы р-блока. Так, уровень

Уровень среза — 0,10 Cutoff level — 0.10

1,0 0,8

0,6 0,4 0,2 0

F(x) /

T A

/ 4 \F(x)

Г У / х, МПа MPa

260

280

300 a

320 340 х, МПа / MPa 260

Уровень среза — 0,20 Cutoff level — 0.20

280

300 b

320

340

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

- F"°'(x)

F(x) see F(x)

260

280

300

320

340 х, МПа / MPa

< П

iH

о

S

с

0 CO n CO

1 z У 1

J to

u-

^ I

n °

S> 3 o

zs ( O?

о n

CO CO

Q)

Рис. 3. Р-блок, построенный на основе функции распределения возможностей nX(x) при различных уровнях среза (риска) а: а — а = 0,05; b — а = 0,10; c — а = 0,20

Fig. 3. A p-box based on possibility distribution function nX(x) at different cutoff (risk) levels а: a — а = 0.05; b — а = 0.10; c — а = 0.20

i\j

co

о

r §6 c я

h о

c n

ss )

ii

. В

■ т

s □

s У С о i i

О О 10 10

с

сч N о о сч N

in in

¡г ai

U 3 > (Л С И 2

U «в

«о ф

¡1

<u <u

О ё —■

о

о У

о со ГМ

риска а = 0,05 создает р-блок, который не покрывает действительное распределение вероятностей Е™а1(х) в области хвостов. Уровень риска а = 0,20, рекомендованный в [56], покрывает и эмпирическую FXmp(x), и реальную Е"а1(х) функции распределения вероятностей. Следовательно, уровень риска является необходимой априорной информацией для построения р-блока на основе функций распределения возможностей, что может привести к определенным ошибкам при субъективном принятии решения о его значении.

Неравенство П.Л. Чебышева/Кантелли. В случае, если известны математическое ожидание случайной величины тх и ее дисперсия то двухстороннее неравенство П.Л. Чебышева может быть использовано для построения граничных функций распределения вероятностей р-блока случайной величины Х [59] в виде:

0,8 0,6 0,4 0,2 0

Fx (x) =

Fx (x) =

0, x < mX + SX;

(x - mx)

2 , x > mx + Sx ,

(x - mx )2

1, x > mx - Sx ,

x < mX - SX;

где тх — математическое ожидание случайной величины X; Бх — среднеквадратическое отклонение (стандарт) случайной величины X.

В исследовании [60] представлен аналогичный подход к построению границ р-блока, но уже на основе неравенства Кантелли.

В трудах [19, 61] предложены следующие граничные функции распределения, полученные на основе неравенства Чебышева:

Ex (x)-

52

(mX - x)2 + 5X

1, если x > mv

если x < mr

Fx(x) =

0, если х<тх;

х (Щ

1-

если т v

; mY + -

mv

О2

ш.

Если известны точные границы изменчивости случайной величины Х в виде интервала х^, то можно построить более узкие граничные функции распределения вероятностей [62] с аналитическим видом:

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Г- -a-*

F (x) \ /

/ / f /

F / = \ F (x)

/ /

260

280

300 a

320

340 x, МПа / MPa 260

280

300 b

320

340 x, МПа / MPa

ОТ "

от Е —

с

Е о

CL ° ^ с

ю о

S «

о Е

СП ^ т- ^

от от

il

О (П

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

260

F (x) \ * / е-"0"

/ / f /

/ / = \ F(x)

/

_Г F™"(x)

--F"°'(x)

*** F(x)

вее F(.v)

280

300

320

340 x, МПа / MPa

Рис. 4. Различные варианты р-блоков на основе неравенства Чебышева: а — граничные функции по [59]; b — граничные функции по [61]; c — граничные функции по [62]

Fig. 4. Different cases of p-boxes based on the Chebyshev inequality: a — Boundary functions pursuant to [59]; b — Boundary functions pursuant to [61]; c — Boundary functions pursuant to [62]

2

1

2

S

С

Fx (x) = ,

Fx (x) = \

0, x < mx + S2xj (mX - x);

1 -\b (l + a)- c - b2 j I a, mX + S^ (mX - x) < x < mX + SX / (mX - x); 1 + S'xl(x - mX )2 j, mX + Sx/(mX - x) < x < x;

1, x > x,

0, x < x;

1 [1 + (x - mx )2/SX j, x < x < mX + S\j(mX - x); 1 -(b2 - ab + c))(1 - a), mX + Sxl (mX - x) < x < mX + SX/(mX - x);

1, x > mx + Sx/(mx - x),

где д:е х], параметры распределения вычисляются следующим образом: а = (х - х ))(х - х), Ь = (тх -х)(х -X)и с = Б2х1 (х - х) .

На рис. 4 показаны различные варианты р-блоков для рассматриваемого примера на основе вышеописанных граничных функций распределения Гх (х) и ¥ х (х).

Как видно из рис. 4, р-блок на базе граничных функций распределения вероятностей по [59] имеет широкую область допустимых распределений вероятностей. Р-блок по [61] имеет более узкие границы, которые покрывают эмпирическую функцию распределения и реальную функцию распределения вероятностей. При дополнительной информации в виде возможных границ случайной величины х£ х^ можно получить еще более узкие границы по [62]. Такой вариант возможен при организации входного строительного контроля или контроля допусков по исполнительной документации.

Преимуществом моделей на основе неравенства Чебышева является отсутствие необходимости подбирать закон распределения вероятностей случайных величин или назначать уровень среза (риска), как в случае с функцией распределения возможностей. Однако должны быть известны значения математического ожидания тх и среднеквадратического отклонения Sх случайной величины. Использование выборочных оценок, например среднего арифметического выборки, может привести к ошибкам в результатах расчета надежности (см. рис. 1).

Для решения этой проблемы могут быть применены доверительные интервалы для математического ожидания тх Е [ти^.; тх ] и для стандартного отклонения З^Е Бх ], а сам р-блок будет формироваться множеством вариантов граничных функций по данным параметрам.

Границы Колмогорова - Смирнова. Одним из эффективных вариантов построения р-блока при ограниченной статистической информации является р-блок, построенный по границам статистики Колмогорова - Смирнова [63]. Преимущество такого подхода перед предыдущими — отсутствие необходимости иметь априорную информацию о функции

распределения случайной величины, а также отсутствие необходимости проводить оценку математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

В исследовании [63] предлагается следующий вариант граничных функций FX (x) < FX (x) < Fx (x) распределения вероятностей:

Fx(x) = max((x) - < T, 0), Fx(x) = min((x) + dn: T, l),

где FX"p(x) — эмпирическая функция распределения вероятностей; dn n — значение статистики Колмогорова - Смирнова.

Параметр dn л может быть вычислен как dn 1-Y k1-Y jJn при числе испытаний/измерений n > 10. При числе испытаний/измерений менее 10, параметр dn л вычисляется по формуле [64]:

dn, - k-Y (( + 0,12 + 0,1 l/vn)-

На рис. 5 приведены графики граничных функций распределения вероятностей, формирующих р-блок по вышеприведенным данным.

Недостаток рассматриваемого р-блока — постоянный уровень вероятности dn » « к 1-у (п + 0,12 + 0,11/7«) на хвостах реальных распределений. При малом числе испытаний или измерений п вероятности будут довольно высокими, на их основе трудно принимать решения об уровне безопасности объекта, так как оценка получается неинформативной. Например, при эксплуатационном напряжении 340 МПа по данным вышерассмо-тренного примера, надежность составит [0,59; 1].

Об оптимизации выбора функции распределения вероятностей по данному р-блоку подробная информация приведена в исследовании [65].

Теория свидетельств Демпстера - Шефера. Теория Демпстера - Шефера или теория случайных множеств была предложена в работе Артура Демпстера [66] и позднее развита в исследовании Гленна Шефера [67] в качестве инструмента для моделирования и обработки неточных (интервальных) экспертных оценок, измерений или наблюдений.

< п

8 8 IH

kK

G Г

0 со § СО

1 2 У 1

J со

u-

^ I

n ° o

з (

о =?

о §

E w § 2

n 0 2 6 r 6 t (

2 )

ii

® о

о» в ■ £

s У с о i i

2 2 О О 2 2

<л

(Л

£ w

ií ES

о (ñ

Случайное множество — это случайная величина, принимающая в качестве значений некоторые множества вместо точек.

Предположим, что N наблюдений или измерений элемента w Е Q было получено в качестве информации об объекте. При этом результат измерений является неточным, т.е. представляет собой некоторый интервал (подмножество) А значений Пусть с. означает количество наблюдаемых подмножеств A. Е Согласно [66], базовая вероятность может быть получена как m (Ai) = cjN. Если m(A¡) а 0, т.е. подмножество A . в качестве результата измерения было получено хотя бы один раз, то A. называется фокальным элементом (focal element).

Случайная величина в рамках теории свидетельств Демпстера - Шефера может быть представлена в виде двух граничных функций — функции доверия Bel(A) и функции правдоподобия Pl(A):

Bel (A) =

У m (Ai)

a¡ ac a

Pl (A) =

У m (At).

¡ :a*m ¿0

N N

о о

N N 1П 10 К 01 U 3 > (Л С И

ta «в

«ó щ

¡I

<D ф

O í¿ —■

o

o <£

8 « Z ■ ^

w

со IE

E o

CL °

^ с

ю o

S «

o E

en ^

В соответствии с работой [31], на основе функций доверия и правдоподобия можно построить граничные функции распределения вероятностей в р-блоке:

[У . А с,/Ы, х < О*;

/ J г^ир А, £ х 1'

[1, X = О*,

ГУ« А, £ , х > О*;

[о, х = О*,

где О* и О* — нижняя и верхняя границы подмножества действительных чисел.

Теория свидетельств Демпстера - Шефера в задачах анализа надежности строительных конструкций зачастую применяется для моделирования случайной величины, которая представлена подмножеством интервальных значений:

{(( ], т ) ([у2, г21, т2), (уп, гп \, тп)

тп — базовая вероятность интервала. Тогда граничные функции распределения могут быть записаны в следующем виде:

¥х (х) = 2 т,

Уг£ х

Ех(х) = 2 т ■

г £ х

Одним из недостатков функций распределения вероятностей в данном р-блоке является то, что функция доверия или правдоподобия принимает значения в виде единицы после значений у. и z, когда X т. = 1. Следовательно, в задачах анализа надежности возможен случай нулевой вероятности отказа, что не соответствует действительности.

Эта проблема возникает вследствие полной степени доверия к подмножеству интервалов. Для ее решения в исследованиях [31, 68] предлагается развитие функций доверия и правдоподобия путем использования обобщенной модели Дирихле [31, 69] как одного из видов робастных моделей. В этом случае верхнюю и нижнюю границы вероятности безотказной работы можно записать в виде:

Р(A |c,s) = = XBel(A) и

Р (A | c, s )== = 1 - X [1 - Pl (A)],

N + s

где N — число испытаний (наблюдений); s — параметр, характеризующий меру «засорения», значением которого задаются, где введено обозначение

х = (1 + s/ л))и х е [0;i].

Коэффициент х учитывает степень доверия s к экспертным оценкам в виде подмножества интервалов, а также к количеству интервалов N в подмножестве, что позволяет в итоге получить более объективную оценку надежности.

В труде [70] изучается развитие теории свидетельств Демпстера - Шефера в контексте теории выпуклых множеств (convex sets) для оценки надежности элементов строительных конструкций в случае представления случайных величин в интервальной форме. Предлагаемый алгоритм рассматривается на примере численного анализа надежности консольной фермы по критерию ее прогиба. Разработан новый метод расчета надежности на основе методологии поверхности отклика (response surface) с использованием положений теории свидетельств Демпстера - Шефера [71].

Полный обзор современного состояния и проблем использования теории свидетельств Демпсте-ра - Шефера при анализе надежности элементов строительных конструкций и инженерных сооружений приведен в актуальном исследовании 2021 г. [72].

Байесовский подход. Пусть имеется некоторая случайная величина X, которая характеризуется функцией распределения вероятностей FX (x 10) и fx (x |0) плотностью распределения вероятностей с параметрами 0. Но 0 также является случайной величиной, имеющей некоторое распределение вероятностей. Такое распределение Pr (0) называется априорным распределением вероятностей, поскольку оно принимается прежде, чем были получены статистические данные. На основе априорного распределения Pr(0) формируется апостериорное распределение Pr(0), при условии, что были получены данные x.

Вместо использования байесовского апостериорного прогностического распределения в труде [12] рассматриваются границы распределений, параметры которых попадают в определенную область. Чтобы достичь таких границ, выбирается

подмножество ©5 (а) £ 0 при выполнении условия 1 - а £ Р(9 £ (а)).

Зависимость апостериорных вероятностей от априорных вероятностей показывает, как много информации о значениях неизвестного параметра содержится в статистических данных. Если апостериорные вероятности сильно зависят от априорных, то, скорее всего, данные содержат мало информации. Если апостериорные вероятности слабо зависят от выбора априорного распределения, то данные являются информативными.

Таким образом, при использовании байесовского подхода, кроме распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины, предполагается использование некоторого априорного распределения параметров функции распределения случайной величины. Опираясь на статистические данные, априорное распределение параметров модифицируется путем умножения на функцию правдоподобия, а результатом модификации служит апостериорное распределение параметров. То есть в задачах присутствует неопределенность второго порядка: «случайные параметры случайной величины» или «распределение параметров распределения» [31].

Формирование р-блоков для расчета надежности элементов строительных конструкций с использованием байесовского подхода рассмотрено в исследовании [73]. Аспекты применения байесовского подхода в задачах оценки надежности механических систем при недостатке статистической информации изучены в работе [74].

Отдельные аспекты применения байесовского подхода в задачах анализа надежности элементов строительных конструкций приведены в работах [75-77].

Численное моделирование. Основной подход к численному моделированию случайных величин и последующему анализу надежности строительных конструкций основывается на генерации случайных чисел методами Монте-Карло. Общая идея оценки надежности заключается в следующем: пусть имеется функция предельного состояния элемента g((, Х2, ..., Хп) £ 0, где Х„ Х2, ..., Хп — случайные величины, входящие в функцию предельного состояния. Вероятность отказа можно вычислить по формуле:

где I(X1, X2, ..., Xn) — функция, определяемая

Pf=Vr[g{XvX2, ...,Х„)*0] =

jfF" .....х» ' Xl' •■•' x,)dx]cbc2

g{x1,Хг.....лг,)«о.

dx„

где ^ (х) — функция плотности вероятности случайной величины X.

Методы Монте-Карло позволяют получить оценку вероятности отказа в следующем виде:

Pf

- 2 I (( X2, X )

как:

i(х x x li1, если g^ x10;

( P 2, n 1 [0, если g(Xi, X2, ..., x„)> 0.

В исследовании [78] рассматривается методика оценки надежности путем численного моделирования случайных величин по методу Монте-Карло, в случае, когда статистические параметры случайных величин характеризуются интервалами. Важным преимуществом такой методики является возможность ее практического использования, так как при оценке статистических параметров по выборочной совокупности данных мы получаем их интервальные, а не точные, оценки.

Для проведения анализа надежности с помощью p-блоков предложены методы, основанные на сэмплировании данных [79]. Однако сэмплирование выборки р-блоков требует большого количества выборок, что увеличивает вычислительные затраты, потому что каждое моделирование включает в себя интервальный анализ. В исследовании [79] предлагается интервальная методология квази-Монте-Карло моделирования для эффективного вычисления интервальных границ вероятностей отказа строительных конструкций. Методология основана на детерминированных последовательностях с низким расхождением (low-discrepancy sequence), которые распределяются более регулярно, чем (псевдослучайные) случайные точки при прямом моделировании методом Монте-Карло. Разработан метод оценки надежности на основе моделирования Монте-Карло при наличии случайных величин с точными и интервальными параметрами [80]. Алгоритм использования предложенного метода рассмотрен при анализе надежности стержневых систем.

Более подробную информацию о современном состоянии подходов к расчету надежности строительных конструкций с использованием генерации случайных данных при неполной статистической информации можно найти в работах [81, 82].

Перспективы развития моделей случайных величин: метамоделирование, суррогатные модели, нейросетевые и генетические алгоритмы. Одна из проблем анализа надежности строительных конструкций — высокая степень нелинейности математических моделей предельных состояний в отдельных задачах. Современные вычислительные комплексы позволяют оперативно их решать в детерминистической постановке, однако для стохастической постановки задачи могут потребоваться как серьезные вычислительные мощности (или затраты времени), так и эффективные алгоритмы расчета надежности. Особую важность приобретает точность оценки надежности, поскольку в строительной практике приходится иметь дело с крайне низкими значениями вероятностей отказа или высокими зна-

< п

8 8 iH

k к

G Г

0 С/з § С/3

1 2 У 1

J со

и-

^ I

n 0 o

3 (

о §

E w

§ 2

n 0

2 6

r 6

t (

Cc §

ф )

ii

' о о» в

■ T

s У с о i i Ultt

2 2 О О 2 2

n

сч N о о сч N

10 10

¡г а>

и 3 > (Л с «

и «в «о ф

¡1

Ф <и

О ё —■ ^

о

о У

8 «

2 ■ ^ от 13 от Е

Е о

£ о

^ с

ю о

& ц

о Е

сп ^

от от

«г?

О (О №

чениями вероятностей безотказной работы элементов строительных конструкций. Неточности и округления в оценке надежности отдельных элементов конструкций по отдельным критериям предельных состояний приведут к большим ошибкам при анализе надежности зданий и сооружений в целом как механических систем.

С целью оптимизации временных и вычислительных затрат на численное моделирование суррогатные модели были адаптированы для анализа надежности строительных конструкций. Два наиболее часто встречающихся подхода для построения суррогатных моделей в задачах анализа надежности строительных конструкций: кригинг [83-85] и модель разложения полиномиального хаоса [86].

В публикации [87] исследуется использование трех методов (модернизированного метода Монте-Карло, модель интервального предсказания и адаптивный кригинг) для анализа надежности высоко нелинейных математических моделей. Отмечается, что модернизированные методы Монте-Карло сами по себе бывают недостаточны для выполнения точных вычислений вероятности отказа в высоко нелинейных математических моделях, что часто приводит к большим вычислительным затратам. Это требует применения надежных процедур суррогатного моделирования. Интервальные модели предсказаний всегда обеспечивают достоверную оценку вероятности отказа, однако при рассмотрении малых вероятностей отказа, границы предсказаний (прогноза) становятся неинформативно большими, особенно это касается небольших выборок. Разработка высокоэффективных подходов к выполнению инженерных вычислений с неточными вероятностями, представленными в виде р-блоков, — быстро расширяющаяся область научных исследований [88]. По результатам анализа [88] делается вывод, что за последние 5 лет появилось много высокоэффективных подходов к вычислениям с неточными вероятностями в целом и р-блоками в частности. Основная задача на данный момент заключается в том, чтобы перевести этот набор высокоэффективных методов в прикладные инженерные применения, включающие мультифизиче-ские модели и/или модели с миллионами степеней свободы.

Созданы нейросетевые алгоритмы для построения р-блоков случайных величин на основе суррогатных моделей [89]. Приводится сравнение классического метода Монте-Карло и метода искусственных нейронных сетей для расчета надежности стальных рам как упругопластических систем [90]. Отмечается, что применение нейронных сетей позволяет практически устранить любые ограничения на масштаб задачи и размер выборки, используемые для методов Монте-Карло. Подробный анализ и обзор существующих алгоритмов на основе нейрон-

ных сетей для расчета надежности стальных конструкций рассмотрен в труде [91].

Для того чтобы определить точную и «достоверную» вероятностную модель, потребуется очень большое количество данных (возможно, бесконечное) [92]. К сожалению, недостаток информации всегда влияет на инженерный анализ надежности и безопасности, и его масштабы «априори не поддаются количественной оценке» [92]. В целом качество имеющейся информации зависит от контекста и сферы охвата, например, различные показатели эффективности систем могут по-разному реагировать на один и тот же недостаток данных. Предложенная в работе [92] структура представляет способ оценки дефицита данных путем сравнения оценок надежности системы (полученных с помощью обобщенных вероятностных подходов) с однозначными вероятностными показателями (полученными с использованием классических вероятностных методов). Если недостаток знаний незначителен, то надежность системы приведет к относительно узким границам, включающим точечную оценку надежности. В этом случае классические подходы будут хорошо подходить для решения проблемы анализа надежности.

Перспективными направлениями дальнейшего развития подходов к анализу надежности строительных конструкций также являются учет факторов деградации материалов и факторов времени [93-96], использование генетических алгоритмов [97, 98], комбинация с методами топологической оптимизации [99-101] и др.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

В научной обзорной статье исследовано развитие вероятностных моделей случайных величин для расчетов надежности строительных конструкций при неполной (ограниченной) статистической информации о контролируемых параметрах. Разделы обзорной статьи сопровождают графики моделей случайных величин на основе одинаковой выборки статистических данных, что позволяет более объективно и наглядно сравнить различные подходы.

Выбор вероятностной модели случайной величины для дальнейшего расчета надежности элементов строительных конструкций будет зависеть от количества и типа полученной статистической информации о случайной величине.

Перспективным и актуальным направлением развития вероятностных моделей случайных величин и методов анализа надежности строительных конструкций при неполной статистической информации является использование численных методов моделирования с использованием суррогатных моделей (кригинг, байесовские сети и др.) и нейросе-тевых алгоритмов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schwarz W. No interpretation of probability // Erkenntnis. 2018. Vol. 83. Issue 6. Pp. 1195-1212. DOI: 10.1007/s10670-017-9936

2. Кургузое К.В., Фоменко И.К., Шубина Д.Д. Вероятностно-статистическое моделирование нагрузок и воздействий // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. № 9. С. 1249-1261. DOI: 10.22227/19970935.2020.9.1249-1261

3. Schobi R., Sudret B. Structural reliability analysis for p-boxes using multi-level meta-models // Probabilistic Engineering Mechanics. 2017. Vol. 48. Pp. 27-38. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.04.001

4. Дудина И. В., Жержееа С.А. Применение прикладных методов теории надежности в строительном проектировании // Труды Братского государственного университета. Серия: Естественные и инженерные науки. 2016. Т. 1. С. 117-121.

5. Тамразян А.Г. Бетон и железобетон: проблемы и перспективы // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 8. С. 30-33.

6. Yang M., Zhang D., Han X. New efficient and robust method for structural reliability analysis and its application in reliability-based design optimization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2020. Vol. 366. P. 113018. DOI: 10.1016/j.cma.2020.113018

7. Xin T., Zhao J., Cui C., Duan Y. A non-probabilistic time-variant method for structural reliability analysis // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part O: Journal of Risk and Reliability. 2020. Vol. 234 (5). Pp. 664-675. DOI: 10.1177/1748006X20928196

8. Liu J., Meng X., Xu C., Zhang D., Jiang C. Forward and inverse structural uncertainty propagations under stochastic variables with arbitrary probability distributions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2018. Vol. 342. Pp. 287-320. DOI: 10.1016/j.cma.2018.07.035

9. Der Kiureghian A., Ditlevsen O. Aleatory or epistemic? Does it matter? // Structural safety. 2009. Vol. 31. Issue 2. Pp. 105-112. DOI: 10.1016/j. strusafe.2008.06.020

10. Lindley D. The philosophy of statistics // Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician). 2000. Vol. 49. Pp. 293-337. DOI: 10.1111/1467-9884.00238

11. Faber M.H. On the treatment of uncertainties and probabilities in engineering decision analysis // Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering. 2005. Vol. 127 (3). Pp. 243-248. DOI: 10.1115/1.1951776.

12. Montgomery V. New statistical metliods in risk assessment by probability bounds. Diss. Durham University, 2009. 152 p.

13. Ditlevsen O., MadsenH.O. Proposal for a code for the direct use of reliability methods in structural design. JCSS Working Document, 1989. 28 p.

14. Zhang L., Zhang J., You L., Zhou S. Reliability analysis of structures based on a probability-uncertainty hybrid model // Quality and Reliability Engineering International. 2019. Vol. 35 (1). Pp. 263279. DOI: 10.1002/qre.2396

15. Jiang C., Zheng J., Ni B.Y., Han X. A probabilistic and interval hybrid reliability analysis method for structures with correlated uncertain parameters // International Journal of Computational Methods. 2015. Vol. 12 (4). P. 1540006. DOI: 10.1142/ S021987621540006X

16. Matheron G. Estimating and choosing. Berlin : Springer Verlag, 1989. 141 p. DOI: 10.1007/9783-642-48817-7

17. Popper K.R. The logic of scientific discovery. London : Hutchinson, 1959. 480 p.

18. Ditlevsen O., Madsen H.O. Structural reliability methods. NY : J. Wiley & Sons, 1996. 372 p.

19. Ярыгина О.В. Методы расчета надежности

железобетонных конструкций в составе зданий e е

s о

и сооружений при ограниченной статистической n Н

информации : дис. ... канд. техн. наук. Вологда, k s

2013. 157 с. 3М

(!) *

20. Уткин В.С., Редькин А.Н. Расчет надежно- и с сти стальной балки с гибкой стенкой по критерию f я прочности стенки при ограниченной статистиче- О со ской информации с использованием распределе- h N ний, полученных на основе неравенства Чебышева J 9 // Строительство и реконструкция. 2011. № 5 (37). U — С. 56-62. a9

— СО

21. Ferson S., Kreinovich V., Grinzburg L., My- о (

ers D., Sentz K. Constructing probability boxes and о i

о

Dempster-Shafer structures (Issue SAND-2015-4166J). t I

Sandia National Lab. (SNL-NM), Albuquerque, NM E S

(United States). 2015. ° —

22. Walley P., Fine T.L. Towards a frequentist m 0

theory of upper and lower probability // Annals of — 6

Statistics. 1982. Issue 10. Pp. 741-761. E 0

h —

23. WilliamsonR.C., Downs T. Probabilistic arith- e о metic I: numerical methods for calculating convolu- u i tions and dependency bounds // International Journal • f of Approximate Reasoning. 1990. Issue 4. Pp. 89-158. < Т DOI: 10.1016/0888-613X(90)90022-T

24. Boole G. An investigation of the laws of 3 thought, on which are founded the mathematical theo- i ries of logic and probability. London : Walton and Ma- я ы berly, 1854. 425 p.

25. Соловьева А.А., Соловьев С.А. Метод оцен- 3 £ ки надежности элементов плоских ферм на осно- ,5я Я ве р-блоков // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. № 2. g 0 С. 153-167. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153- 1 ¡2 167

26. KarankiD.R., KushwahaH.S., VermaA.K., AjitS. Uncertainty analysis based on probability bounds (p-box) approach in probabilistic safety assessment // Risk Analysis: An International Journal. 2009. Vol. 29 (5). Pp. 662-675. DOI: 10.1111/j.1539-6924.2009.01221.x

27. Xiao N.C., Huang H.Z., Wang Z., Pang Y., He L. Reliability sensitivity analysis for structural systems in interval probability form // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2011. Vol. 44. Issue 5. Pp. 691-705. DOI 10.1007/s00158-011-0652-9

28. Hall J.W. Uncertainty-based sensitivity indices for imprecise probability distributions // Reliability Engineering & System Safety. 2006. Vol. 91 (10-11). Pp. 1443-1451. DOI: 10.1016/j.ress.2005.11.042

29. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Structural analysis with probability-boxes // International Journal of Reliability and Safety. 2012. Vol. 6. Issue 1-3. Pp. 110-129. DOI: 10.1504/ IJRS.2012.044292

30. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and control. 1965. Vol. 8. Pp. 338-353.

31. Уткин Л.В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации. СПб. : Наука, 2007. 404 с.

32. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory C<1 of possibility // Fuzzy sets and systems. 1978. Vol. 1. ■¡212 Pp. 3-28.

> ю 33. Dubois D., Prade H. Possibility theory and its

с tfl

3 — applications: Where do we stand? // Springer handbook ® r of computational intelligence. Springer, Berlin, £ ® Heidelberg, 2015. Pp. 31-60. DOI: 10.1007/978-32 з 662-43505-2 3 О ™

H 5 34. Адищев В.В., Шмаков Д.С. Метод построе-

^ ния функции принадлежности с «прямой» обработ-= j! кой исходных данных // Тр. Новосибирского госу-О .2 дарственного архитектурно-строительного универ-g о ситета (Сибстрин). 2013. Т. 16. № 2 (56). С. 45-66.

CD <f

<9 -¡5 35. Кашеварова Г.Г., Фурсов М.Н., Тонкое

^ с

° го Ю.Л. О построении функций принадлежности не-см с

о четкого множества в контексте задачи диагностики

^ 2 повреждений железобетонных плит // International

^ £ Journal for Computational Civil and Structural

f <5 Engineering. 2014. Т. 10. № 2. С. 93-101.

о 36. Shiraishi N., Furuta H. Reliability analysis

CO —

g 2 based on fuzzy probability // Journal of Engineering

rj I Mechanics. 1983. Vol. 109. Issue 6. Pp. 1445-1459.

? Z DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1983)109:6(1445) ^ ^ 37. Wang G., Wang W. Fuzzy reliability analysis

— J of aseismic structures // Acta mechanica sinica. 1986.

* .1 Vol. 2. Issue 4. Pp. 322-332.

0 3

i_ W 38. Xiang Z. Fuzzy possibility analysis for

® EE reliability of crack resistance in steel fiber reinforced

1 s£ concrete members // Industrial Construction. 1991. ¡3 I Vol. 4. Issue 10. Pp. 3-6.

щ £ 39. Tie-Yu T. Fuzzy possibility analysis for the reliability of the crack resistance in reinforced

concrete members // Journal of Wuhan University of Technology. 1986. Vol. 8. Issue 3. Pp. 331-337.

40. Ji-Min C.X.Y. Reliability analysis of nonuniform settlement of foundation // Chinese Journal of Geotechnical Engineering S. 1992. Vol. 1.

41. Derong X.S.Z. Loading capability fuzzy reliability analysis of the bridge // Journal of Chongqing Jiaotong University. 1991. Vol. 3.

42. Уткин В.С., Уткин Л.С. Определение надежности строительных конструкций: учебное пособие. Вологда : Вологодский государственный технический университет, 2000. 166 с.

43. Уткин В.С., Соловьев С.А. Расчет надежности железобетонной балки на стадии эксплуатации по критерию длины трещины в бетоне // Вестник МГСУ. 2016. № 1. С. 68-79. DOI: 10.22227/19970935.2016.1.68-79

44. Уткин В.С., Шепелина Е.А. Расчет надежности оснований фундаментов по критерию прочности при ограниченной информации о нагрузке // Инженерно-строительный журнал. 2013. № 1 (36). С. 48-56. DOI: 10.5862/MCE.36.6

45. Уткин В.С., Каберова А.А., Соловьев С.А. Расчет надежности основания фундамента, сложенного просадочными грунтами, по критерию деформации // Геотехника. 2016. № 3. С. 18-25.

46. Уткин В.С., Каберова А.А., Соловьев С.А. Расчет надежности грунтовых оснований зданий и сооружений по несущей способности при реконструкции // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2016. № 3. С. 51-58.

47. Bing L., Meilin Z., Kai X. A practical engineering method for fuzzy reliability analysis of mechanical structures // Reliability Engineering & System Safety. 2000. Vol. 67. Issue 3. Pp. 311-315. DOI: 10.1016/S0951-8320(99)00073-3

48. Jiang Q., Chen C.H. A numerical algorithm of fuzzy reliability // Reliability Engineering & System Safety. 2003. Vol. 80. Issue 3. Pp. 299-307. DOI: 10.1016/S0951-8320(03)00055-3

49. Hongzhong H. Fuzzy reliability analysis of generalized static strength of mechanical structure based on fuzzy failure criterion // Journal of Mechanical Strength. 2000. Vol. 1.

50. Shu-Xiang G., Zhen-Zhou L. Procedure for computing the possibility and fuzzy probability of failure of structures // Applied Mathematics and Mechanics. 2003. Vol. 24. Issue 3. Pp. 338-343. DOI: 10.1007/BF02438271

51. Байбурин А.Х. Оценка качества строительства при недостатке информации // Архитектура, градостроительство и дизайн. 2018. № 3 (17). С. 17-22.

52. Соколов В.А. Диагностика технического состояния конструкций зданий и сооружений с использованием методов теории нечетких множеств //

Инженерно-строительный журнал. 2010. № 5 (15). С. 31-37.

53. Яловая Ю.С. Оценивание технического состояния конструкции по результатам натурных наблюдений с использованием теории размытых множеств // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия Строительство и архитектура. 2013. № 1 (79). С. 45-48.

54. Лапидус А.А., Макаров А.Н. Теория нечетких множеств на этапах моделирования организации строительных процессов возведения многоэтажных зданий // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 6. С. 66-71.

55. Теличенко В.И. Принятие строительных решений с использованием элементов теории нечетких множеств // Теоретические основы строительства: сб. докл. российско-польского семинара, Москва, Варшава, 10-30 января 1996 г. М. ; Варшава : Изд-во АСВ, 1996. С. 319-324.

56. Юделевич А.М. Системный подход к оценке надежности бетонных плотин // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2017. Т. 284. С. 82-88.

57. Кауфман Б.Д. Учет влияния неопределенных факторов при определении гидродинамического давления на плотину // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 9 (35). С. 59-69.

58. Кауфман Б.Д., Иванова Т.В., Шульман С.Г. Развитие методов оценки надежности гидротехнических сооружений // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2015. Т. 278. С. 15-22.

59. Oberguggenberger M., Fellin W. Reliability bounds through random sets: Non-parametric methods and geotechnical applications // Computers & Structures. 2008. Vol. 86 (10). Pp. 1093-1101. DOI: 10.1016/j.compstruc.2007.05.040

60. Troffaes M., Basu T. A Cantelli-type inequality for constructing nonparametric p-boxes based on exchangeability // Proceedings of Machine Learning Research. 2019. Vol. 103. Pp. 386-393.

61. Уткин Л.В., Уткин В.С., Редькин А.Н. Расчет надежности стальных рам по критерию устойчивости при многопараметрической нагрузке с использованием неравенства Чебышева // Надежность. 2011. № 3 (38). С. 42-52.

62. Zhang H., Dai H., BeerM., Wang W. Structural reliability analysis on the basis of small samples: an interval quasi-Monte Carlo method // Mechanical Systems and Signal Processing. 2013. Vol. 37 (1-2). Pp. 137-151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001

63. Kovalev M.S., Utkin L.V. A robust algorithm for explaining unreliable machine learning survival models using the Kolmogorov-Smirnov bounds // Neural Networks. 2020. Vol. 132. Pp. 1-18. DOI: 10.1016/j.neunet.2020.08.007

64. Johnson N.L., Leone F. Statistics and experimental design in engineering and the physical sciences: Vol. 1. New York : Wiley, 1964. 523 p.

65. Utkin L.V., Coolen F.P.A. On reliability growth models using Kolmogorov-Smirnov bounds // International Journal of Performability Engineering. 2011. Vol. 7. Issue 1. Pp. 5-19. DOI: 10.1.1.1041.8408

66. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping // The Annals of Mathematical Statistics. 1967. Vol. 38. Issue 2. Pp. 325-339

67. Shafer G. Dempster-Shafer theory // Encyclopedia of artificial intelligence. 1992. Vol. 1. Pp. 330-331.

68. Соловьев С.А. Методы расчетов надежности изгибаемых железобетонных элементов при ограниченной статистической информации : дис. ... канд. техн. наук. СПБ., 2019. 181 с.

69. Bernard J.M. Analysis of local or asymmetric dependencies in contingency tables using the imprecise Dirichlet model // International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications. 2003. Pp. 46-62.

70. Zhang Z., Jiang C., Ruan X.X., Guan F.J. A novel evidence theory model dealing with correlated variables and the corresponding structural reliability analysis method // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2018. Vol. 57 (4). Pp. 1749-1764. DOI: 10.1007/s00158-017-1843-9

71. Zhang Z., Jiang C., Han X., Hu D., Yu S. A response surface approach for structural reliability analysis using evidence theory // Advances in Engineering Software. 2014. Vol. 69. Pp. 37-45. DOI: 10.1016/j.advengsoft.2013.12.005

72. Zhang Z., Jiang C. Evidence-theory-based structural reliability analysis with epistemic uncertainty: a review // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2021. Pp. 1-19. DOI: 10.1007/s00158-021-02863-w

73. Utkin L.V., Kozine I. On new cautious structural reliability models in the framework of imprecise probabilities // Structural Safety. 2010. Vol. 32. Issue 6. Pp. 411-416. DOI: 10.1016/j. strusafe.2010.08.004

74. Wang P., Youn B.D., Xi Z., Kloess A. Bayesian reliability analysis with evolving, insufficient, and subjective data sets // Journal of Mechanical Design. 2009. Vol. 131 (11). DOI: 10.1115/1.4000251

75. Coolen F.P.A., Newby M.J. Bayesian reliability analysis with imprecise prior probabilities // Reliability Engineering & Systems Safety. 1994. Vol. 431. Pp. 75-85. DOI: 10.1016/0951-8320(94)90096-5

76. Huang H.Z., Zuo M.J., Sun Z.Q. Bayesian Reliability Analysis for Fuzzy Lifetime Data // Fuzzy Sets and Systems. 2006. Vol. 157. Pp. 1674-1686. DOI: 10.1016/j.fss.2005.11.009

< П

i H

G Г и 2

0 С/з о

1 — y 1

J со

u—

^ I о

— 3 o

з ( о

&N о 2

о 0

— 6

A Го

r 6 t ( En

— )

ii

я о о» в

■ Т

(Л у

с о

я я ««

2 2 О О 2 2

77. Youn B.D., Wang P.F. Bayesian reliability-based design optimization using eigenvector dimension reduction method // Structural Multidisciplinary Optimization. 2008. Vol. 362. Pp. 107-123. DOI: 10.1007/s00158-007-0202-7

78. ZhangH., Mullen R.L., Muhanna R.L. Interval Monte Carlo methods for structural reliability // Structural Safety. 2010. Vol. 32. Issue 3. Pp. 183-190. DOI: 10.1016/j.strusafe.2010.01.001

79. Zhang H., Dai H., Beer M., Wang W. Structural reliability analysis on the basis of small samples: an interval quasi-Monte Carlo method // Mechanical Systems and Signal Processing. 2013. Vol. 37 (1-2). Pp. 137-151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001

80. Gao W., Wu D., Song C., Tin-Loi F., Li X. Hybrid probabilistic interval analysis of bar structures with uncertainty using a mixed perturbation Monte-Carlo method // Finite Elements in Analysis and Design. 2011. Vol. 47 (7). Pp. 643-652. DOI: 10.1016/j.finel.2011.01.007

81. Echard B., Gayton N., Lemaire M. AK-MCS: an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation // Structural Safety. 2011. Vol. 33. Issue 2. Pp. 145-154. DOI:

nn 10.1016/j.strusafe.2011.01.002

82. Jahani E., Muhanna R.L., Shayanfar M.A., in in Barkhordari M.A. Reliability assessment with g § fuzzy random variables using interval Monte Carlo e jn simulation // Computer-Aided Civil and Infrastructure ¿g à Engineering. 2014. Vol. 29 (3). Pp. 208-220. DOI: •a 10.1111/mice.12028

83. Ling C., Lu Z., ZhuX. Efficient methods by active o J learning kriging coupled with variance reduction based . »* sampling methods for time-dependent failure probability ^ £ // Reliability Engineering & Systems Safety. 2019. g | Vol. 188. Pp. 23-35. DOI: 10.1016/j.ress.2019.03.004 ^ — 85. Angelikopoulos P., Papadimitriou C., Kou-§ ^ moutsakos P. X-TMCMC: Adaptive kriging for Baye-4 "g sian inverse modeling // Computer Methods in Applied 8 ^ Mechanics and Engineering. 2015. Vol. 289. Pp. 409-

z £ 428. DOI: 10.1016/j.cma.2015.01.015

co °

ot 2 86. Marelli S., Sudret B. An active-learning

~ | algorithm that combines sparse polynomial chaos

£ ° expansions and bootstrap for structural reliability

g ° analysis // Structural Safety. 2018. Vol. 75. Pp. 67-74.

g E DOI: 10.1016/j.strusafe.2018.06.003

fe o 87. Faes M., Sadeghi J., Broggi M., De An-

O)

•<- gelis M., Patelli E., Beer M. et al. On the robust

y _£Z

co "£= estimation of small failure probabilities for strong CO o

— 2 nonlinear models // ASCE-ASME journal of risk and >j ^ uncertainty in engineering systems, part b: mechanical i- g engineering. 2019. Vol. 5 (4).

® ÏE 88. Faes M., Daub M., Beer M. Engineering

| £ analysis with imprecise probabilities: a state-of-the-¡3 -g art review on P-boxes // Proceedings of the 7th Asian-H ¡¡S Pacific Symposium on Structural Reliability and its Applications. University of Tokyo, 2020.

89. Xiao N.C., Zhan H., Yuan K. Adaptive sampling with neural networks for system reliability analysis // 2020 Asia-Pacific International Symposium on Advanced Reliability and Maintenance Modeling (APARM). IEEE, 2020. Pp. 1-5. DOI: 10.1109/ APARM49247.2020.9209364

90. Papadrakakis M., Papadopoulos V., Laga-ros N.D. Structural reliability analysis of elastic-plastic structures using neural networks and Monte Carlo simulation // Computer methods in applied mechanics and engineering. 1996. Vol. 136. Issue 1-2. Pp. 145-163.

91. Chojaczyk A.A., Teixeira A.P., Neves L.C., Cardoso J.B., Soares C.G. Review and application of artificial neural networks models in reliability analysis of steel structures // Structural Safety. 2015. Vol. 52. Pp. 78-89.

92. Rocchetta R., Broggi M., Patelli E. Do we have enough data? Robust reliability via uncertainty quantification // Applied Mathematical Modelling. 2018. Vol. 54. Pp. 710-721.

93. Jiang C., Ni B.Y., Han X., Tao Y.R. Non-probabilistic convex model process: a new method of time-variant uncertainty analysis and its application to structural dynamic reliability problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 268. Pp. 656-676. DOI: 10.1016/j. cma.2013.10.016

94. Rozsas A., Mogyorosi Z. The effect of copulas on time-variant reliability involving time-continuous stochastic processes // Structural Safety. 2017. Vol. 66. Pp. 94-105. DOI: 10.1016/j.strusafe.2017.02.004

95. Yao T.H.J., Wen Y.K. Response surface method for time-variant reliability analysis // Journal of Structural Engineering. 1996. Vol. 122. Issue 2. Pp. 193-201. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1996)122:2(193)

96. Yu S., Wang Z. A novel time-variant reliability analysis method based on failure processes decomposition for dynamic uncertain structures // Journal of Mechanical Design. 2018. Vol. 140. Issue 5. P. 051401. DOI: 10.1115/1.4039387

97. Bagheri M., Miri M., Shabakhty N. Modeling of epistemic uncertainty in reliability analysis of structures using a robust genetic algorithm // Iranian Journal of Fuzzy Systems. 2015. Vol. 12. Issue 2. Pp. 23-40. DOI: 10.22111/IJFS.2015.1980

98. Sreekanth J., Datta B. Coupled simulation-optimization model for coastal aquifer management using genetic programming-based ensemble surrogate models and multiple-realization optimization // Water Resources Research. 2011. Vol. 47. Issue 4. DOI: 10.1029/2010WR009683

99. Jalalpour M., Tootkaboni M. An efficient approach to reliability-based topology optimization for continua under material uncertainty // Structural and

Multidisciplinary Optimization. 2016. Vol. 53. Issue 4. Pp. 759-772. DOI: 10.1007/s00158-015-1360-7

100. Wang L., Liu D., Yang Y, Wang X., Qiu Z. A novel method of non-probabilistic reliability-based topology optimization corresponding to continuum structures with unknown but bounded uncertainties // Computer Methods in Applied Mechanics and Engi-

Поступила в редакцию 5 марта 2021 г. Принята в доработанном виде 13 мая 2021 г. Одобрена для публикации 13 мая 2021 г.

neering. 2017. Vol. 326. Pp. 573-595. DOI: 10.1016/j. cma.2017.08.023

101. Khalaj M., Khalaj F., Khalaj A. A novel risk-based analysis for the production system under epistemic uncertainty // Journal of Industrial Engineering International. 2013. Vol. 9. Issue 1. Pp. 1-10. DOI: 10.1186/2251-712X-9-35

Об авторах: Анастасия Андреевна Соловьева — аспирант кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; РИНЦ ID: 1090512; solovevaaa@vogu35.ru;

Сергей Александрович Соловьев — кандидат технических наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; РИНЦ ID: 821778, Scopus: 57191529586, ResearcherlD: AAJ-1708-2020, ORCID: 0000-00017083-7963; solovevsa@vogu35.ru.

REFERENCES

1. Schwarz W. No interpretation of probability. Erkenntnis. 2018; 83(6):1195-1212.

2. Kurguzov K.V., Fomenko I.K., Shubina D.D. Probabilistic and statistical modeling of loads and forces. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020; 15(9):1249-1261. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.1249-1261 (rus.).

3. Schobi R., Sudret B. Structural reliability analysis for p-boxes using multi-level meta-models. Probabilistic Engineering Mechanics. 2017; 48:27-38. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.04.001

4. Dudina I.V., Zherzheva S.A. Application of applied methods of reliability theory in structural design. Proceedings of the Bratsk State University. Series: Natural and Engineering Sciences. 2016; 1:117-121 (rus.).

5. Tamrazyan A.G. Concrete and reinforced concrete: problems and prospects. Industrial and Civil Engineering. 2015; 8:30-33. (rus.).

6. Yang M., Zhang D., Han X. New efficient and robust method for structural reliability analysis and its application in reliability-based design optimization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2020; 366:113018. DOI: 10.1016/j. cma.2020.113018

7. Xin T., Zhao J., Cui C., Duan Y. A non-probabilistic time-variant method for structural reliability analysis. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part O: Journal of Risk and Reliability. 2020; 234(5):664-675. DOI: 10.1177/1748006X20928196

8. Liu J., Meng X., Xu C., Zhang D., Jiang C. Forward and inverse structural uncertainty propagations under stochastic variables with arbitrary probability distributions. Computer Methods in Applied Mechanics

and Engineering. 2018; 342:287-320. DOI: 10.1016/j. cma.2018.07.035

9. Der Kiureghian A., Ditlevsen O. Aleatory or epistemic? Does it matter? Structural safety. 2009; 31(2):105-112. DOI: 10.1016/j.strusafe.2008.06.020

10. Lindley D. The philosophy of statistics. Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician). 2000; 49:293-337. DOI: 10.1111/14679884.00238

11. Faber M.H. On the treatment of uncertainties and probabilities in engineering decision analysis.

Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering. 2005; 127(3):243-248. DOI: 10.1115/1.1951776.

12. Montgomery V. New statistical methods in risk assessment by probability bounds. Diss. Durham University, 2009; 152.

13. Ditlevsen O., Madsen H.O. Proposal for a code for the direct use of reliability methods in structural design. JCSS Working Document, 1989; 28.

14. Zhang L., Zhang J., You L., Zhou S. Reliability analysis of structures based on a probability-uncertainty hybrid model. Quality and Reliability Engineering International. 2019; 35(1):263-279. DOI: 10.1002/qre.2396

15. Jiang C., Zheng J., Ni B.Y., Han X. A probabilistic and interval hybrid reliability analysis method for structures with correlated uncertain parameters. International Journal of Computational Methods. 2015; 12(4):1540006. DOI: 10.1142/S021987621540006X

16. Matheron G. Estimating and choosing. Berlin, Springer Verlag, 1989; 141. DOI: 10.1007/978-3-64248817-7

17. Popper K.R. The logic of scientific discovery. London, Hutchinson, 1959; 480.

< П

iH

k к

G Г

S 2

0 со § СО

1 S

y 1

J CD

u-

^ I

n °

S 3 o

=s (

oi

о §

E w § 2

n g

S 6

Г œ t ( an

SS )

i!

D о

о» в ■ £

s у с о (D D

,,

M 2 О О 10 10

18. Ditlevsen O., Madsen H.O. Structural reliability methods. New York, J. Wiley & Sons, 1996; 372.

19. Yarygina O.V. Methods for calculating the reliability of reinforced concrete structures in buildings and structures with limited statistical information : diss. cand. of tech. sc. Vologda, 2013; 157. (rus.).

20. Utkin V.S., Redkin A.N. Calculation of the reliability of a steel beam with a flexible wall according to the wall strength criterion with limited statistical information using distributions obtained on the basis of the Chebyshev inequality. Building and reconstruction. 2011; 5(37):56-62. (rus.).

21. Ferson S., Kreinovich V., Grinzburg L., Myers D., Sentz K. Constructing probability boxes and Dempster-Shafer structures (No. SAND-2015-4166J). Sandia National Lab. (SNL-NM), Albuquerque, NM (United States). 2015.

22. Walley P., Fine T.L. Towards a frequentist theory of upper and lower probability. Annals of Statistics. 1982; 10:741-761.

23. Williamson R.C., Downs T. Probabilistic arithmetic I: numerical methods for calculating convolutions and dependency bounds. International Jour-

J^ J^ nal of Approximate Reasoning. 1990; 4:89-158. DOI: 8 ° 10.1016/0888-613X(90)90022-T in tin 24. Boole G. An Investigation of the Laws of Thought,

15 3 On Which Are Founded the Mathematical Theories of Log-c ¡n ic and Probability. Walton and Maberly, London, 1854; ¿g 4 425.

(O g 25. Soloveva A.A., Solovev S.A. Reliability 2 E analysis of planar steel trusses based on p-box modo u els. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construc-^ ^ tion and Architecture]. 2021; 16(2):153-167. DOI: J § 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167 (rus.). g 26. Karanki D.R., Kushwaha H.S., Verma A.K.,

o ^ Ajit S. Uncertainty analysis based on probability

§ < bounds (p-box) approach in probabilistic safety asi "U

§ <= sessment. Risk Analysis: An International Jour-

cn § nal. 2009; 29(5):662-675. DOI: 10.1111/j.1539-

w '■§ 6924.2009.01221.x

" 27. Xiao N.C., Huang H.Z., Wang Z., Pang Y.,

q He L. Reliability sensitivity analysis for structural

¡^ § systems in interval probability form. Structural and

S ro Multidisciplinary Optimization. 2011; 44(5):691-705. o E

DOI 10.1007/s00158-011-0652-9

CD °

28. Hall J.W. Uncertainty-based sensitivity indiz £ ces for imprecise probability distributions. Reliability H J Engineering & System Safety. 2006; 91(10-11):1443-^ ^ 1451. DOI: 10.1016/j.ress.2005.11.042

if W 29. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Struc-5 (9

* g tural analysis with probability-boxes. International

s £ Journal of Reliability and Safety. 2012; 6(1-3):110-

5 | 129. DOI: 10.1504/IJRS.2012.044292

Ijq >§ 30. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and control. 1965; 8:338-353.

31. Utkin L.V. Risk analysis and decision-making with incomplete information. St. Petersburg, Nauka, 2007; 404. (rus.).

32. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy sets and systems. 1978; 1:3-28.

33. Dubois D., Prade H. Possibility theory and its applications: Where do we stand? Springer handbook of computational intelligence. Springer, Berlin, Heidelberg, 2015; 31-60. DOI: 10.1007/978-3-662-43505-2_3

34. Adishchev V.V., Shmakov D.S. Method of constructing the membership function with "direct" processing of initial data. Proceedings of the Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Sibstrin). 2013; 16(2):45-66. (rus.).

35. Kashevarova G.G., Fursov M.N., Tonkov Yu.L. On the construction of membership functions of a fuzzy set in the context of the problem of diagnosing damage to reinforced concrete slabs. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014; 10(2):93-101. (rus.).

36. Shiraishi N., Furuta H. Reliability analysis based on fuzzy probability. Journal of Engineering Mechanics. 1983; 109(6):1445-1459. DOI: 10.1061/ (ASCE)0733-9399(1983)109:6(1445)

37. Wang G., Wang W. Fuzzy reliability analysis of aseismic structures. Acta mechanica sinica. 1986; 2(4):322-332.

38. Xiang Z. Fuzzy possibility analysis for reliability of crack resistance in steel fiber reinforced concrete members. Industrial Construction. 1991; 4(10):3-6.

39. Tie-Yu T. Fuzzy possibility analysis for the reliability of the crack resistance in reinforced concrete members. Journal of Wuhan University of Technology. 1986; 8(3):331-337.

40. Ji-Min C.X.Y. Reliability analysis of nonuniform settlement of foundation. Chinese Journal of Geotechnical Engineering S. 1992; 1.

41. Derong X.S.Z. Loading capability fuzzy reliability analysis of the bridge. Journal of Chongqing Jiaotong University. 1991; 3.

42. Utkin V.S., Utkin L.S. Reliability analysis of buildings and structures: a textbook. Vologda, Vologda State Technical University, 2000; 166. (rus.).

43. Utkin V.S., Solovev S.A. Calculation of reinforced concrete beam reliability on operation stage by crack length criterion. Vestnik MGSU [Vestnik Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016; 1:68-79. DOI: 10.22227/19970935.2016.1.68-79 (rus.).

44. Utkin V.S., Shepelina E.A. Calculation of reliability of foundation beds according to the strength criterion with limited information about the load. Magazine of Civil Engineering. 2013; 1(36):48-56. DOI: 10.5862/MCE. 36.6 (rus.).

45. Utkin V.S., Kaberova A.A., Solovev S.A. Reliability calculation of a subfoundation consisting

of collapsible soils by the criterion of deformation. Geotechnics. 2016; 3:18-25. (rus.).

46. Utkin V.S., Kaberova A.A., Solovev S.A. Calculation of the reliability of the ground foundations of buildings and structures by the bearing capacity during reconstruction. Earthquake Engineering. Construction Safety. 2016; 3:51-58. (rus.).

47. Bing L., Meilin Z., Kai X. A practical engineering method for fuzzy reliability analysis of mechanical structures. Reliability Engineering & System Safety. 2000; 67(3):311-315. DOI: 10.1016/S0951-8320(99)00073-3

48. Jiang Q., Chen C.H.A numerical algorithm of fuzzy reliability. Reliability Engineering & System Safety. 2003; 80(3):299-307. DOI: 10.1016/S0951-8320(03)00055-3

49. Hongzhong H. Fuzzy reliability analysis of generalized static strength of mechanical structure based on fuzzy failure criterion. Journal of Mechanical Strength. 2000; 1.

50. Shu-Xiang G., Zhen-Zhou L. Procedure for computing the possibility and fuzzy probability of failure of structures. Applied Mathematics and Mechanics. 2003; 24(3):338-343. DOI: 10.1007/BF02438271

51. Bayburin A.Kh. Evaluation of the quality of construction with a lack of information. Architecture, urban planning and design. 2018; 3(17):17-22. (rus.).

52. Sokolov V.A. Diagnostics of the technical condition of structures of buildings and structures using methods of the theory of fuzzy sets. Magazine of Civil Engineering. 2010; 5(15):31-37. (rus.).

53. Yalovaya Yu.S. Evaluation of the technical state of the structure based on the results of field observations using the theory of blurred sets. Proceedings of the Brest State Technical University. Series: Natural and Engineering Science. 2013; 1(79):45-48. (rus.).

54. Lapidus A.A., Makarov A.N. Fuzzy-set theory at modeling stages of organization processes of multistorey buildings construction. Industrial and Civil Engineering. 2016; 6:66-71. (rus.).

55. Telichenko V.I. Adoption of construction decisions using elements of the theory of fuzzy sets. Theoretical foundations of construction: collection of reports of the Russian-Polish seminar. Moscow, Warsaw, ASV Publishing House, 1996; 319-324. (rus.).

56. Yudelevich A.M. A systematic approach to assessing the reliability of concrete dams. Proceedings of the B.E. Vedeneev All-Russian Research Institute of Hydraulic Engineering. 2017; 284:82-88. (rus.).

57. Kaufman B.D. Accounting for the impact of uncertain factors on the determination of the hy-drodynamic pressure on the dam. Magazine of Civil Engineering. 2012; 9(35):59-69. (rus.).

58. Kaufman B.D., Ivanova T.V., Shulman S.G. Development of methods for assessing the reliability of hydraulic structures. Proceedings of the B.E. Ve-

deneev All-Russian Research Institute of Hydraulic Engineering. 2015; 278:15-22.

59. Oberguggenberger M., Fellin W. Reliability bounds through random sets: Non-parametric methods and geotechnical applications. Computers & Structures. 2008; 86(10):1093-1101. DOI: 10.1016/j.comp-struc.2007.05.040

60. Troffaes M., Basu T. A Cantelli-type inequality for constructing nonparametric p-boxes based on exchangeability. Proceedings of Machine Learning Research. 2019; 103:386-393.

61. Utkin L.V., Utkin V.S., Redkin A.N. Calculation of steel frame reliability according to stability measure at multiparameter load using chebeshev's inequality. Dependability. 2011; 3(38):42-52. (rus.).

62. Zhang H., Dai H., Beer M., Wang W. Structural reliability analysis on the basis of small samples: an interval quasi-Monte Carlo method. Mechanical Systems and Signal Processing. 2013; 37(1-2):137-151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001

63. Kovalev M.S., Utkin L.V. A robust algorithm for explaining unreliable machine learning survival models using the Kolmogorov-Smirnov bounds. Neural Networks. 2020; 132:1-18. DOI: 10.1016/j.neu-net.2020.08.007

64. Johnson N.L., Leone F. Statistics and experimental design in engineering and the physical sciences: Volume 1. Wiley, New York, 1964; 523.

65. Utkin L.V., Coolen F.P.A. On reliability growth models using Kolmogorov-Smirnov bounds. International Journal of Performability Engineering. 2011; 7(1):5-19. DOI: 10.1.1.1041.8408

66. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. The Annals of Mathematical Statistics. 1967; 38(2):325-339.

67. Shafer G. Dempster-Shafer theory. Encyclopedia of artificial intelligence. 1992; 1:330-331.

68. Solovev S.A. Methods for the reliability analysis of flexible reinforced concrete elements with limited statistical data: diss. cand. of tech. sc. St. Petersburg, 2019; 181. (rus.).

69. Bernard J.M. Analysis of local or asymmetric dependencies in contingency tables using the Imprecise Dirichlet model. International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications. 2003; 46-62.

70. Zhang Z., Jiang C., Ruan X.X., Guan F.J. A novel evidence theory model dealing with correlated variables and the corresponding structural reliability analysis method. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2018; 57(4):1749-1764. DOI: 10.1007/ s00158-017-1843-9

71. Zhang Z., Jiang C., Han X., Hu D., Yu S. A response surface approach for structural reliability analysis using evidence theory. Advances in Engineering Software. 2014; 69:37-45. DOI: 10.1016/j.adveng-soft.2013.12.005

< П

iH

kK

G Г

0 CO § CO

1 S

У 1

J to

^ I

n °

S> 3 o

zs (

о §

E w

§ 2

n 0

S 6

r 6

t (

Cc §

SS )

f!

! о о в

■ т

s □

(Л у

с о

! ! ««

2 2 О О 2 2

72. Zhang Z., Jiang C. Evidence-theory-based structural reliability analysis with epistemic uncertainty: a review. Structural andMultidisciplinary Optimization. 2021; 1-19. DOI: 10.1007/s00158-021-02863-w

73. Utkin L.V., Kozine I. On new cautious structural reliability models in the framework of imprecise probabilities. Structural Safety. 2010; 32(6):411-416. DOI: 10.1016/j.strusafe.2010.08.004

74. Wang P., Youn B.D., Xi Z., Kloess A. Bayes-ian reliability analysis with evolving, insufficient, and subjective data sets. Journal of Mechanical Design. 2009; 131(11). DOI: 10.1115/1.4000251

75. Coolen F.P.A., Newby M.J. Bayesian reliability analysis with imprecise prior probabilities. Reliability Engineering & Systems Safety. 1994; 431:75-85. DOI: 10.1016/0951-8320(94)90096-5

76. Huang H.Z., Zuo M.J., Sun Z.Q. Bayesian reliability analysis for fuzzy lifetime data. Fuzzy Sets and Systems. 2006; 157:1674-1686. DOI: 10.1016/j. fss.2005.11.009

77. Youn B.D., Wang P.F. Bayesian reliability-based design optimization using eigenvector dimension reduction method. Structural Multidisciplinary Optimization. 2008; 362:107-123. DOI: 10.1007/

N n s00158-007-0202-7

78. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Into io" terval Monte Carlo methods for structural reliabil-g § ity. Structural Safety. 2010; 32(3):183-190. DOI: jjjn 10.1016/j.strusafe.2010.01.001

¿g ^ 79. Zhang H., Dai H., Beer M., Wang W. Struc-^ tural reliability analysis on the basis of small samples: ^ £ an interval quasi-Monte Carlo method. Mechanical 0 "5 Systems and Signal Processing. 2013; 37(1-2):137-■7 > 151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001 f £ 80. Gao W., Wu D., Song C., Tin-Loi F., Li X. g Hybrid probabilistic interval analysis of bar structures ^ — with uncertainty using a mixed perturbation Monte-§ ^ Carlo method. Finite Elements in Analysis and Design. 4 2011; 47(7):643-652. DOI: 10.1016/j.finel.2011.01.007 8 ™ 81. Echard B., Gayton N., Lemaire M. AK-z MCS: an active learning reliability method combiner 2 ing Kriging and Monte Carlo simulation. Structural ~ | Safety. 2011; 33(2):145-154. DOI: 10.1016/j.stru-£ ° safe.2011.01.002

g ° 82. Jahani E., Muhanna R.L., Shayanfar M.A., o e Barkhordari M.A. Reliability assessment with fuzzy fe o random variables using interval Monte Carlo simu-

O) ~J

■<- lation. Computer-Aided Civil and Infrastructure

w f Engineering. 2014; 29(3):208-220. DOI: 10.1111/ (f) O

7 2 mice.12028

Sj ^ 83. Ling C., Lu Z., Zhu X. Efficient methods by l- j® active learning kriging coupled with variance reduction ® EE based sampling methods for time-dependent failure | — probability. Reliability Engineering & Systems Safety. ¡3 | 2019; 188:23-35. DOI: 10.1016/j.ress.2019.03.004

H ¡¡^ 85. Angelikopoulos P., Papadimitriou C., Kou-moutsakos P. X-TMCMC: Adaptive kriging for Bayes-

ian inverse modeling. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015; 289:409-428. DOI: 10.1016/j.cma.2015.01.015

86. Marelli S. Sudret B. An active-learning algorithm that combines sparse polynomial chaos expansions and bootstrap for structural reliability analysis. Structural Safety. 2018; 75:67-74. DOI: 10.1016/j. strusafe.2018.06.003

87. Faes M., Sadeghi J., Broggi M., De Ange-lis M., Patelli E., Beer M. et al. On the robust estimation of small failure probabilities for strong nonlinear models. ASCE-ASME journal of risk and uncertainty in engineering systems, part b: mechanical engineering. 2019; 5(4).

88. Faes M., Daub M., Beer M. Engineering analysis with imprecise probabilities: a state-of-the-art review on P-boxes. Proceedings of the 7th Asian-Pacific Symposium on Structural Reliability and its Applications. 2020.

89. Xiao N.C., Zhan H., Yuan K. Adaptive sampling with neural networks for system reliability analysis. 2020 Asia-Pacific International Symposium on Advanced Reliability and Maintenance Modeling (APARM). IEEE. 2020; 1-5. DOI: 10.1109/ APARM49247.2020.9209364

90. Papadrakakis M., Papadopoulos V., Laga-ros N.D. Structural reliability analysis of elastic-plastic structures using neural networks and Monte Carlo simulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996; 136(1-2):145-163.

91. Chojaczyk A.A., Teixeira A.P., Neves L.C., Cardoso J.B., Soares C.G. Review and application of artificial neural networks models in reliability analysis of steel structures. Structural Safety. 2015; 52:78-89.

92. Rocchetta R., Broggi M., Patelli E. Do we have enough data? Robust reliability via uncertainty quantification. Applied Mathematical Modelling. 2018; 54:710-721.

93. Jiang C., Ni B.Y., Han X., Tao Y.R. Non-probabilistic convex model process: a new method of time-variant uncertainty analysis and its application to structural dynamic reliability problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014; 268:656-676. DOI: 10.1016/j.cma.2013.10.016

94. Rozsas A., Mogyorosi Z. The effect of copulas on time-variant reliability involving time-continuous stochastic processes. Structural Safety. 2017; 66:94-105. DOI: 10.1016/j.strusafe.2017.02.004

95. Yao T.H.J., Wen Y.K. Response surface method for time-variant reliability analysis. Journal of Structural Engineering. 1996; 122(2):193-201. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1996)122:2(193)

96. Yu S., Wang Z. A novel time-variant reliability analysis method based on failure processes decomposition for dynamic uncertain structures. Journal of Mechanical Design. 2018; 140(5):051401. DOI: 10.1115/1.4039387

97. Bagheri M., Miri M., Shabakhty N. Modeling of epistemic uncertainty in reliability analysis of structures using a robust genetic algorithm. Iranian Journal of Fuzzy Systems. 2015; 12(2):23-40. DOI: 10.22111/ IJFS.2015.1980

98. Sreekanth J., Datta B. Coupled simulation-optimization model for coastal aquifer management using genetic programming-based ensemble surrogate models and multiple-realization optimization. Water Resources Research. 2011; 47(4). DOI: 10.1029/2010WR009683

99. Jalalpour M., Tootkaboni M. An efficient approach to reliability-based topology optimization for

continua under material uncertainty. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2016; 53(4):759-772. DOI: 10.1007/s00158-015-1360-7

100. Wang L., Liu D., Yang Y., Wang X., Qiu Z. A novel method of non-probabilistic reliability-based topology optimization corresponding to continuum structures with unknown but bounded uncertainties. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2017; 326:573-595. DOI: 10.1016/j.cma.2017.08.023

101. Khalaj M., Khalaj F., Khalaj A. A novel risk-based analysis for the production system under epistemic uncertainty. Journal of Industrial Engineering International. 2013; 9(1):1-10. DOI: 10.1186/2251-712X-9-35

Received March 5, 2021.

Adopted in revised form on May 13, 2021.

Approved for publication on May 13, 2021

Bionotes: Anastasia A. Soloveva — postgraduate student of the Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; ID RISC: 1090512; solovevaaa@ vogu35.ru;

Sergey A. Solovev — Candidate of Technical Science, Associate Professor of the Department of Industrial and Civil Engineering; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; ID RISC: 821778, Scopus: 57191529586, ResearcherID: AAJ-1708-2020, ORCID: 0000-0001-7083-7963; solovevsa@vogu35.ru.

< П

ÍH

kK

G Г

S 2

0 С/з § С/3

1 C

y 1

J со

u-

^ I

n °

CD 3 o

zs ( о §

§ 2

n g

C 66

A ГО

r 6

t (

Cc §

CD )

ii

о» в

■ T

s У с о i i

M 2 О О 10 10