CC BY
36
УДК 624.046.1 DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167
Метод оценки надежности элементов плоских ферм
на основе р-блоков
А.А. Соловьева, С.А. Соловьев
Вологодский государственный университет (ВоГУ); г. Вологда, Россия АННОТАЦИЯ
Введение. Развитие вероятностных подходов к оценке механической безопасности несущих элементов строительных конструкций является одним из актуальных научных направлений в строительной отрасли. Материалы и методы. Для моделирования случайных величин в математических моделях предельных состояний при расчете надежности ферм предлагается использовать не отдельные точные функции распределения вероятностей случайных величин, а р-блоки, состоящие из двух граничных функций распределения. Граничные функции распределения создают область распределения вероятностей, в которой находится действительная функция распределения случайной величины, но наперед неизвестная вследствие алеаторной и эпистемологической неопределенности. Выбор р-блока для моделирования случайной величины будет зависеть от вида и количества статистической информации о случайной величине.
Результаты. На примере вероятностной модели веса снегового покрова и численного моделирования испытаний стальных образцов стержней фермы показано, что для практических задач по вероятностной оценке надежности элементов строительных конструкций (в том числе ферм) наиболее рационально применение р-блоков для моделирования случайных величин. Предложены вероятностная модель р-блока снеговой нагрузки, построенная по распределению Гумбеля; математическая модель для расчета надежности элемента стальной плоской фермы, на основе которой рассмотрен численный пример расчета надежности. Приведены расчетные формулы для оценки надежности элемента фермы при нескольких вариантах р-блоков, используемых для описания случайных величин в зависимости от количества имеющейся статистической информации. Выводы. Р-блоки позволяют дать более осторожную оценку надежности элемента конструкции, но в то же время щ" ф менее информативную — представленную в интервальной форме. Для получения более точного интервала надеж- т ности следует уточнить интервальные оценки параметров распределений или виды р-блоков в расчетной матема- к и тической модели предельного состояния, что влечет за собой повышение экономических и трудовых затрат на сбор я
< П
статистической информации.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: надежность, вероятность отказа, р-блоки, плоская ферма, интервальная оценка, снеговая нагрузка, неопределенность
О S
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Соловьева А.А., Соловьев С.А. Метод оценки надежности элементов плоских ферм на основе р-блоков // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. Вып. 2. С. 153-167. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167 y
со со
j to
u
r i
n °
o 5
Reliability analysis of planar steel trusses based on p-box models ° r
o n
- t I
Anastasia A. Soloveva, Sergey A. Solovev c s
Vologda State University (VSU); Vologda, Russian Federation O z - § 2
ABSTRACT d -
a cn
Introduction. The development of probabilistic approaches to the assessment of mechanical safety of bearing structural c ®
elements is one of the most relevant areas of research in the construction industry. In this research, probabilistic methods i (
are developed to perform the reliability analysis of steel truss elements using the p-box (probability box) approach. This ap- c o
proach ensures a more conservative (interval-based) reliability assessment made within the framework of attaining practical u i objectives of the reliability analysis of planar trusses and their elements. The truss is analyzed
as a provisional sequential cd )
mechanical system (in the language of the theory of reliability) consisting of elements that represent reliability values for v DD
each individual bar and truss node in terms of all criteria of limit states. l O
Materials and methods. The co-authors suggest using p-blocks consisting of two boundary distribution functions desig- c g
nated for modeling random variables in the mathematical models of limit states performed within the framework of the truss 3 j,
reliability analysis instead of independent true functions of the probability distribution of random variables. Boundary distribu- 1 f
tion functions produce a probability distribution domain in which a true distribution function of a random variable is located. o> n However this function is unknown in advance due to the aleatory and epistemic uncertainty. The choice of a p-block for L £
modeling a random variable will depend on the type and amount of statistical information about the random variable. s y
Results. The probabilistic snow load model and the numerical simulation of tests of steel samples of truss rods are employed e K
distribution. The mathematical model used to perform the reliability analysis of planar steel truss elements is proposed. o O
10 10
to show that p-box models are optimal for modeling random variables to solve numerous practical problems of the proba bilistic assessment of reliability of structural elements. The proposed p-box snow load model is based on the Gumbel
The co-authors provide calculation formulas to assess the reliability of a truss element for different types of p-blocks used to describe random variables depending on the amount of statistical data available.
© А.А. Соловьева, С.А. Соловьев, 2021 153
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
Conclusions. The application of statistically unsubstantiated hypotheses for choosing the probability distribution law or assessing the parameters of the probability distribution of a random variable leads to erroneous assessments of the reliability of structural elements, including trusses. P-boxes ensure a more careful reliability assessment of a structural element, but at the same time this assessment is less informative, as it is presented in the form of an interval. A more accurate reliability interval requires interval-based assessments of distribution parameters or types of p-boxes applied to mathematical models of the limit state, which entails an increase in the economic and labor costs of the statistical data.
KEYWORDS: reliability, probability of failure, p-boxes, planar truss, interval-based assessment, snow load, uncertainty
FOR CITATION: Soloveva A.A., Solovev S.A. Reliability analysis of planar steel trusses based on p-box models. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(2):153-167. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167 (rus.).
ВВЕДЕНИЕ
Развитие вероятностных подходов к оценке механической (конструкционной) безопасности несущих элементов строительных конструкций зданий и сооружений является важной научной задачей в свете требований Федерального Закона РФ от 30.12.2009 № 384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» и межгосударственного стандарта ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований». Так, в актуальной статье «Вестника МГСУ» №2 9 за 2020 г. [1] отмечается, что «с развитием цифровых техноло-^ ^ гий, с возрастающими возможностями численных О ° расчетов появляется острая необходимость в разви-^ ^ тии стохастических подходов в строительстве на базе к ш математической статистики, теории вероятности, > ю теории надежности и других дисциплин». В работе
2 "" [2] также указывается, что моделирование работы Ш <0
. ^ строительных конструкций связано с оценкой не-
^ определенностей различного рода, которые могут
2 з быть учтены путем использования методов теории
о т
I- надежности и вероятностного проектирования. Л • Одна из научных проблем — оценка надеж-.Е з ности стержневых систем, например стропильных О ф и подстропильных ферм при ограниченной стати-о стической информации в математических моделях § < предельных состояний. Применение метода пре-§ с дельных состояний (или метода частных коэффици-сЗ § ентов по Еврокоду) при расчете шарнирно-стерж-^ невых систем не позволяет получить комплексное 22 .ъ представление о надежности системы. Использова-с § ние в расчетах одних и тех же коэффициентов запаса ^ са для шарнирно-стержневой системы из несколь-
й ° ких элементов и системы из нескольких десятков
СП я
о Е элементов не дает возможность сделать их равно-
о) ° надежными. В монографии по теории надежности ^ В.Д. Райзера и О.В. Мкртычева [3] авторы замеча-
от с ют, что при применении метода предельных состо-
— 2 яний «у проектировщика практически отсутствует
^ 2 информация, насколько им успешно решена задача
1_ 40 обеспечения нормального функционирования со-
^ ЕЕ оружения».
х £ В практических инженерных задачах по веро-
■£ ятностной оценке надежности несущих элементов
® ^ строительных конструкций специалисты сталкиваются с различными неопределенностями при анализе
статистических данных. Как правило, различают две группы неопределенностей: алеаторная неопределенность (aleatory uncertainty) и эпистемологическая неопределенность (epistemic uncertainty). Алеаторная неопределенность возникает вследствие объективной стохастической природы явлений, например, снеговая нагрузка, неоднородность физико-механических свойств материалов и др. Эпистемологическая неопределенность возникает из-за недостатка статистической информации или неточности математических моделей, описывающих явление: событие, свойство и т. д.
Эпистемологическая неопределенность, в отличие от алеаторной, может быть уменьшена, к примеру, при увеличении числа испытаний.
Для статистического моделирования случайных величин с учетом эпистемологической и алеаторной неопределенностей используют p-блоки (p-box или probability box [4-6]). P-блоки формируют левую и правую границы функции распределения вероятности случайной величины, а также создают ограничения на ее форму. Такие подходы позволяют дать более осторожную оценку надежности при отсутствии необоснованных предположений о форме функции распределения вероятностей или значений ее параметров.
В исследовании [7] отмечается, что «при вероятностном анализе и оценке структурной надежности конструкций часто бывает трудно или невозможно надежно идентифицировать надлежащие вероятностные модели для случайных величин из-за ограниченных данных, например ограниченных наблюдаемых выборок или физических явлений. Для решения этой проблемы можно использовать вероятностно-ограничительный подход для моделирования такой неточной вероятностной информации, т.е. рассматривая границы (неизвестной) функции распределения, а не постулируя единственную, точно заданную функцию распределения». В работе [2] приводится следующее высказывание: «теория вероятностей основана на предположении, что вероятностная мера известна точно, что приводит к точно определенной функции распределения вероятностей. Однако в случаях неполного и/или ограниченного представления о случайной величине, алеаторная неопределенность (естественная изменчивость) и эпистемологическая неопределен-
ность (отсутствие знания) могут возникать одновременно. Эпистемологическая неопределенность не может быть адекватно рассмотрена в контексте теории вероятностей наряду с алеаторной неопределенностью [8]. Следовательно, для полного отражения неопределенности требуется более общая формулировка вероятностной меры».
Для «более общей формулировки вероятностной меры» может быть применена теория свидетельств Демпстера - Шафера [9-11]. Теория свидетельств Демпстера - Шафера объясняет эпистемическую неопределенность, заменяя вероятностную меру двумя значениями: функциями доверия и правдоподобия [9-11]. Функция доверия измеряет минимальную вероятность, связанную с событием, тогда как функция правдоподобия измеряет максимальную вероятность, связанную с тем же событием. Модель р-блока является частным случаем теории свидетельств, рассматривающей только вложенное множество событий {X < х}, которое, в свою очередь, связано с определением функции распределения вероятностной случайной величины.
В данной работе предлагается рассмотреть подход к оценке надежности стальных плоских ферм с использованием р-блоков. При оценке надежности следует учесть ее системный характер — ферма представляется в виде условной механической системы с последовательным соединением элементов. В качестве элементов системы принимаются значения вероятностей безотказной работы узлов и стержней фермы, полученные с учетом всех критериев предельного состояния.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Снеговая нагрузка — один из главных факторов, определяющих вероятность безотказной работы большинства ферм. Для расчета надежности фермы необходимо предварительно составить веро-
ятностную (стохастическую) модель снеговой нагрузки на ферму.
В соответствии с трудом [3], вероятностная модель нагрузки строится через высоту и вес снежного покрова. Максимальная высота снежного покрова за отчетный период (год) является случайной величиной. На рис. 1 приведен график эмпирической функции ЕН"Р(Н) распределения максимальных высот снегового покрова в г. Вологда за период с 1966 по 2016 гг. по метеостанции № 2703701.
Согласно п. 5.3 ГОСТ Р 53613-2009 «Воздействие природных внешних условий на технические изделия. Общая характеристика. Осадки и ветер», плотность слежавшегося снега изменяется в пределах от 200 до 400 кг/м3. На основании этих сведений можно построить нижнюю Еетр(&") и верхнюю ретр^) граничные функции эмпирического распределения для ежегодных максимумов веса снегового покрова (рис. 2). Коэффициент вариации веса снегового покрова за рассматриваемый период составляет 0,25.
Как видно из рис. 2, вероятностная модель снеговой нагрузки может быть охарактеризована р-блоком, как минимум вследствие неопределенности в виде плотности снегового покрова.
В ряде исследований [3, 12-14] отмечается, что наиболее подходящим для вероятностного моделирования снеговой нагрузки является закон распределения Гумбеля (или двойной экспоненциальный закон) с аналитическим видом:
Fs (s) = exp
(a- s Л
exp 1т1
(1)
где а — параметр центра; в — параметр сдвига.
1 Вологда, снежный покров и статистика за последние
годы. URL:https://climate-energy.ru/weather/spravochnik/
sndp/climate_sprav-sndp_270370766.php
< П
tT
iH О Г
0 w t со
1 z y i
J CD
U
r i
n °
» 3
0 CJl
01
о n
CO CO
Рис. 1. Эмпирическая функция FHmp(H) распределения максимальных высот снегового покрова в г. Вологда, м [3] Fig. 1. Empirical distribution function FHmp(H) describing the maximal snow cover height in Vologda [3], m
n NJ » 0
•) ii
<D
0>
№ DO
" T
s □
s У
с о
<D Ж
s. кПа / $, кРа
Рис. 2. Нижняя FSemp(s) и верхняя Fesmp(s) граничные функции распределения для максимумов веса снегового покрова за 1966-2016 гг., кПа
Fig. 2. The lower FSmp(s) and upper Fesmp(s) boundaries of the distribution function describing maximal snow loads in 1966-2016 in Vologda, kPa
N N
о о
N N NN
К <D U 3 > 1Л С И 2
U (O
«о ф
!!
<D <D
о ё
Параметры закона распределения Гумбеля могут быть вычислены по статистической выборке следующим образом:
в = (0,78 + 1,54Ж "0'75)с5,
а = ш5 - [0,45 + 0,34Ж~0,69]с5, (2)
где N — количество значений в выборке; ш8 — математическое ожидание случайной величины; с5 — среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Для IV снегового района (г. Вологда) в исследовании доктора технических наук Т.В. Золиной [12]
предложены следующие значения для вероятностного представления снеговой нагрузки: а = 1,08 кПа, в = 4,12 кПа. На рис. 3 приведены графики граничных эмпирических функций распределения снеговой нагрузки Ее5тр^) и Ее5тр^) (по аналогии с рис. 2), а также график функции распределения вероятностей Е^б) снеговой нагрузки по закону Гумбеля с параметрами IV снегового района из работы [12].
Как видно из рис. 3, предложенная в работе [12] вероятностная функция распределения снеговой нагрузки Е^) попадает в р-блок, построенный по статистическим данным снеговой нагрузки для г. Вологда.
от "
от Е
— -ь^
е §
CL °
^ с
ю °
S g
о ЕЕ
О) ^
~Z. £
ОТ °
El
О (Я
Esmp(sV
Fesmp(s)
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
^pj- -
ETpis) j s
4
j /w
i
/
/
1
J /
-Г. — / j -' —i
0,5 1 1,5 2 s, кПа / s, kPa
2,5
Рис. 3. Граничные эмпирические функции распределения вероятностей для снеговой нагрузки и вероятностная модель снеговой нагрузки, кПа [12]
Fig. 3. Empirical boundary probability distribution functions designated for the snow load and a probabilistic snow load model developed pursuant to [12], kPa
В СП 20.13330.2011, для которого были предложены параметры снеговой нагрузки [12], вес снегового покрова принимается как превышаемый в среднем один раз в Т0 = 25 лет ежегодный максимум веса снегового покрова, определяемый на основе маршрутных снегосъемок о запасах воды на защищенных от прямого воздействия ветра участках (в лесу под кронами деревьев или на лесных полянах) за период не менее 20 лет. Следовательно, обеспеченность веса снегового покрова составляет:
F (^) = Т- = 0,04.
Т0
В СП 20.13330.2016 нормативное значение веса снегового покрова может быть вычислено как Б^ = Б50/1,4, где Б50 — превышаемый в среднем один раз в Т0 = 50 лет ежегодный максимум веса снегового покрова, определяемый на основе сведений многолетних маршрутных снегосъемок о запасах воды в снеговом покрове на защищенных от прямого воздействия ветра участках местности. Обеспеченность нагрузки Б 50 составит Е(Б 50) = — = 0,02.
50
Sg =
Из выражения (1) следует, что
Г Г 1 ^
-Р 1п1п. Подставим полученные выражения в уравнение индекса надежности [12]:
Б„ - тБ РБя = —-. Получим:
ст с
( Г
а - в • ln
в ^ =-
-ln
\\
1—
V T0))
0,45 _
-а +-в
0,78
0,78
Преобразуем полученное выражение к виду:
PSg = 0,45 - 0,78ln
- ln
V T0)
(3)
о с
следует =
Sg - ms msVar (Бг)
+ ms ^ Sg = esgms¥ar(Sg) + ms.
В соответствии с п. 10.2. СП 20.13330.2016, нормативный вес снегового покрова также может быть
вычислен по формуле: Б^ = ^^. Тогда для нормативного значения веса снегового покрова справедливо следующее выражение:
S„ =■
S
g,50
1,4
= mS 11 + 3,494
Var (Sg)).
Вычислим параметры распределения (2) на основе новых данных.
При N ^ да параметры закона распределения Гумбеля примут вид: в = 0,78 • сБ, а = тБ - 0,45сБ,
в
откуда можно выразить: о Б =
0,45
, mS =а+--р.
0,78 S 0,78
а -
Для нагрузки Б^ 50 индекс надежности по формуле (3) составит: р^ = 0,45 - 0,78 • 1п(-1п(1 - 0,02)) = = 3,494.
Б„ - тБ
Из записи индекса надежности РБ? = -
Нормативное значение веса снегового покрова для IV снегового района по СП 20.13330.2016: Sg = 2 кПа. Тогда Sg50 = 1,4Sg = 2,8 кПа. Рекомендуемый коэффициент вариации для снеговой нагрузки по [12] Var(Sg) = 0,4. В таком случае математическое ожидание снеговой нагрузки для IV снегового района составит mS = 1,17 кПа, а среднеквадратическое отклонение cS = 0,47 кПа. Вычислим параметры функции распределения Гумбеля для IV снегового района: Р = (0,78)cS = (0,78) • 0,47 = 0,37 кПа, а = mS - [0,45]gs = 0,96 кПа. Статистические параметры веса снегового покрова стали меньше, чем в работе [12], но из формулы расчета нормативной снеговой нагрузки был убран коэффициент 0,7.
Как видно из рис. 3, а также сопоставлений данных работы [12] по СП 20.13330.2011, единого подхода к параметрам вероятностного моделирования снеговой нагрузки в настоящее время не сформировано. Также следует понимать, что статистический анализ веса снегового покрова выполняется по выборочной совокупности данных, статистические оценки которой должны быть представлены в виде доверительных интервалов. Оценка параметров функции распределения вероятностей в виде интервалов позволяет представить ее в виде р-блока.
Рассмотрим числовой пример с условными интервальными значениями статистических параметров а и р веса снегового покрова s Примем для веса снегового покрова IV снегового района следующие параметры: а е [а; а] = [0,90; 1,00] кПа, Р е [Р; Р] = [0,35; 0,40] кПа. Исходя из них построим возможные функции распределения веса снегового покрова (рис. 4).
Как было отмечено выше, область, сформированная всеми возможными функциями распределения, называется р-блок (p-box, probability box).
Граничные функции распределения для p-блока снеговой нагрузки с учетом выражения (1) можно записать в виде:
Psg ms Var (Sg) = Sg +
Fs (s) =
exp - exp / а- \ s
V в )
exp - exp ( а- \ s
V Р )
, если s < m s
если s > m s
< do
tT
iH
О Г
0 сл
t CO
1 z У 1
J to U
r i
n °
С 3
0 СЛ
01
о n
CO CO
l\J CO
о
r §
о о
0)
о
c n
• ) и
®
e>
(4) J J
№ DO
■ Т
(Л У
с о Ф Ж 2 2
Рис. 4. Возможные функции распределения снеговой нагрузки, формирующие р-блок Fig. 4. Possible snow load distribution functions forming the p-box
N N
о о
РЧ N РЧ pi
К <D U 3 > 1Л С И 2
U (O «о щ
i!
<D <D
о ё
<л ел
E о
CL ° ^ с
ю °
S g
о EE
a> ^
w
(Л
S3 ■8
El
О (Я
Fs (s) =
exp
exp
-exp
-exp
f — \ a-s
X
/ — л a-s
Fs,0(s) =
(9)
P
если s < ms
если s > m s
(5)
или с учетом формулы (2):
i\ms - 0,45 aS]-s^
Fs (s) =
exp
exp
-exp
-exp
0,78-aS
i\_mS - 0,45-aS]-s^ 0,78-aS
, если s < ms
, если s > m S
(6)
Fs (s) =
exp
exp
^[mS -0,45-aS]-s 0,78- aS
ms - 0,45- aS ]- s 0,78 - ss
exp
-exp
, если s < m s
, если s > m S
(7)
Интервальные оценки параметров уточняются для снеговых районов или отдельных населенных пунктов в зависимости от имеющейся статистической выборки информации метеостанции о ежегодных максимумах высот снегового покрова, определяемых на основе сведений снегосъемок, или ежегодных максимумах веса снегового покрова напрямую.
Таким образом из выражений (4)-(7) формируется вероятностная модель веса снегового покрова. Для описания моделей снеговой нагрузки необходимо использовать следующие граничные функции:
где се — коэффициент, учитывающий снос снега; С — термический коэффициент; д — коэффициент формы. Коэффициенты рассчитываются в соответствии с СП 20.13330.2016.
В вышеописанных функциях распределения веса снегового покрова он принимается распределенным на квадратный метр. Для перехода к узловой сосредоточенной нагрузке, вероятностные модели снеговой нагрузки (8)-(9) умножаются на соответствующую грузовую площадь покрытия.
Перейдем к проблеме анализа надежности стальных плоских ферм. Рассмотрим подход к оценке надежности фермы на примере фермы с расчетной схемой по рис. 5.
Используя известные подходы строительной механики, можно получить выражения усилий в стержнях фермы (табл. 1).
Из табл. 2 видно, что любое усилие Щ ■ может быть выражено в общем виде как:
^_}(Р) = Р5,
где 5 — коэффициент, зависящий от геометрических размеров и формы фермы.
С учетом изложенного, для любого стержня фермы можно составить математическую модель предельного состояния вида:
NjP) < NHult,
(10)
Fs,0(s) = СЛ^^Х
(8)
где — предельное продольное усилие для
стержня фермы /-/.
Предельное усилие для /'-/ элемента фермы может быть определено по различным критериям предельных состояний.
Рис. 5. Расчетная схема фермы со случайной нагрузкой P Fig. 5. A design pattern for a truss exposed to random P load
Табл. 1. Усилия в стержнях фермы по рис. 5 Table 1. Forces arising in truss bars pursuant to Fig. 5
Стержни Bars Усилие в стержне Force in a bar Стержни Bars Усилие в стержне Force in a bar
1-2, 8-9 л7 3 • P N1-2 3-4, 6-7 N3-4 = +P
1-3, 7-9 NN1-3 = -1,5 ■ P 3-5, 5-7 N3-5 = -3,5 ■ P
2-3, 7-8 Л-? 3 • P N2-3 = - VT 4-5, 5-6 N4-5 -Tl
2-4, 6-8 NN2-4 = +3 ■ P 4-6 N4-6 = +4 ■ P
< П
tT
iH
о
(Л
с
Например, по условию прочности стали стержня фермы:
МЧ(Р) < = с^А (11)
где А — площадь поперечного сечения стержня фермы; аж,ий — предельное напряжение в стали стержня фермы (случайная величина).
Из условия устойчивости 1—] стержня фермы:
N-(Р) < ] = ЪцА ф( Ъц, Ё), (12)
где ф — коэффициент продольной устойчивости.
Площадь поперечного сечения стержня фермы А принята детерминированной (постоянной) величиной, так как в задачах оценки надежности существующих ферм можно многократно и с высокой точностью измерить данную характеристику. При оценке надежности ферм на стадии проектирования площадь поперечного сечения стержней фермы может быть принята в виде случайной величины, поскольку металлопрокат имеет различный коэффициент вариации (в зависимости от завода-производителя, стандарта и типа сечения), что не позволяет заранее дать точную оценку площади поперечного сечения стержней.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Из выражений (11) и (12) следует, что правая часть неравенства зависит от предельного напря-
жения стали стержней фермы. Покажем объективность применения р-блоков для вероятностного представления предельного напряжения стали на примере численного моделирования. В ГОСТ 31937-2011 «Здания и сооружения. Правила обследования и мониторинга технического состояния» говорится, что при отсутствии сертификатов, недостаточной или неполной информации, приводимой в сертификатах, обнаружении в конструкциях трещин или других дефектов и повреждений, а также, если указанная в проекте марка стали не соответствует нормативным требованиям по прочности, физико-механические и химические характеристики стали конструкций определяют механическими испытаниями образцов, химическим и металлографическим анализом.
Для объективного сравнения исследуемых подходов сгенерируем в программе PTC MathCAD 8 значений случайной величины с параметрами: математическое ожидание mX = 300 МПа и стандартное отклонение SX = 15 МПа. Предположим, что рассматриваемые данные являются результатом численного эксперимента по оценке прочности стали несущего элемента строительной конструкции. По итогам генерации были получены следующие значения X = {303,58; 289,73; 275,78; 321,17; 314,57; 282,66; 302,16; 325,46} МПа. На рис. 6 приведены графики эмпирической функции распределения вероятностей FXemp(x) на основе восьми значений
0 сл t со
1 z У 1
J со U
r i
n °
С 3
0 СЛ
01
о n
CO CO
l\J CO
о
r §
о о
0)
о
c n
• ) (I
<D
0>
№ DO
■ T
s У
с о
<D X
Вестник МГСУ • ISSN 1997-0935 (Print) ISSN 2304-6600 (Online) • Том 16. Выпуск 2, 2021 Vestnik MGSU • Monthly Journal on Construction and Architecture • Volume 16. Issue 2, 2021
F™'p(.x) 1 _Г
F™'(x) 0,8
F31«.38W Д-А
28S.3-3S/',
<v> 0,6
0,4
¡•288.30.46
(V)
0,2
F?
6W
250
fx
j / V -315J0.46 X
p 288,30. J6
f315.3.38 rX
300
F^P(x) _Г
0,8
с - eai
О)
F.t(.r)
0,6
0.4
0,2
350 л. Ml la
x, MPa
Fx(x)
/Д.г)
n n n r U V* У-А/ \f V У V У >
0,8
J"
г real
Fryx) Fx(x)
FxM
260
280
300 b
320
340 x, МПа /
x, MPa
0,6
0.4
0.2
Fx(x)
\Fx(x)
t-a-4 a- i^r Ь n
260
280
300
320
340 x, МПа
x, MPa
0.8
_T
1;_w 0,6
J~ 0,4 bW
-Г 0,2
260
'if
—r1
N 4 Г~
J _L
J \ f .t(.T)
280
300
320
340 x, МПа/
л*, MPa
Fx(x) KKX
F-r(x)
260
280
300
320
340 л:, МПа
л-, MPa
Рис. 6. Различные варианты формирования р-блоков: а — р-блок с интервальными оценками параметров нормального распределения; b — р-блок на основе функций распределения возможностей с уровнем среза а = 0,05; с — р-блок на основе функций распределения возможностей с уровнем среза а = 0,15; d— р-блок с граничными функциями по критерию Колмогорова - Смирнова; е — р-блок с граничными функциями, полученными на основе неравенства П.JI. Чебышева
Fig. 6. Different cases of p-boxes: a — a P-box based on interval assessments of normal distribution parameters; b — a P-box based on probability distribution functions encompassing tire shear value of a = 0,05; с — a P-box based on probability distribution functions encompassing the shear value of a = 0,15; d — a P-box whose boundary functions are based on tire Kolmogorov-Smirnov criteria; e — P-box based on the distribution functions obtained using the Chebyshev inequation
и график нормального распределения ^Х(х) при наличии полной статистической информации.
Так как математическое ожидание и стандартное отклонение генеральной совокупности данных неизвестно, можно получить оценки доверительных интервалов для этих параметров [15]. Используя известные подходы [15], были получены следующие интервальные оценки параметров по выборке из восьми значений: математическое ожидание [288,09; 315,68] МПа и стандартное отклонение [3,38; 39,46] МПа. Для наиболее осторожной оценки распределения вероятностей следует использовать различные участки функций нормального распределения (рис. 6, а), в зависимости от различных комбинаций доверительных границ математического ожидания и стандартного отклонения. В общем виде граничные функции можно записать в виде:
I Fnorm(mX, Sx ), если х < mX;
Fx (х) = ] (13)
T~*norm I с \ — \
IF (mX, SX ), если х > mX,
Fx (х) =
I Fnorm (mX, SX), если х < mX;
mX, SX), если х > mX,
(14)
где ргогт — функция нормального распределения вероятностей.
Как видно из рис. 6, а, область р-блока, сформированная возможными функциями распределения вероятностей, полностью перекрывает эмпирическую и реальную функции распределения вероятностей. Рост числа испытаний уменьшит площадь р-блока и позволит получить более информативную оценку надежности. Однако недостатком такого подхода является необходимость обоснования гипотезы о принадлежности случайной величины к определенному закону распределения вероятностей, что может быть затруднительно в условиях ограниченных статистических данных.
Решение этой проблемы можно найти в использовании р-блоков на основе функции распределения возможностей в рамках положений теории возможностей и теории нечетких множеств [16, 17]. В задачах оценки надежности строительных конструкций получила распространение функция распределения возможностей вида (рис. 2, Ь, с):
Fx (х) =
exp
/ \2 ах — У
V ЪУ J
если х < ах;
(15)
Fх (х) =
1, если х > а„
0, если y < ay;
1 - exp
/ \2 ат — х
Ъх
если х > av
(16)
где ах = 0,5 (Хтах + Хтт) — условное «среднее»;
Ьх = 0,5 (тах " Хтт 1п а — мера «рассея-
ния», где Хтах и Хтт — наибольшее и наименьшее значение во множестве значений {х} нечеткой переменной X, полученных из результатов измерений (испытаний); а б [0; 1] — уровень среза (риска), значением которого задаются.
Как видно из рис. 2, Ь, с, в рамках построения данного р-блока имеется существенная зависимость его площади от субъективно назначаемого параметра — уровня среза (риска). Так, при уровне среза (риска) 0,05 р-блок (рис. 4, Ь) не покрывает полностью эмпирическое и теоретическое распределение, что может привести к ошибкам в оценке надежности; при уровне среза 0,15 (рис. 4, с) р-блок покрывает обе функции распределения. Дальнейшее развитие этого подхода требует наличия объективных подходов к назначению уровня среза (риска) для конкретных несущих элементов строительных конструкций.
Общим недостатком вышеописанных р-блоков является предположение о форме распределения граничных функций. Р-блок на основе критерия согласия Колмогорова - Смирнова позволит сформировать граничные функции распределения по эмпирической функции распределения вероятностей, без гипотез о виде распределения. На рис. 4, ё, показан р-блок для рассматриваемых исходных данных, сформированный по критерию Колмогорова -Смирнова [18].
Также на рис. 4, е, представлен р-блок, сформированный на основе неравенства П. Л. Чебышева [19]. Его можно построить также по доверительным оценкам математического ожидания и стандартного отклонения без необходимости проверки согласия на вид распределения.
Поскольку нагрузки, входящие в математическую модель (10), описываются различными законами распределения (Гумбеля и нормальным), то для более удобного подхода к оценке надежности выражение (10) можно записать в виде:
N
i-j(Psi
w) < j - NH(PJ,
X < Y.
nN. , средне-
квадратическое отклонение Sy = aJSmi
j,ult
+ S2
< n
tT
iH О Г
о
t CO
z С
y 1
J to
u i
r i
n о
С 3 о
o? n
(17)
где Ni-j(Psnow) — усилие в стержне i-j от снеговой (snow) нагрузки; Ni-j(Psw) — усилие в стержне i-j от собственного веса (self-weight) конструкций.
В обобщенном виде неравенство (17) можно записать как:
(18)
со со
n
ш 0 с 6
r § t (
• ) и
Так как в обозначение переменной У входит несколько случайных величин, описываемых нормальным распределением, то статистические параметры могут быть вычислены следующим образом: математическое ожидание ту = тМ- ^ - т
®
о>
№ ОН ■
(Я у
С о
Ф X
где тм — математическое ожидание предельного продольного усилия в стержне /-/; тМ- — математическое ожидание продольного усилия в стержне /-/ от собственного веса конструкций; ^ — средне-квадратическое отклонение предельного продольного усилия в стержне /'-/'; — среднеквадратическое
отклонение продольного усилия в стержне /-/ от собственного веса конструкций. Для случайной величины X используется распределение и параметры по выражениям (4)-(6).
Вероятность безотказной работы для мате-магической модели вида (18) можно вычислить по формуле [3, 20]:
Р =| ехр
0
-ехр
1
т}
+1 ехр
тх
+1 ехр
ехр
ехр
ехр
( \ а-х
2Б 2
( ^ а-х
X
а-х
л
ёх +
Бул] 2п
ехр
ехр
- х - ту: 2Б 2
- х - ту
2Б
ёх +
ёх.
N N О О N N
NN К <1) и 3
> (Л
с и
и со <о ф
I!
Ф О)
Р = | /у (х)^х (х )ёх,
(19)
где /у(х) — плотность распределения случайной величины У; Ех(х) — функция распределения случайной величины X.
В связи с тем, что р-блок имеет две граничные функции распределения, выражение (19) можно записать в виде:
Р = | / (х) Ех (х)ёх;
0
Р = I /у (х) Кх (х)ёх,
(20)
(22)
После вычисления интервальных значений параметров а, в, тх, ту и Бу вероятности безотказной работы по (21), (22) рассчитываются в программе МаШСЛЭ или аналогичной ей.
Если про случайные величины и не удается получить достаточное количество статистической информации, чтобы обосновать принадлежность к нормальному или другому закону распределения, то можно использовать подход на основе теории возможностей. В этом случае граничные функции распределения р-блока примут вид (15), (16).
Для использования их в выражении (20) вычислим производные от граничных функций распределения возможностей:
где Ех(х) и Ех(х) — нижняя и верхняя граничные функции распределения случайной величины X.
С учетом принятых выше законов распределения для модели (17) можно записать выражение (19) в виде:
(=
ехр
г л2 ду - у
V ^у2 ,
(2«у - 2у)
если у <ау;
0, если у > ау
О 3 ™ §
от "
ОТ Е
Е о
£ °
с
ю °
£ !
о ЕЕ
О) ^
т- ^
£
от °
■8 Г Е!
О (Я №
л Р =| ехр
о
ехр
а-s
1
ехр
-(х - ту )
2Б2
ёх.
В виду того, что функции представлены р-блоками, можно записать:
Р =| ехр
0
ехр
(- Л а-х
X
х=
1
Б у %/ 2п
ту
+1 ехр
тх
+1 ехр
ехр
ехр
ехр
- х - ту 2Б 2
(— \ а-х
ёх +
(— \ а-х
Б у
Бу >/2п
ехр
ехр
/г ( у) =
-ехр
Г \2
ау - у
0, если у < ау;
2ау - 2у
V ^ у
(23)
если у > ау
(24)
Тогда можно получить аналогичные (21), (22) выражения:
р = /
ехр
-ехр
(- \ а-х
V — V.
ехр
Л2
V Ь2 J
ёх +
(2ау - 2у)
Ьу2
(2ау - 2у)
у
ёх + |
ехр
■ ёх | ехр
( а-х "ехр| —^
- ехр
ехр
0ёх,
V ЬЬ ,
(21)
(25)
у
у
P = J exp
о
ay
+ J exp
- exp
0dx+
exp
a-x
J exp
ay
( a-x
-exp I--
0dx +
(
exp
( a,-y ^ 2
V, >
■(y - 2y)
dx.
(26)
По представленным формулам можно вычислить надежность стержня фермы по критерию предельного состояния (11) в зависимости от имеющейся статистической информации.
Пример. Пусть требуется найти вероятность безотказной работы элемента 4-6 фермы с расчетной схемой по рис. 5. В качестве критерия предельного состояния используется прочность элемента по материалу. Применяя метод моментной точки относительно узла 5, можно записать уравнение: £М5 = 0 ^ 2Р ■ 6 - 0,5Р ■ 6 - Р ■ 3 - Д4-6 ■ 1,5 = 0. Следовательно, в стержне 4-6 возникает растягивающее усилие N4_6 = +4 ■ Р. Данное усилие можно разбить на две составляющих: Д4-6 = +4 ■ (Ршок + Р^,). Математическую модель предельного состояния по критерию прочности материала стержня запишем с учетом (17) и табл. 1 в виде:
4Psnow < ~4-6,ult A4-6 4Psw ,
(27)
Стержень — это труба квадратного сечения 100 х 5 с площадью поперечного сечения А4-6 = = 18,57 ■ 10-4 м2. По результатам испытаний стали стержня установлены значения: тс б [300; 320] МПа, е [15; 20] МПа. По итогам сбора нагрузок от собственного веса конструкций покрытия определено: тр^ е [30; 35] кН, е [2; 4] кН.
По этим данным можно вычислить значения
т< а4-6
параметров случайной велчины У: ту = —^--
- = 104,3 кН и ту = т<А4-6
- mpsw = 118,6 кН;
а среднеквадратическое отклонение наити по источникам [3, 15] в виде:
8Y (a 4-6,ult, P.w,)
8a
откуда Sy =,
8Y (a 4-6,ult, P.w,)
8P
A4
Si + Sp sw, тогда запишем
Бу е [7,25; 10,11] кН.
После того, как были получены интервальные оценки параметров для функций распределений случайных величин X и У, подставляем их в расчетные формулы (21), (22). Надежность элемента фермы по критерию прочности материала составляет Р е [Р; Р] = [0,8842; 0,9928].
< П
tT
iH О Г
где о^,^ — предельное допустимое напряжение в стержне 4-6; А4-6 — площадь поперечного сечения стержня 4-6.
Сосредоточенную нагрузку Ршок получим путем перемножения случайной нагрузки от веса снегового покрова на грузовую площадь узла фермы. Аналогичным образом возможно получить значение нагрузки Р^,, в состав которой будут входить несколько случайных величин, описывающих изменчивость слоев конструкции покрытия.
Для сокращения объема статьи не будем приводить данные выкладки. Более подробная информация про суммирование случайных нагрузок на строительные конструкции представлена в работах [1, 3].
Математическую модель (27) преобразуем < 4
к виду: Psnow ^
■М-6, ultA4-6
- Psw. Вводим обозна-
чения Psnow = X
-6,ultA4-6
4
- Psw = Y. Тогда (27)
будет преобразована к виду (18).
Пусть про параметр Ршок, описываемый распределением Гумбеля, получены следующие данные в интервальной форме: а е [50; 60] кН, в е [10; 15] кН. Через зависимости в = 0,78 ■ сх и а = тх - 0,45сх можно найти: сх е [12,82; 19,23] кН, тх е [55,77; 68,65] кН.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
Как видно из численного примера расчета, оценка надежности представлена в виде интервала значений P е [P; P] = [0,8842; 0,9928]. Такая неопределенность в оценке возникает вследствие ограниченности (недостаточности) статистической иноформации о случайных величинах в расчетной математической модели предельного состояния. Для того чтобы получить более информативный ответ (более узкий интервал), необходимо получить более точную статистическую информацию, что обычно достигается путем увеличения выборочной совокупности данных. Тем не менее верхняя граница оценки надежности составляет P = 0,9928, что в большинстве практических задач является недопустимо низким уровнем надежности. Следовательно, предолженный алгоритм позволяет даже при неполной статистической информации судить о недостаточном уровне механической безопасности фермы.
Вопрос о предельном (целевом) уровне надежности в настоящее время — дискусионный и зависит от множества факторов. В Eurocode 0 «Basis of structural design» установлен целевой индекс надежности в = 3,8 по критерию несущей способности после 50 лет эксплуатации. Сравнение индексов надежности в различных нормах проектирования отражено в труде [21].
0 w
t СО
1 z У 1
J со U
r 1
n 0
» 3
0 Ш
01
о n
CO CO
n NJ Ш 0
r §
•) n
ф
e>
№ DO
■ T
s □
s У с о Ф Ж
° 1
сч N о о сч N
city ¡г <и
U 3 > (Л С И 2
U (О «О ф
I!
<D dj
о ё
(Л
ел
£ 3
Е!
О (Я
В работе [22] предлагается модифицированный подход к расчету и нормированию индекса надежности с моделированием неопределенностей с использованием теории нечетких множеств. Авторы публикации [23] анализируют нормирование индекса надежности с учетом экономических и социальных аспектов. Применение положений теории возможностей как альтернативы теории вероятностей для расчета и нормирования индекса надежности рассмотрено в работе [24]. Также исследуется вопрос о нормировании индекса надежности и определении индекса надежности конструкций с учетом фактора пожарной безопасности [25].
Выше описан подход к анализу надежности одного стержня фермы по критерию прочности материала. Для комплексной оценки надежности каждый элемент фермы следует проверить на надежность по всем критериям работоспособности, предусмотренным нормативными документами для расчетной ситуации (расчетная ситуация — учитываемый при расчете сооружений комплекс наиболее неблагоприятных условий, которые могут возникнуть при его возведении и эксплуатации в соответствии с ГОСТ 27751-2014). Для центрально-сжатого элемента — это прочность, устойчивость элемента в плоскости и из плоскости, гибкость. В результате будем иметь несколько интервалов надежности элемента по различным критериям предельных состояний. Поскольку наступление любого предельного состояния в элементе фермы возможно считать критерием отказа всей фермы, то стержень фермы можно представить в виде условной последовательной системы, состоящей из элементов — значений надежности стержня по отдельным критериям предельного состояния [Рг-; P]. В соответствии с трудом [26], надежность такой системы вычисляется по формуле:
( n ^
P = max |^0, р - (n - 1)j ;
i=1
р = min( ~рг),
(28)
<л ел
Е о
CL ° • с ю °
S g
О Е
О) ^ т- ^
где Р_{ и Р/ — нижняя и верхняя границы вероятности безотказной работы стержня фермы по /-му
критерию работоспособности; п — число элементов (критериев) в последовательной системе.
ВЫВОДЫ
В работе разработаны методы оценки надежности стальных плоских ферм на основе р-блоков с обоснованием их практической значимости.
Предложена вероятностная модель снеговой нагрузки для анализа надежности плоских ферм в соответствии с изменениями СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия» в части обеспеченности веса снегового покрова и данных по весу снегового покрова по снеговым районам.
Приведены расчетные формулы для анализа надежности плоской фермы с использованием р-блоков в случае известных законов распределения вероятностей, но неточных (интервальных) оценках параметров этих распределений. Также рассмотрен вариант комбинации р-блоков, построенных на основе теории вероятностей и теории возможностей, для расчета надежности.
Р-блоки позволяют дать более осторожную оценку надежности элемента конструкции, но в то же время менее информативную — представленную в интервальной форме. С целью получения более узкого интервала надежности следует уточнить интервальные оценки параметров распределений или виды р-блоков в расчетной модели, что влечет за собой повышение экономических и трудовых затрат на сбор статистической информации.
Надежность элемента фермы необходимо рассчитывать по всем критериям предельных состояний, соответствующих нормативным требованиям. Элемент фермы может быть представлен в виде условной последовательной системы, состоящей из условных элементов — значений надежности по отдельным критериям предельных состояний элемента фермы. Следовательно, надежность элемента фермы должна носить системный характер. При наличии системных оценок надежности для каждого элемента фермы и надежности каждого узла фермы, аналогичным (28) образом может быть вычислена надежность всей фермы как условной последовательной системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кургузое К.В., Фоменко И.К., Шубина Д.Д. Вероятностно-статистическое моделирование нагрузок и воздействий // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. № 9. С. 1249-1261. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.12491261
2. Schobi R., Sudret B. Structural reliability analysis for p-boxes using multi-level meta-models // Probabilistic Engineering Mechanics. 2017. Vol. 48. Pp. 27-38. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.04.001
3. Мкртычее О.В., Райзер В.Д. Теория надежности в проектировании строительных конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2016. 908 с.
4. Liu X., Kuang Z., Yin L., Hu L. Structural reliability analysis based on probability and probability box hybrid model // Structural Safety. 2017. Vol. 68. Pp. 73-84. DOI: 10.1016/j.strusafe.2017.06.002
5. Yang X., Liu Y., Zhang Y., Yue Z. Hybrid reliability analysis with both random and probability-
box variables // Acta Mechanica. 2015. Vol. 226. Issue 5. Pp. 1341-1357. DOI: 10.1007/s00707-014-1252-8
6. Liu X., Wang X., Xie J., Li B. Construction of probability box model based on maximum entropy principle and corresponding hybrid reliability analysis approach // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2020. Vol. 61. Issue 2. Pp. 599-617. DOI: 10.1007/s00158-019-02382-9
7. Wang C., Zhang H., Beer M. Computing tight bounds of structural reliability under imprecise probabilistic information // Computers & Structures. 2018. Vol. 208. Pp. 92-104. DOI: 10.1016/j.compstruc. 2018.07.003
8. Beer M., Ferson S., Kreinovich V. Do we have compatible concepts of epistemic uncertainty // In Proc. 6th Asian-Pacific Symp. Struct. Reliab. Shanghai, 2016. URL: https://www.semanticscholar.org/paper/Do-we-have-compatible-concepts-of-epistemic-Beer-Ferson/c0 056ebb63264a10a085675b86312575e625d8bd
9. An J., Hu M., Fu L., Zhan J. A novel fuzzy approach for combining uncertain conflict evidences in the Dempster-Shafer theory // IEEE Access. 2019. Vol. 7. Pp. 7481-7501. DOI: 10.1109/ACCESS.2018.2890419
10. Shafer G. Dempster-Shafer theory // Encyclopedia of artificial intelligence. 1992. Vol. 1. Pp. 330-331.
11. Zhang Z., Jiang C., Han X., Hu D., Yu S. A response surface approach for structural reliability analysis using evidence theory // Advances in Engineering Software. 2014. Vol. 69. Pp. 37-45. DOI: 10.1016/j.advengsoft.2013.12.005
12. Золина Т.В., Садчиков П.Н. Моделирование снеговой нагрузки на покрытие промышленного здания // Вестник МГСУ. 2016. № 8. С. 25-33.
13. Qiang S., Zhou X., Gu M. Research on reliability of steel roof structures subjected to snow loads at representative sites in China // Cold Regions Science and Technology. 2018. Vol. 150. Pp. 62-69. DOI: 10.1016/j.coldregions.2017.09.005
14. Wolinski S., Pytlowany T. Evaluation of load values using the Gumbel model // Archives of Civil Engineering. 2012. Vol. 58. Issue 2. Pp. 199-208. DOI: 10.2478/v.10169-012-0012-1
15. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. М. : Высшая школа, 2003. 479 с.
16. Utkin V.S., Solovyev S.A. Reliability analysis of existing reinforced concrete beams on normal crack length criterion // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13. Issue 2. Pp. 56-63. DOI: 10.22337/2587-96182018-14-3-142-152
17. Hurtado J.E., Alvarez D.A., Ramirez J. Fuzzy structural analysis based on fundamental reliability concepts // Computers & Structures. 2012. Vol. 112-113. Pp. 183-192. DOI: 10.1016/j.compstruc.2012.08.004
18. Utkin L.V., Coolen F. On reliability growth models using Kolmogorov-Smirnov bounds // International Journal of Performability Engineering. 2011. Vol. 7. Issue 1. Pp. 5-19.
19. Utkin V.S. Safety analysis of the soil beds of foundations based on bearing-capacity criterion // Soil Mechanics and Foundation Engineering. 2014. Vol. 51. Issue 1. Pp. 9-16. DOI: 10.1007/s11204-014-9247-y
20. MelchersR.E., BeckA.T. Structural reliability analysis and prediction. John Wiley & Sons, 2018. 497 p.
21. Holicky M., Markovâ J., Sykora M. Target reliability levels in present standards // Transactions of the VSB — Technical University of Ostrava, Civil Engineering Series. 2014. Vol. 14. Issue 2. Pp. 46-53. DOI: 10.2478/tvsb-2014-0018
22. Wang P., Zhang J., Zhai H., Qiu J. A new structural reliability index based on uncertainty theory // Chinese Journal of Aeronautics. 2017. Vol. 30. Issue 4. Pp. 1451-1458. DOI: 10.1016/j.cja.2017.04.008
23. Sykora M., Diamantidis D., Holicky M., Jung K. Target reliability for existing structures considering economic and societal aspects // Structure and Infrastructure Engineering. 2017. Vol. 13. Issue 1. Pp. 181-194. DOI: 10.1080/15732479.2016.1198394
24. Marano G.C., Quaranta G. A new possibilistic reliability index definition // Acta mechanica. 2010. Vol. 210. Issue 3. Pp. 291-303. DOI: 10.1007/s00707-009-0194-z
25. Van Coile R., Hopkin D., Bisby L., Caspeele R. The meaning of Beta: background and applicability of the target reliability index for normal conditions to structural fire engineering // Procedia engineering. 2017. Vol. 210. Pp. 528-536. DOI: 10.1016/j.proeng. 2017.11.110
26. Гуров С.В., Уткин Л.В. Надежность систем при неполной информации. СПб. : Любавич, 1999. 166 с.
< п
tT
iH
О Г s 2
0 м
t СО
1 » y i
J CD
u s
r i
n °
» 3
о »
oî
о n
Поступила в редакцию 30 декабря 2020 г.
Принята в доработанном виде 15 февраля 2021 г.
Одобрена для публикации 16 февраля 2021 г.
Об авторах: Анастасия Андреевна Соловьева — аспирант кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; РИНЦ ID: 1090512; [email protected];
Сергей Александрович Соловьев — кандидат технических наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства; Вологодский государственный университет (ВоГУ); 160000, г. Вологда, ул. Ленина, д. 15; РИНЦ ID: 821778, Scopus: 57191529586, ResearcherID: AAJ-1708-2020, ORCID: 0000-00017083-7963; [email protected].
cо со
n M « 0 » 66
• ) (I
<D
0>
№ DO
" T
s □
s у
с о
(D X
REFERENCES
N N О О N N
NN
¡É <D U 3 > (Л С И 2
U (О
«ó щ
Í!
<U О)
О %
(Л
ел
Е о
CL °
• с
ю °
S g
о ЕЕ
О) ^
т- ^
W W
> 1 £ w
Е!
О (Я
1. Kurguzov K.V., Fomenko I.K., Shubina D.D. Probabilistic and statistical modeling of loads and forces. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020; 15(9):1249-1261. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.1249-1261 (rus.).
2. Schobi R., Sudret B. Structural reliability analysis for p-boxes using multi-level meta-models. Probabilistic Engineering Mechanics. 2017; 48:27-38. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.04.001
3. Mkrtychev O.V., Rajzer V.D. Reliability theory in structural design. Moscow, Publishing house ASV, 2016; 908. (rus.).
4. Liu X., Kuang Z., Yin L., Hu L. Structural reliability analysis based on probability and probability box hybrid model. Structural Safety. 2017; 68:73-84. DOI: 10.1016/j.strusafe.2017.06.002
5. Yang X., Liu Y., Zhang Y., Yue Z. Hybrid reliability analysis with both random and probability-box variables. Acta Mechanica. 2015; 226(5):1341-1357. DOI: 10.1007/s00707-014-1252-8
6. Liu X., Wang X., Xie J., Li B. Construction of probability box model based on maximum entropy principle and corresponding hybrid reliability analysis approach. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2020; 61(2):599-617. DOI: 10.1007/s00158-019-02382-9
7. Wang C., Zhang H., Beer M. Computing tight bounds of structural reliability under imprecise probabilistic information. Computers & Structures. 2018; 208:92-104. DOI: 10.1016/j.compstruc.2018.07.003
8. Beer M., Ferson S., Kreinovich V. Do we have compatible concepts of epistemic uncertainty. In Proc. 6th Asian-Pacific Symp. Struct. Reliab. Shanghai, 2016. URL:https://www.semanticscholar.org/paper/Do-we-have-compatible-concepts-of-epistemic-Beer-Ferson/ c0056ebb63264a10a085675b86312575e625d8bd
9. An J., Hu M., Fu L., Zhan J. A novel fuzzy approach for combining uncertain conflict evidences in the Dempster-Shafer theory. IEEE Access. 2019; 7:7481-7501. DOI: 10.1109/ACCESS.2018.2890419
10. Shafer G. Dempster-Shafer theory. Encyclopedia of artificial intelligence. 1992; 1:330-331.
11. Zhang Z., Jiang C., Han X., Hu D., Yu S. A response surface approach for structural reliability analysis using evidence theory. Advances in Engineering Software. 2014; 69:37-45. DOI: 10.1016/j.adveng-soft.2013.12.005
12. Zolina T.V., Sadchikov P.N. Modeling of the snow load on the roofs of industrial buildings. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016; 8:25-33. (rus.)
13. Qiang S., Zhou X., Gu M. Research on reliability of steel roof structures subjected to snow loads at representative sites in China. Cold Regions Science and
Technology. 2018; 150:62-69. DOI: 10.1016/j.coldre-gions.2017.09.005
14. Wolinski S., Pytlowany T. Evaluation of load values using the Gumbel model. Archives of Civil Engineering. 2012; 58(2):199-208. DOI: 10.2478/v.10169-012-0012-1
15. Gmurman V.E. Probabilities theory and mathematical statistic. Moscow, High School, 2003; 479. (rus.).
16. Utkin V.S., Solovyev S.A. Reliability analysis of existing reinforced concrete beams on normal crack length criterion. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017; 13(2):56-63. DOI: 10.22337/2587-9618-2018-14-3-142-152
17. Hurtado J.E., Alvarez D.A., Ramirez J. Fuzzy structural analysis based on fundamental reliability concepts. Computers & Structures. 2012; 112-113:183-192. DOI: 10.1016/j.compstruc.2012.08.004
18. Utkin L.V., Coolen F. On reliability growth models using Kolmogorov-Smirnov bounds. International Journal of Performability Engineering. 2011; 7(1):5-19.
19. Utkin V.S. Safety analysis of the soil beds of foundations based on bearing-capacity criterion. Soil Mechanics and Foundation Engineering. 2014; 51(1):9-16. DOI: 10.1007/s11204-014-9247-y
20. Melchers R.E., Beck A.T. Structural reliability analysis and prediction. John Wiley & Sons, 2018; 497.
21. Holicky M., Markova J., Sykora M. Target reliability levels in present standards. Transactions of the VSB — Technical University of Ostrava, Civil Engineering Series. 2014; 14(2):46-53. DOI: 10.2478/ tvsb-2014-0018
22. Wang P., Zhang J., Zhai H., Qiu J. A new structural reliability index based on uncertainty theory. Chinese Journal of Aeronautics. 2017; 30(4):1451-1458. DOI: 10.1016/j.cja.2017.04.008
23. Sykora M., Diamantidis D., Holicky M., Jung K. Target reliability for existing structures considering economic and societal aspects. Structure and Infrastructure Engineering. 2017; 13(1):181-194. DOI: 10.1080/15732479.2016.1198394
24. Marano G.C., Quaranta G. A new possibilis-tic reliability index definition. Acta mechanica. 2010; 210(3):291-303. DOI: 10.1007/s00707-009-0194-z
25. Van Coile R., Hopkin D., Bisby L., Caspeele R. The meaning of Beta: background and applicability of the target reliability index for normal conditions to structural fire engineering. Procedia engineering. 2017; 210:528-536. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.11.110
26. Gurov S.V., Utkin L.V. Reliability of systems with limited information. St. Petersburg, Lyubavich, 1999; 166. (rus.).
Received December 30, 2020.
Adopted in revised form on February 15, 2021.
Approved for publication on February 16, 2021.
B i o n o t e s : Anastasia A. Soloveva — postgraduate student of the Department of Industrial and Civil Construction; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; SPIN-code: 51629279, ID RSCI: 1090512; [email protected];
Sergey A. Solovev — Candidate of Technical Science, Associate Professor of the Department of Industrial and Civil Construction; Vologda State University (VSU); 15 Lenin st., Vologda, 160000, Russian Federation; SPIN-code: 4738-8927, ID RSCI: 821778, Scopus: 57191529586, ResearcherlD: AAJ-1708-2020, ORCID: 0000-0001-70837963; [email protected].
< DO
ID Ф
s 0
t 4
3 X
s
3 G) X 3
W С о у
•
2 _
о со
з со
t i z
у 1
J CD
о r CD —
о
03 CD
CO
o cn
*—*
C r
о 5'
t _
S
о CO
i z
о 2
a CO
о
Cl 1 cn cn
r
о О
i О
Ф О
t l
r 0'
у )
i Т
О
с 3 3
3 <D 1
a>
1 ■
a> do
J
s 3
s у
с О
<D X
1° 1°
о О
10 10
-Ь -Ь
